Cours HSL Mounirou 095003

Essentiel de l’Hydraulique à Surface libre
Synthèse du cours
SOMMAIRE
Introduction .......................................................................................................................................................... 3
Chapitre I : Généralités ....................................................................................................................................... 4
I – Introduction ..................................................................................................................................................... 5
I – 1 Classification des écoulements à surface libre ...................................................................................... 5
I – 2 Eléments géométriques et hydrauliques d’un canal ............................................................................ 6
I – 3 Débit – vitesses dans une section du canal ........................................................................................... 7
I – 4 Vitesses limites et forces tractrices ......................................................................................................... 9
I – 5 Régime d’écoulement ............................................................................................................................. 10
Chapitre II : Ecoulement uniforme ................................................................................................................. 13
II – Ecoulement uniforme ................................................................................................................................. 14
II – 1 Définition - Propriétés .......................................................................................................................... 14
II – 2 Pression et charge dans une section.................................................................................................... 14
II – 3 Equation de mouvement ...................................................................................................................... 15
II – 4 Calcul de l’écoulement uniforme ........................................................................................................ 18
Chapitre III : Ecoulements graduellement variés ........................................................................................ 26
III – Ecoulements graduellement variés ........................................................................................................ 27
III – 1 Définition des écoulements variés ..................................................................................................... 27
III – 2 Charge moyenne et charge spécifique Hs ........................................................................................ 27
III – 3 Régime critique..................................................................................................................................... 29
III – 4 Etude qualitative des courbes de remous ......................................................................................... 32
III – 5 Méthode de calcul des courbes de remous ....................................................................................... 34
Chapitre IV : Le ressaut hydraulique ............................................................................................................. 42
IV – Ressaut hydraulique ................................................................................................................................. 43
IV – 1 Aperçu sur les écoulements brusquement variés ............................................................................ 43
IV – 2 Ressaut hydraulique ............................................................................................................................ 43
IV – 3 Impulsion totale ................................................................................................................................... 45
IV – 4 Calcul du ressaut pour un canal rectangulaire ................................................................................ 45
Chapitre V : La section de contrôle ................................................................................................................. 48
V – Section de contrôle...................................................................................................................................... 49
V – 1 Définition et application ....................................................................................................................... 49
V – 2 Déversoirs............................................................................................................................................... 49
V – 3 Vanne ...................................................................................................................................................... 52
V – 4 Etudes des singularités ......................................................................................................................... 53
Références bibliographiques ........................................................................................................................... 56
Edition Septembre 2013
Dr Lawani A. MOUNIROU
Enseignant-Chercheur en Hydraulique générale
Si la fortune vient en dormant, ça n’empêche pas les emmerdements de venir au réveil… Page 1
Objectifs du cours
• Dimensionner les ouvrages hydrauliques :
- Canaux d’évacuations des eaux pluviales
- Canaux d’irrigation
- Seuils (déversoirs, vannes)
- Bassins de dissipation d’énergie.
• Mesurer les débits :

- Jaugeages au moulinet
- Jaugeages chimiques
• Prévoir le fonctionnement d’un réseau pour un débit donné (calcul de lignes d’eau) :
Application de l’Hydraulique à surface libre

• Assainissement pluvial
• Hydraulique routière
• Hydraulique agricole
• Dynamique fluviale
Programme
• Chapitre I : Généralités
• Chapitre II : Ecoulement uniforme
• Chapitre III : Ecoulements graduellement variés
• Chapitre IV : Ecoulements brusquement variés (Ressaut Hydraulique)
• Chapitre V : Section de contrôle (vannes, seuils)
Introduction
Cette partie du cours d’hydraulique est destinée aux étudiants de Bachelor (1 & 3) de l’Institut
International d’Ingénierie de l’Eau et de l’Environnement. C’est pourquoi nous avons tenté d’y
développer des aspects de l’hydraulique générale et de l’hydraulique appliquée à l’irrigation, aux
ouvrages d’art et aux barrages.
Le chapitre 1 définit l’hydraulique à surface libre, ses spécificités et les principaux éléments
géométriques et hydrauliques des canaux paramétrés. Les différents types d’écoulements qu’on
peut rencontrer et les normes sur l’affouillement des canaux non revêtus y sont également abordés.
Le chapitre 2 étudie l’écoulement uniforme et constitue la partie la plus commune dans ce module
avec le dimensionnement des canaux.
Le chapitre 3 traite des écoulements graduellement variés rencontrés autour des singularités des
canaux. Des méthodes simples d’intégration de l’équation différentielle régissant ces écoulements
y sont développées.
Le chapitre 4 sur les écoulements brusquement variés donne différentes applications du ressaut
hydraulique, des déversoirs et des vannes aux domaines de compétence de l’Ecole.
Enfin le chapitre 5 est une synthèse des chapitres 2, 3 et 4 puisqu’il fait le point sur les types de
lignes d’eau qu’on peut rencontrer autour des singularités dans les cas les plus courants. Des
applications résultant d’études expérimentales y sont également abordées.
Chapitre I : Généralités
I – Introduction ..................................................................................................................................................... 5
I – 1 Classification des écoulements à surface libre ...................................................................................... 5
I – 2 Eléments géométriques et hydrauliques d’un canal ............................................................................ 6
I – 3 Débit – vitesses dans une section du canal ........................................................................................... 7
I – 4 Vitesses limites et forces tractrices ......................................................................................................... 9
I – 4.1 Vitesse minimale ................................................................................................................................ 9
I – 4.2 Vitesse maximale ............................................................................................................................... 9
I – 4.3 Forces tractrices .................................................................................................................................. 9
I – 5 Régime d’écoulement ............................................................................................................................. 10
I – 5.1 Effets de la viscosité......................................................................................................................... 10
I – 5.2 Effets de la gravité ........................................................................................................................... 11
Mon exigence pour la connaissance m'a elle-même enseigné la beauté des efforts. Page 4
I – Introduction
Il existe beaucoup de similitudes entre l’écoulement en charge et l’écoulement à surface libre, mais
la différence réside dans l’existence de surface libre c'est-à-dire une surface en contact avec
l’atmosphère. Aussi, les écoulements à surface libre présentent plus de difficultés que les
écoulements en charge parce que les conditions d’écoulement sont plus compliquées :
- La position de la surface libre peut changer avec le temps et l’espace ;
- Le débit, la pente et la surface libre du canal sont interdépendants ;
- Les rugosités des surfaces en jeu sont moins standardisés et elles varient avec la profondeur
d‘eau ; d’où une plus grande incertitude quant aux valeurs à adopter pour les calculs ;
- Les valeurs des coefficients déterminés expérimentalement dans les formules universelles
de perte de charge (Poiseuille, Prandtl-Von Carman, Blasius, Colebrook) dépendent de la
forme du canal.
I – 1 Classification des écoulements à surface libre

On peut résumer la classification des écoulements à surface libre selon la variation du débit Q ou
de la profondeur d’eau y en fonction de l’abscisse x le long de la conduite et du temps t.
(i) Ecoulements permanents

C’est un écoulement où la vitesse U et la profondeur d’eau y restent invariables dans le temps en
grandeur et en direction. On peut rencontrer dans ce cas les types suivants :
❖ Ecoulements conservatifs : Q = cste
Le débit n’est pas fonction de x (pas de pertes ni d’apports latéraux). Cependant, on y distingue :
➢ Ecoulements uniformes
La profondeur d’eau y n’est pas fonction de x ; donc y constante d’une section à une autre.
➢ Ecoulements variés
La profondeur d’eau y varie en fonction de x ; donc y varie d’une section à une autre. Toutefois, on
y distingue :
• Ecoulements graduellement variés
La variation de y en fonction de x est continue et graduelle. La fonction y(x) est régulière.
• Ecoulements brusquement variés
La variation est brutale sur une courte distance. La fonction y(x) n’est pas régulière.
❖ Ecoulements non conservatifs : Q ≠ cste
Le débit Q(x) varie avec l’abscisse le long de la conduite (canal avec fuites ou apports latéraux).
L’écoulement ne peut donc pas être uniforme en raison de la variation du débit. En conséquence,
la profondeur d’eau y varie en fonction de x. Cette variation peut être continue et graduelle
(écoulements graduellement variés) ou brutale sur une courte distance (écoulements
brusquement variés).
(ii) Ecoulements non permanents
C’est un écoulement où le débit Q et la profondeur d’eau y varient dans le temps et dans l’espace.
Dans ces conditions, les écoulements non permanents uniformes sont rares sinon inexistants. On y
rencontre les écoulements non permanents graduellement variés (la fonction y(t, x) est régulière et
les variations sont lentes et progressives) et les écoulements non permanents brusquement variés
(la variation de y (t, x) se fait sur une courte distance et un court intervalle de temps).
Figure I -1 : Type d’écoulement et variabilité spatio-temporelle. a) variabilité dans le temps ; b) variabilité dans l’espace
I – 2 Eléments géométriques et hydrauliques d’un canal

Dans une coupe perpendiculaire au sens de l’écoulement de l’eau, on définit les termes suivants :
• Surface ou section mouillée S : c’est l’aire occupée par l’eau dans une coupe
perpendiculaire à la direction de l’eau.
• Périmètre mouillé P : c’est la longueur de la ligne de contact entre l’eau et les parois dans
un plan perpendiculaire à la direction de l’eau.
• Rayon hydraulique RH : c’est le quotient S/P. Pour une section circulaire de diamètre D,
RH = D/4.
• Diamètre hydraulique DH : DH = 4 x RH
• Hauteur d'eau ou tirant d'eau ou profondeur d'eau y : c'est la distance verticale entre la
surface libre et le fond du canal (le point le plus bas).
• Largeur en gueule ou largeur en miroir ou largeur au plan d’eau l : c'est la largeur de la
surface libre dans la section mouillée.
• Profondeur moyenne ym : c'est le rapport S/l.
• Largeur moyenne lm : c'est le rapport S/y.
• Profondeur du centre de gravité yG : c'est la distance verticale entre la surface libre et le
centre de gravité de la section mouillée.
Figure I – 2 : Coupe transversale d'un écoulement à surface libre et définitions
• Revanche r : c'est la distance verticale entre le plan d’eau et les berges. Elle varie en
fonction du type de canal et est comprise entre 0.1 m à 1.5 m pour les petits canaux à
grands canaux. La formule de Lacet permet de déterminer sa valeur pour les grands
canaux ou Q est le débit en m3/s et r la revanche en m.
𝑟 = 0.20 + 0.15 × 𝑄1/3
• Fruit du talus ou des berges m : c'est le rapport entre la projection horizontale et la

projection verticale entre les berges : m = cotg. Si le canal n’est pas revêtu, m doit être
choisi en fonction de la nature des berges, ceci pour des raisons de stabilité de la pente.
• Risberne : elle sert à entretenir le canal.
• Cavaliers : ils servent à protéger le canal et de voie de circulation pour certains engins.
Quand l’écoulement vient par derrière, la rive gauche se situe à gauche et la rive droite à droite.
Figure I – 3 : Profil en travers d’un canal trapézoïdal et définition des termes techniques.
I – 3 Débit – vitesses dans une section du canal

Le débit est le volume d’eau qui traverse une section droite par unité de temps. Il sera noté Q pour
Q
le reste du cours. La vitesse moyenne U est le rapport du débit par la section mouillée : U = .
S
La vitesse n’est pas constante dans toute la section S. Elle est nulle à la paroi et maximale au tiers
environ de la profondeur. Avec un flotteur sur le plan d’eau, on détermine la vitesse moyenne
connaissant la vitesse maximale : 𝑈 = 0.82 𝑉𝑚𝑎𝑥 (formule de Prony).
Dans une section, le lieu des points d'égaie vitesse est appelé isodrome ou isotache.
Type de section S P RH l ym lm yG
b×y y
by b +2 y b y b
b +2 y 2
(
y × b +my ) (
y × b + my ) b + 2 my
(
y × b + my ) b + my
y 3b +2my
b +2 y 1+m² 6 b +my
b +2 y 1+m2 b + 2my
𝑫 𝟒 𝒔𝒊𝒏
𝟐 𝟑 𝜽 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽
[
𝑫 𝜽 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝑫 𝜽 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽
D2 D 𝑫 𝜽 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝜽
(- sin) 
𝟑𝜽
𝑫 𝒔𝒊𝒏 ( ) 𝟖 𝒔𝒊𝒏 (𝜽) 𝟒 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 (𝜽)
𝟐
8 2 𝟒 𝜽 𝟐 𝟐 𝟐
− 𝒄𝒐𝒔 ]
𝜽
𝟐
Les vitesses se mesurent à l'aide d'un moulinet dont l'axe doit être placé dans la direction de
l'écoulement. On obtient une équation de la forme : V = a n + b où a et b sont des coefficients
propres du moulinet et n la vitesse de rotation obtenue avec un compte tour et un chronomètre.
I – 4 Vitesses limites et forces tractrices

I – 4.1 Vitesse minimale
Elle permet d’éviter le dépôt des matières en suspension dans le canal. Elle est fournie par la
formule de Kennedy :
Umin = e × y0.64 Où y est la profondeur en (m), e un coefficient dépendant des matériaux transportés
et Umin en [m/s]. Le tableau I – 2 donne les valeurs de e pour différents types de matériaux.
Matériaux e
Limons et sables très fins 0.40
Sables très fins 0.50
Sables moyens 0.63
sables grossiers 0.90
Tableau I – 2 : Valeurs du coefficient e de la formule de Kennedy
I – 4.2 Vitesse maximale

Elle permet d’éviter l’affouillement ou l’érosion du canal surtout s’il n’est pas revêtu. Elle est
fonction de la profondeur et de la nature des matériaux transportés.
I – 4.3 Forces tractrices

Une alternative pour le dimensionnement des canaux contre l’affouillement consiste en l’approche
par les forces tractrices.
Dans un canal infiniment large, la force tractrice au fond est :  = g y I (eau claire ou eau propre)
Pour un canal trapézoïdal on a :
- Force tractrice au fond : M = KM x 
- Force tractrice des berges : ’M = K’M x 
Les valeurs de KM et K’M sont fournies par des tableaux.
Lors de la traction des matériaux, ces derniers produisent une résistance.

❖ Pour les matériaux grossiers
- Au fond du canal, la résistance est : 0 [N/m²] = 0.8 g d75 [cm] = 7.848 x d75
Où d75 est le diamètre auquel correspond, dans la courbe de composition granulométrique, 75 %,
en poids, de matériaux de diamètre inférieur.
❖ Pour les matériaux fins et moyens
𝜏0 𝑑 𝜏0 𝑑
= 𝜏 ∗ 𝑜ù 𝜏 ∗ = 𝑓(𝑅𝑒 ∗ ) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑅𝑒 ∗ = 𝑢∗ = √ ×
𝑑 (𝛾𝑠 − 𝛾)  𝜌 
d (m) est le diamètre moyen,  la viscosité de l’eau et u* la vitesse de frottement près du fond.
- Sur les berges, la résistance est : ’0 = K x 0
tan² ∅ 1
K est fonction de l’angle au repos, du fruit des berges : 𝐾 = cos ∅ √1 − tan² 𝜓
𝑒𝑡 tan ∅ = 𝑚
Si la force de traction est supérieure à la résistance, il y a érosion, sinon il y a stabilité du canal.
La vitesse critique (matériau non cohérent et uniforme) est fournie par l’équation de Neil :
2
𝑈𝑐𝑟𝑖𝑡 −4
𝑑 −1/5
𝛾 = 2.5 10 ( ) 𝑜ù 𝑈 𝑒𝑛 [𝑚/𝑠] ; 𝑑 𝑒𝑛 [𝑚𝑚] 𝑒𝑡 ℎ 𝑒𝑛 [𝑚]
( 𝛾𝑠 − 1) 𝑑 ℎ
Exercice d’application II – 1 : Déterminer la pente maximum que l’on peut donner à un canal de
section trapézoïdale dont la largeur du fond est b = 8 [m], la profondeur y = 2 [m] et le fruit des
berges m = 1,5. Le canal est constitué de matériaux grossiers moyens anguleux de diamètre d75 = 15
[mm].
Eléments de réponse :
Force tractrice exercée par l’eau sur les matériaux : = g y I = 19 620 I N/m²
- Force tractrice au fond : M = KM x  = 0.97 x 19620 I = 19 034 I N/m²
- Force tractrice des berges :’M = K’M x  = 0.75 x 19620 I = 14 715 I N/m²
Calcul des forces de résistance

- Au fond du canal, la résistance est :  0 = 0.8 g d75 = 0.8 x 9.81 x 1.5 = 11.77 N/m²
1 1
tan ∅ =  ∅ = 𝐴𝑟𝑡𝑎𝑛 ( ) = 33.69°
𝑚 𝑚
Sur l’abaque, on lit 𝜓= 35°
1
𝐾 = cos 33.69° √1 − = 0.254
m² x tan² 35
- Sur les berges, la résistance est : ’0 = K x  0 = 3.00 N/m²
- Stabilité du fond du canal : 19034 I < 11.77  I < 6.19 10-4
- Stabilité des berges du canal : 14715 I < 3.00  I < 2.04 10-4
La pente maximum du canal : Imax = 2 10-4
I – 5 Régime d’écoulement
Le régime d’écoulement est fonction des effets de la viscosité (frottement interne du liquide), des
effets de la gravité (poids du liquide) comparés aux effets dynamiques (forces d’inertie).
I – 5.1 Effets de la viscosité

Le rapport force d’inertie sur force de viscosité détermine la nature de l’écoulement. Si ce rapport
est très grand, la viscosité n’entre pas en jeu. On dit que l’écoulement est turbulent. Le nombre de
Reynolds exprime l’ordre de grandeur de ce rapport.
DH ×U
Re = .
v
Si Re > 106, l’écoulement est turbulent. C’est généralement le cas en hydraulique à surface libre.
L’écoulement est laminaire si Re < 2000.
I – 5.2 Effets de la gravité

L’effet de la gravité est représenté par le nombre de Froude. Ce nombre donne l’ordre de grandeur
du rapport force d’inertie sur force de gravité :
U
Fr =
g × ym
g × ym représente la vitesse de perturbations des petites ondes.
Si Fr = 1, on dit que l’écoulement est critique
Si Fr < 1, l’écoulement est subcritique ou écoulement fluvial
Si Fr > 1, l’écoulement est supercritique ou écoulement torrentiel.
Dans un écoulement torrentiel, les petites perturbations, ne peuvent pas remonter le courant d’eau
tandis que dans le cas d’un écoulement fluvial les perturbations remontent le courant.
❖ Revêtement des canaux

