Exercices d’Algorithmique et de Programmation

avec Python

Guillaume Le Blanc Jean-Pierre Vallon

31 août 2018
 Résumé

Ce cahier est destiné aux élèves de Seconde.

1. Ce cahier est à utiliser en mathématiques. Les entrées de l’index sont celles du
programme de mathématiques de seconde. Cependant Il est conseillé d’utiliser
ce cahier à partir du moment où les quatre premiers TP ont été effectués afin
de laisser aux élèves le temps de se familiariser avec le pseudo-code et
le langage Python
2. Les entrées de l’index concernent les mathématiques, mais les titres de chapitres
concernent les concepts informatiques mis en jeu. L’ordre de difficulté des notions
suit celui des TP, c’est à dire, séquence, répétition, fonction, variable, test, boucle
tant que et finalement expressions logiques
Table des matières

1 Séquence 3

2 Répéter n fois 6

3 Notion de variable 8

4 Fonction et Variable 12

5 Test 14

6 Boucle Tant Que 17

7 Expressions logiques 22

2
Chapitre 1

Séquence

Ex 1
Que fait ce programme ?
left (90)
left (90)
left (90)
left (90)
Ex 2
Que trace ce programme ?
left ( -72)
forward (72)
left ( -72)
forward (72)
left ( -72)
forward (72)
left ( -72)
forward (72)
left ( -72)
forward (72)
Ex 3 Une suite de nombres En partant du nombre entier 7 on construit une
suite de nombres de la manière suivante :
1. Multiplier le nombre avec le nombre qui le précède
2. Rajouter 1 au résultat
Utiliser l’interpréteur Python comme une calculatrice pour faire les premiers calculs,
à partir du nombre 3263443 utiliser le copier-coller pour éviter de faire une erreur dans
l’entrée des nombres dans l’interpréteur
1. On constate que le chiffre des unités est soit 7 soit 3. Prouver que tout entier se
terminant par 3
2. Conjecturer une loi pour le nombre des chiffres des nombres de cette suite
3. On constate que la somme des chiffres pour chaque nombre vaut toujours 7
Par exemple pour 43 on a évidemment 7, pour 1807 on a 1 + 8 + 0 + 7 = 16 et
1+6=7

3
On vérifie cette propriété avec Python sur quelques exemples en utilisant la com-
mande % 9 qui calcule le reste de la division 9 (On démontre en mathématiques
que calculer le reste de la division par 9 équivaut à faire la somme des chiffres
jusqu’à obtenir un nombre inférieur ou égal à 9

4
 Ex 4 Exécuter à la console l’opération suivante

Etonnant non ? on s’attend à obtenir 0.3. Il faut avoir conscience que nous pro-
grammons des machines et donc la représentation des nombres à virgule conduit
parfois à des valeurs approchées
Pour avoir une idée de l’approximation on va utiliser la fonction valeur absolue
abs() (voir sur internet la fonction valeur absolue) La différence est "très petite" de

l’ordre de 10−17 , on verra dans les chapitres suivants comment tenir compte de cette
approximation dans certains programmes
Ex 5
Importer le module math dans l’interpréteur en entrant from math import *
√ √ 2
On a vu en maths que la racine carrée de 2, le nombre√noté 2 vérifie 2 = 2.
Là encore avec Python on a une valeur approchée de 2.
√ 2
Donner un ordre de grandeur de l’écart entre 2 et 2. (sqrt signifie square root
c’est à dire racine carrée en anglais)

Ex 6
1. Compléter le programme suivant pour qu’il trace un parallélogramme

forward (100)
left (60)
forward (70)
# à compl é ter
2. Faire évoluer le programme précédent pour qu’il trace cette fois-ci un losange de
100 pixels de côté et tel que l’un des angles vaut 70 degrés
3. Ecrire un programme pour qu’il trace cette fois-ci un rectangle de longueur 100
pixels et de largeur 70 pixels

5
Chapitre 2

Répéter n fois

Ex 1 Corriger ce programme, afin qu’il trace un carré

for i in range (4):
forward (50)
left (90)

Que trace-t-il d’ailleurs ?

