1 - Planchers Courants

Planchers courants
1 : Généralités sur les planchers

2 : Calcul des dalles
3 : Calcul des poutres continues
4 : Exemple de calcul d’une poutre isostatique
Rien n’a été à la fois trouvé et porté à sa perfection

Cicéron
TABLE DES MATIERES
1. GÉNÉRALITÉS
1.1. Plancher à nervures
1.2. Dalle à caisson
1.3. Dalle champignon
1.4. Plancher à corps creux et poutrelles
1.5. Plancher composé d’une dalle s’appuyant sur un réseau de poutres
2. CALCUL DES DALLES

2.1. Définitions
2.2. Aspect théorique
2.3. Calcul des moments et efforts tranchants d'après les abaques de Pigeaud
2.3.1. Cas des plaques chargées uniformément
2.3.1.1. Panneau rectangulaire isostatique
2.3.1.2. Dalles continues
2.3.1.3. Effort tranchant
2.3.2. Cas des charges concentrées sur un rectangle concentrique à la dalle
2.3.3. Cas des charges concentrées sur un rectangle non concentrique à la plaque
2.4. Calcul conforme au règlement BAEL 91 révisées 99
2.4.1. Cas des dalles rectangulaires avec α ≤ 0,4
2.4.2. Cas des dalles rectangulaires avec α > 0,4
2.5. Calcul du ferraillage des dalles
2.5.1. Armatures de flexion
2.5.2. Armatures d’effort tranchant
2.5.3. Armatures de poinçonnement
2.5.3.1. Rectangle d’impact
2.5.3.2. Vérification de la résistance au poinçonnement
2.5.4. Disposition des armatures
2.5.5. Arrêt des barres
2.5.5.1. Première méthode
2.5.5.2. Deuxième méthode
2.6. Vérification des déformations
2.7. Condition de non fragilité
3. POUTRES DE PLANCHERS
3.1. Essais de poutres en béton armé
3.2. Planchers à charge d’exploitation modérée : Méthode forfaitaire
3.2.1. Domaine d’application
3.2.2. Principe de la méthode
3.2.3. Application de la méthode
N. MIHOUBI BAOUCHE Partie I : Calcul des dalles + Calcul des poutres continues
3.2.4. Transmission des charges
3.2.4.1. Méthode des lignes de rupture
3.2.4.2. Méthode de Pigeaud
3.2.5. Effort tranchant
3.3. Planchers à charge d’exploitation élevée : Méthode de Caquot
3.3.3. Moments sur appui
3.3.3.1. Cas des charges réparties
3.3.3.2. Cas des charges concentrées
3.3.3.3. Moments en travée
3.3.3.4. Efforts tranchants
3.3.3.5. Arrêt des barres et vérification des appuis
4. EXEMPLE DE CALCUL D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE
ANNEXES
Annexe 1 : Abaques de Pigeaud
Annexe 2 : Valeurs de kw et ke en fonction aw/lw ou ae/le
Annexe 3 : Organigramme de calcul d’une section rectangulaire
PLANCHERS COURANTS
1. GÉNÉRALITÉS
Un plancher d'habitation ou d'usine est une aire généralement plane, destinée à limiter les étages
et à supporter les revêtements de sols.
Les principales fonctions d’un plancher sont :

- Supporter les charges permanentes et les surcharges d’exploitation (variables et
accidentelles) pour les transmettre aux éléments porteurs que sont les murs et les poteaux.
- Transmettre les efforts horizontaux aux éléments de contreventement vertical.
- Posséder un poids modeste pour réduire au maximum la charge permanente.
- Assurer une bonne isolation phonique.
- Offrir une surface praticable pour des revêtements.
- Protéger contre l’humidité.
- Résister au feu.
- Permettre la distribution de fluides, particulièrement l’électricité.
- Conserver dans le temps ses qualités physiques, mécaniques, acoustiques, son aspect et sa
planéité.
- Etc.
Les planchers en béton armé peuvent être coulés sur place ou préfabriqués. On distingue :
1.1. Plancher à nervures
Le plancher est constitué par une dalle générale d’épaisseur relativement faible et des poutrelles
rapprochées. La largeur des nervures est choisie de sorte que les armatures puissent être
disposées et enrobées correctement. L’épaisseur varie entre 4 cm et 10 cm. C’est donc une dalle
plus légère que la dalle pleine (Fig.1.1a).
Figure 1.1a: Dalle nervurée
La hauteur totale H (Nervure + Dalle) est comprise entre 25 cm à 35 cm. La dalle nervurée est
indiquée pour couvrir des locaux de forme allongée. Elle porte dans un seul sens. Lorsque la portée
L dépasse 4 m, il est préconisé d’ajouter une ou plusieurs nervures transversales de raidissement
pour solidariser les autres nervures.
Ce type de dalle offre moins de souplesse d’utilisation que la dalle pleine.
1.2. Dalle à caisson
C’est un plancher constitué par un réseau de nervures croisées (disposées dans les deux sens). Il
est recommandé pour couvrir des locaux de forme carrée ou presque carrée (Fig.1.1b).
Figure 1.1b: Dalle à caisson
1.3. Dalle champignon
La dalle champignon est constituée par une dalle continue, sans nervures, armée dans les deux
sens. Elle repose directement sur des poteaux et forme avec ces derniers un cadre dans l’espace.
Les réactions transmises par la dalle aux poteaux sont souvent très élevées, d’où un risque de
poinçonnement. Pour y remédier, on augmente la section des poteaux au niveau des sommets
(forme de champignon). On obtient ainsi une pyramide inversée sous la dalle (Fig.1.1c).
L’espacement des poteaux dans chaque direction est généralement compris entre 10 et 25 mètres,
voire plus. L’épaisseur de la dalle est fonction de la distance entre les poteaux. Elle varie entre 20
et 40 cm.
Ce type de plancher est généralement utilisées lorsque les hauteurs de la construction sont faibles
et pour éviter la présence de poutres apparentes.
a) Hyperbole b) Epaisseur constante
c) Double tronc de pyramide d) Tronc de pyramide simple
Figure 1.1c : Différents types de plancher champignon
1.4. Plancher à corps creux et poutrelles
On rencontre ce type de plancher dans les bâtiments à usage d’habitation. Le principe consiste à
utiliser des corps creux et des poutrelles préfabriquées en béton armé pour former le plancher. Les
poutrelles sont disposées à des intervalles réguliers. Ces intervalles sont par la suite remplis avec
les corps creux (en terre cuite, béton, …). Les parois supérieures et latérales des corps creux
servent de coffrage aux poutrelles et à la dalle de compression en béton coulée sur toute la surface
du plancher. Quant à la partie inférieure, elle sert de support à l’enduit de plafond (en plâtre, en
mortier de ciment, …).
La dalle de compression est armée avec un simple quadrillage d’armatures. Ce quadrillage est
généralement constitué par une nappe de treillis soudé avec un espacement de 20 cm x 30 cm au
maximum (Fig.1.1d).
Dalle de compression (≈ 5 cm)
56 à 65 cm
Figure 1.1d: Plancher à corps creux
1.5. Plancher composé d’une dalle s’appuyant sur un réseau de poutres
C’est une plaque ayant une faible épaisseur h par rapport aux autres dimensions. Cette épaisseur
est telle que :
lY/35 ≤ h ≤ lY/10 (1.1)
La dalle pleine travaille dans les deux sens. Elle porte sur un réseau de poutres transversales et de
poutres longitudinales perpendiculaires aux précédentes à qui elle transmet les différentes charges
et surcharges.
Ce type de plancher est fréquemment utilisé dans les bâtiments industriels ou d'habitation car il
permet une grande souplesse dans les portées et les formes, en particulier, la facilité des divers
percements.
En ce qui concerne la transmission des efforts, les panneaux dalle reçoivent les surcharges
statiques et dynamiques qui leurs sont directement appliquées et les transmettent aux poutres
longitudinales et transversales. L’ensemble des efforts sera repris par des poteaux ou par des murs
porteurs. La Figure 1.1b représente un plancher dalle avec poutres secondaires et poutres
principales.
lx Poutre longitudinale
ly
Poutre transversale
y
x
Figure 1.1b: Plancher dalle
Les paragraphes suivants porteront uniquement l’étude des dalles et des poutres continues des
planchers dalle.
2. CALCUL DES DALLES
2.1. Définitions
1) On appelle élancement de la dalle le rapport : lY

 = lX/lY ≤ 1
lx et ly = portées de la dalle
lX
Figure 1.2: Portées d’une dalle
Par convention, on désigne toujours par lx la petite portée (lX ≤ lY). En plus, lX et lY sont mesurées
entre nus des appuis (Fig.1.2).
2) Une dalle est une plaque portant dans les deux directions.
3) Une poutre dalle est une plaque présentant deux bords libres sensiblement parallèles, distants
d'au moins trois fois l'épaisseur.
2.2. Aspect théorique
La théorie du calcul des plaques chargées transversalement et dont les déformations restent
petites aboutit à la résolution de l'équation aux dérivées partielles :
∂4 w 2 ∂4 w ∂4 w q
+ ∂x2 ∂y2 + =D (1.2)
∂x4 ∂y4
Où,
w = flèche de la plaque, c'est-à-dire, sa déformation perpendiculaire à son plan.
q = fonction de la charge (charge uniformément repartie d'intensité q).
Ee3
D = rigidité de la plaque =
12(1−ν2 )
E et ν sont le module d'Young et le coefficient de Poisson du matériau et e l'épaisseur de la plaque.
Les moments de flexion et les efforts tranchants par unité de longueur sont donnés par les relations :
∂2 w ∂2w
Mx = - D [ ∂x2 + ν ∂y2 ]
∂2 w ∂2 w
My = - D[ ∂y2 + ν ∂x2 ]
∂2 w
Mxy = - D (1 − ν) ∂x ∂y
∂ ∂2 w ∂2 w
Tx = - D ∂x [ ∂x2 + ν ∂y2 ]
∂ ∂2 w ∂2 w
Ty = - D ∂y [ ∂y2 + ν ∂x2 ]
La résolution de ce problème étant assez laborieuse, on utilise en pratique des méthodes
approchées et des résultats donnés sous forme de tableaux ou d'abaques pour des plaques de
forme simple (forme rectangulaire dans le cas présent) avec de conditions de bord bien définies,
ainsi que des cas de charges particulières.
2.3. Calcul des moments et efforts tranchants d'après les abaques de Pigeaud
Pigeaud a publié, dans les annales des Ponts et Chaussées (janvier-février 1921), des abaques
permettant de déterminer les moments maximaux suivant la petite et la grande portée pour les
plaques rectangulaires simplement appuyées sur leur pourtour, soumises aux charges suivantes :
- Charge uniformément repartie sur la surface de la plaque.
- Charge uniformément repartie sur un rectangle concentrique à la plaque.
On désigne par α et α' les rapports suivants :

lx ly
α= → α’ =
ly lx
lX et lY = dimensions des plaques mesurées entre nus des appuis et telles que lX ≤ lY
2.3.1. Cas des plaques chargées uniformément
2.3.1.1. Panneau rectangulaire isostatique