Le revêtement des canaux a pour objectifs :
- Eviter l’érosion
- Limiter les pertes par infiltration (imperméabilisation du canal)
- Limiter les coûts d’entretien
- Diminuer la rugosité
- Stabiliser les berges
- Augmenter le débit.
Une étude économique est souvent nécessaire pour comparer le coût du revêtement au gain qu'il
produit.
❖ Matériaux de revêtement
Le revêtement des canaux peut se fait avec des matériaux suivants :
- Matelas de gabions
- Enrochement
- Maçonnerie
Si le fruit des berges est > 3/2, on n’a pas besoin du coffrage lors de la réalisation.
❖ Stabilité du revêtement
La stabilité du revêtement est à étudier en fonction de la nature du terrain et du type de
revêtement. Il faut étudier la stabilité des fondations, la stabilité des profils en travers par rapport
aux phénomènes de sous-pressions. S’il y a phénomène de sous-pression, on met les barbacanes
pour dissiper cette pression.
Exercices non résolus
Exercice I – 2 : Déterminer la pente maximum que l’on peut donner à un canal de section
triangulaire dont la profondeur d’eau est y = 1[m] et le fruit des berges est m = 2. Le canal est
constitué de matériau grossier, très anguleux de diamètre d75 = 30 [mm].
Exercice I – 3 : Un canal en terre doit transporter un débit d’eau propre de Q = 30 [m 3/s] à une
température moyenne de 25°C. La pente de fond I = 1‰ est prévu. On admet que la pente des
talus des berges est m = 1,5. L’analyse granulométrique a donné : d50 = 35 [mm],  = 35°, ds = 2.65
et n = 0.02 [m-1/3 s]. Quelles seront les dimensions qui ne doivent pas éroder ni le fond, ni les berges.
Exercice I – 4 : Dans un canal trapézoïdal en terre avec un granulat de d50 = 2 [mm], la profondeur
d’eau est de yn = 3 [m] et la largeur du fond de b = 4 [m]. La pente de fond est de I = 1 ‰ et les
berges en pierre de taille sont inclinées à 45°. Déterminer la vitesse moyenne U et le débit
transitant dans ce canal. Contrôler si le fond sera érodible. Peut-on s’attendre à des ondulations du
lit ?
Exercice I – 5 : Un très large canal en terre a une pente de fond I = 10 -4. A quelle profondeur d’eau,
h, le granulat de quartz, d50 = 3 [mm], commence –t-il à être déplacé ? Quelle est la vitesse moyenne
U [m/s] correspondant à cette condition critique ?
Exercice I – 6 : On envisage la construction d’un canal non érodible de section stable idéale. La
pente de fond est de I = 1 ‰. Une analyse granulométrique a donné : s/= 2.65, d50 = 6.5 [mm] et
un angle de repos de  = 30°. Déterminer les dimensions du canal, la vitesse moyenne et la vitesse
critique pour chacune des valeurs de débits suivants : Q1 = 1.5 [m3/s] et Q2 = 4 [m3/s].
Chapitre II : Ecoulement uniforme
II – Ecoulement uniforme ................................................................................................................................. 14
II – 1 Définition - Propriétés .......................................................................................................................... 14
II – 2 Pression et charge dans une section.................................................................................................... 14
II – 2.1 Pression hydrostatique .................................................................................................................. 14
II – 2.2 Charge Hydraulique ...................................................................................................................... 14
II – 2.3 Charge moyenne et charge spécifique ......................................................................................... 15
II – 3 Equation de mouvement ...................................................................................................................... 15
II – 3.1 Formule de Chezy .......................................................................................................................... 16
II – 3.2 Formule de Manning-Strickler ..................................................................................................... 16
II – 3.3 Choix de Ks ..................................................................................................................................... 17
II – 3.4 Calcul de Ks pour des sections composées ................................................................................. 17
II – 4 Calcul de l’écoulement uniforme ........................................................................................................ 18
II – 4.1 Calcul de la profondeur normale ou d’un paramètre du canal ............................................... 18
II – 4.2 Dimensionnement des canaux avec la section hydrauliquement favorable .......................... 20
II – 4.2.1 Calcul de la section hydrauliquement favorable ................................................................ 20
II – 4.2.2 Calcul d’une section avec une vitesse limite imposée ........................................................ 21
II – 4.2.3 Calcul d’une section avec une pente limite.......................................................................... 22
II – 4.2.4 Calcul d’une section avec une pente limite et b ou y imposé ........................................... 23
L'erreur ne devient pas vérité parce qu'elle se propage et se multiplie ; la vérité ne devient pas erreur parce que nul ne la voit. Page 13
II – Ecoulement uniforme
II – 1 Définition - Propriétés
Un écoulement est dit uniforme si les filets liquides sont rectilignes, parallèles entre eux et
parallèles aux parois. En d’autres termes, on parle d’écoulement uniforme lorsque les paramètres
qui caractérisent l’écoulement restent invariables dans les différentes sections du chenal.
Conséquences
- La vitesse est constante le long d’un filet ;
- La section mouillée est constante ;
- La vitesse moyenne U ne change pas d’une section à une autre ;
- La répartition de pression est hydrostatique dans une section ;
- Les pentes de la surface libre, de la ligne d’énergie et du fond du canal sont égales.
On le rencontre aussi dans les tronçons rectilignes des cours d’eau assimilables à des canaux
prismatiques.
II – 2 Pression et charge dans une section

II – 2.1 Pression hydrostatique
La distribution des pressions est hydrostatique si
l’écoulement est quasi-rectiligne et quasiparallèle
(pas d’accélération dans le plan de la section
mouillée). Cela suppose que le canal soit prismatique
ou assimilable à un prisme. La pression en un point
courant M (figure ci-contre) est donnée par la
relation suivante :
PM = P0 + g hM avec hM = yM cos
En passant à des pressions relatives on obtient : PM = g yM cos
II – 2.2 Charge Hydraulique

La charge hydraulique HM au point M est fournie par la relation suivante :
𝑷𝑴 𝑽𝟐𝑴
𝑯𝑴 = + 𝒁𝑴 + (𝟐. 𝟏)
𝝆𝒈 𝟐𝒈
La distribution des pressions est hydrostatique, on a :
𝑷𝑴 𝑷𝒇
+ 𝒁𝑴 = + 𝒁𝒇 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑷𝒇 = 𝝆 𝒈 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝝆𝒈 𝝆𝒈
𝑽𝟐𝑴
𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑯𝑴 = 𝒁𝒇 + 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝜽 +
𝟐𝒈
La cote ou ligne piézométrique est définie se definie comme suit : ZP = Zf + y cos θ

La cote de la surface libre est donnée quant à elle par la relation suivante : ZPL = Zf + y/ cos θ
II – 2.3 Charge moyenne et charge spécifique
La charge moyenne est le flux d’énergie qui traverse la section rapporté au débit correspondant :
1
H= ∫ H dQ avec Q = U S et dQ = VM dS
Q S M
2
1 VM
H= ∫ (Zf + y cos θ + ) VM dS
US 2g
s
1 1 3
H= ∫ (Zf + y cos θ) VM dS + ∫ VM dS
US 2gUS
s S
U2 1
H = Zf + y cosθ + [ ∫ V 3 dS]
2 g U3 S S M
U2 1 3
H = Zf + y cosθ + α
avec α = [ 3 ∫ VM dS]
2g U S S
 est appelé coefficient de coriollis ou coefficient d’énergie cinétique. Il tient compte de la
répartition des vitesses dans la section.  est toujours supérieur à 1. L’expérience montre que 
varie de 1.06 à 1.36 pour des canaux prismatiques courants. Plus la section est grande, plus  est
faible. On prendra  = 1 dans la suite du cours et cos= 1.
𝑼𝟐
Dans la suite, on considère que la charge moyenne est : 𝑯 = 𝒁𝒇 + 𝒚 + 𝟐𝒈
(𝟐. 𝟐)
La charge spécifique HS dans la section d’un canal est la charge hydraulique mesurée par rapport
au fond du canal.
𝑼𝟐
𝑯𝑺 = 𝑯 − 𝒁𝒇 = 𝒚 + (𝟐. 𝟑)
𝟐𝒈
II – 3 Equation de mouvement
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒒𝒅𝒎𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒕 − 𝒒𝒅𝒎𝒔𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕 = 𝟎
Du fait que l’écoulement est uniforme.
∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑭𝒆𝒙𝒕 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒇 = ⃗𝟎
⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗
𝑭𝑷 + 𝑴𝒈
Projection des forces de pression FP sur l’axe (Ox) :
𝜕 𝜕 (𝑆 𝑦𝐺 )
𝜌 𝑔 𝑆 𝑦𝐺 − (𝜌 𝑔 𝑆 𝑦𝐺 + (𝜌 𝑔 𝑆 𝑦𝐺 ) 𝑑𝑥 ) = − 𝜌 𝑔 =0
𝜕𝑥 𝜕𝑥
Car l’écoulement est uniforme, donc la section S et yG ne dépendent pas de x.
Projection des forces volumiques suivant l’axe (Ox) :

𝑀 𝑔 sin 𝜃 = 𝜌 𝑔 𝑆 𝑑𝑥 sin 𝜃
sin 𝜃 = 𝜃 = tan 𝜃 = 𝐼 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝜌 𝑔 𝑆 𝐼 𝑑𝑥
Projection des forces de frottement suivant l’axe (Ox) :
− 𝜏 𝑃 𝑑𝑥
On obtient finallement :
𝑆
𝜌 𝑔 𝑆 𝐼 𝑑𝑥 − 𝜏 𝑃 𝑑𝑥 = 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝜏 = 𝜌 𝑔 𝐼 = 𝜌 𝑔 𝑅𝐻 𝐼
𝑃
𝜏 = 𝜌 𝑔 𝑅𝐻 𝐼 = 𝜌 𝑔 𝑅𝐻 𝐽 car I = J pour un écoulement uniforme.
II – 3.1 Formule de Chezy

Chezy fût le premier à poser que le frottement à la paroi était proportionnel au carré de la vitesse
moyenne :
𝑈²
𝜏= 𝜌𝑔
𝐶²
La combinaison de cette relation combinée avec la formule ci-dessus nous conduit à :
𝑼 = 𝑪 √𝑹𝑯 𝑰 (𝟐. 𝟒)
où C est le coefficient de Chezy. Il tient compte de la rugosité du canal, de sa forme et des
conditions d'écoulement.
Il existe de nombreuses formules empiriques ou semi-empiriques qui dérivent de la formule de

Chezy en adpotant des expressions plus ou moins complexes du coefficient C (Bazin, Kutter,
Manning-Strickler). Dans la suite du cours, seules les formules de Chezy ou de Manning seront
utilisées.
II – 3.2 Formule de Manning-Strickler

Manning et Strickler ont une formulation simple du Coefficient de Chézy qui s'exprime dans le
système SI par les équations ci-dessus qui ne diffèrent que par la notation :
1 1/6
𝐶= 𝑛
𝑅𝐻 (Manning)
1/6
𝐶 = 𝐾𝑆 𝑅𝐻 (Strickler)
Où n est le coefficient de Manning et Ks celui de Strickler.
Ces deux formules sont donc identiques et leurs substitutions dans la formule de Chezy donnent la
vitesse moyenne U (équation 2-5) et le débit Q (équation 2-6) en fonction de la rugosité Ks, du
rayon hydraulique RH (section S divisée par périmètre mouillé P) et de la pente du canal I.
2/3
𝑈 = 𝐾𝑆 𝑅𝐻 √𝐼
𝟐/𝟑 𝑺𝟓/𝟑
𝑸 = 𝑲𝑺 𝑺 𝑹𝑯 √𝑰 = 𝑲𝑺 √𝑰 (𝟐. 𝟓)
𝑷𝟐/𝟑
Le coefficient KS a la dimension L1/3 T-1. Les valeurs qui sont données dans les tables correspondent
au Système International [m 1/3/s]. On trouve des valeurs de Ks allant de 100 (parois très lisses) à 15
(parois très irrégulières) et il faut remarquer que plus la paroi est rugueuse, plus KS est faible.
II – 3.3 Choix de Ks
Connaissant la nature des parois du canal, le choix se fait en se référant aux tables donnant la
valeur à adopter pour différents types de matériaux.
Si l’on connaît le débit, la pente, la section mouillée et le périmètre mouillée à partir d’un jaugeage,
on peut estimer Ks dans un bief. On fera ensuite des interpolations ou des extrapolations.
Pour les matériaux non cohérents, la rugosité est fonction du diamètre moyen des particules et
elle est donnée par les formules suivantes dans le système d’unités SI :
R H 1/6
K S = 26 ( )
d35
1
n= = 0.041 (d50 )1/6
KS
1
n= = 0.038 (d90 )1/6
KS
Le diamètre des grains d, est obtenu à partir de la courbe grandométrique. La notation signifie que
X % en poids des grains ont un diamètre inférieur à dX.
II – 3.4 Calcul de Ks pour des sections composées

La section mouillée peut être composée de N sous-sections avec une rugosité propre à chacune
d'elles. C'est le cas par exemple d'un cours d'eau en crue avec un lit mineur et un champs
d'inondation (lit majeur). C’est également le cas d'un canal avec des parois latérales différentes de
celles du fond.
Si les vitesses moyennes Ui dans les sous-sections i sont identiques et égales à la vitesse moyenne
dans la section, on peut calculer une rugosité équivalente de la section (Formule Einstein) :
𝟐
𝟑
∑ 𝑷𝒊
𝑲𝑺 = (𝟐. 𝟔)
𝑷𝒊
∑ 𝟑/𝟐
[ 𝑲𝑺𝒊 ]
Dans de telle situation, la rugosité équivalente varie en fonction de la profondeur d’eau y.
Si la vitesse moyenne Ui dans les sous-sections sont différentes, la formule de Manning-Strickler

peut être appliquée séparément à chaque sous-section pour calculer son débit.
Q = ∑ Qi
5/3
Si
Q i = K Si
2/3 √I
Pi
Exercice d’application II – 1: Calculer pour les différentes profondeurs d’eau, la rugosité
équivalente d’un canal rectangulaire de largeur b = 2 [m] si la rugosité du fond est Ks 1 = 50 et celle
des parois verticales est Ks2 = 70. y1 = 0.5 [m] ; y2 = 1 [m] et y3 = 1.5 [m].
Réponse : Kseq1 = 54.95 [m1/3/s] ; Kseq2 = 57.93 [m1/3/s] ; Kseq3 = 59.92 [m1/3/s]
II – 4 Calcul de l’écoulement uniforme
La formule de Manning-Strickler, associée à la définition de la vitesse moyenne U sera choisie
pour la suite des calculs :
2/3
𝑈 = 𝐾𝑆 𝑅𝐻 √𝐼 et Q = U S
Les paramètres à calculer avec ces équations sont de 4 types :
- paramètres géométriques : rayon hydraulique RH (y) et surface mouillée S (y) qui sont des
fonctions de la profondeur d’eau y ;
- paramètres hydrauliques : vitesse moyenne U et débit Q ;
- paramètre de rugosité : coefficient de Strickler Ks ;
- paramètre de pose : pente du canal I.
Il n’existe pas d’écoulement uniforme si la pente du canal est nulle ou si elle est négative. Le seul
cas où il peut exister est si la pente est positive.
II – 4.1 Calcul de la profondeur normale ou d’un paramètre du canal

La profondeur normale est celle qui correspond à un écoulement uniforme. Pour son calcul, on
utilise l’une des méthodes ci-après :
- Méthode graphique : elle consiste à tracer point par point la débitance du canal en fonction
𝑄
de y. On porte en ordonnée la valeur connue de 𝐼 et on lit la valeur recherchée de yn ;
√
- Des méthodes numériques de résolution de fonction implicite de y ou tout simplement
utiliser la fonction SOLVEUR d’EXCEL
Exercice d’application II – 2 : On veut écouler un débit de 15 [m3/s] dans un canal traperzoïdal de