Ex 2
1. Pour trouver de quel angle x en degrés, faut il tourner avec la tortue pour dessiner
un pentagone régulier il faut résoudre 5x = 360. Que vaut x ? Est ce un entier ?
2. Quelle équation résoudre pour un heptagone régulier (7 côtés) ? La solution trou-
vée est elle entière ?Est elle rationnelle ?Qu’observez vous de remarquable dans
l’écriture décimale de la solution ?
Ex 3
Faire un algorithme puis un programme python pour reproduire le dessin suivant :

6
 Ex 4
Faire un algorithme puis un programme python pour reproduire le dessin suivant :

Ex 5
Faire un algorithme puis un programme python pour reproduire le dessin suivant :

Ex 6
Faire un algorithme puis un programme python pour reproduire un dessin analogue
au suivant :

7
Chapitre 3

Notion de variable

Ex 1
Compléter et corriger le programme suivant :
1. x est la variable contenant la longueur d’un côté du polygone régulier. Renommer
cette variable avec un nom explicite
2. Modifier l’instruction x = 50 de telle sorte que l’utilisateur puisse entrer une
valeur décimale au clavier

nbCotes = int ( input ( " Combien de c ô t é s a le polygone r é gulier ? " ))

x = 50
for indice in range (......):
forward ( x )
left (.....)

Ex 2 (Formules d’aire) Compléter pour que l’algorithme calcule :

1. l’aire d’un carré de côté donné par l’utilisateur
2. l’aire d’un cercle de rayon donné par l’utilisateur. Renommer la variable côté

début
coté ← entrer("Quel est la longueur du côté ?")
aire ← ...................
fin
Ex 3 (Formules de volume)
Compléter pour que l’algorithme calcule (renommer les variables) :
1. le volume d’un cylindre
2. le volume d’un cône

début
r ← entrer("Que vaut le rayon ?")
h ← ..........................
v ← ...................
fin

8
Ex 4
1. Faire évoluer "à la main" l’algorithme suivant à l’aide d’un tableau d’évolution
de variables :
début
entier ← 2
entier ← entier + 1
entier ← entier*entier
fin
A la fin de l’algorithme qu’elle est la valeur de la variable entier ?
2. Faire évoluer "à la main" l’algorithme suivant à l’aide d’un tableau d’évolution
de variables :
début
entier ← 2
entier ← entier*entier
entier ← entier + 1
fin
A la fin de l’algorithme qu’elle est la valeur de la variable entier ?
Ex 5
On veut échanger les valeurs des variables entier1 et entier2.
Est ce que l’algorithme suivant convient ?

début
entier1 ← entier2
entier2 ← entier1
fin
Ex 6
Quel est le résultat des 3 instructions suivantes ?

début
entier1 ← entier 1 + entier2
entier2 ← entier1 − entier 2
entier1 ← entier 1 − entier2
fin
Ex 7 Au cours de ce trimestre vous avez trois notes en mathématiques
1. Donner un algorithme qui affiche la moyenne de ces trois notes
2. Traduire en Python ce dernier algorithme
Ex 8
Définir les noms suivants et donner des exemples :
instruction , expression, variable, affectation.

9
Ex 9
Quelle est la valeur de la variable entier à la fin de l’algorithme ?

début
entier ← 1
répéter 4 fois
entier ← entier + 2

fin
Ex 10
Donner un algorithme où M est un entier entré au clavier
1. Pour calculer la somme S = 12 + 22 + 32 + ... + M 2 ?
1 1 1
2. Pour calculer la somme S = 1 + + + ... + ?
2 3 M
Ex 11
1. Développer et simplifier les expressions algébriques suivantes :
(a) (x − 1)(2x + 3)
(b) (y − 1)(2y + 3) + y(1 + y)
(c) (t + 1)2
(d) (1 − 3z)2
(e) (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(a − b − c)
2. Dans l’interpréteur Python entrer les instructions suivantes (importer une partie
de la bibliothèque sympy disponible dans l’environnement EduPython ou Pyzo
)