La charge uniformément repartie étant désignée par q, les moments de flexion Mx et My par unité
de longueur, au centre de la plaque ont pour valeur :
- Suivant le sens de la petite portée : MX = (M1 + ν M2) q lX lY (daN.m/m) (1.3)
- Suivant le sens de la grande portée : MY = (ν M1 + M2) q lX lY (daN.m/m) (1.4)
Où,
M1 : valeur donnée par l'abaque en fonction de α (Annexe 1)
M2 : valeur donnée par l'abaque en fonction de α' (Annexe 1)
ν : représente le coefficient de Poisson du béton que l'on prend, conformément au règlement
BAEL, égal à 0 à l'état limite ultime et 0,2 à l'état limite de service.
2.3.1.2. Dalles continues

Pour les dalles continues, constituées de panneaux rectangulaires considérés comme encastrés sur
leurs bords (panneau relié à des appuis présentant un moment d'inertie important, il en résulte un
encastrement partiel de ses bords, donc apparition d'un moment négatif à ce niveau), le calcul des
moments de flexion s'effectue par la méthode forfaitaire suivante :
- Quel que soit leur élancement  = lX/lY, on commence par déterminer les moments de
flexion dans chaque plaque comme si elle était simplement appuyée, ces moments sont
désignés par M0x et M0y.
- Les moments dans les plaques réelles sont pris égaux à ces moments isostatiques
multipliés par des coefficients forfaitaires.
Ces coefficients sont :
Pour un panneau courant (continu sur ses 4 bords) :
Mtx = 0,75 M0x
- Dans le sens de la petite portée
Max = -0,5 M0x
Mty = 0,75 M0y

- Dans le sens de la grande portée
May = -0,5 M0x= Max
Pour un panneau de rive (à l'extrémité de la dalle) :

Mtx = 0,85 M0x
- Dans le sens de la petite portée
Max, extrême = -0,3 M0x et Max, continu = -0,5 M0x
Mty = 0,85 M0y

- Dans le sens de la grande portée
May, extrême = -0,3 M0x et May, continu = -0,5 M0x
Le moment sur l'appui commun à deux panneaux est le plus grand en valeur absolue des moments
déterminés pour chacun des deux panneaux.
Les dispositions forfaitaires sont résumées sur la figure ci-dessous.
Panneau continu Panneau de rive

-0,5MX -0,5MX
0,75MX 0,85MX
MY
MX
-0,3MX
-0,5MX -0,5MX -0,5MX -0,3MX
0,75MX 0,85MX
Figure 1.3: Dispositions forfaitaires
Remarque
Le choix du sens porteur est en général celui de la petite portée. Cela veut dire que le plus grand
moment se situe dans le sens lx de la plus petite portée et non dans le sens ly de la plus grande.
Pour mettre en évidence ce fait, raisonnons sur un exemple très simple.
Considérons deux poutres de directions perpendiculaires, en contact en leurs milieux respectifs (le
cas des dalles est plus complexe mais cet ensemble peut par la pensée s'y étendre très facilement)
et soumises à une charge P. La poutre la plus courte à une longueur lx et la plus longue une
longueur ly (Fig. 1.4).
lY
lX
Figure 1.4: Choix du sens porteur
Soit :
- p’ la part de la charge p reprise par la poutre de portée lx
- p'' la part de la charge p reprise par la poutre de portée la ly
La flèche f de chacune de ces poutres est de la forme :

- Poutre de portée lx → f1 =k p' lx3/EI
- Poutre de portée ly → f2 =k p'' ly3/EI
Les 2 flèches f1 et f2 doivent être égales, et en plus : p''+ p' = p
Les charges p' et p'' doivent être inversement proportionnelles au cube des longueurs lx et ly.
Exemple
Supposons que lx = ly /2, alors p' sera 8 fois plus grande que p’’.
P’
p′ lx 1 8 p 2
Mxt = = lx = plx
2 2 2 9 2 9
p′′ ly 1 1 1
lX M yt = = p lx = plx
2 2 2 9 18
P’’
lY
On remarque ainsi, que dans cet exemple, le moment dans le sens de la petite portée est 4 fois
plus grand que le moment dans la grande portée. La poutre la plus courte est donc la plus
sollicitée.
2.3.1.3. Effort tranchant

Dans les dalles s’appuyant sur quatre côtés, l'effort tranchant par unité de longueur est donné par
les formules suivantes.
- Effort tranchant maximal au milieu de ly :

p plx
TX = = (daN/m) (1.5)
2ly +lx 2+α
- Effort tranchant maximal au milieu de lx :

p
TY = (daN/m) (1.6)
3ly
p = charge totale uniformément repartie sur la surface de la plaque, soit : p = q lx ly
2.3.2. Cas des charges concentrées sur un rectangle concentrique à la dalle
Soit P la valeur de la charge concentrée. Les moments de flexion

pour une plaque simplement appuyée sont :
- Sens de lx
v lY Mx = (M1 + νM2) P (daNm/m)
- Sens de ly
My = (M2 + νM1) P (daNm/m)
u
lX
lx u v
- M1 donné par un graphe en fonction de α = , et
ly lx ly
lx u v
- M2 donné par un graphe en fonction de α = , et
ly lx ly
La remarque concernant l'encastrement partiel des bords (cas des plaques chargées
uniformément) reste valable.
D'une manière générale, on doit toujours avoir pour la portée l x (BAEL 91, A .8.2.2) :
Maw +Mae
Mt + 2
≥ 1,25 M0X (1.7)
Remarque
Les valeurs de u et v sont mesurées au niveau du feuillet moyen de la dalle après diffusion de
l'effort à 45° (Fig. 1.5).
Dalle (h) revêtement (h1)
h1
h 45° feuillet moyen
u ou v
Figure 1.5: Dimensions du rectangle d’impact
L'effort tranchant par unité de longueur est donné par :
P
Au milieu de u → T =
2u+v
Si u > v (1.8)
P
Au milieu de v → T =
3u
P
Au milieu de u → T =
3v
Si u < v (1.9)
P
Au milieu de v → T =
2v+u
2.3.3. Cas des charges concentrées sur un rectangle non concentrique à la plaque
A B A’ B’
C D C D’
’
Ce cas se traite en considérant plusieurs combinaisons des surcharges.
Si P représente la valeur de la surcharge concentrée sur le rectangle de dimension u et v, la

surcharge uniformément repartie sur ce rectangle est :
P
q=uxv
Les abaques de Pigeaud (Annexe A1) permettent de traiter le problème comme si la plaque était
surchargée suivant le rectangle concentrique AB'D'C.
Soient Mx’ et My’ du rectangle ABD’C’, et Mx’’ et My’’ les moments du rectangle BA'DC’.
Les moments de la plaque chargée suivant le rectangle ABCD sont :

M′x −M′′
x) M′y −M′′
y
Mx = ↔ My =
2 2
En procédant de la même façon, on peut traiter le cas d'une plaque chargée par un rectangle
excentré par rapport aux deux axes de la plaque.
Mx1 −Mx2 −Mx3 + Mx4 My1 −My2 −My3 + My4

Mx = ↔ My =
4 4
L’évaluation des efforts tranchants s'effectuera de la même manière.
2.4. Calcul conforme au règlement BAEL 91 révisées 99
2.4.1. Cas des dalles rectangulaires avec α ≤ 0,4
Lorsque les deux conditions suivantes sont remplies :

lx
- α= ≤ 0,4
ly
- Dalle uniformément chargée
La dalle se calcule comme si elle reposait sur deux appuis (les grands côtés ly). On dit que la dalle
porte suivant un seul sens. Ce calcul s'effectue de la même manière que pour les poutres et avec
les mêmes méthodes (règles forfaitaires, règles pour les planchers à fortes surcharges ou
résistance des matériaux) en considérant une bande de dalle de largeur égale à 1m, de hauteur
totale h, de portée lx et soumise à la charge uniforme q (Fig. 1.6).
Parallèlement à ly, on dispose une quantité d’armatures dites de répartition. Leur section doit être
au moins égale au quart des armatures principales Ax, soit : ωy = 0,25 ωx
lX AY (armatures de répartition)
AX
lY 1.0 m
q/ml AX (armatures principales)
Figure 1.6: Ferraillage d’un panneau avec α ≤ 0.4
2.4.2. Cas des dalles rectangulaires avec α > 0,4
Une dalle est considérée comme portant suivant deux directions si :

- 0,4 < α ≤ 1 et dalle uniformément chargée,
- Dalle soumise à des charges concentrées quel que soit le rapport des portées lx et ly.
La méthode de calcul proposée par l'annexe F3 des règles BAEL91 résulte de la méthode de calcul
de M. Pigeaud. Cette annexe traite donc uniquement les panneaux rectangulaires uniformément
chargés, articulés sur leur contour.
Les moments fléchissant au centre du panneau sont :

-
Sens lX → M0x = μx qlx2
- Sens lY → M0y = μy M0x
Les coefficients μx et μy (Tab. 1.1) sont donnés en fonction de α pour 2 cas :

- ν = 0 (état fissuré) hypothèse à retenir pour l'état limite ultime
- ν = 0,2 (état non fissuré) hypothèse à retenir pour l'état limite de service
Tableau 1.1: μ = f(α)