Ks = 60 [m1/3/s], de pente 0.0025 et dont les berges ont pour fruit m = 0,35. Déterminer la
profondeur normale si la largeur du canal est 6 [m].
Méthode graphique :
330
300
270
240
Débitance : Ks S RH 2/3
210
180
150
120
90
60
30
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
profondeur d'eau : y
Q 15
- Calculer le rapport = = 300
√I √0.0025
2/3 [y (b+my)]5/3
- Tracer point par point en fonction de y la débitance : K S S R H = K S 2/3
[b+2y √1+m²]
- Placer sur l’ordonnée la valeur 300 et lire sur la courbe la valeur de yn recherchée.
- On lit sur la courbe yn = 0.95 [m]
Méthode numérique :
- A l’aide du Solveur d’EXCEL, on trouve yn = 0.954 [m]
Cas des conduites circulaires
Dans le cas de la section circulaire, on peut utiliser, dans quelques cas particuliers de taux de
remplissage y/D, les formules approchées du tableau ci-après :
Taux de Angle
Formule approchée du débit
remplissage y/D mouillé 
1 360° Q P = 0.312 K S √I D8/3
0.95 308° Q max = 0.327 K S √I D8/3
0.83 262.6° Q P = 0.312 K S √I D8/3
0.75 240° Q 0.75P = 0.284 K S √I D8/3
0.50 180° Q 0.50P = 0.151 K S √I D8/3
0.45 168.5° Q 0.45P = 0.130 K S √I D8/3
Exercice d’application II – 3 : Une conduite circulaire de diamètre D = [1.2] m est posée avec une
pente I = 0.5‰. Le coefficient de Strickler est de 75 [m1/3/s].
(i) Pour un débit Q = 400 [l/s], quelle sera la profondeur d’écoulement ?
(ii) Quel sera le débit si le taux de remplissage est de 85 % ?
(iii) Avec ce débit, à quelle pente faudrait-il la poser pour avoir un remplissage de 72 % ?
3/5
Q 213/3
(i) Caculer d’abord  (rd) à partir de la relation suivante θ = sin θ + θ2/5 ( 8/3 ) puis
KS √I D
D θ
déterminer yn : yn = 2
(1 − cos 2) ; On obtient  = 3.072 [rd] et yn = 0.58 [m].
autre méthode : calculer QP (QP = 851 [l/s]) et le rapport Q/QP (400/851 = 0.47). En projettant
cette valeur sur l’abaque, on lit y/D = 0.48 soit yn = 1.2 x 0.48 = 0.576 [m].
y
(ii) Caculer d’abord (rd) à partir de la relation suivante θ = 2 Ar cos (1 − 2 D) puis déterminer
D8/3 (θ− sin θ)5/3
Q : Q = K S √I 213/3 θ2/3
; On obtient  = 4.692 [rd] et Q = 875 [l/s].
autre méthode : en projettant le rapport y/D = 0.85 sur l’abaque, on lit Q/QP = 1.025. soit Q =
1.025 x QP = 1.025 x 851 = 872 [l/s]).
y
(iii) Caculer d’abord (rd) à partir de la relation suivante θ = 2 Ar cos (1 − 2 D) puis déterminer
Q2 226/3 θ4/3
I : I = K2 D16/3 (θ− sin θ)10/3 ; On obtient  = 4.053 [rd] et I = 0.0007.
S
autre méthode : en projettant le rapport y/D = 0.72 sur l’abaque, on lit Q/QP = 0.875 ; soit QP
= 1000 [l/s]. On déterminera I à partir de la relation Q P = 0.312 K S √I D8/3 : I = 7.05 10-4.
On démontre et on admet que pour tout yn/D <= 50% ou qn < = 0.151, on a :
𝑸 𝒚𝒏 𝟐 𝟕 𝒚𝒏 𝟐
𝒒𝑵 = = 𝟎. 𝟕𝟑𝟖 ( ) (𝟏 − × ( ) )
𝑲𝒔 × 𝑫𝟖/𝟑 × √𝑰 𝑫 𝟏𝟐 𝑫
𝒚𝒏 𝟏/𝟐
= 𝟎. 𝟗𝟑𝟓 × (𝟏 − √𝟏 − 𝟑. 𝟏𝟏𝟏 × 𝒒𝑵 )
𝑫
On démontre et on admet que pour 50 < yn/D <= 95% ou 0.151< qn < = 0.327, on a :
𝑸 𝒚𝒏 𝟐 𝟕 𝒚𝒏 𝟐
𝒒𝑵 = = 𝟎. 𝟕𝟓 ( ) (𝟏 − × ( ) )
𝑲𝒔 × 𝑫𝟖/𝟑 × √𝑰 𝑫 𝟏𝟐 𝑫
𝒚𝒏 𝟏/𝟐
= 𝟎. 𝟗𝟏𝟖 × (𝟏 − √𝟏 − 𝟑. 𝟏𝟏𝟏 × 𝒒𝑵 )
𝑫
II – 4.2 Dimensionnement des canaux avec la section hydrauliquement favorable
Pour qu’une section soit hydrauliquement favorable (section économique), il faut simultanément
minimiser les deux grandeurs qui entrent dans le coût pour un débit et une pente donnés. Ces
deux paramètres sont : la section mouillée et le périmètre mouillé.
Propriétés de la section hydrauliquement favorable

- U est maximale pour I et Q donnés ;
- Q est maximal pour S et I fixés ; I est minimale pour S et Q fixés
On démontre que de toutes les formes géométriques ayant la même section, la forme circulaire a le
plus petit périmètre mouillé. Pour une forme trapézoïdale, la section hydrauliquement favorable
est caractérisée par le rapport y/b = f(m).
II – 4.2.1 Calcul de la section hydrauliquement favorable

Minimiser la section S et le périmètre mouillé P, qui sont tous les deux fonctions de la profondeur
d’eau y et de la largeur b, revient à annuler les différentielles totales exactes (y et b variant).
S = y (b + my) et P = b + 2y√1 + m²
dS = (b + 2my) dy + y db = 0
{
dP = 2 √1 + m² dy + db = 0
Ce système admet une solution non triviale si et seulement si le déterminant associé est nul.
b + 2my y
| |=0
2 √1 + m² 1
b + 2my − 2y√1 + m² = 0
b = 2y (√1 + m² − m)
Posons pour la suite des calculs :  = 𝟐√𝟏 + 𝒎² − 𝒎

La substitution de ces relations dans les expressions de la section, du périmètre mouillé et du
rayon hydraulique en fonction de y et b, conduit à :
𝒚
𝑺 = 𝒚𝟐 ; 𝑷 = 𝟐𝒚 ; 𝑹𝑯 = (𝟐. 𝟕)
𝟐
𝑲𝑺 √𝑰 𝒚𝟖/𝟑 𝑲𝑺 √𝑰 𝒚𝟐/𝟑
𝑸= ; 𝑼= (𝟐. 𝟖)
𝟐𝟐/𝟑 𝟐𝟐/𝟑
Exercice d’application II – 4 : On veut écouler un débit de 12 [m3/s] par un canal trapézoïdal (Ks =
50 [m1/3/s]) de pente 3‰ et de fruit de berges (1/4). Calculer les dimensions du canal pour que S et
P soient minimaux. Quelle sera alors la vitesse moyenne dans le canal.
Eléments de réponse : S et P étant minimaux, la section est hydrauliquement favorable. On a :
 = 2 √1 + m² − m = 2√1 + 0.25² − 0.25 = 1.812

3/8 2
√ Q 2 = 1.66 [m] et b = 2.59 [m]
3
y=
 K S √I
Pour une meilleure mise en œuvre du canal, on retiendra b = 2.60 m et y devient : y = 1.65 [m]
La vitesse moyenne U devient : U = 2.42 [m/s]
NB : Le trapèze de section mouillée minimum ne constitue pas toujours la section la plus

économique. D’abord, elle ne donne, à coup sûr un déblai, un volume minimum que si la surface
de terrain où il est creusé est horizontale ou subhorizontale. Même si le terrain est horizontal, on
doit tenir compte des éléments suivants :
- La profondeur du canal doit être limitée ;
- Dans un canal non revêtu, les infiltrations croissent en fonction de la profondeur ;
- Le coût d’entretien.
Il est donc préférable d’avoir un canal un peu moins profond, quitte à avoir un volume de déblai
élévé que la SHF. La vitesse doit être limitée afin d’éviter l’érosion.
II – 4.2.2 Calcul d’une section avec une vitesse limite imposée

Etant donnés Q, I, Ks et m, on veut déterminer y et b avec une vitesse qui ne dépasse par la vitesse
d’érosion notée Umax. Partant de cette vitesse, on introduit une relation entre la surface S et le rayon
hydraulique RH complétant la formule de Manning-Strickler pour la détermination de y et de b :
3
Q U 2
U = Umax ; S= et RH = ( )
U K S √I
y (b + my) = S 𝑆
{ S soit 𝑏 = 𝑅 − 2 𝑦√1 + 𝑚²
b + 2 y√1 + m² = R 𝐻
H
𝑆
𝑦 [( − 2 𝑦√1 + 𝑚²) + 𝑚𝑦] = 𝑆
𝑅𝐻
𝑆
(2 √1 + 𝑚² − 𝑚) 𝑦 2 − 𝑦+𝑆=0
𝑅𝐻
S 2
Le discriminant  est : ∆ = (R ) − 4  S
H
Si  < 0, pas de solutions. On diminue U et on recommence les calculs.
Si  = 0, il y a une seule solution. C’est la solution de la section hydrauliquement favorable :
S S  −m
y= et b =
2 R H RH 2 
Si  > 0, on a deux solutions mathématiques en y :
𝑺⁄𝑹𝑯 − √∆ 𝑺
𝒚𝟏 = 𝒆𝒕 𝒃𝟏 = − 𝟐 𝒚𝟏 √𝟏 + 𝒎²
𝟐 𝑹𝑯
𝑺⁄𝑹𝑯 + √∆ 𝑺
𝒚𝟐 = 𝒆𝒕 𝒃𝟐 = − 𝟐 𝒚𝟐 √𝟏 + 𝒎²
𝟐 𝑹𝑯
On doit en effet vérifier que b1 et b2 (correspondant respectivement à y1 et y2) restent positifs.
y2 vérifiera toujours cette condition mais il n'en est pas de même pour y l. Si y1 vérifie cette
condition, on aura deux solutions physiques. On devrait retenir la solution y1, b1 qui présente la
plus faible profondeur. C'est pourquoi que la méthode s'applique plus souvent à l'étude des
écoulements larges (endiguement de rivière par exemple). La solution à retenir devra être
physiquement réalisable (dimensions pas microscopiques ni gigantesques).
Exercice d’application II – 5 : Un canal trapézique doit transporter un débit Q = 2 [m3/s] avec une
vitesse maximale de 1 [m/s]. Le fruit des berges m = 2 et la rugosité Ks = 40 [m1/3/s]. La pente I = 0.5
‰. Quelles sont les dimensions (y et b) du canal.
3 3
Q 2 U 2 1 2
U = Umax = 1 [m/s] ; S = = = 2 [m2 ] ; RH = ( ) =( ) = 1.182 [m]
U 1 K S √I 40 √0.0005
 = 2 √1 + m2 − m = 2 √1 + 4 − 2 = 2.472
S 2 2 2
∆=( ) − 4S=( ) − 4 × 2.472 × 2 = −16.915 < 0
RH 1.182
Réduisons la vitesse maximale de 40%, soit U = Umax = 0.6 [m/s]
3 3
Q 2 U 2 0.6 2
Umax = 0.6 [m/s] ; S = = = 3.333 [m2 ] ; R H = ( ) =( ) = 0.55 [m]
U 0.6 K S √I 40 √0.0005
2
S 3.333 2
∆=( ) − 4S=( ) − 4 × 2.472 × 3.333 = 3.846 > 0
RH 0.55
S⁄R H − √∆
y1 = = 0.83 [m] et b1 = 2.353 [m]
2
S⁄R H + √∆
y2 = = 1.62 [m] et b2 = −1.19 m < 0
2
Pour la section hydrauliquement favorable, on trouve y =1.145 [m] et b = 0.54 [m] ; U = 0.62 [m/s].
On note que les variations de  sont lentes de part et d’autre de la valeur zéro. On ne doit pas
s’attendre à une réduction substantielle de la vitesse U en jouant uniquement sur les dimensions y
et b quand tous les autres paramètres sont fixés. Il faut jouer plutôt sur la pente pour diminuer ou
augmenter la vitesse. D’où l’intérêt du paragraphe suivant.
II – 4.2.3 Calcul d’une section et d’une pente avec une vitesse limite imposée
Lorsque l’on désire respecter une vitesse limite U, on est peut-être conduit à rechercher une pente
limite, soit pour limiter les dépôts soit pour éviter l’érosion.
U, Q, Ks et m étant fixés, à partir de la section hydrauliquement favorable on obtient :
Q = U S avec S = y 2 donc Q = U  y 2
Q
y=√ et b = y ( − m)
U
2
y 3
A partir de la formule de Manning-Strickler : U = K S (2) √I , on en déduit I :
8 2 4
U 3 3 23
I= 2
K 2S Q3
Exercice d’application II – 6 : Calculer la pente I, la largeur au radier b et la profondeur d’eau y

d’un canal trapézoïdal de section hydrauliquement favorable avec un fruit des berges m = l.5 pour
un débit Q=1.5 [m3/s], une vitesse maximale de U= 0.7 [m/s], et une rugosité Ks = 80 [m1/3/s].
 = 2 √1 + m2 − m = 2 √1 + 1.5² − 1.5 = 2.106
Q 1.5
y=√ =√ = 1.00 [m] ; b = y ( − m) = 0.61 [m]
U 0.7 × 2.106
8 2 4
U 3  3 23
I= 2 = 2 10−4
K 2S Q3
II – 4.2.4 Calcul d’une section et d’une pente limite si b ou y imposé

La définition du débit et de la section nous conduit à :
Q Q
S = = y (b + my) et b = − my
U yU
Q
m y2 + b y − = 0
U
Q
− b + √b 2 + 4 m U Q
y= si m ≠ 0 et y = si m = 0
2m bU
De la relation de Manning-Strickler, on tire I :
4
2 3
U b + 2 y √1 + m²
I= 2 [ ]
KS y (b + my)
Exercice d’application II – 7 : Calculer la pente I et la profondeur d’eau y d’un canal trapézoïdal de

largeur au miroir b = 1.5 [m] avec un fruit des berges m = l pour un débit Q = 2.0 [m3/s], une vitesse
maximale de U=0.8 [m/s], et une rugosité Ks = 100 [m1/3/s].
Q 2
− b + √b 2 + 4 m U − 1.5 + √1.52 + 4 × 1 × 0.8
y= = = 1.00 [m] ; I = 1.33 10−4
2m 2 ×1
Dimensions à donner aux canaux trapéziques

Le canal ayant à transporter un débit Q, il s’agit de réaliser une section et une pente répondant au
mieux les conditions suivantes :
(i) La largeur des emprises doit être réduite le plus possible ;
(ii) La profondeur la moins grande possible ;
(iii) La section la moins réduite possible pour minimiser les déblais ;
(iv) Le périmètre mouillé le plus faible possible ;
(v) La vitesse moyenne U ne doit pas être trop faible ni trop forte.
Dans un projet, on cherche généralement à satisfaire les conditions (iii) et (iv) (SHF) puis on
modifie les dimensions obtenues s’il y a lieu pour donner suite aux conditions (i) et (ii). La
condition (v) peut être satisfaire en modifiant la pente plutôt que les dimensions du canal.
Exercices corrigés :
Exercice II – 8 : Un égout circulaire doit transporter un débit de 150 [l/s] avec un coefficient de
remplissage < 75%. Sa pente de pose est de 1‰ et sa rugosité Ks = 75 [m1/3/s].
1) Choisir le diamètre de l’égout ? (diamètre normalisé)
2) Calculer la profondeur normale de l’écoulement ?
3) Calculer la vitesse moyenne de l’écoulement ?
Réponse : 1) D = 569 [mm] soit DN = 600 [mm] ; 2) yn = 0.4 [m] ; 3) U = 0.74 [m/s].
Exercice II – 9 : Un canal en béton (Ks = 70[m1/3/s]) de largeur au de fond b = 5 [m] et des talus de m
= 3 transporte un débit de 80 [m3/s]. La pente du canal I = 0.1%.
1) Quelle est la profondeur normale yn ?
2) Quel est la nature de l’écoulement (laminaire ou turbulent et fluvial ou torrentiel) ?
Réponse : 1) yn = 2.36 [m] ; 2a) Turbulent car Re = 1.61 107 ; 2b) Fluvial car Fr = 0.74 < 1.
Exercice II – 10 : Dans un canal en béton, l’écoulement uniforme à une profondeur normale

représentant 145 % de la profondeur critique. Le canal est rectangulaire avec une largeur b = 2 [m].
Une vitesse moyenne U = 1.5 [m/s] sera utilisée pour son dimensionnement.
1) Quelles sont les profondeurs normale et critique du canal ?
2) Quelle pente de fond faut-il prévoir pour cet écoulement ?
3) De quel type d’écoulement s’agit-il ?
Réponse : 1) yn = 0.70 [m] et yc = 0.48[ m] ; 2) I = 0.15% ; 3a) Turbulent car Re = 2.47 106 ; 3b) Fluvial car Fr = 0.57.
Exercice II – 11 : Une conduite circulaire posée sur une pente I = 0.5‰, transporte un débit Q = 490
[l/s]. Le coefficient de Strickler est de 80 [m1/3/s].
(i) Déterminer le diamètre de la conduite si le taux de remplissage est de 72.5%.
(ii) Calculer la vitesse d’écoulement dans cette conduite.
(iii) Quel sera le débit si l e taux de remplissage est de 85 % ?
(iv) Avec ce débit, à quelle pente faudrait-il la poser pour avoir un remplissage de 75 % ?
Réponse : i) D = 1.00 [m] ; ii) V = 0.80 [m/s] ; iii) Q = 0.572 [m3/s] ; iv) I = 6.33 10-3.

Exercice II – 12 : Un canal rectangulaire b = 5 [m] a un débit de 11.5 [m3/s] et une profondeur
normale de 0.85 [m]. Déterminer la rugosité n [m-1/3 s] de Manning si la pente est 2‰. Quelle est la
contrainte moy s’exerçant sur le périmètre mouillé.
Exercice II – 13 : Déterminer les dimensions d’un canal trapézoïdal, non revêtu, destiné à
transporter un débit de 15 [m3/s] d’eau propre. La pente du canal est de 0.25‰. Le fond et les talus
des berges sont constitués par un matériau (peu anguleux) de diamètre moyen 8 [mm] et de
diamètre caractéristique, d65 de 12 [mm].
Exercice II – 14 : Un canal trapézoïdal en béton relativement rugueux et avec une pente des talus
de m = 1.5 est prévu pour transporter un débit de 15 [m3/s] à une vitesse moyenne U = 1.1 [m].
Déterminer la largeur du fond, la profondeur d’eau et la pente pour une meilleure section
hydraulique.
Exercice II – 15 : Un canal trapézoïdal ayant un coefficient de rugosité Ks = 50 [m1/3/s] doit être
dimensionné pour une section de débit maximal. La largeur du fond est de b = 2 [m] et la pente des
berges de m = 2,5. La vitesse moyenne est fixée à U = 2.0 [m/s]. Déterminer la profondeur d’eau, le
débit et la pente de fond du canal.
Exercice II – 16 : Un canal trapézoïdal ayant un coefficient de rugosité de Strickler Ks = 40

[m1/3/s] doit être dimensionné pour une section économique. La largeur du fond est de b = 2.0 [m]
et le fruit des berges de m = 3. La vitesse moyenne est fixée à U = 1.5 [m/s]. Déterminer la géométrie
de cette section. Quels seront le débit Q et la pente du fond I.
Exercice II – 17 : Déterminer la pente maximum que l’on peut donner à un canal de section
triangulaire dont la profondeur d’eau y = 1.0 [m] et le fruit des berges m = 2. Le canal est constitué
de matériaux grossiers, très anguleux de diamètre d75 = 30 [mm].
Exercice II – 18 : Un écoulement dans un canal rectangulaire en béton a une profondeur normale 5

[m]. Le canal rectangulaire a une largeur b de 15 [m]. Le coefficient de Manning est n = 0.015 et la
pente du lit est I = 0, 05%. Déterminer la vitesse moyenne U, le nombre de Reynolds Re, et le débit
Q. Dans quel régime se trouve l’écoulement ? Quel est le diamètre équivalent d 90 associé à la
rugosité n de Manning ? On donne  = 10-6 [m²/s].
Exercice II – 19 : On considère un canal de section rectangulaire de largeur au radier b = 2.50 m,

construit en béton (Ks = 67 [m1/3/s]), posé à une pente I = 5‰.
1) Calculer le tirant d’eau 𝐲𝟎 s’il écoule son débit 𝐐 = 𝟐𝟔. 𝟐𝟐 𝐦𝟑 /𝐬 à plein bord de façon
uniforme.
2) Calculer la profondeur critique pour ce débit.
3) Le canal est modifié (figure ci-dessous) à présent pour écouler un débit plus grand que
celui du paragraphe précédent. On admet que le fruit de berges de la partie trapézoïdale
est prise égal à m = 1 et que la pente longitudinale I n’a pas changé.
4𝑚
𝑦
𝑦0
2.5 m
3-a) Calculer la rugosité équivalente à l’ensemble du dispositif, sachant que la rugosité de

l’extension est de 𝑲′ = 𝟏𝟎𝟎 et que la petite base de la partie trapézoïdale vaut 4.5 [m], en
admettant que l’écoulement dans le dispositif se fait à plein-bord.
3-b) Calculer le débit à plein-bord correspondant.
4) A présent, seulement 75% du débit calculé ci-dessus s’écoule dans le canal.

