Professeur 

: RACHID FANIDI Dérivation et étude des

fonctions-Série 02-
L’année Scolaire :2020-2021
Sciences Economies et
Lycée AL Massira EL Khadraa Tiznit
Gestion de Comptables

EXERCICE 01 EXERCICE 05

Etudier la dérivabilité de f en a et donner l’équation de la Soit la fonction f définie sur R par : f ( x )=x √ x 2 +1
tangente à la courbe ( C f ) dans les cas suivants : 1) Montrer que f admet une fonction réciproque f −1
1) f ( x )=x 3−4 x 2−x +2et a=1. définie sur son domaine de définition qu’on déterminera
x2  x  3 2) a-Montrer que f −1 est dérivable en 0 et en √ 2.
f ( x)  ' '
x 2  1 et a  0 b-Calculer ( f −1 ) (0) et ( f −1 ) (√ 2)
2)
3) f ( x )=x− √ x +2et a=2 (on remarque que: f ( 0 )=0 et f ( 1 ) =√ 2 )
4) f ( x )=x √ x −1 et a=1
EXERCICE 06
EXERCICE 02 On considère la fonction f définie par:
x
On considère la fonction f définie par : f ( x )=
f ( x )= √ x 2−2 x √ x−1
1) Déterminer Df puis calculer les limites de f dans les
1) Déterminer Df .
extrémités de D f .
2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 2 et à gauche en
2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter
0 puis interpréter les deux résultats graphiquement.
Graphiquement le résultat.
EXERCICE 03 3) a-Calculer f ' ( x ) pour tout x ∈ Df −{ 0 }.
b-Dresser le tableau de variation de la fonction f .
Soit f une fonction définie sur ¿ par: 4) Soit g la restriction de f sur l’intervalle I =¿
a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1
f ( x )=x + √ x
1) Etudier la continuité de f sur ¿. définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
9
2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter g−1
Graphiquement le résultat. b-Montrer que est derivable en 2 puis Calculer
( g−1) ( 9 ).
'

EXERCICE 04 2

Soit f la fonction définie surR par: EXERCICE 07

f ( x )=x 3−3 x−3
lim f ( x) et lim f (x ). On considère la fonction f définie par:
1) Calculer x→−∞ x→+∞ f ( x )=x−2 √ x−1
2) Calculer f ' ( x ) pour tout x ∈ R puis dresser le tableau de
1) Déterminer Df puis calculer lim f (x )
variations de f . x→+∞

3) Soit g la restriction de f sur l’intervalle I =¿ 2) Etudier la dérivabilité de f à droite en 1 et interpréter