Ex 12
1. Factoriser les expressions suivantes :
(a) (t − 1)(t + 2) + (2t − 3)(t − 1)
(b) (x − 1)(x + 2) − (2x − 3)(x − 1)
(c) y 2 − 1
(d) 4z 2 − 1
(e) 9 − 16x2
(f) t2 + 1
(g) 2 − 5x2

10
 (h) 9 − 16x2
(i) 9 − 16x2
(j) (a2 + b2 + c2 )2 − 4a4 b4
2.
3. Dans l’interpréteur Python entrer les instructions suivantes (importer une partie
de la bibliothèque sympy disponible dans l’environnement EduPython ou Pyzo
)

11
Chapitre 4

Fonction et Variable

Ex 1 On rappelle que la pente d’un segment (ou le coefficient directeur) ou d’une

droite définie par deux points A et B de coordonnées (xA ; yA ) et (xB ; yB ) relativement
yB − yA
à un repère (O; I; J) est définie par
xB − xA
On suppose dans tout l’exercice que xA 6= xB
yA − yB yB − yA
1. Est ce que = ?
xA − xB xB − xA
2. L’algorithme suivant défini une fonction pente(xA ,yA ,xB ,yB ) qui retourne la
pente de (AB) et fait afficher à l’écran la pente du segment défini par A et B de
coordonnées (1 ;2) et (2 ;0) Ecrire l’appel de la fonction dans l’algorithme :

début
pente (xA ,yA ,xB ,yB )
yA − yB
retourner
xA − xB
....................................
fin
3. Traduire en Python
Ex 2 Etant donné deux points A de coordonnées (xA ; yA ) et B de coordonnées
(xB ; yB ) relativement à un repère (O, I, J)
−→
1. Exprimer les coordonnées du vecteur AB en fonction des coordonnées de A et
B relativement au repère (O, I, J)
2. Ecrire une fonction en pseudo-code coordonnees( xA , yA ,xB , yB ) qui re-
−→
tourne les coordonnées du vecteur AB en fonction des coordonnées de A et B
3. Traduire cette fonction en Python
Ex 3 Le déterminant de deux vecteurs u~1 de coordonnées (x1 ; y1 ) et u~2 de coordon-
nées (x2 ; y2 ) relativement à un repère (O, I, J) est défini par
det(u~1 , u~2 ) = x1 y2 − x2 y1
1. Créer une fonction en pseudo-code det(x1 ,y1 ,x2 ,y2 ) qui retourne le détermi-
nant
2. Traduire en Python

12
3. On montre en mathématiques que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement
si le déterminant de ces deux vecteurs est nul
Créer une fonction en Python colineaires(x1 ,y1 ,x2 ,y2 ) qui retourne True si
les vecteurs sont colinéaires
4. Que devrait retourner colineaires(3,1,0.3,0.1) ? Est ce le cas ?Sinon corri-
ger en tenant compte de l’exercice 4 du chapitre 1
Ex 4
1. Ecrire en pseudo-code une fonction appartientDroite(a,b,x,y) qui retourne
vrai si le point de coordonnées (x,y) appartient à la droite d’équation réduite
y = ax + b
2. Traduire en Python
3. Que devrait retourner appartientDroite(3,0,0.1,0.3) ? Est ce le cas ?Sinon
corriger en tenant compte de l’exercice 4 du chapitre 1
Ex 5
1. Ecrire une fonction milieu(xA ,yA ,xB ,yB ) qui retourne les coordonnées du mi-
lieu du segment [AB]
2. Traduire cette fonction en Python
Ex 6
1. Etant donné une fonction polynôme du second degré f définie sur R par :
f (x) = ax2 + bx + c. Quelles sont les coordonnées du sommet de la parabole
associée à f ?
2. Ecrire une fonction coordonneesSommetParabole(a,b,c) en Python

13
Chapitre 5

Test

Ex 1
On reprend l’exercice 1 du chapitre précédent sur la pente d’un segment.
Il s’agit maintenant de tenir compte du cas où xA = xB .
Faire un test au début de la fonction ainsi
Si xA == xB alors afficher (’la pente est infinie’) Sinon ......
Ex 2
Pour simuler le lancer d’un dé à six faces on va utiliser la fonction randint de la
bibliothèque random
randint(1,6) retourne un entier "au hasard" entre 1 et 6 inclus
1. Faire un programme qui simule le lancer de 10 fois un dé et affiche les 10 lancers
2. Compléter le programme suivant pour pouvoir calculer la fréquence d’apparition
du six pour 1000 lancers
from random import randint
nbSix = 0
for i in range (1000):
de = randint (1 ,6)
if .......:
.......
print ( " la fr é quence pour 1000 lancers est " ,........)