4-a) Calculer le tirant d’eau normal
4-b) Calculer le tirant d’eu critique
Chapitre III : Ecoulements graduellement variés
III – Ecoulements graduellement variés ........................................................................................................ 27
III – 1 Définition des écoulements variés ..................................................................................................... 27
III – 2 Charge moyenne et charge spécifique Hs ........................................................................................ 27
III – 2.1 Variation de Hs en fonction de y pour un débit Q donné ....................................................... 28
III – 2.2 Variation de Q en fonction de y pour une charge spécifique Hs donnée ............................. 28
III – 3 Régime critique..................................................................................................................................... 29
III – 3.1 Calcul de la profondeur critique ................................................................................................. 29
III – 3.2 Calcul de la pente .......................................................................................................................... 31
III – 3.3 Classification des canaux ............................................................................................................. 31
III – 4 Etude qualitative des courbes de remous ......................................................................................... 32
III – 4.1 Comportement de la profondeur d’eau aux limites................................................................. 34
III – 5 Méthode de calcul des courbes de remous ....................................................................................... 34
III – 5.1 Méthode d’intégration graphique .............................................................................................. 34
III – 5.2 Méthode d’intégration directe ..................................................................................................... 35
III – 5.2.1 Méthode de Bakhmeteff ........................................................................................................ 37
III – 5.3 Méthode itérative ou de différences finies ................................................................................ 39
III – 5.3.1 Méthode des pas directs ........................................................................................................ 39
Chacun a raison de son propre point de vue, mais il n'est pas impossible que tout le monde ait tort. Page 26
III – Ecoulements graduellement variés
III – 1 Définition des écoulements variés
Les écoulements variés se rencontrent dans les cours d’eau d’une rivière, dans les singularités des
canaux et dans les zones de transition d’un écoulement uniforme. Les écoulements variés peuvent
être permanents (dans une section rien ne varie dans le temps) mais d’une section à une autre la
profondeur d’eau, les pentes de la surface libre Isc, de la ligne d’énergie J, la section mouillée etc
varient contrairement à l’écoulement uniforme. Selon l’allure de cette variation, on distingue les
écoulements brusquement variés (variation rapide sur une courte distance) et les écoulements
graduellement variés (variation lente et continue).
Cas des écoulements graduellement variés

Dans le cas d’un écoulement graduellement varié, on a une variation lente et continue. On admet
les hypothèses suivantes dans le cas de ces types d’écoulements
- La courbure des lignes de courant est négligeable ;
- Les lignes de courant sont parallèles entre elles et perpendiculaires à toute section (la
répartition des pressions est hydrostatique dans chaque section) ;
- La pente de la ligne d’énergie J est donnée par la formule de Manning-Strickler :
𝐔𝟐 𝐝𝐇
𝐉= 𝟒/𝟑
;𝐉 = − (𝟑. 𝟏); ici J est différente I pente du canal
𝐊 𝟐𝐒 𝐑𝐇 𝐝𝐱
III – 2 Charge moyenne et charge spécifique Hs

Comme définié dans le chapitre 2, la charge est :
𝐔𝟐
𝐇 = 𝐙𝐟 + 𝐲 + (𝟑. 𝟐)
𝟐𝐠
La charge spécifique HS dans la section est la charge
hydraulique rapportée à la base de la section.
𝐔𝟐 𝐐𝟐
𝐇𝐒 = 𝐇 − 𝐙𝐟 = 𝐲 + =𝐲+ (𝟑. 𝟑)
𝟐𝐠 𝟐 𝐠 𝐒𝟐
H diminue dans le sens de l’écoulement. Il n’en est
pas de même pour la charge spécifique Hs :
dHS dH dZf
HS = H − Zf  = − = −J + I
dx dx dx
𝒅𝑯𝑺
= 𝑰−𝑱 (𝟑. 𝟒)
𝒅𝒙
On remarquera qu’en régime uniforme, la pente de la ligne d‘énergie J qui caractérise la perte
d’énergie par frottement est égale à la pente du fond du canal I et la pente de la ligne d’eau par
rapport au fond dy/dx est nulle. D’où la charge spécifique Hs est constante le long du canal comme
les autres variables hydrauliques et géométriques.
- Si I est supérieur à J, l’énergie cinétique croît donc la vitesse U, d’où la profondeur d’eau y
diminue.
- Si I est inférieur à J, l’énergie cinétique diminue donc la vitesse U, d’où la profondeur d’eau
y augmente.
III – 2.1 Variation de Hs en fonction de y pour un débit Q donné
L’équation de la charge spécifique Hs définit, pour une section donnée, un rapport entre Hs, y et Q
valable pour n’importe quel type d’écoulement.
.
𝑸𝟐
𝑯𝑺 = 𝒚 +
𝟐 𝒈 𝑺²(𝒚)
Si y → 0 alors S (y) → 0 et HS → ∞
Si y → ∞ alors S (y) → ∞ et HS → ∞ et a
pour asymptote la 1ère bissectrice.
On voit que le même débit Q, avec la même

charge spécifique Hs, peut s’écouler sous
deux profondeurs différentes y1
correspondant au régime torrentiel et y2
correspondant au régime fluvial.
dHS Q2 dS
=1−
dy g S 3 dy
dHS Q2 l
=1− = 1 − Fr2
dy g S3
La courbe admet un minimum pour une valeur de la profondeur appelée profondeur critique yc et
qui est la solution de l’équation ci-dessous qui exprime que le nombre de Froude est égal à 1
𝑸𝟐 𝒍 𝑸𝟐 𝒍 𝑼
𝟏− =𝟎  =𝟏  =𝟏 (𝟑. 𝟓)
𝒈 𝑺𝟑 𝒈 𝑺𝟑 √𝒈 𝒚𝒎
La charge spécifique critique Hsc est la charge minimale permettant l’écoulement du débit Q dans
la section considérée. L’écoulement du débit Q a lieu en ce moment avec la profondeur critique. Ce
minimum Hsc est d’autant plus grand que le débit est lui-même plus grand.
Au voisinage du régime critique Hsc, une légère variation de Hs provoque des variations
importantes des profondeurs d’eau y ; c’est pourquoi le régime critique est instable (ondulation
appréciable de la surface libre due à de petites irrégularités).
Q2 Q2 l
HSC = yc + avec =1
2 g Sc2 g Sc3
Q2 l Q2 Q2 ym
3 = 2 = 1 par conséquent 2 =
g Sc g Sc ym 2 g Sc 2
𝒚𝒎 (𝒚𝒄)
𝑯𝑺𝑪 = 𝒚𝒄 + (𝟑. 𝟔)
𝟐
III – 2.2 Variation de Q en fonction de y pour une charge spécifique Hs donnée

Q2
HS = y +  Q2 = 2 g S²(y) (HS − y)
2 g S²(y)
𝐐 = 𝐒 (𝐲) √𝟐 𝐠 (𝐇𝐒 − 𝐲) (𝟑. 𝟕)
Si y → 0 alors S (y) → 0 et Q → 0
Si y → Hs alors √𝐻𝑆 − 𝑦 → 0 et Q → 0
Q est maximal en annulant la dérivée dQ²/dy.
Q est donc une fonction continue et dérivable sur ]𝟎 ; 𝑯𝑺 [
Le maximum de débit appelé débit critique Qc respecte

donc la même condition définissant le régime critique
vu au paragraphe précédent :
𝐐𝟐 𝐥 (𝐲) 𝐐𝟐 𝐥 (𝐲)
𝟏− =𝟎  =𝟏
𝐠 𝐒 𝟑 (𝐲) 𝐠 𝐒 𝟑 (𝐲)
III – 3 Régime critique

Des deux paragraphes précédents, on en déduit que le régime critique est celui qui permet de :
- véhiculer un débit donné pour une charge spécifique minimale ;
- écouler le maximum de débit pour une charge spécifique donnée.
Il est caractérisé par l’équation :
𝑸𝟐 𝒍 (𝒚) 𝑸
𝟑
=𝟏 → = 𝑺 √𝒚𝒎
𝒈 𝑺 (𝒚) √𝒈
III – 3.1 Calcul de la profondeur critique

La résolution de cette équation fournit la profondeur du régime critique. Pour son calcul, on utilise
l’une des méthodes ci-après :
- Méthode graphique : elle consiste à tracer point par point la courbe 𝑆 √𝑦𝑚 en fonction de y.
On porte en ordonnée la valeur connue de 𝑄 ⁄√𝑔 et on lit la valeur recherchée de yc ;
- Des méthodes numériques de résolution de fonction implicite de yc ou tout simplement
utiliser la fonction SOLVEUR d’EXCEL
Dans le cas où yn est supérieure à yc : yn > yc => régime fluvial.

Dans le cas où yn est inférieure à yc : yn < yc => régime torrentiel.
Exercice d’application III – 1 : Déterminer la profondeur critique d’un canal rectangulaire ayant un
débit Q = 1.88 [m3/s] et une largeur au plafond b = 1.5 [m]. On donne Ks = 80 [m1/3/s].
Canal rectangulaire on a : l = b et S = b y
1
Q2 l Q2 b Q2 3
= = 1  yc = ( ) = 0.543 [m]
g S3 g (b y)3 b2 g
Méthode graphique :
Q 1.88
- Calculer le rapport = = 0.60
√g √9.81
- Tracer point par point en fonction de y la courbe : S√ym
- Placer sur l’ordonnée la valeur 0.60 et lire sur la courbe la valeur de yc recherchée.
- On lit sur la courbe yc = 0.55 [m]
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85
Profondeur d'eau y
Exercice d’application III – 2 : Déterminer la profondeur critique d’un canal trapézoïdal ayant un
débit Q = 5 [m3/s], une largeur au fond b = 2 [m] un fruit des berges m = 1 et un Ks = 70 [m1/3/s].
Canal trapézoïdal : l = b + 2 my et S = y (b + my)
1
Q2 l Q2 (b + 2my) Q2 (b + 2my) 3
= = 1  yc = ( ) ⁄(b + my) = 0.754 [m]
g S3 g y 3 (b + my)3 g
Une solution approchée de la profondeur critique pour un canal trapézoïdal est fournie par :
𝟎.𝟐𝟕
𝑸𝟐 𝒃 𝑸
𝒚𝒄 = 𝟎. 𝟖𝟏 × ( ) − 𝒔𝒔𝒊 𝟎. 𝟏𝟖 ≤ 𝟑 ≤ 𝟎. 𝟗
𝒈 × 𝒎𝟎.𝟕𝟓 × 𝒃𝟏.𝟐𝟓 𝟑𝟎 𝒎 𝒃
Exercice d’application III – 3 : Calculer la profondeur critique d’un canal circulaire ayant un débit
Q = 0.8 [m3/s], avec un diamètre de 1.2 [m] et un Ks = 100 [m1/3/s].
𝜃 𝐷2
Canal circulaire : 𝑙 = 𝐷 sin 2 𝑒𝑡 𝑆 = (𝜃 − sin 𝜃)
8
En remplaçant ces deux expressions dans l’équation caractéristique du régime critique on a :
1
𝑄2 𝜃𝑐 3
𝜃𝑐 = sin 𝜃𝑐 + 8 ( sin )
𝑔 𝐷5 2
D θc
yc = (1 − cos )
2 2
𝜃𝑐 = 2.746 [𝑟𝑑] 𝑒𝑡 𝑦𝑐 = 0.482 [𝑚]
En utlisant la méthode de l’abaque on obtient :
𝑄 0.8 𝑦𝑐
= = 0.162; 𝑂𝑛 𝑙𝑖𝑡 = 0.4 𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡 𝑦𝑐 = 0.4 × 1.2 = 0.48 [𝑚]
√9.81 𝐷5/2 √9.81 × 1.25/2 𝐷
Une approximation de la profondeur critique pour une section circulaire est fournie par la relation:
𝟏/𝟐 𝟏/𝟐
𝒚𝒄 𝑸 𝟎. 𝟖
𝒑𝒐𝒖𝒓 ≤ 𝟗𝟎% ∶ 𝒚𝒄 = ( ) = ( ) = 𝟎. 𝟒𝟖𝟑 [𝒎]
𝑫 √𝒈 𝑫 √𝟗. 𝟖𝟏 × 𝟏. 𝟐
III – 3.2 Calcul de la pente

La pente ne figure pas dans la relation déterminant la profondeur critique. Donc si une profondeur
est critique pour un débit donné et une forme de section déterminée, cette profondeur sera critique
quelle que soit la pente. La pente critique est la pente pour laquelle le régime normal (écoulement
uniforme) est critique.
L’écoulement uniforme se caractérisant par la formule de Manning-Strickler :
2/3
Q = K S S R H √I
En régime critique cette équation devient :
2/3 Q2
Q= K S Sc R c √Ic  Ic = 4
K 2S Sc2 R3c
Le calcul de la pente critique exige la résolution du système des 2 équations constitué de l’équation
du régime critique et de la formule de Manning-Strickler :
𝑺𝟑𝒄
𝑸𝟐 = 𝒈
{ 𝒍𝒄
𝟐/𝟑
𝐐 = 𝐊 𝐒 𝐒𝐜 𝐑 𝐜 √𝐈𝐜
Dans le cas où la pente est inférieure à la pente critique : I < Ic => Régime fluvial.
Dans le cas où la pente est supérieure à la pente critique : I > Ic => Régime torrentiel.
Une approximation de la pente critique pour une section circulaire est fournie par la relation :
𝟑 𝑫 𝟏/𝟑
𝒚𝒄 𝒈𝑫 𝟐/𝟑 (𝟐 𝒚 )
𝒄
𝒑𝒐𝒖𝒓 ≤ 𝟗𝟎% ∶ 𝑰𝒄 =
𝑫 𝑲𝟐𝒔 (𝑫 − 𝟎. 𝟖𝟓 × 𝒚𝒄 )
Exercice d’application III – 4 : Un canal trapézoïdal ayant un coefficient de rugosité de Strickler Ks

= 90, avec une largeur du fond est de b = 1.5 [m] et pour fruit des berges de m = 1 a une pente
critique Ic =2 10-3. Déterminer la profondeur d’eau critique et le débit transitant dans le canal.
Eléments de réponse : yc = 0.525 [m] et Q = 2.15 [m3/s]
Exercice III – 5 : Calculer la pente critique pour les 3 exercices d’application du paragraphe III-3.1
Réponses : a°) Ic = 2.97 10-3 ; b°) Ic = 2.56 10-3 ; c°) Ic = 2.16 10-3.
III – 3.3 Classification des canaux

Nous avons vu que la profondeur critique est indépendant de la pente du canal et que y = yc pour
I = Ic. Il devient donc intéressant de connaître, dans le cas général, les relations entre la profondeur
normale et la profondeur critique (ou entre la pente I et la pente critique Ic, d’un canal) pour un
débit donné et une forme de section déterminée.
Pour un débit donné, si la pente est supérieure à la pente critique, on dit que le canal est à forte
pente pour ce débit. Dans le cas contraire, on dit que le canal est à faible pente.
Signe de la pente I % à Ic yn % yc Type de canal Nomenclature

I < Ic yn > yc Canal à faible pente M (Mild slope)
I>0 I > Ic yn < yc Canal à forte pente S (Steep slope)
I = Ic yn = yc Canal à pente critique C (Critical slope)
I=0 yn → ∞ Canal horizontal H (Horizontal slope)
I<0 yn indéfini Canal à contre pente A (Adverse slope)
III – 4 Etude qualitative des courbes de remous

La courbe de remous est le profil en long de la surface libre en fonction de l’abscisse x de la section
considérée c'est-à-dire la fonction y = F(x). On ne connait pas de façon explicite cette fonction, mais
sa dérivée est connue. En effet, nous avons précédemment établit que :
𝐝𝐇𝐒
= 𝐈−𝐉
𝐝𝐱
Où I est la pente du canal et J la pente de la ligne d’énergie.
𝑑𝐻𝑆 𝑑𝐻𝑆 𝑑𝑦 𝑑𝑦
Or = = (1 − 𝐹𝑟2 )
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝐼−𝐽
(1 − 𝐹𝑟2 ) =𝐼−𝐽  =
𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 − 𝐹𝑟2
Le signe de dy/dx est le produit des signes de (dHs/dx = I – J) et (dHs/dy = 1 – Fr²) qui dépendent
respectivement de la position relative de la pente de la ligne d’énergie J par rapport à la pente du
canal I d’une part (ou de la profondeur y de la courbe de remous par rapport à la profondeur
normale yn) et de la position relative de y par rapport à la profondeur critique yc d’autre part.
𝑑𝐻𝑆
> 0 𝑠𝑠𝑖 𝐼 > 𝐽  𝑦𝑛 > 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝐻𝑆
= 0 𝑠𝑠𝑖 𝐼 = 𝐽  𝑦𝑛 = 𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝐻𝑆
{ 𝑑𝑥 < 0 𝑠𝑠𝑖 𝐼 < 𝐽  𝑦𝑛 < 𝑦
𝑑𝐻𝑆
> 0 𝑠𝑠𝑖 𝐹𝑟 < 1  𝑦 > 𝑦𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝐻𝑆
= 0 𝑠𝑠𝑖 𝐹𝑟 = 1  𝑦 = 𝑦𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝐻𝑆
< 0 𝑠𝑠𝑖 𝐹𝑟 > 1  𝑦 < 𝑦𝑐
{ 𝑑𝑦
Les domaines de variation des courbes de remous sont désignés par un chiffre 1 ou 2 ou 3 selon la
position de chaque courbe par rapport aux deux profondeurs normale et critique du canal :
- Si la courbe est située au-dessus des deux valeurs yn et yc, on lui affecte le chiffre 1 ;
- Si la courbe est située entre les deux valeurs yn et yc, on lui affecte le chiffre 2 ;
- Si la courbe est située au-dessous des deux valeurs yn et yc, on lui affecte le chiffre 3.
Les canaux étant déjà classifiés selon la position relative de la profondeur normale yn et de la
profondeur critique yc (Tableau x) on peut alors distinguer les différents types de courbes de
remous par une lettre majuscule (type de canal) suivi du chiffre 1 ou 2 ou 3 (domaine de variation).
On distingue 12 types de courbes de remous : M1, M2, M3, S1, S2, S3, C1, C3, A2, A3, H2, H3
Exercice d’application III – 6 : Un canal trapézoïdal de largeur du fond b = 2 [m] avec une rugosité
Ks = 60 [m1/3 s]et un fruit des talus m = 1, véhicule du débit Q = 8 [m3/s] sous une pente I = 5 10-4. La
mesure de la profondeur d’eau dans une section x0 donne y0 = 1.8 [m]. de quel type de courbe de
remous s’agit-il ?
yn = 1.7 m ; yc = 1.0 m donc le canal est de type M. De plus, yc < yn < y0 la courbe de remous est de type M1.
III – 4.1 Comportement de la profondeur d’eau aux limites