ν=0 ν = 0,2
α = lx/ly μx = Mox /qlx2 μY = Moy /Mox μx μy
0.,40 0,110 * 0,112 0,293
0,45 0,102 * 0,105 0,333
0,50 0,095 * 0,098 0,373
0,55 0,088 * 0,092 0,420
0,60 0,081 0,305 0,086 0,476
0,65 0,0745 0,369 0,080 0,530
0,70 0,068 0,436 0,074 0,585
0,75 0,062 0,509 0,0685 0,643
0,80 0,056 0,595 0,063 0,710
0,85 0,051 0,685 0,058 0,778
0,90 0,046 0,778 0,053 0,846
0,95 0,041 0,887 0,043 0,923
1,00 0,037 1,000 0,044 1,000
*Les valeurs de μy < 0,25 ne sont pas prises en considération étant donné que les armatures de flexion dans
le sens de la grande portée ly doivent être au moins égales en % au quart des armatures dans le sens l x.
2.5. Calcul du ferraillage des dalles
2.5.1. Armatures de flexion
1) Les armatures de flexion sont calculées en considérant une bande de 1 mètre de largeur, et en
utilisant les relations obtenues pour le calcul des poutres fléchies.
hY
h ● hX
Dans le calcul des AX (armatures disposées suivant le petit côté) et AY (armatures parallèles au
grand côté), il faut tenir compte du fait que la hauteur hx est différente de hy.
Dans tous les cas, la section des armatures de répartition Ay doit satisfaire les inéquations :
1
- Ay ≥ Ax → charges réparties
4
1
- Ay ≥ Ax → charges concentrées
3
2) L’espacement des armatures d’une même nappe ne doit pas dépasser les valeurs indiquées
dans le tableau 1.2.
Tableau 1.2: Espacement minimal

Direction Charges réparties Charges concentrées
La plus sollicitée Min (3h - 33cm) Min (2h - 22cm)
La moins sollicitée Min (4h - 45cm) Min (3h - 33cm)
Remarque
1. Si la dalle comporte, en plus des charges reparties, des charges concentrées, le projecteur
doit apprécier l’interpolation à effectuer entre les deux cas.
2. L’épaisseur minimale d’une dalle coulée sur place est de 5 cm et dans le cas de dalle
associée à des corps creux, l’épaisseur minimale est ramenée à 4 cm.
3. Le diamètre maximal des armatures est au plus égal au 1/10 de l’épaisseur totale de la
plaque.
4. L’épaisseur d’une dalle doit respecter les inégalités suivantes :

- h ≥ lx/20 pour un panneau isolé avec α < 0,40
- h ≥ lx/25 pour un panneau continu avec α < 0,40
- h ≥ lx/30 pour un panneau isolé avec α ≥ 0,40
- h ≥ lx/40 pour un panneau continu avec α ≥ 0,40
2.5.2. Armatures d’effort tranchant
Aucune armature d’effort tranchant (armature perpendiculaire au feuillet moyen de la dalle) n’est
à prévoir si :
- La dalle ou poutre-dalle est bétonnée sans reprise sur toute sa hauteur.
- La contrainte tangente τu due aux charges réparties est telle que :
f
τu ≤ 0,07 γcj (τu ≤ 0,005fcj si γb = 1,5) (1.10)
b
- La condition de non fragilité fixant le pourcentage minimal d’armatures est respectée.
- Les moments de flexion en chaque point de deux sections normales perpendiculaires sont
au moins dans les rapports suivants :
My 1
≥ → charges reparties
Mx 4
My 1
≥ → charges concentrées
Mx 3
Dans les autres situations, les armatures d’effort tranchant sont calculées conformément aux
règles spécifiques aux états limites.
2.5.3. Armatures de poinçonnement
Dans le cas d’une force concentrée, la vérification de la résistance de la dalle au poinçonnement

est indispensable.
2.5.3.1. Rectangle d’impact

Toute force appliquée à la face supérieure de la dalle d’épaisseur h sur un rectangle d’impact de
dimensions uo x vo est supposée agir uniformément (après diffusion des charges suivant un angle
de 45°) au niveau du feuillet moyen sur un rectangle de dimensions u et v tel que (Fig.1.5) :
- u = uo + h, et v = vo + h → si la force est appliquée directement sur la dalle
- u = uo + h + ξ h1, et v = vo + h+ ξ h1 → s’il existe un revêtement d’épaisseur h1
ξ = 2 → pour un revêtement en béton ou un matériau analogue

Avec
ξ = 1,5 → pour un revêtement moins résistant que le béton (asphalte coulé, béton
bitumineux, enrobé, etc.)
2.5.3.2. Vérification de la résistance au poinçonnement

Aucune armature d’effort tranchant n’est requise si :
0,045.uc .h.fcj
Qu ≤ (m, MN, MPa) (1.11)
γb
Qu : charge localisée à l’état limite ultime

uc : périmètre du rectangle d’impact [uc = 2 (u + v)]
Remarques
1) Les règlements (BAEL91, CBA93, …) permettent de remplacer la valeur 0,045 h par (0,05 +1,5 ρe) d
lorsqu’il existe un ferraillage horizontal créant ainsi un effet favorable, et où :
ρe = ρlx √ρly → ρe ≤ 0,015
ρlx, ρly = pourcentages d’armatures longitudinales suivant les sens x et y
2) Si la condition de non-poinçonnement n’est pas satisfaite, il faut placer des armatures d’effort
tranchant sur un périmètre um défini à partir du périmètre uc par une homothétie, et de sorte que
la condition soit respectée dans um.
τu
um = uc
0,05 𝑓cj
2.5.4. Disposition des armatures (Fig.1.7)
Armatures supérieures (-0,3 MX) Armatures supérieures (-0,5 MX)
AY,t (0,85MY) AX,t (0,85 MX)

Poutrelle de rive 2éme lit 1 er lit
Sens lX
Chapeaux (- 0,5 MX)
Armatures du premier lit Armature du second lit
Sens lY
Figure 1.7: Disposition des armatures
Dans le cas d’un panneau ABCD faisant partie d’une dalle continue (0,4 ≤ l x/ly ≤ 1), on peut utiliser
les deux méthodes d’arrêt forfaitaire suivantes :
2.5.5.1. Première méthode

1) Chaque barre qui traverse le contour est totalement ancrée au- delà de celui-ci (longueur
d’ancrage la≈ 40Ø pour les barres droites et 16Ø pour les barres HA munies de crochets normaux).
2) Armatures inferieures : quadrillage uniforme sur toute la surface, une barre sur deux arrêtée à
une distance b = lx/10 avant le nu d’appui (Fig.1.8a).
3) Armatures supérieures : section d’acier réalisée avec des barres décalées dépassant
respectivement des longueurs l1 et l2 du nu d’appui tel que :
l1 ≥ max [λ lx ; la]
l2 ≥ max [0,5 l1 ; la]
Où :
- λ = 0,05 + 0,30 Ma/Mx
- la = longueur d’ancrage
- Ma = moment sur appui
2.5.5.2. Deuxième méthode

Les armatures d’un panneau de la dalle sont réparties comme ce qui suit :
- Armatures inferieures. Une barre sur deux est arrêtée à lX/10 avant le nu d’appui
(quadrillage uniforme sur toute la surface).
- Armatures supérieures. La longueur d’un chapeau dans le cas de panneaux identiques est
égale à (Fig.18b) :
L = 2 [la + 0,15 lx (ou 0,20 lx)] + épaisseur du nu
Ferraillage inférieur Ferraillage supérieur

b b
b l2
l1 l1
lx
b
lY l2
(a) Première méthode
(b) Deuxième méthode
Figure 1.8: Arrêt des barres
Remarque
Si la dalle présente des ouvertures ou trémies, il faut disposer dans les deux directions une
quantité d’armatures équivalente à la section coupée. La transmission des efforts des barres
coupées vers celles du renfort se fait par des bielles inclinées à 45°, la longueur des barres de
renfort est donc prise égale à : u + v + 2 ls (u et v étant les dimensions de la trémie et ls longueur
de scellement droit).
2.6. Vérification des déformations
Les déformations des dalles, des poutres principales et secondaires doivent rester assez faibles
pour éviter des désordres importants au niveau des revêtements de sol, des plafonds, des
cloisons, ou tout autres éléments supportés par l’ossature du bâtiment. L’état limite à prendre en
considération est généralement l’état de déformation, et non pas l’état de rupture.
2.7. Condition de non fragilité
Pour les dalles rectangulaires s’appuyant sur 4 côtés et soumises à la flexion simple, il faut une
quantité d’armatures au moins égale à :
12 h (pour ronds lisses)
2
Sens ly → Ay,min (cm /m) = 8 h (FeE 400)
6 h (FeE 500 ou TS)
Sens lx → Ax, min (cm2/m) = Ay, min (3 - α)/2
Remarques
0,0012
ρ0 = 0,0008
a) Si 0,0006
Ax
ρx =
bh
Ay
ρy =
bh
Alors, on doit avoir :

3−α
- ρx ≥ ( )ρ0
2
- ρy ≥ ρ0
ƒtj
- ρ0 peut aussi être calculé en utilisant la relation suivante : ρ0 = 0,23
ƒe
b) Epaisseur h des dalles

lx /50 ≤ h ≤ lx/30
Cette condition permet de se dispenser des vérifications concernant l’état limite de déformation
prévues par le règlement BAEL (B.7.5).
c) Hauteur utile d
La hauteur utile est propre à chacune des deux directions, soit :
- dx pour le sens lx
- dy pour le sens ly
dx Øy Øx dy
En général, on a :
Øx + Øy
dy = dx - Ax Ay
2
Coupe // à ly Coupe // à lx
d) Sections Ax et Ay
La section Ax est déterminée pour équilibrer Mx
- Si la fissuration est peu préjudiciable, Mx correspond à l’état limite ultime :
Mx= Mx,ultime
- Si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable, Mx correspond à l’état limite de

service :
Øx ≥ 6 mm si la fissuration est préjudiciable
Mx = Mx, service →
Øx ≥ 8 mm si la fissuration est très préjudiciable
Ay est déterminée de la même manière que Ax, avec en plus :

- Dans le cas où, parmi les charges appliquées, il y a des charges localisées.
Ax dx Mx
Ay ≥ x → My ≥ (1.12)
3 dy 3
- Dans le cas où il n’y a que des charges reparties.