a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 Graphiquement le résultat.
définie sur un intervalle J qu’on déterminera. 3)a-Montrer que pour tout x ∈ ¿ 1;+ ∞ ¿:
x−2
b-Montrer que l’équation g ( x )=0 admet une solution f ' ( x )=
unique α dans I et que: 2<α <3. √ x −1 ( 1+ √ x−1 )
c- Montrer que g−1 est derivable en 0 et que: b- Dresser le tableau de variation de la fonction f .
4) Soit g la restriction de f sur l’intervalle I =¿
( g−1) ( 0 )= 12
'
a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1
3 ( α −1 )
définie sur un intervalle J qu’on déterminera.
1
b-Montrer que g−1 est derivable en 1 puis Calculer
'
( g−1) (1).
 c- Etudier la position relative de la droite ( D ) et la courbe
( C f ) sur Df .
On considère la fonction numérique définie sur R+¿ ¿par : 3) a-Montrer que:
2
f ( x )=x ( √ x−2 ) ' 2 x ( x +2)
( ∀ x ∈ D f ) ; f ( x )=
Et soit ( C f ) sa courbe représentative dans un repère ( x+ 1 )2
orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) b- Etudier le signe de f ' ( x ) sur Df ,puis dresser le
1) Calculer : tableau de variations de f sur Df .
f ( x) 4) a-Montrer que pour tout x ∈ Df :
lim f (x )et lim
x→+∞ x→+∞ x f } left (x right ) = {4} over {{left (x+1 right )} ^ {3} ¿
Que peut-on déduire ? b-Etudier la concavité de la courbe ( C f ) sur Df
2) Etudier la dérivabilité de la fonction f à droite en 0 5) a- Ecrire une equation de la tangente ( T ) à la courbe
puis interpréter le résultat obtenu. ( C f ) au point d’abscisse1.
3) a-Montrer que pour tout x ∈ ¿ 0 ;+∞ ¿:
b- Tracer ( T ) et ( C f ) .
f ' ( x )=2 ( √ x−1 )( √ x−2 )
b-Etudier le signe de f ' ( x ) puis dresser le tableau de
EXERCICE 10
variations de la fonction f .
4) Etudier la concavité de la courbe ( C f ) et Montrer que On considère la fonction f définie par:
( C f ) Admet un unique point d’inflexion I auquel on 2 x2 −7 x+8
déterminera ses coordonnées. f ( x )=
x−2
5) Résoudre dans R+¿ ¿ l’équation f ( x )=x et interpréter le C
Et soit ( f ) sa courbe representative dans le plan muni
résultat graphiquement. d’un repère orthonormé ( O , i⃗ , ⃗j ).
6) Tracer la courbe ( C f ) dans le repère ( O ; ⃗i ; ⃗j ) . 1) a-Déterminer Df .
7) Soit g la restriction de la fonction f sur I =¿
b- Calculer lim f (x ) et lim f ( x) .
a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 x→+∞ x→−∞

définie sur un intervalle J à déterminer . c- Calculer lim ¿ et lim ¿ ,puis interpreter les
−¿ +¿
x→ 2 f (x)¿ x→ 2 f (x)¿
b-Dresser le tableau de variations de la fonction g−1 . résultats obtenus.
'
c-Calculer g ( 9 ) puis déterminer ( g−1) ( 9 ) 2) a- Montrer que:
d-Montrer que pour tout x ∈ J : 2 ( x−1 ) ( x −3)
2 ( ∀ x ∈ D f ) ; f ' ( x )=
−1
g ( x )=( √ 1+ √ x +1 ) ( x−2 )2
8) Tracer la courbe ( C g ) dans le repère ( O ; ⃗i ; ⃗j ) .
−1 b- Etudier le signe de f ' ( x ) sur D f ,puis dresser le
tableau de variations de f sur Df .
EXERCICE 09 3) Montrer que:
( ∀ x ∈ R ¿ ) ; f } left (x right ) = {4} over {{left (x-3 right )} ^ {3} ¿
On considère la fonction f définie par: Puis Étudier la concavité de ( C f ) .
2 x2 +3 x +3 4) a- Verifier que:
f ( x )= 2
x +1 ( ∀ x ∈ Df ) ; f ( x )=2 x−3+ x−2
Et soit ( C f ) sa courbe representative dans le plan muni
d’un repère orthonormé ( O , i⃗ , ⃗j ). b- Déduire que la droite ( D ) d’équation y=2 x−3
1)a- Déterminer Df . est un asymptote oblique à la courbe ( C f ) au voisinage
b- Calculer lim ¿ et lim ¿ ,puis interpreter de −∞ et + ∞ .
c-Etudier la position relative de la courbe ( C f ) par
−¿ +¿
x→ (− 1 ) f ( x)¿ x→ (− 1 ) f (x)¿
les résultats obtenus .
rapport à la droite ( D ) .
lim f (x ) et lim f (x) .
c- Calculer x→+∞ x→−∞ 5) Montrer que le point Ω( 4 ; 1 ) est un centre de symétrie
2)a- Vérifier que: de la courbe ( C f ) .
2 6) Tracer ( D ) et ( C f )
( ∀ x ∈ Df ) ; f ( x )=2 x +1+ x +1
b- Montrer que la droite ( D ) d’équation y=2 x +1
est un asymptote oblique à la courbe ( C f ) au voisinage de 2
−∞ et + ∞ .
3)a- Ecrire une équation de la tangente ( T ) à la courbe
EXERCICE 11
 ( C f ) au point d’abscisse1.
On considère la fonction f définie par: b- Tracer ( C f ) .
x +1 4) Soit g la restriction de la fonction f sur I =¿
f ( x )=x +1− 2
x a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1
Et soit ( C f ) sa courbe representative dans le plan muni définie sur un intervalle J à déterminer.
d’un repère orthonormé ( O , i⃗ , ⃗j ). b-Comparer g−1 ( 7,001 ) et g−1 ( 7,002 ).
1) Déterminer Df . '
c-Vérifier que g−1 ( 6 )=4 et calculer ( g−1) (6)
2) Calculer lim f ( x ), et donner une interpretation
x →0 d- Tracer la courbe ( C g ) dans le repère ( O ; ⃗i ; ⃗j ) .
−1