Il est intéressant de connaître le comportement des courbes de remous au voisinage des limites ci-
après : (0, yn, yc et ∞) :
- Si y → yn, alors J → I et dy/dx → 0. La courbe de remous tend asymptotiquement vers yn

- Si y → yc, on n’a plus un écoulement graduellement varié mais plutôt une variation
brusque de la ligne d’eau. La courbe de remous aura tendance à être normale à yc. Dans ces
conditions, les hypothèses selon lesquelles la courbure des lignes de courant est négligeable
et que les lignes de courant sont parallèles entre elles ne sont plus valables. On a un ressaut
ou une chute.
- Si y → ∞ , alors J → 0 et dy/dx → I. y tend vers l’horizontal.
- Si y → 0, on obtient une indétermination ∞⁄∞ qui sera levée par une condition aux limites
qui détermine l’origine du débit.
III – 5 Méthode de calcul des courbes de remous

Le calcul de la courbe de remous repose sur la résolution de l’équation différentielle suivante :
𝑸𝟐
𝑰− 𝟒/𝟑
𝒅𝒚 𝑰−𝑱 𝑲𝟐𝑺 𝐒 𝟐 (𝐲) 𝐑 𝐇 (𝐲)
= = (𝟑. 𝟖)
𝒅𝒙 𝟏 − 𝑭𝟐𝒓 𝐐𝟐 𝐥 (𝐲)
𝟏−
𝐠 𝐒 𝟑 (𝐲)
Il faut une condition limite c'est-à-dire une profondeur y0 pour une section xo donnée, appelée
section de référence ou section de contrôle. Cette section se situe à l’aval si le régime de
l’écoulement uniforme est fluvial et permet de calculer de l’aval vers amont les courbes de remous
de type (M1, M2, S1, C1, A2 et H2). Elle est localisée en amont si le régime de l’écoulement
uniforme est torrentiel et permet de calculer de l’amont vers l’aval les courbes de remous de type
(M3, S2, S3, C3, A3 et H3).
Il existe plusieurs méthodes de résolution ou d’intégration de cette équation différentielles :
III – 5.1 Méthode d’intégration graphique

Si la section droite du canal est invariable, le second membre de l’équation générale des courbes de
remous (3.6) définit une fonction de la profondeur y notée f (y). A partir des caractéristiques
géométriques et hydrauliques du canal, on calcul la valeur de la fonction f (y) pour différentes
valeurs de y, dans l’intervalle définissant la résolution du problème.
𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑦) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 − 𝑥0 = ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝑦0
C’est l’aire délimitée par la courbe f (y), l’axe (Oy) et les droites verticales d’abscisse y0 et y
donnera la x – x0. Cette méthode ne comporte aucune hypothèse simplificatrice complémentaire
qui puisse nuire à la rigueur des résultats ; elle est donc valable dans un canal prismatique
quelconque, quelle que soit la forme géométrique de sa section.
Exercice d’application III – 7 : Dans un canal trapézoïdal, de largeur au fond b = 4 [m] et de fruit
de berges m = 1.5, s’écoule un débit de 8 [m3/s]. La pente du radier est estimée à 0.5 ‰ et la
rugosité Ks = 80 [m1/3/s]. Un barrage déversoir règle la profondeur dans la section à l’amont
immédiat à la valeur y0 = 2.2 [m]. De quel type de courbe de remous s’agit-il ?
Eléments de réponse
Les calculs respectifs de yn et yc donnent respectivement : yn = 1.0 [m] et yc = 0.68 [m]. Et comme
yn > yc, le canal est à faible pente et la courbe de remous est du type M. De plus, y 0 > yn > yc, la
courbe de remous est donc du type M1.
Le tableau ci-dessous résume les principales étapes de la méthode. Ainsi, lorsque la hauteur d’eau
est de 1.30 [m], la courbe de remous est à une distance de 2 228 [m] en amont du déversoir.
y S P Rh l Q²l/gS3 1 - Q²l/gS3 Q²/K²S²Rh4/3 I - Q²/K²S²Rh4/3 f(y) x - x0

2.20 16.1 11.9 1.3 10.6 0.017 0.983 2.61E-05 4.74E-04 2 075 0
2.14 15.4 11.7 1.3 10.4 0.018 0.982 2.91E-05 4.71E-04 2 084 -124
2.08 14.8 11.5 1.3 10.2 0.021 0.979 3.25E-05 4.67E-04 2 095 -249
2.02 14.2 11.3 1.3 10.1 0.023 0.977 3.64E-05 4.64E-04 2 108 -375
1.90 13.0 10.9 1.2 9.7 0.029 0.971 4.62E-05 4.54E-04 2 141 -630
1.84 12.5 10.6 1.2 9.5 0.032 0.968 5.23E-05 4.48E-04 2 162 -759
1.78 11.9 10.4 1.1 9.3 0.036 0.964 5.94E-05 4.41E-04 2 187 -891
1.66 10.8 10.0 1.1 9.0 0.047 0.953 7.74E-05 4.23E-04 2 256 -1 164
1.60 10.3 9.8 1.0 8.8 0.053 0.947 8.90E-05 4.11E-04 2 304 -1 308
1.54 9.7 9.6 1.0 8.6 0.061 0.939 1.03E-04 3.97E-04 2 364 -1 459
1.48 9.2 9.3 1.0 8.4 0.070 0.930 1.19E-04 3.81E-04 2 443 -1 619
1.42 8.7 9.1 1.0 8.3 0.081 0.919 1.39E-04 3.61E-04 2 547 -1 795
1.36 8.2 8.9 0.9 8.1 0.094 0.906 1.63E-04 3.37E-04 2 691 -1 993
1.30 7.8 8.7 0.9 7.9 0.110 0.890 1.93E-04 3.07E-04 2 898 -2 228
1.24 7.3 8.5 0.9 7.7 0.130 0.870 2.30E-04 2.70E-04 3 218 -2 530
1.18 6.8 8.3 0.8 7.6 0.154 0.846 2.75E-04 2.25E-04 3 763 -2 964
1.12 6.4 8.1 0.8 7.4 0.184 0.816 3.33E-04 1.67E-04 4 873 -3 736
1.06 6.0 7.8 0.8 7.2 0.222 0.778 4.06E-04 9.44E-05 8 249 -5 860
1.03 5.7 7.7 0.7 7.1 0.244 0.756 4.50E-04 5.03E-05 15 038 -9 969
III – 5.2 Méthode d’intégration directe

L’intégration analytique directe de l’équation différentielle (3.6) s’avère pratiquement impossible
dans le cas général. Cependant, sous certaines hypothèses simplificatrices, cette intégration est
possible. C’est le cas de la méthode de Bresse et de Bakhmeteff.
III – 5.2.1 Méthode de Bresse
Cette méthode est rigoureusement exacte si le canal est un rectangle de très grande largeur. C’est le
cas en première approximation des grands cours d’eau naturels dont la forme du lit peut être
assimilée à un rectangle de grande largeur. Dans une telle section on constate que le rayon
hydraulique est égal au tirant d'eau y :
S by
Rh   y
p b  2y
Q
Si on appelle q  le débit par mètre de largeur du canal, l'expression du nombre de Froude Fr
b
devient la suivante :
𝑄2 𝑙 𝑞2 𝑏3 𝑞2 2
𝑞2
𝐹𝑟 = √ 3 = √ = √ → 𝐹𝑟 =
𝑔𝑆 𝑔 (𝑏 × 𝑦)3 𝑔 𝑦3 𝑔 𝑦3
La hauteur critique est telle que :

𝑞2 𝑞2 3 𝟐
𝒚𝟑𝒄
= 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 = 𝑦𝑐 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑠é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡 𝑭 𝒓 =
𝑔 𝑦𝑐3 𝑔 𝒚𝟑
Par ailleurs si l'on retient la formule de Chezy pour le calcul des pertes de charge, on a les relations
suivantes :
Pour la hauteur normale yn : 𝑄 = 𝐶 𝑆 √𝐼 𝑦𝑛 = 𝐶 𝑏 𝑦𝑛 √𝐼 𝑦𝑛
Pour la hauteur quelconque y : 𝑄 = 𝐶 𝑆 √𝐽 𝑦 = 𝐶 𝑏 𝑦 √𝐽 𝑦
En posant comme égalité les deux relations, on tire aisement :
𝑰 𝒚𝟑
𝑦𝑛 √𝐼 𝑦𝑛 = 𝑦 √𝐽 𝑦 𝑠𝑜𝑖𝑡
= 𝟑
𝑱 𝒚𝒏
L'équation différentielle de la ligne d'eau se met alors sous une forme plus simple :
𝐽 𝑦𝑛3
𝑑𝑦 𝐼−𝐽 (1 − 𝐼 ) 1 −
𝑦3
= 2 =𝐼 2 =𝐼
𝑑𝑥 1 − 𝐹𝑟 1 − 𝐹𝑟 𝒚𝟑
1 − 𝒄𝟑
𝒚
𝒅𝒚 𝒚𝟑 − 𝒚𝟑𝒏
= 𝑰 𝟑 (𝟑. 𝟗)
𝒅𝒙 𝒚 − 𝒚𝟑𝒄
Solution analytique de Bresse
𝑦 𝑦 3
En posant  = 𝑦𝑛
𝑒𝑡 𝛽 = (𝑦𝑐 ) 𝑙 ′ é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (3.9) 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 ∶
𝑛
𝑦 3
𝑑𝑦 (𝑦 ) − 1 3 − 1
𝑛
= 𝐼 =𝐼
𝑑𝑥 𝑦 3𝑦 3 3 − 𝛽
(𝑦 ) − (𝑦𝑐 )
𝑛 𝑛
1 𝑑 3 − 1
𝑂𝑟 𝑑 = 𝑑𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑦𝑛 = 𝐼 3
𝑦𝑛 𝑑𝑥  − 𝛽
𝑑𝑥 1 1 3 − 𝛽 𝑑𝑥 𝑦𝑛 (3 − 1) + (1 − 𝛽)
× = . 𝑆𝑜𝑖𝑡 = ( )
𝑑 𝑦𝑛 I 3 − 1 𝑑 𝐼 3 − 1
𝒚𝒏 (𝟏 − 𝜷)
𝒅𝒙 = (𝟏 + ) 𝒅
𝑰 𝟑 − 𝟏
En appelant yo la hauteur à l'origine du remous et xo l'abscisse de ce point d'origine, on a donc
l'équation intégrale suivante :
𝒚𝒏  𝒅
𝒙 − 𝒙𝟎 = [ − 𝟎 + (𝟏 − 𝜷) ∫ 𝟑 ] (𝟑. 𝟏𝟎)
𝑰   −𝟏 𝟎
d
La fonction ( )     3 1
est intégrable analytiquement et on peut démontrer que l'on a :
𝟏 𝟐 +  + 𝟏 𝟏 √𝟑
∅() = 𝑳𝒏 ( )− 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( ) (𝟑. 𝟏𝟏)
𝟔 ( − 𝟏)𝟐
√𝟑 𝟐 + 𝟏
III – 5.2.2 Méthode de Bakhmeteff

Cette méthode est un peu plus longue à mettre en œuvre, mais elle présente l'avantage d'être
applicable à n'importe quelle forme de section.
Pour une hauteur d’eau y quelconque, la débitance est :

𝑸 𝑸𝟐
𝑲= → 𝑱= 𝟐
√𝑱 𝑲
Cette débitance K ne dépend pour un canal donné, que de la hauteur y dans la section. Soit Kn la
débitance pour la hauteur normale yn ou la perte de charge J est égale à la pente I, on a donc :
𝑸𝟐
𝑰= 𝟐
𝑲𝒏
Soit Q’ le débit qui provoquerait un écoulement critique pour une hauteur d’eau y. On aurait :
𝑄′2 𝑙
𝐹𝑟2 =
= 1 𝑒𝑡 𝑄 ′ = 𝐾 √𝐼𝑐 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑄′2 = 𝐾 2 𝐼𝑐
𝑔 𝑆3
𝑙 1 1
3
= 2= 2
𝑔𝑆 𝑄′ 𝐾 𝐼𝑐
𝐽 𝐾𝑛2
𝑑𝑦 𝐼−𝐽 (1 − ) 1 −
= =𝐼 𝐼 =𝐼 𝐾2
2
𝑑𝑥 𝑄 𝑙
1 − 𝑄2 ×
𝑙 𝐼 𝐾𝑛2
1− 3 3 1 −
𝑔𝑆 𝑔 𝑆 𝐼𝑐 𝐾 2
𝟐
𝑲
𝒅𝒚 𝟏 − 𝒏𝟐
= 𝑰 𝑲 (𝟑. 𝟏𝟐)
𝒅𝒙 𝑰 𝑲𝟐𝒏
𝟏−
𝑰𝒄 𝑲𝟐
Aucune hypothèse n’a été faite. Cependant, nous avons transformé l'équation différentielle vers
une nouvelle forme d'écriture faisant apparaître les débitances et la pente critique.
Babhmeteff fait alors l'ypothése que le carré de la débitance varie comme une fonction puissance
de y telle que :
[𝜑 (𝑦)]2 = 𝐾 2 = 𝐶𝑠𝑡𝑒 × 𝑦 𝑛
Cette hypothèse se vérifie approximativement dans la pluspart des cas. n est appelé l'exposant
hydraulique et il varie généralement entre 2,7 et 5,5.
𝐾𝑛 2 𝑦𝑛 𝑛 𝐼 𝑦 ′
𝐾 2 = 𝑎 𝑦 𝑛 𝑒𝑡 𝐾𝑛2 = 𝑎 𝑦𝑛𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑐 ( ) = ( ) 𝑃𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝛽 = 𝑒𝑡  = 𝑙 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (3.12) 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡
𝐾 𝑦 𝐼𝑐 𝑦𝑛
𝑦 𝑛 1
𝑑𝑦 1 − ( 𝑦𝑛 ) 1 − 𝑛 𝑛 − 1
= 𝐼 = 𝐼 =
𝑑𝑥 𝑦 𝑛
1 − 𝛽 ( 𝑦𝑛 )
1
1 − 𝛽 𝑛 𝑛 − 𝛽
𝑑𝑥 1 𝑛 − 𝛽 𝑑𝑥 𝑦 (𝑛 − 1) + (1 − 𝛽)
× = 𝐼 𝑛 . 𝑆𝑜𝑖𝑡 = 𝑛 ( )
𝑑 𝑦𝑛  −1 𝑑 𝐼 𝑛 − 1
𝒚𝒏 (𝟏 − 𝜷)
𝒅𝒙 = (𝟏 + ) 𝒅
𝑰 𝒏 − 𝟏
En appelant yo la hauteur à l'origine du remous et xo l'abscisse de ce point d'origine, on a donc
l'équation intégrale suivante :
𝒚𝒏  𝒅
𝒙 − 𝒙𝟎 = [ − 𝟎 + (𝟏 − 𝜷) ∫ 𝒏 ] (𝟑. 𝟏𝟐)
𝑰   −𝟏 𝟎
d
La fonction (n, )     n 1
est donnée par les tables de Bakhmeteff ou peut être approchée
par les développements suivants :

200
 in
Pour   1 : (n, )    (i n  1)
i 0
200
 in
Pour   1 : (n, )   1n  (i  1) n  1
i 0
Procédé de la méthode de Bakhmeteff

1) On détermine la valeur de n en traçant la courbe (y) en coordonnées logarithmiques. Pour
cela, on calcule la valeur de (y) pour différentes valeurs de y, et on porte les valeurs
Logsur un graphique en fonction de Log y. On joint ensuite tous ces points par une droite.
Si  est la pente de cette droite, alors n = 2 .
2) On détermine yn et la pente critique Ic puis on définit les paramètres :
𝐼 𝑦
𝛽= 𝑒𝑡  =
𝐼𝑐 𝑦𝑛
𝑦0 𝑦1
3) On calcule les valeurs 0 = 𝑦𝑛
et 1 = 𝑦𝑛
correspondant aux sections de profondeurs
d’eau y0 et y1.
4) Au moyen du tableau de Bakhmeteff, suivant que < 1 ou  > 1, on obtient la valeur de la
fonction pour les valeur 0 et 1:
 𝑑
𝛽 () = ∫
0 𝑛 − 1
5) La distance entre les sections 0 et 1 est fournie par l’expression :
𝒚𝒏
𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 = [(𝟏 − 𝟎 ) − (𝟏 − 𝜷) [𝜷(𝟏 ) − 𝜷 (𝟎 )]] (𝟑. 𝟏𝟑)
𝑰
Avec cette méthode, il n’est pas nécessaire de calculer les points intermédiaires, à condition que
l’exposant hydraulique n et le paramètre  demeurent constants entre les valeurs limites de y.
Exercice d’application III – 8 : un canal rectangulaire d’une largeur de b = 5 [m], dont la pente de
fond est I = 10-4 et le profondeur de yn = 1.8 [m], transporte un débit en écoulement uniforme. La
rugosité de Manning est de n = 0.016 [m-1/3 s]. Ce canal se termine à une chute brusque. Déterminer
par la méthode de Bakhmeteff à quelle distance de la chute la profondeur sera de 1.2 [m].
Avec les élements géométriques et hydrauliques calculer Q et yc : Q = 5.80 [m3/s] et yc = 0.516 [m]
yn > yc, le canal est à faible pente d’où la courbe de remous est du type M. De plus yn > y 0 > yc,
alors la courbe de remous est du type M2 et la section de contrôle se trouve en aval. Le canal se
terminant par une chute, on admet donc que l’écoulement passe par la profondeur yc. yc est donc
la section de contrôle. Avec les notation dans la méthode de Bakhmeteff, on identifie alors :
y0 = yc = 0.516 [m] et y1 = 1.2 [m].
- Valeur de l’exposant hydraulique n : n = 2.95 ≅ 3.0
- Ic = 4.02 10-3 et  = 0.025
- 0 = 0.286 et 1 = 0.667
- A partir des tables, on lit : (0) = 0.288 et (1) = 0.729
- x1 – x0 = - 882 [m]
III – 5.3 Méthode itérative ou de différences finies