Ax dx Mx
Ay ≥ x → My ≥ (1.13)
4 dy 4
- Dans le cas de charges localisées mobiles, les sections Ax et Ay doivent être conservées dans
leur totalité jusqu’aux appuis
3. POUTRES DE PLANCHERS
3.1. Essais de poutres en béton armé

L/2 P
(a) A0
(b) A0
L/2
P
A0
(c)
Figure 1.9: Phénomène d’adaptation
1) Considérons la poutre isostatique représentée plus haut (Fig.1.9a). Elle est soumise à une
charge concentrée P croissante placée à mi- portée. Soit A0 la section d’acier en travée. À la
Pu L
rupture : P = Pu → Mu =
4
2) Soit la même poutre (Fig. 1.9b) mais encastrée et armée avec une même section A0
d’armatures inferieures.
- À la fissuration, on se retrouve avec une poutre sur deux appuis simples.
Pu L
- À la rupture : P = Pu → Mu =
4
3) Même poutre (Fig. 1.9c) encastrée mais avec une section d’armatures supérieures A0.
- Après fissuration, on obtient deux consoles nez à nez.
Pu L Pu L
- À la rupture des deux consoles, la charge P = Pu → Mu = x =
2 2 4
Par conséquent, la charge de rupture, identique pour les trois cas, ne dépend que de la section A o
(section correspondant au comportement isostatique de la poutre) quel que soit la position de la
section d’acier A0.
Cela veut dire, qu’il existe une certaine marge de sécurité permettant le transfert partiel de
moments des appuis vers la travée et réciproquement (sans compromettre la sécurité), si on
adopte une quantité d’armatures (Fig. 1.10) respectant l’inégalité suivante :
Aw +Ae
At + ≥ A0 (1.14)
2
Aw Ae
At
Figure 1.10: Phénomène d’adaptation des sections
Si l’on multiplie cette inégalité par zb x σs, on obtient, sachant que M = A x zb x σs :

Mw +Me
Mt + ≥ M0 (1.15)
2
D’autre part, dans la phase des grandes déformations, la partie principale de la flèche a pour
origine les rotations importantes où se va se produire la rupture (Fig. 1.11).
P
Figure 1.11: Rotation des sections
A partir de ce constat, on peut en conclure qu’une poutre en béton armé se comporte comme elle
a été calculée. La fissuration des sections les moins armées permet une distribution des moments
qui diffère de la distribution théorique : c’est ce que l’on appelle le phénomène d’adaptation entre
sections.
Par conséquent, il est possible d’appliquer aux poutres de planchers en béton armé des méthodes
de calcul différentes des méthodes de continuité théoriques et de limiter l’influence des charges
aux travées voisines de celle étudiée*.
Deux méthodes simplifiées de calcul des poutres continues des planchers sont basées sur ce
principe, à savoir :
- La méthode forfaitaire applicable aux planchers à charge d’exploitation modérée.
- La méthode de Caquot applicable aux planchers à charge d’exploitation élevée.
* Remarque : Effet de la continuité sur les structures en béton armé
Après durcissement, les constructions en béton armé deviennent monolithiques. Par conséquent,
une charge appliquée en un point quelconque d’une structure aura des répercussions plus ou
moins significatives sur l’ensemble de ses éléments constitutifs (Fig.1.12).
.
a) Effet des charges verticales b) Effet des charges horizontales
c) Division d’une structure en sous-ensembles
Figure 1.12: Effet de la continuité sur les structures en béton armé
3.2. Planchers à charge d’exploitation modérée : Méthode forfaitaire
La méthode forfaitaire de calcul des poutres s’applique si les conditions suivantes sont vérifiées :
1) La charge d’exploitation est au plus égale à deux fois la charge permanente ou à 5000 N/m2 :
q ≤ 2 g et q ≤ 5 kN/m2
2) Les éléments de planchers ont une même inertie dans les différentes travées.
3) Les portées successives vérifient les rapports suivants :
li – 1 li li + 1
0,8 ≤ li /li-1 ≤ 1,25

0,8 ≤ li /li+1 ≤ 1,25
4) La fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons.
Dans le cas où l’une au moins des 4 conditions précédentes n’est pas vérifiée, on peut appliquer la
méthode de calcul des planchers à charge d’exploitation relativement élevée (méthode de
Caquot).
Remarque
En pratique, la méthode forfaitaire est généralement applicable aux bâtiments à usage
d’habitation ou de bureaux, aux écoles, aux hôpitaux, et souvent aux magasins, salles de
spectacles, constructions pour lesquelles les conditions précédemment énumérées sont, la plupart
du temps, respectées.
Les essais sur des poutres en béton armé soumises à la flexion simple ont montré que :
(Aw +Ae )
Aw Ae At + ≥ A0
2
At
Le principe est basé sur le phénomène d’adaptation des sections, c’est-à-dire, autoriser des
transferts de moments entre les sections sur appuis et en travée et réciproquement (redistribution
des efforts) en adoptant un coefficient k > 1. Soit :
Mw +Me
Mt + ≥ k M0
2
k : coefficient fonction du rapport des charges d’exploitation et permanentes
3.2.3. Application de la méthode
Soit, α le rapport des charges d’exploitation à la somme des charges permanentes et

d’exploitation :
q
α=
(q + g)
Les valeurs extrêmes de q sont :

q = 0 et q = 2 g (condition 1)
Les valeurs de α sont donc comprises entre 0 et 2/3. Le tableau 1.3 regroupe quelques valeurs
numériques des coefficients de M0 en fonction de α.
Tableau 1.3: Coefficient de M0 en fonction de α
q = g/5 q = g/4 q = g/2 q=g q = 2g/3 q = 2g
α 1/6 1/5 1/3 1/2 3/5 2/3
1+0,3α 1,05 1,06 1,10 1,15 1,18 1,20
(1+0,3α) /2 0,525 0,53 0,55 0,575 0,59 0,60
(1,2+0,3α) /2 0,625 0,63 0,65 0,675 0,69 0,70
Mw +Me
Dans la relation précédente (Mt + ≥ k M0), on a :
2
- Mo représente le moment maximal dans la travée de comparaison (ou de référence). C'est

la travée isostatique soumise aux mêmes charges et de même portée que la travée étudiée
(Fig. 1.13).
Poutre continue
L
Poutre isostatique de référence
Figure 1.13: Travée de comparaison
- Mw et Me les valeurs absolues des moments sur l’appui de gauche et sur l’appui de droite
de la travée continue.
- Mt le moment maximal dans la travée continue.
Les valeurs prises pour Mt, Mw et Me doivent vérifier les inégalités suivantes :
(1 + 0,3 α) M0*
Mw + Me
1) Mt + ≥ max (1.16)
2
1,05 M0
*(1 + 0,3 α) ≥ 1,05 si α ≥ 1/6 → q ≥ g/5. Aussi, la première condition est, en général, déterminante.
1 + 0,3 α
2) Mt ≥ M0 → Pour une travée intermédiaire (1.17)
2
1,2 + 0,3 α
3) Mt ≥ M0 → Pour une travée de rive (1.18)
2
3) La valeur absolue de chaque moment sur appui intermédiaire doit être au moins égale à :
0,6 M0 → Pour une poutre à deux travées

|Ma| 0,5 M0 → Pour les appuis voisins des appuis de rive d’une poutre à plus de deux travées
= 0,4 M0 → Pour les autres appuis intermédiaires d’une poutre à plus de trois travées
Les coefficients forfaitaires sont représentés ci-dessous.
Poutre à 2 travées M01

IMaI ≥ 0 0,6 M01.2 0 M01.2 = max
M02
𝟏,𝟐+𝟎,𝟑 𝛂 𝟏,𝟐 + 𝟎,𝟑 𝛂
Mo1 Mo2
𝟐 𝟐
Poutre avec plus de 2 travées M0i

IMaI ≥ 0 0,5 M01.2 0,4 M02.3 M0i,j = max
𝟏,𝟐 + 𝟎,𝟑 𝛂 𝟏,𝟎 + 𝟎,𝟑 𝛂 𝟏,𝟎 + 𝟎,𝟑 𝛂

M0j
M01 M02 M03
𝟐 Figure 3.13: Coefficients
𝟐 forfaitaires 𝟐
Remarque 1
Dans le cas où l’appui de rive est solidaire d’un poteau ou d’une poutre, il est nécessaire de
disposer sur cet appui des armatures supérieures pour équilibrer un moment au moins égal à :
Ma = - 0,15 M0
Application 1
Il s’agit de calculer les moments en travée et sur appuis de la poutre continue ci-dessous soumise
aux charges suivantes :
4 2
α= = → 1 + 0,3 α = 1,2
4+2 3
g = 2 kN/m et q = 4 kN/m
1,2 + 0,3 α 1,0 + 0,3 α
= 0,7 → = 0,6
2 2
0 0,5 M0 0,5 M0 0
A B C D
l l l
- A et D appuis simples : MA = 0 et MD = 0
- MB = 0,5 M0, pour la première travée, on a :

0+ 0,5 M0
Mt + ≥ 1,2 M0 soit Mt ≥ 0,95 M0
2
Mt ≥ 0,7 M0
La valeur à retenir est donc : Mt = 0,95 M0
MB = MC = 0,5 M0, ce qui donne pour la travée centrale :
0,5 M0 + 0,5 M0
Mt + ≥ 1,2 M0 → Mt ≥ 0,70 M0
2
Mt ≥ 0,6 M0
Nous retiendrons la valeur :
Mt = 0,70 M0.
Les valeurs obtenues sont représentées sur la figure ci-dessous :
0 -0,5 M0 -0,5 M0 0
0,95 M0 0,70 M0 0,95 M0
3.2.4. Transmission des charges
La transmission des charges des dalles aux poutres peut se faire en utilisant les deux méthodes
suivantes :
- La méthode des lignes de rupture.
- La méthode de Pigeaud.
3.2.4.1. Méthode des lignes de rupture

Les lignes de rupture d’une dalle encastrée sur son pourtour forment un angle de 45° avec les rives
de la dalle et sont parallèles à son grand côté (Fig. 1.14). Par commodité, lors des calculs, les
charges triangulaires et trapézoïdales sont remplacées par des charges uniformes équivalentes par
unité de longueur. Soit :
- PV = charge uniforme équivalente pour le calcul des efforts tranchants
- PM = charge uniforme équivalente pour le calcul du moment fléchissant
45° P (N/m2)
↔ PV (PM) lX
PM (PV)
lY
Figure 1.14: Transmission des charges
Pour une dalle rectangulaire, les expressions de PM et PV figurent dans le tableau 1.4.
Tableau 1.4: Charges uniformes équivalentes