Ex 3
1. Ecrire une fonction en pseudo-code max(x,y) qui retourne le plus grand de deux
nombres x et y
2. Traduire la fonction en Python.
3. Utiliser cette fonction pour écrire une autre fonction max(x,y,z) qui retourne
le plus grand des trois nombres x,y et z
4. Cette fonction existe déjà et fait partie des fonctions de base de Python en
dehors de toute bibliothèque importée ( on parle de fonction built-in ou native)
aller voir ici https://docs.python.org/fr/3.5/library/functions.html sa
documentation et comparer votre documentation à celle de Python
On veut généraliser la fonction à n’importe quel ensemble fini de nombres

14
 début
max (liste)
maximum ← premier élément de la liste
pour chaque élément x de la liste faire
si x > maximum alors
..............
fin
fin
retourner maximum
fin
puis le programme
def max ( liste ):
# on prend le premier é l é ment de la liste
maximum = liste [0]
# on parcourt la liste ou on it è re sur la liste
for x in liste :
if x > maximum :
...........
return maximum

Attention notre fonction est moins souple que celle de Python on appellera cette
fonction ainsi
max((1,2,3)) ou max([1,2,3]) et non pas max(1,2,3) sinon il y aura un message
d’erreur
Ex 4
1. Faire une fonction Python nbSix(n) qui retourne le nombre de fois où on a
obtenu six lorsqu’on a lancé n fois un dé
2. Faire une fonction Python auMoinsUnSix() qui retourne vrai si on a obtenu au
moins un six lorsqu’on a lancé 4 fois un dé
3. Sur lequel des deux évènements suivants est-il préférable de parier :
A :"obtenir au moins un six lorsqu’on lance 4 fois un dé" ou l’évènement contraire
A?
(Simuler 1000 répétitions de 4 lancers d’un dé et calculer la fréquence d’obtenir
au moins un six)
Ex 5 Ecrire une fonction sensVariationsAffine(a) qui retourne la chaîne de
caractères ’croissante sur R’ si la fonction affine définie par f (x) = ax + b est croissante
sur R et qui retourne la chaîne de caractères ’décroissante sur R’ si la fonction affine
définie par f (x) = ax + b est décroissante sur R
Ex 6 Ecrire une fonction sensVariationsTrinome(a,b,c) qui retourne le sens de
variations de la fonction trinôme f définie par f (x) = ax2 + bx + c

15
 Ex 7 La fonction valeur absolue d’un nombre réel est une fonction native de Python.
Redéfinir cette fonction en complétant la fonction suivante :
def valeurAbsolue ( x ):
if x >= 0:
return ........
else :
return .........

Ex 8
1. Ecrire en pseudo code une fonction positionRelative(a,b,x,y) qui retourne
la chaîne de caractère ’au-dessus’ si le point de coordonnées (x ;y) est au-dessus
de la droite d’équation réduite y = ax + b, qui retourne ’appartient’ si le point
de coordonnées (x ;y) appartient la droite d’équation réduite y = ax + b et qui
retourne ’en-dessous’ si le point de coordonnées (x ;y) est en dessous de la droite
d’équation réduite y = ax + b
2. Traduire la fonction en Python et visualiser son fonctionnement sur PythonTutor
Ex 9
1. Ecrire une fonction en pseudo-code :
estUnParallelogramme(xA , yA ,xB , yB , xC , yC ,xD , yD ) qui retourne Vraie
si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
Les paramètres de la fonction sont les coordonnées des points A,B,C et D rela-
tivement à un repère (O, I, J)
2. Traduire cette fonction en Python
Ex 10(Problème du duc de Toscane) On lance 3 dés et on étudie la somme des trois
chiffres obtenus.
Lequel des deux évènements suivants est le plus probable ?
A :" La somme des trois chiffres vaut 9 "
B :" La somme des trois chiffres vaut 10 "
Faire un programme qui simule 1000 lancers de 3 dés et qui calcule la fréquence de
chaque évènement puis conclure