Elle est caractérisée par la subdivision du canal en tronçons courts et par une progression pas par
pas du calcul. Il y a beaucoup de variantes de cette méthode. Quelques unes sont préférables à
d’autres selon les circonstances mais aucune d’elles ne se trouve être la meilleure dans toutes les
applications.
La méthode de variation des profondeurs ou à pas directs (y fixé à l’avance et x calculé) est la
plus simple méthode par différence finie applicable aux canaux prismatiques.
La méthode des tronçons ou méthodes des pas standards (x fixé à l’avance et y calculé)
s’applique également aux canaux prismatique est très bien adaptée aux chenaux naturels où les
éléments géométriques et hydrauliques ne sont connues qu’à certaines sections.
Ces 2 méthodes ont chacune des variantes sur la façon d’évaluer les valeurs moyennes des
fonctions sur le bief x mais également le nombre de points intermédiaires ou antérieurs pour
évaluer ces fonctions.
- Si on choisit un y faible, plus la précision sera meilleure et les calculs seront longs
- Chaque fois que y0 > yn alors y < 0 ; si y0 < yn alors y > 0.
- Les abscisses x seront orientés dans le sens de l’écoulement.
III – 5.3.1 Méthode des pas directs

C’est la méthode la plus simple pour le calcul de la courbe de remous pour un débit donné et un
canal prismatique. Soit xo une section où la profondeur d’eau y0 est connue et une section 1 située
à une distance inconnue x de xo où l’on veut que la profondeur soit y1=y0+ y.
La distance x est estimée en supposant que la pente de la ligne d’énergie est la pente moyenne sur
le bief dans la discrétisation de l’équation différentielle (3.6). Cette hypothèse donne d’assez bons
résultats pour des y faibles.
𝐽(𝑦1 ) + 𝐽(𝑦0 ) 𝐻𝑆0 − 𝐻𝑆1

𝐽̅ = 𝑒𝑡 ∆𝑥 =
2 𝐽̅
Procédé de la méthode des pas directs
1) Connaissant y0, calculer Hs0 et J(y0)
2) Pour une valeur de y1 = y0 + y, calculer Hs1 et J(y1)
𝐽(𝑦1 )+ 𝐽(𝑦0 )
3) Calculer 𝐽 ̅ = 2
4) Calculer x
5) Passer à la section suivante en prenant un nouveau y0 égal au y1 qui vient d’être calculé et
continuer la procédure en 1)
L'usage de pas faibles permet d'avoir une plus grande précision mais augmente les itérations et le
temps de calcul. Les erreurs se propagent comme dans toutes les méthodes itératives puisque la
solution d'un pas est incorporée dans le pas suivant (la courbe peut osciller dans certains cas).
Exercice d’application III – 9 : Dans un canal trapézoïdal, de largeur au fond b = 6 [m] et de fruit
de berges m = 1, s’écoule un débit Q = 3 [m3/s]. La pente du radier est estimée à 0.25 ‰ et la
rugosité Ks = 60 [m1/3 s]. La profondeur d’eau à une station x = 0 est déterminée par un seuil et
égale à y0 = 0.40 [m]. Tracer l’allure de la courbe de remous par la méthode des pas directs.
Les calculs respectifs de yn et yc donnent respectivement : yn = 0.68 [m] et yc = 0.29 [m]. Et comme
yn > yc, le canal est à faible pente et la courbe de remous est du type M. De plus, yn > y0 > yc, la
courbe de remous est donc du type M2. La section de contrôle se situe à l’aval et le calcul se fait de
l’aval vers amont, donc x < 0. De plus, y0 < yn alors y > 0.
Q b Ks I m Y
3 6 60 0,0003 1 0,014
Hs = y + J= Hx =
y S P Rh Jmoy I - Jmoy Hs x + x
Q²/2gS² Q²/K²S²Rh4/3 Hs/I-J
0.400 2.56 7.13 0.36 0.47 1.50E-03 0
0.414 2.66 7.17 0.37 0.48 1.33E-03 1.41E-03 -1.16E-03 9.18E-03 -7.9 -8
0.428 2.75 7.21 0.38 0.49 1.19E-03 1.26E-03 -1.01E-03 9.68E-03 -9.6 -17
0.443 2.85 7.25 0.39 0.50 1.07E-03 1.13E-03 -8.79E-04 1.01E-02 -11.5 -29
0.457 2.95 7.29 0.40 0.51 9.61E-04 1.01E-03 -7.65E-04 1.05E-02 -13.7 -43
0.471 3.05 7.33 0.42 0.52 8.68E-04 9.15E-04 -6.65E-04 1.08E-02 -16.3 -59
0.485 3.15 7.37 0.43 0.53 7.86E-04 8.27E-04 -5.77E-04 1.11E-02 -19.3 -78
0.499 3.24 7.41 0.44 0.54 7.14E-04 7.50E-04 -5.00E-04 1.14E-02 -22.8 -101
0.513 3.34 7.45 0.45 0.55 6.51E-04 6.83E-04 -4.33E-04 1.16E-02 -26.9 -128
0.528 3.44 7.49 0.46 0.57 5.94E-04 6.22E-04 -3.72E-04 1.18E-02 -31.8 -160
0.542 3.54 7.53 0.47 0.58 5.44E-04 5.69E-04 -3.19E-04 1.20E-02 -37.7 -197
0.556 3.64 7.57 0.48 0.59 4.99E-04 5.21E-04 -2.71E-04 1.22E-02 -44.9 -242
0.570 3.75 7.61 0.49 0.60 4.59E-04 4.79E-04 -2.29E-04 1.23E-02 -53.9 -296
0.584 3.85 7.65 0.50 0.62 4.23E-04 4.41E-04 -1.91E-04 1.25E-02 -65.5 -362
0.598 3.95 7.69 0.51 0.63 3.90E-04 4.06E-04 -1.56E-04 1.26E-02 -80.6 -442
0.613 4.05 7.73 0.52 0.64 3.61E-04 3.75E-04 -1.25E-04 1.27E-02 -101.5 -544
0.627 4.15 7.77 0.53 0.65 3.34E-04 3.47E-04 -9.73E-05 1.28E-02 -131.6 -675
0.641 4.26 7.81 0.54 0.67 3.10E-04 3.22E-04 -7.20E-05 1.29E-02 -179.2 -855
0.655 4.36 7.85 0.56 0.68 2.88E-04 2.99E-04 -4.90E-05 1.30E-02 -264.9 -1 120
0.669 4.46 7.89 0.57 0.69 2.68E-04 2.78E-04 -2.81E-05 1.31E-02 -464.4 -1 584
0.684 4.57 7.93 0.58 0.71 2.50E-04 2.59E-04 -9.09E-06 1.31E-02 -1 445.7 -3 030
Exercice III – 10 : Un canal rectangulaire de largeur b = 3 [m] transporte un débit de débit Q = 5
[m3/s]. Quelles sont la hauteur d’eau critique et la vitesse critique ? Pour quelle pente I, la vitesse
est-elle critique si le coefficient de Manning est de n = 0.02 [m-1/3 s].

[m3/s]. Etablir la courbe de l’énergie spécifique Hs = f(y) pour 0 < y < 5 [m]. Quelle est la
profondeur critique. Quelle est l’énergie spécifique Hs si la profondeur d’eau est y = 3 yc. Quelle
sera la profondeur d’un écoulement torrentiel uniforme ayant la même énergie spécifique Hs ?
Exercice III – 12 : Un canal rectangulaire en béton lisse de largeur b = 6 [m] transporte un débit de
débit Q = 50 [m3/s] ave une énergie spécifique de Hs = 3 [m]. Déterminer la profondeur d’eau et la
pente de fond pour un permanent uniforme. L’écoulement est-il fluvial ou torrentiel.
Exercice III – 14 : Un canal rectangulaire avec une rugosité de Strickler estimée à Ks = 50 [m1/3/s] est
dimensionné en vue d’obtenir une section de débit maximal.
(i) Sachant que l’écoulement uniforme dans ce canal a une profondeur de y = 1.2 [m] et un
nombre de Froude de Fr = 0.65, déterminer le débit.
(ii) Un changement de direction de  = 30° doit être prévue. Déterminer le rayon de courbure
pour que la surélévation maximale ne dépasse pas le 12.5% de la profondeur normale.
Quelle est la perte de charge dans cette courbe ?

[m3/s]. A une certaine section, la profondeur est de y1 = 1.0 [m]. Déterminer à quelle distance la
profondeur sera de y2 = 0.8 [m] si la pente du canal est constante et égale à 4 10-4 et le coefficient de
Strickler est de Ks = 70 [m1/3/s]. Utiliser la méthode des pas directs et contrôler les résultats au
moyen de la méthode de Bakhmeteff.
Exercice III – 16 : Un canal trapézoïdal d’une largeur de b = 10 [m] avec un pente des talus de m =
2, d’une rugosité n = 0.02 [m-1/3 s] et d’une pente I = 1.5‰ transporte un débit Q = 32 [m3/s]. Ce
canal se termine par une chute brusque. Déterminer le type de courbe deremous, puis calculer la
ligne d’eau en amont de la chute par la méthode d’intégration graphique et des pas directs.
Exercice III – 17 : Soit le canal trapézoïdal à section hétérogène ci-dessous de pente I = 1‰ et m = 2.

a) Montrer que la rugosité équivalente de Manning est neq = 0.0163 [m-1/3 s]
b) Que vaut le débit si l’écoulement est uniforme dans le canal ?
Exercice III – 18 : Que vaut le débit, dans le cas d'un écoulement uniforme, dans le canal ci-contre
(I = 1,03.10-3 et n = 0,01m-1/3s)
Chapitre IV : Le ressaut hydraulique
IV – Ressaut hydraulique ................................................................................................................................. 43
IV – 1 Aperçu sur les écoulements brusquement variés ............................................................................ 43
IV – 1.1 Définition et caractéristiques ....................................................................................................... 43
IV – 1.2 Principe d’étude des écoulements brusquement variés .......................................................... 43
IV – 2 Ressaut hydraulique ............................................................................................................................ 43
IV – 2.1 Définition ....................................................................................................................................... 43
IV – 2.2 Quelques valeurs caractéristiques .............................................................................................. 44
IV – 2.3 Détermination des profondeurs conjuguées ............................................................................. 44
IV – 3 Impulsion totale ................................................................................................................................... 45
IV – 3.1 Variation de M en fonction de y pour un débit Q donné ........................................................ 45
IV – 4 Calcul du ressaut pour un canal rectangulaire ................................................................................ 45
L’amour paternel (y1) et l’amour maternel (y2) sont les deux mamelles de l’amour filial (ressaut hydraulique) … Page 42
IV – Ressaut hydraulique
IV – 1 Aperçu sur les écoulements brusquement variés
IV – 1.1 Définition et caractéristiques
Un écoulement brusquement varié est un écoulement permanent dans le temps mais les variables
de l'écoulement varient très vite, voire de manière discontinue dans l'espace.
Les principales caractéristiques d’un écoulement brusquement varié sont :

- La courbure des lignes de courant est très prononcée, d’où la répartition des pressions n’est
plus hydrostatique dans chaque section ;
- La répartition des vitesses est très irrégülière (le coefficient d’énergie cinétique  >> 1) avec
parfois de courants de retour ;
- L’effet du frottement sur les parois peut être négligé ;
- La surface libre est souvent instable et irrégulière.
IV – 1.2 Principe d’étude des écoulements brusquement variés

Dans le cas général, on ne cherche pas à tracer l’allure de la surface libre. On détermine alors deux
sections qui englobent au plus près l’écoulement et où la répartition des pressions est
hydrostatique et celle de vitesse est régulière. Entre les deux sections, l’écoulement n’étant pas
uniforme, les formules du régime uniforme ne sont donc pas applicables. Cependant, on applique :
- Soit le théorème des quantités de mouvement (théorème d’Euler) si l’écoulement est
divergent avec de forte dissipation d’énergie : ressaut hydraulique par exemple ;
- Soit le théorème de Bernouilli si l’écoulement est convergent avec faible ou sans
dissipation d’énergie : écoulement sous une vanne par exemple.
IV – 2 Ressaut hydraulique
IV – 2.1 Définition
Un ressaut s’observe lorsque l’écoulement passe d’un régime torrentiel à un régime fluvial. Il se
caractérise par une surélévation brusque de la surface libre et s’accompagne de pertes de charge
importantes. Le ressaut est le principal moyen qu’utilisent les ouvrages hydrauliques pour dissiper
l’énergie. De façon générale, le ressaut nécessite que certaines conditions soient rencontrées afin
qu’il se réalise. Ces conditions sont le respect de l’équation de continuité et de l’équation de
quantité de mouvement (Figure IV – 1).
Figure IV – 1 : Ressaut hydraulique et ses caractéristiques géométriques et hydrauliques.
L’amour paternel (y1) et l’amour maternel (y2) sont les deux mamelles de l’amour filial (ressaut hydraulique) …. Page 43
Les hauteurs y1 (avant) et y2 (après) sont appelées profondeurs conjuguées du ressaut. On peut
classer le ressaut hydraulique en fonction de la force dissipée :
- Si 1 < Fr1 < 1.7, le ressaut est dit ondulé ;
- Si 1.7 < Fr1 < 2.5, ressaut faible ;
- Si 2.5 < Fr1 < 4.5, ressaut oscillant ;
- Si 4.5 < Fr1 < 9.0, ressaut établi ;
- Si Fr1 > 9.0, ressaut fort.
IV – 2.2 Quelques valeurs caractéristiques

• Hauteur du ressaut, c’est la quantité : hR = (y2 - y1) ;
• Longueur du ressaut, la distance entre les sections 1 et 2. La longueur du ressaut est très
difficile à déterminer. Elle peut être approchée empiriquement par :
LR  6 (y2 - y1)
• Rendement du ressaut RR : c’est la rapport de l’augmentation de l’énergie potentielle sur
la diminution de l’énergie cinétique :
(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )
𝑹𝑹 =
𝑼𝟐𝟏 𝑼𝟐𝟐
−
𝟐𝒈 𝟐𝒈
• Perte de charge du ressaut H : Le ressaut provoque une importante dissipation d’énergie
mécanique ; ce phénomène est irréversible : Son expression est founie par :
𝑼𝟐𝟏 𝑼𝟐𝟐
∆𝑯 = (𝑯𝑺𝟏 − 𝑯𝑺𝟐 ) = (𝒚𝟏 + ) − (𝒚𝟐 + )
𝟐𝒈 𝟐𝒈
IV – 2.3 Détermination des profondeurs conjuguées

L’application du théorème d’Euler entre les sections 1 et 2 au niveau desquelles la répartition des
pressions est hydrostatique et celle des vitesses est rigulière conduit à :
⃗⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗⃗
𝜌 𝑄 (𝑈 𝑈1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑃1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝑃2 + 𝑀 𝑔 + ⃗⃗⃗
𝐹𝑓 + ⃗⃗⃗
𝐹𝑎 (4.1)
En projectant chacune des termes de l’équation suivant l’axe (OX) d’un canal ona :
𝑄2 𝑄2
• ⃗⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗⃗
𝜌 𝑄 (𝑈 𝑈1 ) = 𝜌 𝑄 (𝑈2 − 𝑈1 ) = 𝜌 − 𝜌
𝑆2 𝑆1
• ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃1 + 𝐹𝑃2 = 𝜌 𝑔 𝑆1 𝑦𝐺1 − 𝜌 𝑔 𝑆2 𝑦𝐺2
• 𝑀 𝑔 = 𝑀 𝑔 sin 𝜃 = 𝑀 𝑔 𝜃 ; 𝑛é𝑔𝑙𝑖𝑔𝑒𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑢 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑒.