Élément Trapèze Triangle
PV plx plx
(1 - α/2)
2 4
PM plx plx
(1 - α2/3)
2 3
Remarques
1) Quand α = 1, les charges trapézoïdales deviennent des charges triangulaires.
lX = lY
lX = lY
2) Pour deux panneaux situés de part et d’autre d’une poutre continue de plancher, les charges
reparties s’ajoutent.
3) La charge en dent de scie peut être remplacée par une charge uniforme équivalente :
∑l2xi
PM = P V = P → Pour une travée intermédiaire
2 ∑lxi
∑l2xi
PM = P V = P → Pour une travée de rive
4 ∑lxi
lx1 lx2 lx3 lx4 lx5
lxi (variable) PV
Pvi
Application 2
Il s’agit de retrouver les charges uniformes équivalentes données au tableau 1.4.
Démonstration
1) Charges trapézoïdales
plx
(a) P’= (b)
2
P M, P V
A B
lX/2 lX/2
≈
RA lY RB lY
- Effort tranchant
1 1 plx p′ lx α p′ ly
(a) → VA = - VB = (P’ly - 2 . . P’ )= [ly – ] = (1 – ) 𝛂 𝐥𝐱
2 2 2 2 2 2 2 → PV = (1- ) P (1.19)
1 𝟐 𝟐
(b) → VA = - VB = PV l y
2
- Moment fléchissant
ly l
ly ( 2 − 2x )2 1 lx ly lx l2y 3α – 2α2 α2 l2y
(a) → M0 = VA - P’ - P’ ( - 3 ) = P’ [(2 – α) – (1 - 2α +α2) – ( )]= (1 - ) P’
2 2 2 2 2 8 3 3 8
α2 lx l2y
M0 = (1 - )P
3 2 8 𝛂𝟐 𝐥𝐱
l2y → P M = (1 - )P (1.20)
(b) → M0 = PM 𝟑 𝟐
8
2) Charges triangulaires
P’= PlX/2 (PM, PV)
(a) ≈ (b)
lx lx
p′lx p′ lx plx lx
(a) → VA = - VB = ( )/2 = = 𝐩𝐥𝐱
2 4 2 4 → PV =
lx 𝟒
(b) → VA = - VB = PV
2
p′ lx lx 1 lx lx p′ l2x p′ l2x plx l2x
(a) → M0 = - P’ . = (1 – 1/3) = = 𝐩𝐥𝐱
4 2 2 2 6 8 12 3 8
→ PM = (1.21)
l2x 𝟑
(b) → M0 = PM
8
3.2.4.2. Méthode de Pigeaud

Pour une dalle reposant simplement sur ses quatre côtés, le calcul élastique donne les efforts
tranchants unitaires suivants :
VX
1
Px = P
1 + α4
VY P → VY = PY lY/2 lX
𝛂𝟒
Py = P
𝟏 + 𝛂𝟒
↓
VX = PX lX/2 P = charge au m2 de dalle
lY
Remarque
La méthode Pigeaud correspond à un comportement de la dalle beaucoup plus théorique que réel.
Pour cette raison, on lui préfère le plus souvent la méthode des lignes de rupture.
3.2.5. Effort tranchant
1) Rappel : Evaluation de l’effort tranchant dans une travée de rive
Considérons la poutre continue suivante :

V1
1 V2 2 3 4
L1 L2 L3
Soit V01 l’effort tranchant sur appui 1 ou 2 dans la travée de référence :

(M1 −M2 )
M2 < 0 V1 = V01 +
l1
M2 +M1 (M1 −M2 )
→ < 0 → V2 = V01 -
l1 l1
M1 = 0 IV2I > IV01I
À partir de ces relations, on en déduit que l’effort tranchant d’une poutre continue est supérieur
en valeur absolue à l’effort tranchant isostatique sur l’appui continu dans la travée de rive, et au
plus égal à V0 ailleurs.
2) Calcul des efforts tranchants
Pour le calcul des efforts tranchants, on admet la discontinuité sauf pour l’appui voisin de l’appui
de rive où les efforts tranchants de la poutre de référence sont majorés de :
- 15 % pour les poutres à deux travées.
- 10 % pour les poutres à plus de deux travées.
V01 -1,15V01 +1,15V02 -V02
V01 -1,1V01 V02 -V02 + V03
Les arrêts de barres se font généralement à partir du tracé des courbes enveloppes des moments
obtenues en envisageant les différents cas de charges avec diverses combinaisons d’actions. Pour
les poutres de planchers à charges d’exploitation modérées, on peut se dispenser du tracé de ces
courbes si :
- La charge d’exploitation est au plus égale à la charge permanente : q ≤ g
- Les charges appliquées peuvent être considérées comme uniformément reparties.
Dans le cas où ces conditions sont vérifiées, les longueurs des chapeaux et arrêt des barres
inferieures sont conformes à la Figure 1.15.
l’ l’
≥ At /2 l’’ l’’ ≥ Aa/2 ≥ Aa/2
≤l1/10 ≤l1/10 ≤l2/10 ≤l2/10 ≥ At/2

l1 l2
Figure 1.15: Arrêt forfaitaire
- Travée de rive : l’= max [l1,2/4, lS] → li,j = max [li , lj]
- Travée intermédiaire : l’= max [li,j/5, lS]
- Travée quelconque : l’’= max [l’/2, lS]
Remarque
Risque de fissures à 45°
≤h ≥h
Incorrect Disposition correcte
3.3. Planchers à charge d’exploitation élevée : Méthode de Caquot
La méthode de calcul des planchers à charge d’exploitation élevée connue sous le nom de
Méthode de Caquot s’applique dans les cas où :
- Les conditions indiquées au paragraphe 3.2.1 ne sont pas remplies.
- Les charges d’exploitation sont susceptibles de variation rapide dans le temps et en

position avec : q > 2g ou q > 5 kN/m2
- Les poutres sont associées à une dalle générale (section en T en travée).
La méthode de Caquot est déduite de la Méthode des trois moments qu’elle simplifie et corrige
pour tenir compte des effets suivants :
3.3.2.1. Moments quadratiques

Les moments d’inertie des sections transversales varient en fonction de la variation de la largeur
efficace de la dalle supérieure (table de compression), des arrêts de barres inferieures et
supérieures (chapeaux sur appuis), et de l’influence limitée des moments sur appui au-delà des
travées qui l’encadrent (théorie des foyers).
3.3.2.2. Influence des charges

Les charges éloignées d’une travée donnée produisent sur celle-ci un effet négligeable. Les
corrections simplificatrices sont :
- Coefficient 8,5 au lieu de 8 pour un chargement uniforme.
- Coefficient 2,125 au lieu de 2 pour des charges concentrées.
- Travées fictives à la place des travées réelles.
3.3.3. Moments sur appui
Le principe de la méthode de Caquot consiste à calculer le moment sur chaque appui d’une poutre
continue en ne considérant que les travées qui encadrent l’appui choisi (Fig.1.16) : c’est une
méthode de continuité simplifiée
Appui continu
Mi-1 Mi Mi+1
Ai-1 li Ai li+1 Ai+1

Travées réelles
(Continuité théorique)
Mi
A’i-1 Ai A’i+1
Travées fictives
(Continuité simplifiée)
l'i l'i+1
Figure 1.16: Principe de la méthode de Caquot
Les moments aux nus des appuis sont calculés en ne tenant compte que des charges des travées
voisines de gauche (w) et de droite (e). De chaque côté des appuis, on détache des travées fictives,
de longueur :
- li’= li → Pour les travées de rive sans porte-à-faux
- li’= 0,8 li → Pour les travées intermédiaires
3.3.3.1. Cas des charges réparties

pe
pW
A’i-1 Ai A’i+1
lW le
l’w l’e
On a :
pe : charge répartie par unité de longueur sur la travée à gauche de l’appui considéré
pw : charge répartie par unité de longueur sur la travée à droite de l’appui considéré
Ie : moment d’inertie de la section de béton seul de la travée droite
Iw : moment d’inertie de la section de béton seul de la travée gauche
Le théorème des trois moments, appliqué à l’appui Ai, donne :

l′w l′w l′e l′e pw l′3
w pe l′3
e
Mi-1 + + Mi + Mi+1 = - -
6 EIw 3 EIw 3 EIe 6 EIe 24 EIw 24 EIe
Sachant que Mi-1 = Mi+1 = 0, on obtient :

l′w l′e pw l′2
w l′w pe l′2
e l′e
2 + Mi = - x - x
Iw Ie 4 Iw 4 Ie
Ce qui donne :
pw l′2
w l′w /Iw pe l′2
e l′e /Ie
Mi = - x - x
8 lw /Iw + l′e /Ie
′ 8 l′w /Iw + l′e /Ie
En posant :
pw l′2
w pe l′2
e
M’w = → M’e =
8,5 8,5
8,5 au lieu 8 pour tenir compte de l’effet de la variation des inerties des sections de béton
fissurées le long des travées (par exemple I travée ≠ I appui)
Iw Ie
Kw = → Ke = → D = Kw + Ke
l′w l′e
Il vient :
Ke Ke
Mi = - M’w + M’e (1 - ) (1.22)
D D
Cas particulier
Si I = Iw = Ie = constant (section non fissurée)
I I l′w +l′e
Kw = → Ke = → D=Ix
l′w l′e l′w x l′e
Ke l′w Ke l′e
= → 1- =
D l′w + l′e D l′w + l′e
On obtient :
pw l′3 ′3
w + pe le
Mi = - (1.23)
8,5 (l′w + l′e )
3.3.3.2. Cas des charges concentrées
PW Pe
A’i-1 Ai A’i+1
aw ae
l’W l’e
Le théorème des trois moments, appliqué à l’appui Ai, donne :

l′w l′w l′e l′e Pe ae (l′e −ae )(2 l′e − ae )
Pour Pe → . Mi-1 + + Mi + Mi+1 = -
6EIw 3 EIe 3 EIe 6EIe 6 EIe l′e
Mi-1 = Mi+1 = 0. En simplifiant par 6E, on obtient :

l′w l′e pe l′2
e ae ae ae
2 + Mi = - x x (1 - ) (2 - )
Iw Ie Ie I′e I′e I′e
1 ae ae ae Pe l′e l′e /Ie
Mi = - x x (1 - ) (2 - ′) x
2 I′e I′e Ie l′w /Iw + l′e / Ie
En posant :
1 aw aw aw 1 ae ae ae
kw = x x (1 - ) (2 - ) → ke = x x (1 - ) (2 - )
2,125 l′w l′w l′w 2,125 l′e l′e l′e
M’w = ∑ kw Pw l’w → M’e = ∑ ke Pe l’e
Iw Ie
Kw = → Ke = → D = Kw + K e
l′w l′e
Ie et Iw : moments d’inertie de la section de béton seul
On obtient (pour Pe et Pw) :

Ke K
Mi = - M’w + M’e (1 - De ) (1.24)
D
Les valeurs de kw et ke (k et k1) sont données en fonction a/l’(aw/lw ou ae/le) à l’annexe 2.
Cas particulier
Si, Ie = Iw = I = constant, il vient :
I I l′w Ke l′e l′w + l′e
Kw = → Ke = → Ke /D = →1– = →D=Ix
l′w l′e lw + l′e
′ D lw +l′e
′ l′w x l′e
∑ ke Pe l′2 ′2
e + ∑ kw Pw lw
Mi = (1.25)
l′w + l′e
Si la poutre continue est soumise à des charges uniformément reparties et des charges
concentrées, on superpose les résultats des deux effets.
3.3.3.3. Moments en travée