géométrique du résultat obtenu. e-Montrer que que pour tout x ∈ ¿ 1;+ ∞ ¿:

3) a- Calculer x→+∞lim f (x ) et lim f (x) . ( 1+ √ 1+8 x )
2
−1
x→−∞ g ( x )=
b- Montrer que la droite ( D ) d’équation y=x +1est un 16
asymptote oblique à la courbe ( C f ) au voisinage de −∞ et
+∞ . EXERCICE 13
c- Etudier la position relative de la courbe ( C f ) par
Partie 1:
rapport à la droite ( D ) sur D f .
On considère la fonction numérique g définie sur ¿par :
4) a- Montrer que:
g ( x )=x 3+ √ x−2
x +1 x 2−x +2
'
( ∀ x ∈ D f ) ; f ( x )= ( )(
x x2) 1) Etudier la dérivabilité de g à droite en 0.
2) Calculer lim g ( x)
b- Etudier le signe de f ' ( x ) ,puis dresser le tableau de x→+∞
'
variations de f . 3)a-Calculer g ( x ) pour tout x ∈ ¿ 0 ;+∞ ¿
5) a- Montrer que: b-En déduire que g est strictement croissante sur
'' −2( x+3) l’intervalle ¿.
( ∀ x ∈ Df ) ; f ( x ) = c-Dresser le tableau de variations de g.
x4
4) Calculer g(1) et en déduire le signe de g( x ) pour tout
b- Etudier la concavité de ( C f ) et Montrer que ( C f )
x ∈ ¿.
admet un point d’inflexion J dont on déterminera ses
Partie 2 :
coordonnées.
On considère la fonction numérique f définie sur
6) Déterminer les points d’interesction de ( C f ) avec l’axe ¿ 0 ;+ ∞¿par :
des abscisses. x 3−4 √ x + 4
7) Tracer ( D ) et ( C f ) . f ( x )=
x
C
Et soit ( f ) sa courbe représentative dans un repère
EXERCICE 12 orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) .

On considère la fonction numérique f définie sur R+¿ ¿ 1) Calculer lim ¿, et donner une interpretation
+¿
x→ 0 f (x)¿

par : géométrique du résultat obtenu.