16
Chapitre 6

Boucle Tant Que

Ex 1
On lance un dé à six faces autant de fois que l’on veut tant que le chiffre six n’est
pas sorti. On compte le nombre de fois où on a lancé le dé. On utilise une variable
nbLancers puis on affiche le contenu de nbLancers à la fin de l’algorithme.
1. Compléter l’algorithme suivant :

début
de ← entierAleatoire(1,6)
nbLancers ← ..........
tant que ........... faire
..............
..............
fin
afficher(....................)
fin
2. Transformer cet algorithme en fonction nombreLancers(chiffre) qui retourne
le nombre de lancers de dé effectués jusqu’à ce que le chiffre chiffre soit sorti
3. Appeler 100 fois cette fonction avec le paramètre six et calculer le nombre moyen
de lancers.
Introduire pour cela une variable nbLancersMoyen qu’il faudra correctement
initialiser puis mettre à jour
Afficher le contenu de nbLancersMoyen à la fin de l’algorithme
4. Traduire en python et exécuter le programme
Ex 2
1. Ecrire en pseudo-code une fonction sylvester(x) qui retourne l’image de x par
la fonction f définie par f (x) = x(x − 1) + 1
2. On appelle suite de Sylvester la suite de nombres définie ainsi :
On part de 7 puis on calcule f (7) = 43 puis on calcule f (43) etc...
Ecrire une fonction suiteSylvester(n) qui calcule les n premiers termes de la
suite de Sylvester et les affiche à l’écran

17
 3. Ecrire une fonction suiteSylvester(seuil) qui calcule les termes x de la suite
de Sylvester tel que x 6 seuil et les affiche à l’écran
Ex 3
Voici une autre suite de nombres :
Etant donné un nombre au départ par exemple 3, tant qu’on obtient pas 1 on effectue
la suite d’instructions suivantes, si le nombre est pair on le divise par 2 sinon on lui
multiplie 3 et on rajoute 1.
Ainsi en partant de 3 on obtient :
3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
1. Ecrire une fonction syracuse(nombre) en pseudo-code puis un programme Py-
thon qui affiche à l’écran la suite des nombres obtenue en partant du nombre
nombre
Est on sûr que la boucle Tant que se termine toujours quelque soit le nombre
nombre ?
2. Modifier la fonction précédente de telle sorte qu’elle retourne le nombre de termes
de la suite sans tenir compte de 1
3. Modifier encore la fonction de telle sorte que cette fois ci elle retourne la plus
grande valeur atteinte par la suite
Ex 4 (La multiplication egyptienne)
Pour calculer le produit de deux nombres entiers a et b avec a > b, les anciens
Egyptiens procédaient ainsi :
On introduit une variable resultat initialisé à 0
b b
Si b est pair alors on remplace a par 2a et on remplace b par en effet ab = (2a)
2 2
Si b est impair alors on remplace b par b − 1 et on rajoute a à resultat
Puisque b diminue à chaque répétition on est sûr qu’au bout d’un moment b sera
égal à 1, par conséquent on répète le processus tant que b > 2
A la fin on rajoute 2a à resultat et on retourne resultat
1. Ecrire une fonction multEgyptienne(a,b) qui retourne le produit de deux en-
tiers a et b
2. Est que si on entre comme données deux nombres à virgule aura-t-on quand
même le produit de ces deux nombres ?
3. Que se passe-t-il si on entre pour a la chaîne de caractères ’Hello’ et pour b le
nombre 2.5 ?
Ex 5
La Suite de Fibonnacci est la suite de nombres entiers 0 1 1 2 3 5 8 13, etc... un
terme quelconque est la somme des deux termes qui le précèdent
Les deux termes initiaux sont 0 et 1
1. Calculer encore quelques termes
2. Ecrire une fonction en pseudo-code fibonnacci(seuil) qui affichent à l’écran,
tous les termes x de la suite tel que x 6 seuil
(Introduire deux variables terme1 et terme2 initialisés respectivement à 0 et à
1)