1) Cas de charges
Les moments en travée sont calculés en tenant compte des travées réelles et non fictives (portée l
et non l’). Les différents cas de charges à prendre en considération pour l’état limite ultime sont :
1,35 G + 1,5 Q
Cas 1 1.35G + 1.5Q
A Travée chargée B Chargée C Chargée D
IMwImax li IMeImax
1,35 G 1,35 G + 1,5 Q 1,35 G

Cas 2
Déchargée Travée chargée Déchargée
Mtmax
1,35 G
Cas 3
Travée déchargée
Mtmin
Récapitulatif
Cas 1 : Chargement permettant de déterminer les moments maximums sur appui (travées
encadrant l’appui chargées)
Cas 2 : Moment maximum en travée (chargement de la travée considérée)
Cas 3 : Moment minimum en travée (travée considérée déchargée)
2) Tracé de la courbe enveloppe

On commence par tracer la courbe des moments de la travée indépendante de portée l sous
l’effet :
- De la charge permanente.
- Des charges permanentes et d’exploitation.
Pour la ligne de fermeture, on prend en considération :
- Pour les moments positifs, la ligne qui joint les moments minimaux d’appui en valeur
absolue.
- Pour les moments négatifs, celle qui joint les moments maximaux d’appuis en valeur
absolue.
La courbe enveloppe des moments pour un chargement uniforme est représentée sur la figure
1.17.
Cas 2 Cas 3
Me, max
Cas1
Mt, min
x Mt,max
li
Ligne de fermeture Mx = μ(x) + Mw (1-x/lx) + Me x/li
Figure 1.17: Courbe enveloppe
3.3.3.4. Efforts tranchants

Les efforts tranchants sont calculés conformément à la méthode générale applicable aux poutres
continues en tenant compte des moments sur appui (moments de continuité).
Mi-1 1.35G +1.5Q Mi+1

1.35G 1.35G
Ai-1 Vwi Vei Ai+1
lwi Ai lei
( Mi – Mi−1 ) ( Mi+1 – Mi)
Vwi = Vow + → Vei = Voe + (1.26)
lwi lei
Où,
Vow et Voi : efforts tranchants sur appui Ai des travées de référence en valeur absolue
Mi-1, Mi et Mi+1 : moments sur appuis avec leur signe
Remarque
En général, Vu est maximal si les seules travées chargées sont celles qui encadrent l’appui
considéré.
3.3.3.5. Arrêt des barres et vérification des appuis
1) Rappel : Théorie de Morsch-Ritter
Le fonctionnement d’une poutre en bêton armé soumise à la flexion peut se faire par analogie
avec la poutre en treillis (Fig.1.18). En effet, si la fissuration devait se produire, elle se
développerait suivant un angle d’environ 45° et les armatures d’âmes traversant cette fissure
devraient l’empêcher de s’ouvrir en s’opposant à l’effort provoquant l’ouverture et qui n’est autre
que l’effort tranchant V.
Le schéma de résistance ultime est le suivant :
Bielle de béton en compression Membrure comprimée Armature verticale d’effort tranchant
Vu
Ft 45
45°
Armature longitudinale tendue Bielle de bêton en compression

Figure 1.18: Comportement d’une poutre soumise à la flexion simple
L’équation d’équilibre de la bielle montre que (Fig.1.19) :

- Le béton de la bielle doit résister à un effort de compression Vu√2.
- Les armatures doivent résister à un effort de traction Vu. La section des armatures sur appui
doit être suffisante.
- Les armatures doivent être ancrées pour résister à cet effort.
VU : effort de traction dans la section d’armature sur appui
VU √2 : compression dans la bielle de béton
VU : réaction d’appui
Figure 1.19: Equilibre de la bielle de béton
Les armatures longitudinales As doivent équilibrer Ft. Il faut donc :

As x fe /γS ≥ Vu → As ≥ Vu x γS/fe
Pour tenir compte de la part de l’effort tranchant reprise par le béton comprimé (celle-ci diminue
la contrainte devant être reprise par les armatures transversales), il faut tenir compte dans la
formule précédente, non pas de la contrainte τu (due à Vu) mais plutôt d’une contrainte réduite :
τu - 0,5 k (MPa) (1.27)
Où,
k : 1 → flexion simple
k : 1 + 3 x σcm /fcj → flexion composée avec compression
σcm → contrainte moyenne de compression de la section du béton sous l’effort normal de calcul
k = 1 - 10 x σtm /fcj → flexion composée avec traction
σtm ; contrainte moyenne de traction de la section totale du béton sous l’effort normal de calcul
k = 0 → en cas de reprise de bétonnage ou lorsque la fissuration est jugée très préjudiciable
Par la suite, on choisit une section At pour une nappe et on détermine l’espacement maximal St en
utilisant la formule suivante :
0,8 ƒe At
St ≤ (1.28)
bo (τu − 0,5)
2) Epure d’arrêt des barres à partir du tracé de la courbe des moments flechissants
La fissuration d’effort tranchant a une influence sur l’intensité de la traction qui sollicite les
armatures longitudinales de la membrure tendue. Dans le cas d’un treillis simple, l’effort F de
traction qui sollicite la membrure longitudinale à l’abscisse x, a même intensité à l’abscisse (x + z).
Cette particularité conduit à décaler de 0,8h, dans le sens défavorable, les courbes enveloppes du
moment fléchissant. Cette règle, dite de décalage des moments, ne majore pas le moment
maximum, mais s’applique aux arrêts du second, voire du troisième lit d’armatures.
Démonstration
a) Poutres soumises à un moment fléchissant MX (MU ou MSer) et à un effort tranchant VU
Considérons les effets des sollicitations MX et VX dans les sections suivantes :
- S(x) située à l’abscisse x du nu d’appui
- S (x - z) située à l’abscisse (x - z)
On suppose que dans ce qui suit que M (x) > M (x - z) et on étudie d’abord l’effet du moment seul
(flexion pure), puis l’effet du moment et de l’effort tranchent (flexion simple).
- Effet du moment seul (Fig.1.20)

Hypothèse favorable : pas de cisaillement
Equilibre de la section S(x) :

M(x) = Nbc x z = NS x z
Effort de traction dans les armatures AS :

NS = M(x)/z
Figure 1.20: Section soumise à un moment de flexion
- Effet du moment et de l’effort tranchant (Fig.1.21)

Hypothèse défavorable retenue par le BAEL91 : béton fissuré
L’effort tranchant V(x) provoque dans la poutre des fissures que l’on admet rectilignes et inclinées
à environ 45° sur l’axe longitudinal de la poutre.
L’équilibre exige dans la section d’abscisse (x - z) :

NS = M(x)/z
L’effort de traction est donc égal à celui qui existe dans la section d’abscisse x.
Figure 1.21: Béton fissuré
b) Règle de décalage
Il en résulte que l’effort de traction NS dans les aciers est constant sur une longueur z. En d’autres
termes, NS à l’abscisse (x - z) est déterminé en tenant compte du moment M(x) dans la section
d’abscisse x.
Pour tenir compte de ce décalage, le BAEL91 propose de décaler horizontalement de 0,8h (z ≈ 0,9d
et d ≈ 0,9h) dans le sens défavorable la courbe des moments fléchissants. Cela revient donc à
augmenter de 2 x 0,8h la longueur des armatures longitudinales (Fig.1.22).
Dans le cas d’une poutre sur deux appuis et uniformément chargée, on obtient l’épure d’arrêt des
barres suivante :
0,8h 0,8h Courbe enveloppe

Mru1 Courbe décalée
Mru2
0,8h 0,8h
ls du 2émelit ls du 2émelit
Figure 1.22: Epure d’arrêt des barres : Tracé de la courbe décalée
En résumé, pour obtenir l’épure d’arrêt des barres, il faut procéder comme suit :
- Déterminer la courbe des moments fléchissants.
- Décaler cette courbe des moments de 0,8h.
- Calculer les moments résistants de chaque lit d’armatures.
- Tracer la courbe des moments résistants en tenant compte de la longueur de scellement

droit des lits d’armatures et en ayant toujours des moments résistants supérieurs aux
moments décalés.
- En déduire graphiquement ou analytiquement la longueur du ou des lits d’armatures qui

seront arrêtées.
3) Règle pratique pour la répartition des cadres

Dans le cas d’une poutre soumise à une charge uniformément repartie, on peut prendre pour
écartement des armatures transversales, la suite des nombres suivants (BAEL91 A.5, 1,22) :
7, 8, 9, 11, 13, 16, 20, 25, 30, 40 cm (maximum).
Le premier espace à retenir correspond à l’écartement à l’appui, et on répète ensuite chacun des
nombres indiqués ci-dessus autant de fois qu’il y a de mètres dans la demi-portée. Les cadres
seront disposés symétriquement par rapport au milieu de la poutre.
4) Vérification des appuis
Il faut vérifier que la section d’armatures longitudinales qui arrive à l’appui est suffisante et que la
compression dans la bielle de béton σbc est telle que :
𝑓𝑐28
σbc ≤ 0,8 (1.29)
𝛾𝑏
a) Vérification de la contrainte de compression dans la bielle

bielle de béton σbc est :
(b x a)/√2 (1.30)
Où,
a : longueur de la bielle comprimée, généralement égale à la longueur d’ancrage des aciers
longitudinaux moins 2 cm, et a ≤ 0,9d
b) Vérification de la section d’acier aux appuis (section minimale)

La section AS qui arrive jusqu’aux appuis doit etre telle :
AS ≥ VU/fSU = γS VU/fe (1.31)
fe/γS VU
AS
En pratique, la moitié des aciers necessaires en travée est prolongée jusqu’aux appuis
(généralement, c’est le premier lit).
4. EXEMPLE DE CALCUL D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE
4.1. Enoncé
p (kN/ml)
l l
RA= p l = 8,0 m RB = p
2 2
4.2. Données
4.2.1. Dimensions de la poutre
- Largeur de la poutre : b = 0,30 m

- Hauteur de la poutre : h = 0,80 m
- Hauteur utile : d = 0,9h = 0,72 m
- Portée de la poutre : l = 8,0 m
4.2.2. Charges et surcharges
- Charges permanentes : g = 20 kN/ml