f ( x )=2 x−√ x lim f (x ).
2)a-Calculer x→+∞
C
Et soit ( f ) sa courbe représentative dans un repère b-Montrer que:
orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) . f (x)
1)a-Calculer les limites : lim =+ ∞
x→+∞ x
f ( x) Et interpréter le résultat graphiquement.
lim f (x )et lim et lim f (x )−2 x
x→+∞ x→+∞ x x→+∞ 3)a- Montrer que pour tout x ∈ ¿ 0 ;+∞ ¿:
b-Interpréter le résultat graphiquement. 2 g( x)
2)a-Montrer que : f ' ( x )=
x2
lim ¿ b- Dresser le tableau de variation de la fonction f .
+¿ f (x)
x→ 0
4) Ecrire une equation de la tangente ( T ) à la courbe ( C f )
=−∞ ¿
x
Et interpréter le résultat graphiquement. au point d’abscisse4.
b-Montrer que pour tout x ∈ ¿ 0 ;+∞ ¿: 5) Tracer ( C f )
16 x−1 3
f ' ( x )= Partie3:
2 √ x ( 4 √ x+ 1 ) Soit h la restriction de la fonction f sur I =¿
c-Dresser le tableau de variation de la fonction f .
1)Montrer que h admet une fonction réciproque h−1
définie sur un intervalle J à déterminer.
2)Montrer que h−1 est dérivable en 15 et calculer 4)a-Montrer que pour tout x ∈ Df :
'
( g−1) (15). x−2
f ' ( x )= 3
3) Comparer h−1 ( 3. 102015 ) et h−1 ( 2. 102016 ) . 2 ( √ x−1 )
4) Tracer la courbe ( C h ) dans le repère ( O ; ⃗i ; ⃗j ) .
−1
b- Dresser le tableau de variations de f .
5)Donner l’équation de la tangente ( T ) à la courbe ( C f )
EXERCICE 14 Au point d’abscisse 5.
6) Tracer la courbe ( C f ) .
Partie 1: 7) Soit g la restriction de la fonction f sur I =¿
On considère la fonction numérique g définie sur ¿par : a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1
1 définie sur un intervalle J à déterminer.
g ( x )=6 x−8 x √ x−
2 5
1) Montrer que pour tout x ∈ ¿ 0 ;+∞ ¿: g−1
b- Montrer que est derivable en 2 puis Calculer
g' ( x )=6(1−2 √ x)
( g−1) ( 5 ).
'
2) Dresser le tableau de variations de g. 2
3) En déduire que pour tout x ∈ ¿: g ( x ) ≤ 0.
Partie 2 : EXERCICE 16
On considère la fonction numérique f définie sur ¿par :
f ( x )=( 4 x−1 ) √ x −4 x 2 +1 Soit f la fonction définie par:
Et soit ( C f ) sa courbe représentative dans un repère 2 x 2 +1
f x= 2
( )
orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) . x −2 x
1) Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter Et soit ( C f ) sa courbe représentative dans un repère
graphiquement le résultat. orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) .
2)a-Calculer x→+∞ lim f (x ). 1) Déterminer Df .
b-Montrer que: 2) a-Calculer les limites aux bornes de D f .
f ( x) b-En déduire les équations des asymptotes de la
lim =−∞
x→+∞ x courbe ( C f ) .
Et interpréter le résultat graphiquement. 3)a-Montrer que pour tout x ∈ Df :
3)a- Montrer que pour tout x ∈ ¿ 0 ;+∞ ¿: ( x+1 ) ( 2−4 x )
f ' ( x )=
g (x) ( x2−2 x )2
f ' ( x )=
√x b-Dresser le tableau de variation de la fonction f .
b- Dresser le tableau de variation de la fonction f . c-Donner la nature des tangentes à ( C f ) aux points
4) Calculer f (1) et tracer la courbe ( C f ) . 1

EXERCICE 15 d’abscisses -1 et 2 .
d- Donner l’équation de la tangente ( T ) à la courbe ( C f )
On considère la fonction f définie par : Au point d’abscisse 0.
x 4) Tracer la courbe ( C f ) .
f ( x )=
√ x−1 5) Soit g la restriction de la fonction f sur I =¿ 2 ;+∞ ¿
Et soit ( C f ) sa courbe représentative dans un repère a-Montrer que g admet une fonction réciproque g−1
orthonormé ( O ; ⃗i ; ⃗j ) . définie sur un intervalle J à déterminer.et en déduire le
1) Déterminer Df . tableau de variations de g−1 .
b-Comparer g−1 ( 3,1234 ) et g−1 ( 3,1324 ) .
2) Calculer lim ¿ et interpréter graphiquement le
−1 19 −1 ' 19
+¿
x→ 1 f (x)¿
résultat.
lim f (x ).
c-Vérifier que g ( ) 3
=4 et calculer ( g ) ( )
3
3)a- Calculer x→+∞ d-Montrer que g est dérivable sur I.
−1

f (x)
b-Calculer lim
x→+∞ x 4
Et interpréter le résultat graphiquement.