18
 √
1+ 5
Ex 6 On définit le nombre d’or φ par φ =
2
1. Vérifier que le nombre d’or est solution de l’équation x2 − x − 1 = 0
1 5
2. Vérifier en développant que x2 − x − 1 = (x − )2 −
2 4
1 2 5
3. Factoriser (x − ) − et retrouver que φ est solution de x2 − x − 1 = 0. Vérifier
2 4 √
1− 5
que l’autre solution est φ =
2
4. On montre que le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonnacci
(le plus grand sur le plus petit) "se rapproche indéfiniment" de φ
Ecrire une fonction nombreOr(seuil) qui affichent la suite des rapports obtenus
avec deux termes consécutifs de la suite de Fibonnacci inférieurs à seuil (en
faisant le rapport du plus grand sur le plus petit)
Ex 7
Voici un jeu entre vous et l’ordinateur.
L’ordinateur choisit un nombre entier au hasard entre 1 et 1000. Ce nombre vous
est inconnu.
On affecte la variable nombreInconnu par ce nombre.
from random import randint
nombreInconnu = randint (1 ,1000)

Vous devez en un minimum de coups deviner ce nombre.

Comment ?
Tant que vous n’avez pas trouvé ce nombre vous pouvez suggérer un nombre et
l’ordinateur vous répond ’Trop grand’ si le nombre que vous avez proposé est strictement
plus grand que le nombre solution, et ’Trop petit’ si le nombre que vous avez proposé
est strictement plus petit que le nombre solution
Compléter le programme suivant :
from random import randint
nombreInconnu = randint (1 ,1000)
nombrePropose = int ( input ( " Quel nombre proposez vous ? " )
nbCoups = .......
while ....................:
if .................:
.....................
else :
....................
nombrePropose = int ( input ( " Quel nombre proposez vous ?
")
nbCoups = ..............
print ( " Vous avez trouv é le nombre " ,............. , " en " ,......... , "
coups " )

Quelle stratégie adopter pour minimiser le nombre de coups ?

Ex 8 On ne cherche pas forcément à résoudre des équations de manière exacte.

19
 Aussi on va développer dans cet exercice une méthode de calcul approché pour
résoudre une équation
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’équation 2x − 3 = 0
3
2. Vérifier que 4x2 − 8x + 1 = 4((x − 1)2 − )
4
2
3. En déduire les solutions de l’équation 4x − 8x + 1 = 0
4. Maintenant on veut résoudre f (x) = 0 de manière approchée parce que la fonc-
tion f est plus "compliquée" que les deux fonctions précédentes (tout en restant
relativement "régulière", on parle de fonction continue)
Un théorème de mathématiques (théorème des valeurs intermédiaires) dit que si
f est une fonction continue sur[a; b] et si f (a) et f (b) sont de signes contraires
alors l’équation f (x) = 0 a au moins une solution sur l’intervalle [a; b]

(a) Graphiquement combien y-a-t-il de solutions à l’équation f (x) = 0 dans

l’intervalle [a; b] ?
(b) Montrer que si f (a) et f (b) sont de signes contraires alors f (a)f (b) < 0 (et
réciproquement)
(c) Maintenant on se place dans le cas où f est monotone sur [a; b] c’est à dire
croissante ou décroissante sur [a; b]. Faire des dessins pour conjecturer le
nombre de solutions à l’équation f (x) = 0
(d) Nous allons maintenant étudier un algorithme d’approximation de la solution
(méthode par dichotomie)
L’idée est : Diviser par 2 l’intervalle I sur lequel f change de signe en deux
intervalles I1 et I2 . f change de signe sur l’un des deux intervalles donc re-
commencer avec ce nouvel intervalle jusqu’à ce que le diamètre de l’intervalle
soit inférieure à un nombre precision donné à l’avance.
Compléter la fonction suivante dichotomie(a,b,f,precision) qui retourne
une valeur approchée de la solution f (x) = 0