• ⃗⃗⃗
𝐹𝑓 + ⃗⃗⃗
𝐹𝑎 ∶ 𝑛é𝑔𝑙𝑖𝑔𝑒𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒.
L’équation (4.1) devient alors :
𝑄2 𝑄2
𝜌 − 𝜌 = 𝜌 𝑔 𝑆1 𝑦𝐺1 − 𝜌 𝑔 𝑆2 𝑦𝐺2
𝑆2 𝑆1
𝑸𝟐 𝑸𝟐
𝝆 + 𝝆 𝒈 𝑺𝟏 𝒚𝑮𝟏 = 𝝆 + 𝝆 𝒈 𝑺𝟐 𝒚𝑮𝟐 (𝟒. 𝟐)
𝑺𝟏 𝑺𝟐
Cette relation est appelée courbe conjuguée. Connaissant yG1, on peut déterminer yG2 et vis-versa.
IV – 3 Impulsion totale
On appelle implusion totale la quantité :
𝑸𝟐
𝑴= 𝝆 + 𝝆 𝒈 𝑺 𝒚𝑮 (𝟒. 𝟑)
𝑺
Le théorème de quantité de mouvement appliqué précédemment au ressaut montre que
l’implusion totale se conserve avant et après le resseaut hydraulique.
IV – 3.1 Variation de M en fonction de y pour un débit Q donné

L’étude de la fonction M (y) dans l’intervalle ] 0 ; ∞[
montre deux branches paraboliques :
Si y → 0 alors S (y) → 0 et M → ∞
Si y → ∞ alors S (y) → ∞ et M → ∞ .
La fonction étant positive et continue dans cet intervalle,

elle atteint nécessairement un minimum pour dM/dy = 0.
Ce minimum correspond la profondeur critique :
𝑑𝑀 𝑄 2 𝑑𝑆 𝑑(𝑆 𝑦𝐺 ) 𝑄2 𝑄2 𝑙
=−𝜌 2 + 𝜌𝑔 = − 𝜌 2 𝑙 + 𝜌 𝑔 𝑆 = 𝜌 𝑔 𝑆 (1 − )
𝑑𝑦 𝑆 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑆 𝑔 𝑆3
𝒅𝑴 𝑸𝟐 𝒍 𝑸𝟐 𝒍 𝑼
= 𝟎  (𝟏 − )=𝟎  =𝟏  =𝟏 (𝟒. 𝟒)
𝒅𝒚 𝒈 𝑺𝟑 𝒈 𝑺𝟑 √𝒈 𝒚𝒎
On retrouve l'équation du régime critique défini par le carré du nombre de Froude est égal à 1.
On voit également que le même débit Q, avec la même impulsion totale M, peut s’écouler sous
deux profondeurs différentes y1 correspondant au régime torrentiel et y2 correspondant au régime
fluvial. y1 et y2 sont des profondeurs conjuguées au sens du resseaut.
IV – 4 Calcul du ressaut pour un canal rectangulaire

Pour un canal rectangualire on a : S = b x y ; yG = y/2.
L’équation de la courbe conjuguée devient :
𝑄2 𝑏 𝑦12 𝑄2 𝑏 𝑦22
𝜌 + 𝜌𝑔 =𝜌 + 𝜌𝑔
𝑏 𝑦1 2 𝑏 𝑦2 2
𝑄2 𝑦12 𝑄2 𝑦22
+ 𝑔 = + 𝑔
𝑏 2 𝑦1 2 𝑏 2 𝑦2 2
𝑞2 𝑦12 𝑞2 𝑦22 𝑄
+ = + 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑞 =
𝑔 𝑦1 2 𝑔 𝑦2 2 𝑏
En multipliant chaque membre de l’équation par 2gy1y2, et en mettant (y2 – y1) en facteur, la
conservation de l’implusion totale se réduit à une équation symétrique du second degré en y 1 et
y2 :
𝒒𝟐
𝒚𝟏 𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝟐 𝒚𝟐𝟏 − 𝟐 =𝟎 (𝟒. 𝟓)
𝒈
𝒚𝟏 𝒒𝟐 𝒚𝟏
𝒚𝟐 = (– 𝟏 + √𝟏 + 𝟖 𝟑
)= (– 𝟏 + √𝟏 + 𝟖 𝑭𝟐𝒓𝟏 ) (𝟒. 𝟔)
𝟐 𝒈 𝒚𝟏 𝟐
Pour un canal rectangulaire on a :

𝑞2
𝑈1 𝑦1 = 𝑈2 𝑦2 𝑒𝑡 2 = 𝑦1 𝑦2 (𝑦1 + 𝑦2 )
𝑔
• La perte de charge du ressaut est :
(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟑
∆𝑯 =
𝟒 𝒚𝟏 𝒚𝟐
• Le rendement du ressaut est :

𝟒 𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝑹𝑹 =
(𝒚𝟐 + 𝒚𝟏 )𝟐
❖ Calcul du ressaut hydraulique pour un canal circulaire

Une formulation approchée peut être utilisée pour un canal circulaire dans les conditions
suivantes : Tr = y/D et tr1 < 0.7 avec (Tr = taux de remplissage).
𝟑 𝟑/𝟒 𝟒
𝒒𝟎 = 𝑻𝒓𝟏 (𝟏 + 𝑻𝒓𝟐𝟏 )
𝟒 𝟗
𝑸
𝒒𝑫 =
√𝒈 𝑫𝟓
𝟎.𝟗𝟔
𝑻𝒓𝟐 − 𝑻𝒓𝟏 𝒒𝑫 − 𝑻𝒓𝟐𝟏
= ( )
𝟏 − 𝑻𝒓𝟏 𝒒𝟎 − 𝑻𝒓𝟐𝟏
Application du ressaut hydraulique
La principale application du ressaut hydraulique est qu’il constitue un bassin de dissipation
d’énergie. Les autres applications du ressaut servent à réaliser les coupures hydrauliques entre un
écoulement fluvial (influencé par l’aval) et un écoulement torrentiel (influencé par l’amont).

Exercice IV – 1 : Dans un canal rectangulaire de 5 [m] de large, s'écoule un débit de Q = 15 [m3/s]
avec une profondeur d'eau y1 = 0.4 [m]. Quelles sont les valeurs caractéristiques du ressaut formé ?
Exercice IV – 2 : Un canal rectangulaire de largeur b = 5 [m] transporte un débit de débit Q = 10

[m3/s] avec une vitesse moyenne de U = 5 [m/s]. Il aboutit à un radier horizontal de même largeur
et de pente nulle. Quelles sont les valeurs caractéristiques du ressaut formé ?
Exercice IV – 3 : On considère un canal de largeur b = 1.0 [m] qui a un changement de pente de
fond avec un coefficient de frottement de Ks = 100 [m1/3 s]. La profondeur d’eau en aval et en
amont est de y1 = 0.2 [m] et y2 = 0.4 [m]. La pente de fond en amont est de 4%.
(i) Y’a-t-il changement de type d’écoulement ?
(ii) Pour quel débit y a-t-il changement de type d’écoulement ?
Exercice IV – 4 : La profondeur d’eau d’un canal rectangulaire de 4.0 [m] de large ayant un
coefficient de Manning n = 0.02 [m-1/3 s] et une pente 0.03 est de y = 0.65 [m]. Un obstacle en aval du
canal fait monter le niveau d’eau à 2.25 [m].
(i) Y aura-t-il un ressaut hydraulique ?
(ii) Quelles sont ses caractéristiques ?
(iii) Calculer la distance du ressaut à l’endroit des obstacles en négligeant sa longueur.
Exercice IV – 5 : Un canal circulaire de diamètre D = 1200 [mm] dont la rugosité Ks = 75 [m1/3/s]

véhicule un débit Q = 935 [l/s] sous une pente I = 1%.
1) Montrer qu’un ressaut hydraulique est succeptible de se produire dans ce canal ?
2) Calculer l’ensemble de ces caractériques.
Une singularité fait monter le niveau d’eau à 0.92 [m]. Caractériser entièrement par la méthode de
Bakhmeteff la courbe de remous ainsi formée.
Exercice IV – 6 : La profondeur critique dans un canal circulaire de diamètre D = 900 [mm] et de la

rugosité Ks = 83.33 [m1/3/s] est yc = 0.40 [m].
1) Quelles sont les valeurs du débit Q et de la pente critique Ic du canal ?
2) Quelles sont les valeurs de la profondeur normale yn et de la pente I si le nombre de
Froude est Fr = 0.477.
La profondeur d’eau mesurée dans une section de contrôle a donné yo = 0.16 [m].
3) Montrer q’une courbe de remous et un ressaut hydraulique se produisent dans le canal ?
4) Calculer la longueur de la courbe de remous si l’exposant hydraulique de Bakhmeteff n = 4.
5) Donner l’ensemble des caractéristiques du ressaut hydraulique.
Exercice IV – 7 : On considère une section trapézoïdale de fruit qui à plein bord, écoule un débit de
30 [m3/s] de façon hydrauliquement favorable. La rugosité des parois est de 67 [m1/3/s] et la pente
longitudianale est de 0.1%.
1) Calculer le fruit de berge de ce canal si la hauteur du canal vaut 2.5 [m]
2) En déduire la largeur au miroir L de ce canal.
On écoule à présent dans ce canal un débit de 25 [m3/s] puis on s’intéresse à une section où on a
inséré une vanne jusqu’à 20 cm du fond.
3) Caractérser entièrement le remous observable à l’aval de cette vanne.
4) En supposant qu’un ressaut est observable à l’aval de cette vanne, calculer les éléments
caractéristiques de ce ressaut (perte de Charge, Rendement, Longueur).
Exercice IV – 8 : Un canal semi-circulaire en métal lisse, avec n1 = 0.012 [m-1/3 s], a un diamètre de 2
[m] et une pente de fond I = 5‰. Quel diamètre faudra-t-il si le matériel du canal est en métal
corrugué avec n2 = 0.022 [m-1/3 s]. Quelles sont les valeurs de la profondeur critique yc et de la
pente critique Ic dans chaque ? Un ressaut hydraulique est succeptible de se produire dans l’une
des deux conditions. Identifier le cas et donner l’ensemble des caractéristiques de ce ressaut.
Chapitre V : La section de contrôle
V – Section de contrôle...................................................................................................................................... 49
V – 1 Définition et application ....................................................................................................................... 49
V – 2 Déversoirs............................................................................................................................................... 49
V – 2.1 Définition ......................................................................................................................................... 49
V – 2.2 Formule expérimentale pour des seuils minces......................................................................... 50
V – 2.3 Formule expérimentale pour des seuils épais ............................................................................ 51
V – 3 Vanne ...................................................................................................................................................... 52
V – 3.1 Définition ......................................................................................................................................... 52
V – 3.2 Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée ..................................................................................... 52
V – 3.3 Cas d’une vanne rectangulaire noyée ......................................................................................... 53
V – 4 Etudes des singularités ......................................................................................................................... 53
V – 4.1 Types de problème ......................................................................................................................... 53
V – 4.2 Méthode d’étude ............................................................................................................................ 53
V – 4.2.1 Augmentation de la pente...................................................................................................... 54
V – 4.2.2 Diminution de la pente ........................................................................................................... 55
C'est une erreur de croire nécessairement faux ce qu'on ne comprend pas. Page 48
V – Section de contrôle
V – 1 Définition et application
On appelle section de contrôle toute singularité (fort accroissement de la pente, rétrécissement
important, seuil déversant dénoyé, etc..) qui provoque une augmentation suffisante de la vitesse
de l'eau pour faire passer l'écoulement du régime fluvial au régime torrentiel. Le contrôle d'un
écoulement fluvial est toujours situé à l'aval de cet écoulement. Celui d'un écoulement torrentiel
se trouve à l'amont de cet écoulement.
Il existe donc dans l'emprise du "contrôle" une section où le régime est critique ; la valeur de la
profondeur critique yc (et par suite la cote correspondante H du plan d'eau dans la section de
contrôle) est entièrement déterminée pour chaque débit Q par le profil en travers de la dite section.
Une des applications les plus courantes est la mesure de débit dans les cours d’eau. On s’efforcera
de placer des stations de mesure de débit dans une section telle qu’à une cote du plan d’eau h
corresponde un seul et même débit : donc c’est la relation Q = f (h).
La courbe Q = f(h) est appelée courbe de tarage. La courbe de tarage doit dors être univoque cela
ne peut être obtenu que dans certaines conditions : L’écoulement en amont de la section de
contrôle ne doit pas être influencé par l’aval. Dans le cas contraire, on est obligé de prendre deux
échelles.
V – 2 Déversoirs
V – 2.1 Définition
Un déversoir ou seuil est un obstacle vertical qui fait barrage à l’écoulement. Il est utilisé en
Hydraulique Fluviale et pour le fonctionnement des déversoirs. Un seuil occasionne nettement
moins de pertes de charges qu’un ressaut.
On peut considérer le déversoir comme un orifice incomplet. La hauteur d’eau (nappe déversante)
h1 au dessus du déversoir est mesurée loin en amont (loin de la zone d’approche).
Figure V - 1 : Définition des termes du déversoir.
Si l’épaisseur e de la crête (partie du seuil qui touche l’eau) est faible par rapport à la hauteur d’eau
hl (hl > 2 e), on parle de déversoir à seuil mince. Autrement (hl < 1.5 e), c’est un déversoir à seuil
épais. Entre les 2 limites, les deux modes d’écoulement peuvent se produire.
Lorsque le niveau à l’aval h2 augmente et devient supérieur à 2/3 h1, on dit que le déversoir est
noyé.
Nous nous contentons de donner la relation liant le débit aux paramètres géométriques du seuil et
de l’écoulement dans le cas d’un seuil avec ou sans contraction.
L’application du théorème de Bernouilli pour un déversoir rectangulaire de largeur l nous donne
2
𝑄= √2 𝑔 𝑙 ℎ3/2
3
sous les hypothèses suivantes :
- La hauteur d’eau h1 varie de 0 à h ;
- Les pertes de charges sont négligeables ;
- La pression à la section 2 est égale à la pression atmosphérique.
Cependant, ces hypothèses ne sont pas toujours vérifiées, et on corrige la valeur du Q avec un
coefficient .  est appelé coefficient de débit :
𝑸 = 𝝁 √𝟐 𝒈 𝒍 𝒉𝟑/𝟐 (𝟓. 𝟏)
Pour un déversoir rectangualire à seuil mince,  = 0.42
V – 2.2 Formule expérimentale pour des seuils minces

❖ Déversoir de Bazin (1898) valable pour un déversoir rectangulaire sans contraction.
𝑸 = 𝝁 √𝟐 𝒈 𝒍 𝒉𝟑/𝟐
𝟐 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟓 𝒉 𝟐
𝝁= × (𝟎. 𝟔𝟎𝟕𝟓 + ) × [(𝟏 + 𝟎. 𝟓𝟓 × ( ) )]
𝟑 𝒉 𝒉+𝑷
❖ Formule de Rehbook (1929) valable pour un déversoir rectangulaire sans

contraction latérale :
𝒉 𝟑
𝑸 = 𝒍 × (𝟏. 𝟕𝟖𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟒 ) × (𝒉 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏)𝟐
𝑷
❖ Déversoir de Francis avec contraction latérale :

𝟑
𝑸 = 𝟏. 𝟖𝟑 × (𝒍 − 𝟎. 𝟐 𝒉) × 𝒉𝟐
❖ Déversoir triangulaire par la formule de Gourley – Grimp :

𝜶
𝑸 = 𝟏. 𝟑𝟐 × 𝐭𝐚𝐧 ( ) × 𝒉𝟐.𝟒𝟕
𝟐
❖ Déversoir triangulaire par la formule de Thompson où  = /2 :

𝑸 = 𝟏. 𝟒𝟐 × 𝒉𝟓/𝟐
❖ Déversoir trapézoïdal par la formule de Gourley - Grimp : Pour une valeur

quelconque de l’angle  d’inclinaison des joues du déversoir sur la vertical, le débit
set la somme des 2 termes suivants :
𝑸 = 𝟏. 𝟑𝟐 × 𝐭𝐚𝐧(𝜶) × 𝒉𝟐.𝟒𝟕 + 𝟏. 𝟔𝟗 𝒍𝟏.𝟎𝟐 𝒉𝟏.𝟒𝟕
❖ Déversoir trapézoïdal par la formule Cipoletti. Il correspond au cas particulier où
tan () = ¼ :
𝑸 = 𝟏. 𝟖𝟔 𝒍 𝒉𝟑/𝟐
Pour la mesure des débits, les principes généraux suivants doivent être observés dans le choix du
déversoir :
- Pour avoir une nappe libre, il faut que h  6 [cm] pour les déversoirs triangulaires et h  2
[cm] pour les déversoirs rectangulaires ;
- On doit éviter les fortes charges  h  60 [cm]
- La longueur du déversoir rectangulaire doit être : l  3 h
NB : Pour la précision du déversoir

- Pour un débit Q  30 [l/s], utiliser un déversoir triangulaire
- et pour Q  300 [l/s], on choisira un déversoir rectangulaire (déversoir de Bazin)
- 40 < Q < 300 [l/s], la précision est la même.
V – 2.3 Formule expérimentale pour des seuils épais

Si un seuil est assez large (0.08  H/e  0.5) pour maintenir une répartition de pression
hydrostatique de l’écoulement dessus, celui-ci sera critique et avec une vitesse uniforme, le débit
est égal au débit critique donné par l’équation suivante où H est la charge au dessus du déversoir
tenant compte de la vitesse d’approche :
𝑼𝟐
𝑸 = 𝑺𝒄 √𝟐𝒈 (𝑯 − 𝒚𝒄 ) 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑯 𝒍𝒂 𝒄𝒉𝒂𝒓𝒈𝒆 𝒆𝒏 𝒂𝒎𝒐𝒏𝒕 ; 𝑯 = 𝒉 +
𝟐𝒈
Mais cette approche est une simplification de la réalité à cause des hypothèses faites (répartition de
pression hydrostatique, vitesse uniforme, etc.). Afin de traduire ces effets secondaires, on introduit
un coefficient de débit Cd qui tient compte des conditions d’amenée, de la forme du seuil, et un
coefficient de vitesse Cv toujours supérieur à 1. Dans ces conditions, le débit devient :
𝒚𝒎𝒄
𝑸 = 𝑪𝒅 𝑪𝒗 𝑺𝒄 √𝟐 𝒈 𝒉 (𝟏 − 𝑲) 𝒐ù 𝒚𝒄 = 𝑲 𝒉 𝒆𝒕 𝒉 = 𝒚𝒄 +
𝟐
Il existe des tables donnant les valeur de Cd, Cv et K en fonction du type de déversoir.
Plusieurs formules empiriques ont été proposées pour diverses formes et profils de déversoirs.
Elles peuvent être utilisées pour mesurer un débit à condition de vérifier les conditions
d’étalonnage des coefficients empiriques.
❖ Formule de Belanger : applicable à un déversoir rectangulaire sans contraction

latérale avec un profil rectangulaire. Le débit est donné en fonction de la charge H
en amont par l’expression suivante avec comme valeur approchée = 0.385.
𝑸 =  𝒍 √𝟐 𝒈 𝑯𝟑/𝟐
La hauteur d’eau sur le déversoir est telle que yc =2H/3. On mesure donc yc, et on
en déduit la charge H qu’on entre dans la formule pour calculer le débit.
- Si H/e  1 à 2,  = 0.414 (déversoir à seuil mince) ;
- Si H  0.45, la nappe à l’aval n’est plus adhérente et = 0.328 ;
❖ Formule de Bazin : pour le même type de déversoir, Bazin donne la formule
suivante où est le coefficient de débit à seuil mince :
𝒉
𝑸 = 𝑲 𝒍 √𝟐 𝒈 𝒉𝟑/𝟐 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑲 = 𝟎. 𝟕𝟎 + 𝟎. 𝟏𝟖𝟓
𝒆
Pour ces deux formules, le débit peut être amélioré de 10% si l’arrêt en amont est chanfreiné à 45°
jusqu’à la hauteur 0.12e ou arrondi par un quart de cercle de rayon r = 0.05e.
Toutes ces formules établies depuis le début du paragraphe V-2, supposent que le déversoir est
dénoyé (haval < 2/3 hamont). Lorsque le déversoir devient noyé, le coefficient de débit diminue et en
toute rigueur le débit dépend de la différence de charge entre l’amont et l’aval.
V – 3 Vanne
V – 3.1 Définition
Une vanne est un obstacle vertical amovible utilisé pour la régulation de la hauteur aval. Une
vanne occasionne elle aussi nettement moins de pertes de charges qu’un ressaut. Il y a deux types
d’écoulement à travers une vanne :
- Ecoulement dénoyé (vanne dénoyée) : quand on a un raccordement rapide soit à la ligne
torrentielle normale à la vanne, soit à la ligne fluviale normale par l’intermédaire d’un
ressaut hydraulique.
- Ecoulement noyé (vanne noyée) : quand on a un niveau fluvial à partir de la vanne.
Le principe de l’étude est qu’on choisit 2 sections une à l’amont et la second est la section
contractée puis on applique le théorème de Bernouilli car l’écoulement est convergent. Désignons
par a l’ouverture de la vanne et Cc le coefficient de contraction. On obtient :
𝑃1∗ 𝑈12 𝑃2∗ 𝑈22
+ = +
𝜌𝑔 2𝑔 𝜌𝑔 2𝑔
V – 3.2 Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée

