Devoir de Synthèse N°1: Exercice 1: Exercice 2

Afli Ahmed Devoir de Synthèse n°1 Lycée I.K.
Jemmel
4Sc.exp 04/05/2016
Mathématiques
N.B : La qualité de la rédaction, la numérotation des pages et le respect de l'ordre des

questions, constituent un élément déterminant dans l'appréciation de la copie
Exercice 1 :(voir annexe page 3)
Exercice 2 :(4,5points)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗, ⃗j, ⃗⃗

k).
On considère les points A(2,-1,1) ; B(1,-2,-1) ; C(-1,1,3) et D(0,1,-1)
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1.) a. Déterminer les composantes du vecteur u AB ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC.
b. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
c. Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2.) a. Calculer l’aire du triangle ABC.

11
b. Montrer que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 3
c. En déduire la distance du point D au plan (ABC).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3.) Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tel que (MA MD = ⃗0⃗.
MD) ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice 2 : (4,5points)
π π
Soit f la fonction définie sur [− 2 ; 2] par : f(x) = 10 – 6 cos(x).
1.) a. Dresser le tableau de variation de f.
b. Déterminer l’extremum de f en précisant sa nature.

π π
2.) Soit θ un réel de [− 2 ; 2] .On pose (Eθ ) : z 2 + (1 + eiθ )z − 2(1 − eiθ ) = 0
a. Vérifier que (-2) est une solution de (Eθ ).
b. Déduire l’autre solution de (Eθ ).

π π
3.) Soit A et M les points d’affixes respectives -2 et 1 − eiθ avec θ un réel de [− 2 ; 2]
a. Calculer la distance AM en fonction de θ.
b. En déduire la valeur de θ pour la quelle AM est minimale. (utiliser la question 1.))
Calculer cette distance.
1
Exercice 3 : (6,5points)
Soit f la fonction définie sur [2; +∞[ par f(x) = 𝑥 − √𝑥 2 − 4
1. )Montrer que lim f(x) = 0 . Interpréter graphiquement ce resultat.

x→+∞
2.) a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 2 et interpréter le résultat graphiquement.
b. Montrer que f est dérivable sur ]2; +∞[ et calculer f ’(x) pour tout x ∈ ]2; +∞[ .
3.) a. Dresser le tableau de variation de f.
b. Tracer la courbe 𝐶𝑓 de f dans un repère orthonormé (O,𝑖⃗, 𝑗⃗).
4.) a. Montrer que f admet une fonction réciproque 𝑓 −1 continue et strictement décroissante sur
un intervalle J que l’on précisera.
b. Montrer que 𝑓 −1 est dérivable à gauche en 2 et donner(𝑓 −1 )′𝑔 (2) .
c. Calculer 𝑓 −1 (1) et (𝑓 −1 )′(1).
b. Expliciter 𝑓 −1 (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ J.

n
1 1
5. ) Pour tout entier n ≥ 1, on pose vn = ∑ f −1 (1 + )
n+1 n+k
k=0
n+1 2n + 1
a. Montrer que f −1 ( ) ≤ vn ≤ f −1 ( )
n 2n
b. En déduire que (vn ) est convergente et donner sa limite.
B onne Réflexion
2
Annexe à compléter et à remettre avec la copie
Nom et Prénom : --------------------------------------------------------
Exercice 1 :(4,5points)
Soit f la fonction, définie et continue sur ℝ, représentée par la courbe ζ ci-dessous dans un repère
orthonormé (O, ⃗i, ⃗j).
 ∆ : y = x est une asymptote à ζ au voisinage de −∞
 La tangente à ζ au point d’abscisse 2 passe par le point O.
 La courbe ζ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de +∞
1.) Déterminer :
lim f(x) = − − −
x→−∞
lim f(x) = − − −
x→+∞
f(x)
lim =−−−
x→+∞ x
2017
lim =−−−
x→−∞ x − f(x)
f(x)
lim− =−−−
x→1 x−1
f(x)
lim+ =−−−
x→1 x−1
f(x) + 1
lim =−−−
x→ 0 x
f ′ (2) = − − −
2.) a. Montrer que f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle J que l’on précisera.
 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b. Tracer 𝐶𝑓−1 dans le même repère que 𝐶𝑓 ----------------------------------------------------------------

f −1 (x) − 1
c. Calculer lim =−−−−
x→ 0 x
3.) Justifier l’existence d’un point de 𝐶𝑓 d’abscisse compris entre 0 et 1 où la tangente est parallèle à
la droite d’équation y = x
 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Afli Ahmed Devoir de Synthèse n°1 Lycée I.K.

N.B : La qualité de la rédaction, la numérotation des pages et le respect de l'ordre des

Exercice 1 :(voir annexe page 3)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗, ⃗j, ⃗⃗

On considère les points A(2,-1,1) ; B(1,-2,-1) ; C(-1,1,3) et D(0,1,-1)

b. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

c. Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

2.) a. Calculer l’aire du triangle ABC.

c. En déduire la distance du point D au plan (ABC).

1.) a. Dresser le tableau de variation de f.

b. Déterminer l’extremum de f en précisant sa nature.

a. Vérifier que (-2) est une solution de (Eθ ).

b. Déduire l’autre solution de (Eθ ).

a. Calculer la distance AM en fonction de θ.

b. En déduire la valeur de θ pour la quelle AM est minimale. (utiliser la question 1.))

Calculer cette distance.

Soit f la fonction définie sur [2; +∞[ par f(x) = 𝑥 − √𝑥 2 − 4

1. )Montrer que lim f(x) = 0 . Interpréter graphiquement ce resultat.

2.) a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 2 et interpréter le résultat graphiquement.

3.) a. Dresser le tableau de variation de f.

b. Tracer la courbe 𝐶𝑓 de f dans un repère orthonormé (O,𝑖⃗, 𝑗⃗).

un intervalle J que l’on précisera.

b. Montrer que 𝑓 −1 est dérivable à gauche en 2 et donner(𝑓 −1 )′𝑔 (2) .

c. Calculer 𝑓 −1 (1) et (𝑓 −1 )′(1).

b. Expliciter 𝑓 −1 (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ J.

b. En déduire que (vn ) est convergente et donner sa limite.

Nom et Prénom : --------------------------------------------------------

b. Tracer 𝐶𝑓−1 dans le même repère que 𝐶𝑓 ----------------------------------------------------------------

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