20
 f est définie dans une autre fonction, on prend pour f la fonction du 2)

début
f (x)
retourner 4*x*x-8*x+1
dichotomie (a,b,f,precision)
borneInf ← a
borneSup ← b
tant que borneSup-borneInf > precision faire
milieu ← .....................
si f(borneInf )f(milieu) > 0 alors
...................
sinon
...................
fin
....................
fin
retourner ........
dichotomie(...,...,f,...)
fin
5. Traduire en Python et exécuter, puis comparer avec les valeurs exactes obtenues
en 2)

21
Chapitre 7

Expressions logiques

Ex 1
1. Quel est l’intervalle des nombres réels x tel que x > 1 ?
2. Quel est le contraire de x > 1 ?
3. Quel est l’intervalle des nombres réels x tel que x > 1 et x 6 2 ?
4. Quel est le contraire de x > 1 et x 6 2 ?
Ex 2
1. Que signifie :"Obtenir au moins un six lorsqu’on a lancé 4 fois un dé" ?
2. Quel est le contraire de :"Obtenir au moins un six lorsqu’on a lancé 4 fois un
dé" ?
Ex 3
Avant l’entraînement un entraineur de football pose la question :
"Est ce que tous les ballons de football sont gonflés ?"
Si vous répondez à cette question par la négative, est ce que vous répondez ?
"Tous les ballons ne sont pas gonflés"
Ex 4
a et b sont deux variables contenant soit Vrai soit Faux
Est ce que le contraire de a et b est (non a) et (non b) ?
Ex 5 On reprend l’exercice 4 du chapitre 5.
1. On veut écrire une fonction auMoinsUnSix() qui retourne vrai dès que l’on a
détecté un six au cours des 4 lancers
Première méthode :
On répète 4 fois le lancer de dé et si on obtient un six on sort de la boucle en
retournant Vrai
Compléter la fonction puis l’algorithme dans lequel on appelle 1000 fois cette
fonction pour ensuite afficher la fréquence de l’évènement "Obtenir au moins un
six sur une série de 4 lancers d’un dé" dans une série de 1000 répétitions .
Ensuite traduire en Python et exécuter.

22
 début
auMoinsUnSix ()
répéter 4 fois
de ← entierAleatoire(1,6)
si .................... alors
retourner True
fin

....................
nbSucces ← ...........
répéter 1000 fois
si .................... alors
................ ;
fin

afficher(.......................)
fin
2. Deuxième méthode :
Tant que l’on n’a pas lancé 4 fois le dé et obtenu un six on lance le dé
Mettre au point cette méthode
3. Comparer les deux méthodes
Ex 6

Un lièvre (L) et une tortue (T) s’affrontent dans une course aléatoire.
On lance un dé si on obtient six le lièvre gagne sinon la tortue avance d’une case
La tortue peut donc gagner lorsqu’elle se trouve à la case 5 et si au cours du lancer
suivant le six ne sort pas
Nous supposons dans un premier temps que nous disposons de la fonction suivante :
lievreEstVainqueur() qui retourne vrai si le lièvre a gagné une course
1. Ecrire un algorithme où on répète 1000 courses et où on affiche la fréquence de
gain du lièvre au cours de ces 1000 courses
2. Ecrire cette fonction lievreEstVainqueur()
3. Traduire en Python et exécuter. Qui a le plus de chances de gagner le lièvre ou
la tortue ?