L’application du théorème de Bernouilli entre les deux sections donne :
𝑄2 𝑄2
ℎ1 + = 𝐶𝑐 × 𝑎 +
2 𝑔 𝑏² ℎ12 2 𝑔 𝐶𝑐2 𝑏² 𝑎2
𝑄2 1 1
ℎ1 − 𝐶𝑐 𝑎 = 2 ( 2 2 − 2)
2𝑔𝑏 𝐶𝑐 𝑎 ℎ1
𝒉𝟏
𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂 𝒃 √𝟐 𝒈 √
𝑪 𝒂
𝟏+ 𝒄
𝒉𝟏
𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂 𝒃 √𝟐 𝒈 𝒉𝟏 𝒔𝒊 𝑪𝒄 × 𝒂 ≪ 𝒉𝟏
V – 3.3 Cas d’une vanne rectangulaire noyée

L’application du théorème de Bernouilli entre les deux sections donne :
𝑄2 𝑄2
ℎ1 + = ℎ2 +
2 𝑔 𝑏² ℎ12 2 𝑔 𝐶𝑐2 𝑏² 𝑎2
𝟐 𝒈 (𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 )
𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂 𝒃
√ 𝑪𝟐 𝒂𝟐
𝟏− 𝒄 𝟐
𝒉𝟏
𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂 𝒃 √𝟐 𝒈 (𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 ) 𝒔𝒊 𝑪𝒄 × 𝒂 ≪ 𝒉𝟏
V – 4 Etudes des singularités

L'étude des singularités de l'écoulement permet :
- soit de prévoir le dimensionnement local des ouvrages de telle manière qu'ils contiennent les
perturbations mentionnées ci – haut ;
- soit de modifier les dispositions des singularités de telle manière que les irrégularités de
l'écoulement soient réduites et que le dimensionnement courant des ouvrages les contiennent.
V – 4.1 Types de problème

Les problèmes rencontrés sont de deux types :
- Soit le débit est connu : Il s'agit alors de déterminer la ou les sections de contrôle et de définir
la ligne d'eau dans la zone d'influence de la singularité ;
- Soit le débit n'est pas connu : Dans ce cas, une condition de niveau (Réservoir par exemple)
permet de calculer le débit et ensuite de tracer la ligne d'eau.
V – 4.2 Méthode d’étude

L'étude des singularités est basée dans la plupart des cas sur l'interprétation des courbes Hs (y)
correspondant à la singularité.
Le tableau 5.1 synthétise les conclusions de l'étude qualitative des écoulements graduellement
variés. On peut en tirer les remarques suivantes :
1) Connaissant la charge spécifique Hs dans une section donnée, la courbe Hs(y) définit deux
profondeurs y1 et y2 correspondant au régime torrentiel et au régime fluvial respectivement.
2) II faut une charge spécifique minimale Hsc pour établir un écoulement dans une section
donnée.
3) Certains types de courbe de remous permettent d'augmenter la charge spécifiaue Hs et
l'écoulement devra s'adapter suivant de telles courbes pour avoir la charge spécifique
minimale Hsc au niveau de la singularité.
𝒅𝑯𝒔
𝑪𝒆 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒍𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒖𝒓𝒃𝒆𝒔 𝑴𝟏, 𝑺𝟏, 𝑺𝟐, 𝑪𝟏 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒍𝒍𝒆𝒔 >0
𝒅𝒙
4) Le passage du régime fluvial au régime torrentiel nécessite le passage par une section
critique (chute).
5) Le passage du régime torrentiel au régime fluvial nécessite un ressaut. L'équation du ressaut
permet de calculer y2 (profondeur cdnjuguée de y1) connaissant y1.
6) Il n'y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à une profondeur normale
torrentielle à l'amont. Cette profondeur doit être atteinte à l'amont immédiat de la singularité ou
par l'intermédiaire d'un ressaut. L'écoulement torrentiel est influencé par l'amont jusqu'à la
singularité ou au ressaut.
7) Il n'y a pas de courbe de remous permettant de se raccorder à une profondeur normale
fluviale à l'aval. Cette profondeur doit donc être atteinte à l'aval immédiat de la sinaularité ou par
l'intermédiaire d'un ressaut. L'écoulement fluvial est influencé par l'aval jusqu'à la singularité
ou au ressaut.
La combinaison de ces diverses remarques permet de définir les singularités de l'écoulement.

Les singularités suivantes seront étudiées en fonction du caractère rapide ou lent des biefs
amont et aval de la singularité :
- changement de pente ; changement de radier ; changement de section
Ces divers types de singularités sont étudiés en fonction du caractère rapide ou lent des
tronçons de canaux amont et aval de la singularité.
V – 4.2.1 Augmentation de la pente

On distingue trois cas possibles
1er cas : Le régime normal est fluvial dans les 2 biefs (passage de NF à NF)
Puisqu'il n'y aura pas de ressaut et pas de courbe de remous permettant de se raccorder à un
écoulement normal fluvial aval, le régime normal fluvial aval vient jusqu’à la singularité. L'action
de la singularité se fait ressentir à l'amont par une courbe de remous M2 dans le bief 1 dont le
contrôle est yn2.
2ème cas : Le régime normal est torrentiel dans les 2 biefs (passage de NT à NT)
écoulement normal torrentiel à l’amont, le régime normal torrentiel amont vient jusqu’à la
singularité. L'action de la singularité se fait ressentir à l'aval par une courbe de remous S2 dans le
bief 2 dont le contrôle est yn1.
3ème cas : Le régime normal est fluvial en amont et torrentiel en aval (passage de NF à NT)
L'action de la singularité se fait sentir à l'amont et à l'aval de la singularité. Une courbe de remous
M2 permet le raccordement à yn1 (contrôle yc) dans le bief 1 et une autre courbe de remous S2
permet le raccordement à yn2 (contrôle yc) dans le bief 2.
V – 4.2.2 Diminution de la pente

On distingue quatre cas possibles
1er cas : Le régime normal est fluvial dans les 2 biefs (passage de NF à NF)
écoulement normal fluvial aval, le régime normal fluvial aval s’établit jusqu’à la singularité.
L'action de la singularité se fait ressentir à l'amont par une courbe de remous M1 dans le bief 1
dont le contrôle est yn2.
2ème cas : Le régime normal est torrentiel dans les 2 biefs (passage de NT à NT)
écoulement normal torrentiel à l’amont, le régime normal torrentiel amont vient jusqu’à la
singularité. L'action de la singularité se fait ressentir à l'aval par une courbe de remous S3 dans le
bief 2 dont le contrôle est yn1.
3ème et 4ème cas : Le régime normal est torrentiel à l’amont et fluvial à l’aval (passage de NT à NF)
La ligne d’eau doit obligatoirement passer du régime torrentiel au régime fluvial ; il y aura donc
un ressaut. La singularité fera sentir ses effets à une très faible distance à l’amont où il est torrentiel
et à l’aval où il est fluvial. Le régime ne sera plus graduellement varie mais brusquement varié, ce
que traduit le ressaut.
La position du ressaut dépendra des grandeurs relatives des profondeurs normales yn1 et yn2 et
leurs conjugées y’n1 et y’n2 dans les deux biefs.
• 3ème cas si y’n1 > yn2 ou si y’n2 > yn1 ; Le ressaut se produira dans le bief aval (2)
Le régime normal torrentiel amont arrive jusqu’à la singularité ; une courbe de remous M3
ayant comme contrôle yn1 augmentera la profondeur d’eau y jusqu’à atteindre y’n2 puis un
ressaut (y’n2 ; yn2) se forme.
• 4ème cas si y’n1 < yn2 ou si y’n2 < yn1 ; Le ressaut se produira dans le bief aval (1)
Le régime normal fluvial aval arrive jusqu’à la singularité ; une courbe de remous S1 ayant
comme contrôle yn2 diminuera la profondeur d’eau y vers l’amont dans le bief 1 jusqu’à
atteindre y’n1 puis le ressaut se forme pour diminuer (y’n1 ; yn1) se forme.
Le lecteur est invité à lire le polycopié de Mar (2004) pour des informations concernant les autres
types de singularités.

Exercice V – 1 : Un débit de Q = 5 [m3/s] s’écoule dans un canal rectangulaire de 3 [m] de large dont
la pente est de 0.001 avec un coefficient de Manning n = 0.0125. Une vanne de fond de même
largeur se trouve au milieu du bief du canal. Le coefficient de contraction de la vanne est Cc = 0.55.
Déterminer la ligne d’eau pour les deux ouvertures suivantes : h0 = 1.0 [m] et h0 = 0.5 [m].
Exercice V – 2 : Pour un débit de 400 [l/s], quelle est la charge h au-dessus de la crête pour les types
de déversoirs ci-dessous :
1) Déversoir de Gourley et Grimp avec un angle d’échancrure de 60° ;
2) Déversoir rectangulaire avec contraction latérale ayant une longueur de 1 [m] ;
3) Déversoir de Cipoletti avec une largeur de 0.80 [m] ;
4) Déversoir de Rehbook avec une pelle de 0.60 [m] et une longueur de 1 [m] ;
5) Déversoir rectangualire à seuil épais avec une épaisseur du seuil de 0.30 [m] et une
longueur de 1 [m].
Quel déversoir choisirez-vous pour mesure ce débit ?
Exercice V – 3 : On considère la vanne ci-dessous qui est utilisée pour contrôler le débit dans un
canal rectangulaire en béton de largeur b = 5 [m], de pente I = 0.25% et du coefficient de Strickler
Ks = 70 [m1/3/s]. Pour une certaine ouverture de la vanne, la profondeur de la section contractée à
une hauteur de 1.5 [m] correspondant à un débit Q = 62.5 [m3/s]. En supposant que les conditions
avales sont telles que l’écoulement devient uniforme à une certaine distance de la vanne on
demande :
1) Prouver qu’un ressaut hydraulique se formera avant l’écoulement uniforme. Calculer sa
longueur et son rendement.
2) Calculer la hauteur d’eau h1 en amont de la vanne.
3) Entre l’ouverture de la vanne et le début du ressaut, s’établit une courbe de remous. De
quel courbe de remous s’agit-il ?
4) Calculer par la méthode de Bakhmeteff la longueur de la courbe d’eau (on donnera les
valeurs de n, età 10-3 près)
NB : Pour le calcul de l’exposant hydraulique n, on prendra au minimum 5 points.
Exercice V – 4 : Dans une station hydroélectrique, un débit Q = 6 [m3/s] transite dans un très long
canal 1 rectangulaire d’une largeur b = 4 [m], dont la pente est de I1 = 1% et le coefficient de
Strickler Ks = 80 [m1/3/s]. La pente de fond passe brusquement à I2 = 1‰. Dans ce canal 2, après une
distance de 140 [m], l’écoulement rencontre une vanne de fond dont la largeur est celle du canal (4
m). Déterminer et tracer la ligne d’eau pour les deux ouvertures suivantes de la vanne :
(i) a = 1.20 [m]
(ii) a = 0.50 [m].
Exercice V – 5 : La rivière NAKANBE peut être assimilée à un canal très large de largeur L = 50 [m].
sur la rivière, on a construit un barrage muni d’un déversoir qui a une largeur effective LD = 30
[m] et un coefficient de débit  = 0.5 et qui est haut de 5.5 [m]. La rugosité du lit de la rivière est Ks
= 40 [m1/3/s].
1) Les profondeurs normale et critique ont été déterminées comme étant yn = 1.30 [m] et yc =
0.55 [m]. Calculer le débit par unité de largeur et la pente du canal ;
2) Quelle sera la hauteur d’eau au-dessus du déversoir si le barrage déverse ?
3) A 2.5 [km] du barrage, on veut construire un pont. Le débit maximal qui peut survenir a été
estimé à 200 [m3/s]. Quelle sera la cote minimale du tablier inférieur du pont si on doit
laisser une revanche de 1 [m].
Pont
1m
Niveau maximum des eaux 651.2
5.5
2.5 km
Exercice V – 6 : Un canal rectangulaire suffisamment long relie deux lacs dont les niveaux sont
supposés constants. Les dimensions nécessaires et les cotes sont indiquées sur la figure. La
rugosité de Strickler est Ks = 70 [m1/3/s] et la pente est I = 1‰.
1) Quel est le débit qui transite dans le canal ?
2) Donner l’allure de la ligne d’eau le long du canal en indiquant les différents types de
courbes de remous et leurs longueurs.
3) Reprendre les questions 1 et 2 pour une pente I = 1%.
2.75 m
1.4 m 1.50 m
2.00 m
0.55 m
0.0
Références bibliographiques
A. Lencatre, Hydraulique Générale. Editions Eyrolles - SAFEGE, Paris, 1996.
A. Biaou (2009) Cours d’hydraulique à surface libre. Polycopié de cours de l’Institut International
d’Ingénierie de l’Eau et de l’Environnement, Pp133.
Laborde, J. P., 2007. Eléments d’hydraulique générale. Polycopié du cours de l’Ecole Polytechnique
de l’Université NICE - SOPHIA ANTIPOLIS, Pp 91.
Mar, A. L., 2003, Cours d’hydraulique. Mécaniques des fluides. Polycopié de cours de l’Institut
International d’Ingénieur de l’Eau et de l’Environnement, Edité au 2iE, Ouagadougou,
Burkina Faso.
Mar, A. L., 2003, Cours d’hydraulique. Tome 2 : Ecoulement à surface libre, Polycopié de cours de
l’Institut International d’Ingénieur de l’Eau et de l’Environnement, Edité au 2iE,
Ouagadougou, Burkina Faso.
J. Vasquez (2010). Cours d »hydraulique à surface libre. Ecole Nationale du Génie De l’Eau et de
l’Environnement de Strasbourg. Pp. 105.
W. H. Graf Hydraulique Fluviale. Presses Polytechniques Romandes, EPFL, Lausanne, 1993

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Essentiel de l’Hydraulique à Surface libre

Edition Septembre 2013

• Mesurer les débits :

Application de l’Hydraulique à surface libre

I – 1 Classification des écoulements à surface libre

(i) Ecoulements permanents

❖ Ecoulements non conservatifs : Q ≠ cste

I – 2 Eléments géométriques et hydrauliques d’un canal

Figure I – 2 : Coupe transversale d'un écoulement à surface libre et définitions

• Fruit du talus ou des berges m : c'est le rapport entre la projection horizontale et la

I – 3 Débit – vitesses dans une section du canal

I – 4 Vitesses limites et forces tractrices

I – 4.2 Vitesse maximale

I – 4.3 Forces tractrices

Lors de la traction des matériaux, ces derniers produisent une résistance.

Calcul des forces de résistance

- Stabilité du fond du canal : 19034 I < 11.77  I < 6.19 10-4

La pente maximum du canal : Imax = 2 10-4

I – 5.1 Effets de la viscosité

L’écoulement est laminaire si Re < 2000.

I – 5.2 Effets de la gravité

❖ Revêtement des canaux

II – 2 Pression et charge dans une section

PM = P0 + g hM avec hM = yM cos

En passant à des pressions relatives on obtient : PM = g yM cos

II – 2.2 Charge Hydraulique

La distribution des pressions est hydrostatique, on a :

La cote ou ligne piézométrique est définie se definie comme suit : ZP = Zf + y cos θ

Du fait que l’écoulement est uniforme.

Projection des forces volumiques suivant l’axe (Ox) :

II – 3.1 Formule de Chezy

Il existe de nombreuses formules empiriques ou semi-empiriques qui dérivent de la formule de

II – 3.2 Formule de Manning-Strickler

Où n est le coefficient de Manning et Ks celui de Strickler.

II – 3.4 Calcul de Ks pour des sections composées

Si la vitesse moyenne Ui dans les sous-sections sont différentes, la formule de Manning-Strickler

II – 4.1 Calcul de la profondeur normale ou d’un paramètre du canal

Exercice d’application II – 2 : On veut écouler un débit de 15 [m3/s] dans un canal traperzoïdal de

Propriétés de la section hydrauliquement favorable

II – 4.2.1 Calcul de la section hydrauliquement favorable

Posons pour la suite des calculs :  = 𝟐√𝟏 + 𝒎² − 𝒎

Eléments de réponse : S et P étant minimaux, la section est hydrauliquement favorable. On a :

 = 2 √1 + m² − m = 2√1 + 0.25² − 0.25 = 1.812

NB : Le trapèze de section mouillée minimum ne constitue pas toujours la section la plus

II – 4.2.2 Calcul d’une section avec une vitesse limite imposée

Exercice d’application II – 6 : Calculer la pente I, la largeur au radier b et la profondeur d’eau y

 = 2 √1 + m2 − m = 2 √1 + 1.5² − 1.5 = 2.106

II – 4.2.4 Calcul d’une section et d’une pente limite si b ou y imposé

Exercice d’application II – 7 : Calculer la pente I et la profondeur d’eau y d’un canal trapézoïdal de

Dimensions à donner aux canaux trapéziques

Exercice II – 10 : Dans un canal en béton, l’écoulement uniforme à une profondeur normale

Exercices non résolus

Exercice II – 16 : Un canal trapézoïdal ayant un coefficient de rugosité de Strickler Ks = 40

Exercice II – 18 : Un écoulement dans un canal rectangulaire en béton a une profondeur normale 5

Exercice II – 19 : On considère un canal de section rectangulaire de largeur au radier b = 2.50 m,

3-a) Calculer la rugosité équivalente à l’ensemble du dispositif, sachant que la rugosité de

4) A présent, seulement 75% du débit calculé ci-dessus s’écoule dans le canal.

Cas des écoulements graduellement variés

III – 2 Charge moyenne et charge spécifique Hs