- Charges d’exploitation : q = 5 kN/ml
4.2.3. Matériaux
Béton
ƒc28 = 25 MPa
ƒt28 = 0,6 + 0,06 x 25 = 2,1 MPa (fissuration considérée peu préjudiciable)
γb = 1,5 à l’état limite ultime
0,85 x ƒc28
ƒbu = = 14,17 MPa
γb
Acier
ƒe = 500 MPa (type 1)
γs = 1,15
ƒsu= 500/1,15 ≈ 435 MPa
4.3. Travail demandé
Il s'agit de :
- Calculer le ferraillage longitudinal et transversal de la pouter (voir annexe 3).
- Vérifier les appuis.
- Tracer l'épure d’arrêt des barres analytiquement et graphiquement.
4.4. Solution
4.4.1. Evaluation des sollicitations
p = 0,0345 MN/m
RA= 0,138 MN RB= 0,138 MN

Vu(x)
Mu(x)
p = 1,35g + 1,5 q = 1,35 x 20 + 1,5 x 5 = 34,5 kN/m = 0,0345 MN/m
RA = RB = pl/2 = (0,0345 x 8) /2 = 0,138 MN
Vu(x) = 0,0345x - 0,138 MN
Mu(x) = 0,138x - 0,0345x2/2
l 0,0345 x 82
Mu (x = ) = Mu,max = = 0,276 MNm
2 8
4.2.2. Ferraillage longitudinal
- Moment réduit
Mu 0,276
μ= = = 0,125 < μl = 0,372
b x d2 x ƒ bu 0,30 x 0,722 x 14,17
- Position de l’axe neutre

α = 1,25 (1 - √1 − 2μ) = 1,25 (1 - √1 − 2 x 0,125) = 0,167 < αu,lim = 0,617
- Bras de levier
z = (1 - 0,4α) x d = (1 - 0,4 x 0,167) x 0,72 = 0,672 m
- Section d’acier
Mu 0,276
As = ƒe = = 9,45 cm2
zx 0,672 x 500/1,15
γs
- Condition de non fragilité
As ƒt 0,23 x b x d x ƒtj 0,23 x 0,30 x 0,72 x 2,1
≥ 0,23 → As,min = = = 2,09 cm2 → As > As,min
bxd ƒe ƒe 500
- Choix du ferraillage
Compte tenu de la largeur de la poutre et de la quantité d’armatures nécessaires (A s = 9,45 cm2),
on peut placer 3 barres Ø16 pour le premier lit, et 2 barres Ø16 pour le second lit. Soit 5Ø16
(10,05 cm2) sur 2 lits.
80
60
5Ø16
30
4.2.3. Ferraillage transversal
- Choix du diamètre
On peut prendre comme diamètre des aciers transversaux :
Øl 16
Øt = = = 5,33 cm
3 3
Ce qui donne un double cadre Ø6, soit :

At = 4 brins Ø6 = 4 Ø 6 = 1,13 cm2
- Vérification de la contrainte de cisaillement du béton

Vu
τmax = ≤ τu,limite = Min (0,2ƒc28/γb; 5 MPa) → Si les armatures transversales sont droites.
bxd
0,138
τmax = = 0,639 MPa ≤ Min (3,33; 5 MPa) → τmax ≤ 3,33 MPa → Vérifiée
0,30 x 0,72
- Armatures d’âme dans la zone d’appui

Pour le calcul de l’espacement maximal dans la zone d’appui, il faut vérifier :
At x ƒe
st ≤ Min (0,9 d; 40 cm) et ≥ 0,4 MPa
b x st
st,max, doit donc vérifier la relation suivante :

At x ƒe
st,max = Min ( 0,9 d; 0,40 m; ) = Min (0,648; 0,4; 0,47) = 0,40 m
b x st
st,max = 40 cm
Par ailleurs, le rapport de la section At sur l’espacement st des armatures transversales doit vérifier
l’inégalité suivante :
At γs (τu − 0,3 ƒtj x k)
≥
b x st 0,9ƒe (sin α + cos α)
Soit :
0,9 ƒe x At (sin α+cos α) 0,8 ƒe x At
st ≤ ≈
b x γs (τu − 0,3ƒtj x k) b(τu − 0,3ƒtj x k)
Si on considère qu’il y a une reprise de bétonnage entre la poutre et la dalle, alors k = 0.

Et, si on utilise des cadres verticaux, l’inégalité précédente devient :
0,8 ƒe x At
st ≤
b x τu
L’espacement maximal dans la zone d’appui est :

0,8 x 500 x 1,13
st ≤ = 0,236 m
0,30 x 0,639
st ≤ 23,6cm → sto ≈ 23 cm
- Calcul des espacements dans la zone centrale à partir de l’équation Vu(x)

0,9 x ƒe x At 0,9 ƒe x At 0,72 x 0,9 x 500 x 1,13 x 10−4
st ≤ = Vu = = 0,032 / Vu
b x γs (τu −0,3 ƒtj x k) 1,15 x 1,15 x Vu
d
st ≤ 0,032/Vu → Vu(x) = 0,0345x - 0,138
x (m) Vu (MN) st ≤ 0,032/Vu (m) st retenu (m) Nombre

0 0,138 0,232 0,23
*0,23/2 + 4 x 0,23 = 1,035 0,102 0,314 0,31 4
1,035 + 4 x 0,31 = 2,275 0,0595 0,54 > st,max = 0,40 0,40
*Le premier cadre est placé à sto/2 pour coudre la fissure. Pour simplifier le calcul et la mise en
œuvre, on répète n fois le même espacement, n étant généralement pris égal à 3 ou 4.
Pour la méthode de Caquot n représente le nombre entier de mètres qu’il y a dans la demi-portée.
10 4x20 4x30 4x40 x 3x40 4x30 4x20 10
800
La répartition des cadres dans la zone centrale, obtenue à partir de l’équation de l’effort
tranchant, aboutit à un espace x qui vaut 60 cm. On peut garder cette distribution, comme on peut
la revoir de manière à intégrer x à la suite des espacements.
10 4x20 4x30 4x40 30 30 4x40 3x30 4x20 10

27 doubles cadres Ø6
800
● ● ●
3Ø8
● ● 1double cadre Ø6
● ● ●
5Ø16
- Espacement en utilisant la suite de Caquot
Cette méthode permet d’obtenir rapidement la répartition des espacements le long de la poutre
après avoir calculé st0. Dans notre cas, la méthode s’applique car la poutre est de section
constante et soumise à une charge uniformément répartie. On procède comme ce qui suit :
Après avoir calculer st0 les autres espacements sont choisis de sorte à suivre la série de Caquot
suivante :
7, 8, 9, 11, 13, 16, 20, 25, 30, 40 cm.
Dans le cas de cette application, la répartition est :

25, 30, 40 (car stmax = 40 cm).
Compte tenu des modifications apportées aux espacements, on trouve pratiquement la même
répartition des cadres. Mais, en général, cette méthode simplifiée consomme plus d’armatures
transversales.
- Armatures d’âme dans le cas où il n’y a pas de reprise de bétonnage

Dans le cas où il n’y a pas de reprise de bétonnage, k=1, et :
0,9 ƒe x At (sin α + cos α) 0,9 ƒe x At 0,9 x 500 x 1,13 x 10−4
st ≤ = V = 0,138
b x γs (τu − 0,3ƒtj x k) b x γs ( u − 0,3ƒtj x k) 0,30 x 1,15(0,30 x 0,72 − 0,3 x 2,1)
bxd
st ≤ 14,7m → 14,7m > st,max = 0,40 m
L’espacement calculé est très grand, ceci s’explique par la capacité du béton à résister à la
traction.
Quand il n’y a pas de reprise de bétonnage, les cadres doivent être espacés de 40 cm au maximum
avec des premiers cadres placés à 40/2 = 20 cm du nu d’appui.
20 20 18 x 40 20 20
800
4.2.4. Epure d’arrêt des barres
4.2.4.1. Vérification des appuis

La poutre repose sur deux appuis en béton de largeur 40 cm. On doit vérifier que la section
d’armatures longitudinales est suffisante et que la compression dans la bielle de béton σ bc est telle
que :
ƒc28
σbc ≤ 0,8
γb
- Vérification de la contrainte de compression dans la bielle Vu√2

La section perpendiculaire à l’effort (incliné à 45°) de 45°
compression dans la bielle d’about est : (b x a) /√2
a/√2
3 cm a 2 cm
Enrobage = 3 cm
a = longueur de la bielle comprimée (généralement égale à la longueur d’ancrage des aciers
longitudinaux moins 2 cm) et a ≤ 0,9d
Effort Vu,appui √2 2Vu,appui ƒc28 Vu,appui ƒc28
σbc = Section = a = ≤ 0,8 → ≤ 0,4
bx bxa γb bxa γb
√2
En prenant un enrobage de 3 cm au bout du premier lit d’armatures, on obtient :

a = 40 - 3 - 2 = 35 cm
Vu,appui 0,138 25
= = 1,31 MPa < 0,4 x = 6,67 MPa → Vérifiée
bxa 0,35 x 0,30 1,5
a = 35 cm < 0,9 x 0,72 = 0,648 m
- Vérification de la section d’acier sur appui (section minimale)

La section As qui arrive jusqu‘aux appuis doit être telle que :
Vu γ s Vu 1,15 x 0,138
As ≥ ƒsu
= ƒe
= 500
= 3,17 x 10-4 m2 = 3,17 cm2
ƒ𝐞
← → Vu
𝛄𝐬 AS
Si nous prolongeons les barres du premier lit, soit 3Ø16, la section correspondante est 6,03 cm2,
elle est donc largement suffisante.
En pratique, la moitié des aciers nécessaires en travée est prolongée jusqu’aux appuis
(généralement, c’est le premier le premier lit).
- Ancrage - adhérence
L’ancrage droit suffit-il pour que n barres (n, c’est le nombre de barres à l’appui, ici égal à 3)
puissent ancrer l’effort Vu,appui.
La contrainte de scellement droit vaut à l’ELU :

τsu = 0,6 x ψs2 x ƒcj
Pour une barre Ø 16 avec ƒc28 = 25 MPa, on a :

τsu = 2,84 MPa
Chaque barre Ø 16 reprend un effort égal à :

Vu 0,138
= = 0,046 MN
n 3
L’ancrage droit nécessaire a pour longueur L, telle que :