23
 Ex 7 (Jeu du Crap)
Le Jeu du Crap est le jeu de dés suivant opposant la banque à un joueur :
On lance deux dés et on calcule la somme P (comme première somme) des deux
chiffres obtenus : (Il est important pour comprendre la suite de bien saisir que le premier
lancer , donc P joue un rôle important et conditionne les résultats du jeu)
Si P = 7 ou 11 le joueur a gagné, si P = 2 ou 3 ou 12 la banque a gagné, sinon
pour les autres résultats on relance les deux dés autant de fois que nécessaire jusqu’à
ce qu’on obtienne 7 comme somme dans ce cas la banque gagne ou on retombe sur P
et dans ce cas le joueur gagne
1. Nous supposons dans un premier temps que nous disposons de la fonction sui-
vante laBanqueGagne() qui retourne Vrai si la banque gagne une partie
Ecrire un algorithme où on répète 1000 parties et où on affiche la fréquence de
gain de la banque au cours de ces 1000 parties
2. Ecrire cette fonction laBanqueGagne()
3. Traduire en Python et exécuter. Qui a le plus de chances de gagner la banque
ou le joueur ?
Ex 8
On lance une pièce autant de fois que nécessaire jusqu’à ce que pile (0) et face (1)
sont apparus.
Par exemple on peut obtenir 01 ou 0001 ou 111110
1. Ecrire une fonction nbLancers() qui retourne le nombre de lancers de pièce
effectué pour obtenir pile et face
On va utiliser deux variables faceNonSorti et pileNonSorti initialisées à Vrai.
(On dit que le type de ces variables est booléen)
Dès que pile ou face sortira ces variables seront affectées en conséquence, ce qui
permettra d’arrêter de lancer la pièce

début
nbLancers ()
faceNonSorti ← Vrai
pileNonSorti ← Vrai
nbLancers ← ........
tant que .......... faire
piece ← entierAleatoire(0,1)
..........................
si .................... alors
.................
fin
si .................... alors
.................
fin
fin
....................
fin

24
 2. Répéter 1000 fois cette fonction pour calculer le nombre moyen de lancers pour
1000 répétitions
3. Conjecturer le nombre moyen de lancers
4. Traduire en python et exécuter.
Ex 9
On généralise l’exercice précédent avec un dé à 4 faces.
On lance le dé autant de fois que nécessaire jusqu’à ce que les chiffres 1, 2, 3 et 4
sont tous apparus.
Par exemple on peut obtenir 22432332441
On cherche le nombre moyen de lancers de dé pour 1000 répétitions
Ex 10
On généralise l’exercice cette fois ci à un dé à six faces et on va changer de méthode.
On va utiliser une liste nonSorti telle que nonSorti[i] est vrai si le chiffre i n’est
pas encore sorti
On initialise la liste ainsi :
nonSorti ← [Faux, Vrai, Vrai, Vrai, Vrai, Vrai, Vrai]
Le premier élément de la liste nonSorti[0] n’est pas significatif et il est initialisé à
Faux pour simplifier la suite
La condition pour continuer de lancer le dé est qu’il y ait au moins un Vrai dans
cette liste
1. Ecrire une fonction en pseudo-code auMoinsUnChiffreNonSorti(liste) qui re-
tourne Vrai si dans la liste de booléens liste il y a au moins un Vrai

début
auMoinsUnChiffreNonSorti (liste)
pour chaque élément x de la liste faire
si .................. alors
retourner ...............
fin
fin
retourner ..................
fin

2. Utiliser cette fonction et finir l’exercice (on cherche le nombre moyen de lancers
de dé pour 1000 répétitions)
Ex 11
Existe-t-il une relation entre le nombre de possibilités 2, 4 , 6, etc... et le nombre
moyen de lancers de dé ?

25
Index
√
D 2 ............................... 5
entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Droites dans le plan nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
coefficient directeur . . . . . . . . . . . . . 12 nombre rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
équation de droite . . . . . . . . . . 13, 16
P
E
Probabilités
Equations Problème du Duc de Toscane . . . 16
équation du premier degré . . . . . . . 6 Temps d’attente d’un évènement . . .
équation du second degré . . . . . . . 19 24
résolution approchée par dichotomie . Jeu du Chevalier de Méré . . 15, 22
19 Jeu du Crap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Expressions algébriques Jeu du lièvre et de la tortue . . . . 23
développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 S

F Statistiques
moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Fonctions
maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 V
sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . 15
sommet de la parabole . . . . . . . . . . 13 Vecteurs
valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
G déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Géométrie dans l’espace

volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Géométrie plane
aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . 13
parallélogramme . . . . . . . . . . . . . 5, 16
rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Nombres

26