Vu
= 0,046 < π Ø L τsu = 3,14 x 0,016 x 2,84 = 0,1427
n
0,046
L> = 0,32 m < 0,35 m (a = 35 cm) → L'ancrage droit suffit largement.
0,1427
Remarque
En pratique, à défaut de calcul précis, on peut adopter comme longueur de scellement droit les
valeurs suivantes :
- lS = 40Ø pour les aciers Fe E 400 (haute adhérence) ls
- lS = 50Ø pour les Fe E 500 (HA)
Pour le lit de 3Ø16 conservé jusqu’aux appuis (Fe E 500), on a :

lS = 50Ø = 50 x 1,6 = 80 cm
4.2.4.2. Epure d’arrêt des barres

Les calculs précédents montrent que sur les 5Ø16 nécessaires en travée (zone centrale), seul le lit
inferieur de 3Ø16 est prolongé jusqu’aux appuis pour la reprise de la composante horizontale de la
force de compression des bielles à 45°. Le second lit de 2Ø16 sera donc arrêté avant d’arriver aux
appuis.
- Tracé du diagramme du moment fléchissant

La courbe du moment fléchissant est donnée par l’équation :
x2
Mu (x) = +0,138x - 0,0345
2
Cette courbe sera décalée de 0,8h = 0,8 x 80 = 64 cm (voir Fig.1.22). .
- Calcul des moments résistants ultimes réduits Mru

ƒe
Mru = Asr x xz
γs
Asr = section réduite d’armatures

ƒe 500
= = 434,78 ≈ 435 MPa
γs 1,15
- Pour le premier lit (jusqu’à l’appui) = 3Ø16 = 6,03 cm2

As x ƒe⁄γs 6,03 x 10−4 x 435
α= = = 0,107 < αu,lim = 0,617
0,8 bd x ƒbu 0,8 x 0,3 x 0,72 x 14,17
D’où :
z = (1 - 0,4α) d = (1 - 0,4 x 0,107) x 0,72 = 0,689 m
ƒe
Mru1 = Asr x x z = 6,03 x 10-4 x 435 x 0,689 = 0,181 MNm (premier lit)
γs
Mru1 = 0,181 MNm (premier lit)
- Pour les deux lits = 5Ø16 = 10,048 cm2

As x ƒe⁄γs 10,048 x 10−4 x 435
α= = = 0,1785 < αu,lim = 0,617
0,8 bd x ƒbu 0,8 x 0,3 x 0,72 x 14,17
z = (1 - 0,4α) d = (1 - 0,4 x 0,1785) x 0,72 ≈ 0,669 m

ƒe
Mru1+2 = Asr x x z = 10,048 x 10-4 x 435 x 0,669 = 0,292MNm (2 lits)
γs
Mru1+2 = 0,292 MNm (2 lits)
4.2.4.3. Tracer de la courbe des moments résistants

Après avoir décalé de z = 0,8h = 64 cm (vers la gauche) la courbe des moments flechissants, on
trace les paliers horizontaux limitant les moments résistants (ici, il s’agit de Mru1, Mru1+2).
Le passage d’un moment résistant à un autre plus élevé se fait progressivement sur la longueur
d’ancrage du lit ajouté, soit 64 cm.
Le diagramme des moments résistants reste au-dessus et ne coupe pas le diagramme des
moments fléchissants.
Aussi, on obtient le diagramme enveloppe des moments résistants, en partant, par exemple, du
point O (point d’intersection du moment résistant Mr1 avec la courbe décalée) et en le joignant au
point B décalé de 64 cm vers la droite.
Ainsi, on arrive à tracer la courbe enveloppe des moments résistants qui doit envelopper la courbe
décalée des moments sollicitants.
4.2.4.4. Longueurs des barres arrêtées

La longueur des barres du lit arrêté peut être déterminée de deux manières : numériquement ou
graphiquement.
- Numériquement
La procédure à suivre est la suivante :
On développe l’équation de la courbe des moments décalée de 0.8h, valable à droite de l’appui de
rive gauche :
2
(x + 0,64)
Mu (x + 0,64) = 0,138 (x + 0,64) - 0,0345 ≈ - 0,017x2 + 0,116x + 0,08
2
Mu (x + 0,64) = - 0,017x2 + 0,116x + 0,08
Le point d’intersection entre les deux courbes de moments décalés et résistants s’obtient en
égalisant les relations suivantes :
Mru1= Mu (x + 0,64) → 0,181 = - 0,017x2 + 0,116x + 0,08
-0,017x2 + 0,116x - 0,101 = 0
On trouve :
x = 1,02 m
Ce point correspond à l’abscisse à partir de laquelle doit débuter le deuxième lit de Ø16.
- Graphiquement
x=0 → Mu (0) = 0
x = 1 m → Mu (1) = 0,121 MNm
x2
Mu (x) = +0,138x - 0,0345 → x = 2 m → Mu (2) = 0,207 MNm
2
x = 3 m → Mu (3) = 0,259 MNm
x = 4 m → Mu (4) = 0,276 MNm
La détermination graphique des points d’arrêt des armatures longitudinales est représentée ci-
dessous.
5,96 m
8,00 m
0,8h=0,64 0,8h Courbe des moments

Mru1 courbe décalée
Mru1+2
O 0,64 0,64
B
ls=0,80 cm ls=0,80 cm
4.2.5. Schéma du ferraillage de la poutre
2 Ø16 x 6,00m (2) 3Ø16 x 8,76m (1) 3Ø8 (3)
10 4x20 4x30 4x40 30 30 4x40 3x30 4x20 10

27 doubles cadres Ø6(4)
800
2cm 2cm
4.2.6. Détails du ferraillage (3) 3Ø8 x 8,76m
20cm
(4) 27 doubles cadres Ø6 x 1,78m

80 cm
(2) 2Ø16 x 6,00m
(1) 3Ø16 x 8,76m
30 cm
1,6
3
3 1,6
74 cm 3 1,6 9,6 1,6 9,6 1,6 3
30 cm
14,2 cm
1cadre Ø6
1double cadre Ø6
Remarques
Sur les dessins, il faut :
- Fixer tous les détails permettant d’exécuter la construction de l’ouvrage conformément
aux résultats auxquels ont abouti les calculs.
- Coter distinctement les distances entre les armatures elles-mêmes et entre armatures et
coffrage.
- indiquer sur les plans d’exécution la dimension maximale D du granulat à utiliser en

appliquant les règles usuelles suivantes :
D
r≥ → Granulats roulés
1,4
D
r≥ → Granulats concassés
1,2
r représente le rayon moyen de la plus petite maille (grille de ferraillage) à bétonner :

axb
r=
2 (a + b)
a Armatures transversales
b
Armatures longitudinales
- indiquer la dimension maximale des granulats D. Celle-ci est fixée comme ce qui suit :
Distance minimale entre les cadres : a = 10 cm - 0,6 cm = 9,4 cm
Espacement minimal (horizontal) entre armatures longitudinales : b = 3cm (espace entre 2

lits).
axb 9,4 x 3
r= = = 1,14 cm
2 (a + b) 2 (9,4 + 3)
Ce qui donne :
D = 1,14 x 1,4 = 1,6 cm → Pour les granulats roulés
D = 1,14 x 1,2 = 1,37 cm → Pour les granulats concassés
Sur le dessin de ferraillage, on peut indiquer la dimension maximale D en utilisant les

dimensions normalisées suivantes :
8/15 pour les granulats roulés
4/8 pour les granulats concassés

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Planchers courants

1 : Généralités sur les planchers

Rien n’a été à la fois trouvé et porté à sa perfection

2. CALCUL DES DALLES

4. EXEMPLE DE CALCUL D’UNE POUTRE ISOSTATIQUE

Les principales fonctions d’un plancher sont :

1.1. Plancher à nervures

Figure 1.1a: Dalle nervurée

Ce type de dalle offre moins de souplesse d’utilisation que la dalle pleine.

1.2. Dalle à caisson

Figure 1.1b: Dalle à caisson

1.3. Dalle champignon

a) Hyperbole b) Epaisseur constante

Figure 1.1c : Différents types de plancher champignon

1.4. Plancher à corps creux et poutrelles

1.5. Plancher composé d’une dalle s’appuyant sur un réseau de poutres

1) On appelle élancement de la dalle le rapport : lY

2.2. Aspect théorique

On désigne par α et α' les rapports suivants :

2.3.1. Cas des plaques chargées uniformément

2.3.1.1. Panneau rectangulaire isostatique

2.3.1.2. Dalles continues

Mty = 0,75 M0y

Pour un panneau de rive (à l'extrémité de la dalle) :

Mty = 0,85 M0y

Les dispositions forfaitaires sont résumées sur la figure ci-dessous.

Panneau continu Panneau de rive

Figure 1.3: Dispositions forfaitaires

La flèche f de chacune de ces poutres est de la forme :

Les 2 flèches f1 et f2 doivent être égales, et en plus : p''+ p' = p

2.3.1.3. Effort tranchant

- Effort tranchant maximal au milieu de ly :

- Effort tranchant maximal au milieu de lx :

p = charge totale uniformément repartie sur la surface de la plaque, soit : p = q lx ly

2.3.2. Cas des charges concentrées sur un rectangle concentrique à la dalle

Soit P la valeur de la charge concentrée. Les moments de flexion

L'effort tranchant par unité de longueur est donné par :

Ce cas se traite en considérant plusieurs combinaisons des surcharges.

Si P représente la valeur de la surcharge concentrée sur le rectangle de dimension u et v, la

Les moments de la plaque chargée suivant le rectangle ABCD sont :

Mx1 −Mx2 −Mx3 + Mx4 My1 −My2 −My3 + My4

L’évaluation des efforts tranchants s'effectuera de la même manière.

2.4. Calcul conforme au règlement BAEL 91 révisées 99

2.4.1. Cas des dalles rectangulaires avec α ≤ 0,4

Lorsque les deux conditions suivantes sont remplies :

q/ml AX (armatures principales)

Figure 1.6: Ferraillage d’un panneau avec α ≤ 0.4

Une dalle est considérée comme portant suivant deux directions si :

Les moments fléchissant au centre du panneau sont :

Les coefficients μx et μy (Tab. 1.1) sont donnés en fonction de α pour 2 cas :

Tableau 1.1: μ = f(α)

2.5. Calcul du ferraillage des dalles

2.5.1. Armatures de flexion

Tableau 1.2: Espacement minimal

4. L’épaisseur d’une dalle doit respecter les inégalités suivantes :

2.5.2. Armatures d’effort tranchant

- La dalle ou poutre-dalle est bétonnée sans reprise sur toute sa hauteur.

- La condition de non fragilité fixant le pourcentage minimal d’armatures est respectée.

2.5.3. Armatures de poinçonnement