Université de Ségou (US) Année universitaire 2019-2020

Faculté du Génie et des Sciences (FAGES)

DERs : Génie Civil - Génie mécanique - Électricité

TD n ◦ 3 d’Algèbre 1
Trigonométrie

Exercice 1.

1. Résoudre dans R les équations suivantes :

p p
1 3 (c) sin(x) = − 2.
(a) sin(3x) = (b) sin(x) = − ;
2 2

2. Résoudre dans R les équations suivantes :

(a) cos2 (x) + 3 sin2 (x) = 2 (b) 2 cos2 (x) = 3 sin(x).

hπ i
3. Soit x ∈ , π tel que sin(x) = 0, 6. Obtient-on la valeur de x en calculant arcsin(0, 6) à l’aide de la
2
calculatrice ?
π 3π
¸ ¸
4. Résoudre dans , l’équation sin(x) = −0, 4.
2 2

Exercice 2. 1. Résoudre dans R les équations suivantes :

p p p
2 3 (c) cos(x) = 3.
(a) cos(x) = − ; (b) cos(x) =
2 2
1
2. Soit x ∈] − π, 0] tel que cos(x) = − .
3
Obtient-on la valeur de x en calculant arccos − 31 à l’aide de la calculatrice ?
¡ ¢

3. Résoudre dans ] − π, 0] l’équation cos(x) = −0, 8.

4. Résoudre dans R les équations suivantes :
³π ´
(a) cos(5x) = cos −x (b) cos(4x) + 2 sin(x) cos(x) = 0 (c) cos2 (x) + 2 cos(x) − 3 = 0
4

Exercice 3. Résoudre dans R les équations suivantes :

p
1. tan(x) = 1 2. tan(x) = − 3 3. tan(x) = p1 4. tan(x) = 1
3 3

Exercice 4. Résoudre dans R les équations suivantes :

p p p
1. cos(x) + sin(x) = 1 2. 3 cos(x) + sin(x) = 2 3. cos(x) + 3 sin(x) = 2

Exercice 5.

1. Résoudre sur [−π, π] l’inéquation cos x > 12 . 3. Résoudre sur [−π, π] l’inéquation sin x ≥ 12 .
2. Résoudre sur R l’inéquation cos x < 12 . 4. Résoudre sur ] − π, π] l’inéquation cos x ≥ 12 .

Exercice 6 (TP). Résoudre dans R les inéquations suivantes :

p p
1. 2 cos2 x − 9 cos x + 4 ≥ 0 3. 3 cos x + sin x − 2 ≤ 0
2. cos 5x + cos 3x ≥ cos x 4. 2 sin2 x + 3 sin x − 2 ≤ 0
iπ p
h 5−1
Exercice 7. Trouver a ∈ , π tel que sin(a) = . On utilisera cos(4a).
2 4
US Travaux dirigés n ◦ 3 d’Algèbre 1 FAGES

i πh 1
Exercice 8. Soient x et y deux éléments de l’intervalle 0, vérifiant tan x = et tan y = 2.
2 7
1. En utilisant tan(x + 2y), calculer x + 2y.
2. Calculer cos(2y).

Exercice 9 (TP).

1. Transformation d’une somme en produit et application à la résolution d’équation

(a) Simplifier cos(a + b) − cos(a − b), et en déduire la formule suivante :
³p +q ´ ³p −q ´
cos p − cos q = −2 sin sin .
2 2
¶ µ
3x
(b) Résoudre alors l’équation suivante : cos(x) − cos(2x) = sin .
2
2. Simplifier sin(arcsin x), sin(arccos x), cos(arccos x), cos(arcsin x), tan(arctan x).
3. Établir les formules pour : sin(arctan x), cos(arctan x), tan(arcsin x), tan(arccos x).
π
µ ¶
4
4. Résoudre l’équation suivante : arccos(x) + arccos = .
5 2
¡x¢
5. On pose t = tan 2 , en déduire les formules suivantes :

2t 1− t2 2t
(a) sin(x) = (b) cos(x) = (c) tan(x) = .
1+ t2 1+ t2 1− t2

6. (a) Calculer cos6 (x) − cos4 (x) + sin2 (x) · cos2 (x) − sin4 (x) + sin6 (x)
(b) Exprimer cos2 (a) et sin2 (a) en fonction de cos(2a). En déduire des réels a, b, c, d tels que l’égalité
ci-dessous soit valable pour tout x réel :

cos6 (x) − sin6 (x) = a + b cos(2x) + c cos(4x) + d cos(6x)

Z π
4
cos 6 (x) − sin6 (x) d x.
£ ¤
(c) Calculer
0

Exercice 10 (TP).

1. On considère la fonction f (x) = 2 cos2 x − 3 cos x − 2.

(a) Étudier le signe de f (x) pour x ∈ [0, 2π].
(b) En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) ≥ 0.
2. On considère un signal continu donné par la fonction f définie par :

f (t ) = a sin(ωt ) + b cos(ωt ).

(a) Transformez f (t ) sous la forme f (t ) = A sin(ωt + ϕ), où A > 0.

(b) Exprimez sous la forme précédente les fonctions définies par :

f 2 (t ) = sin t + cos t et f 3 (t ) = sin t − cos t

(c) Tracez sur un pmême graphe les courbes représentatives des fonctions f 1 , f 2 et f 3 où f 1 est définie
par : f 1 (t ) = 2 sin t .

Année universitaire 2019-2020 2 Génie Civil - Génie mécanique - Électricité

US Travaux dirigés n ◦ 3 d’Algèbre 1 FAGES

Solution des exercice du TD4

Solution de l’exercice 1.

1. Résolution dans R d’équations trigonométriques.

1
(a) Résolvons dans R l’équation : sin(3x) = .
2
π 1 1 π
On sait que sin = ; ainsi on a : sin(3x) = ⇐⇒ sin(3x) = sin . On obtient alors :
6 2 2 6
π π 2kπ
° °
°
° 3x = + 2kπ ° x = +
6 , k ∈ Z ⇐⇒ 18 3
2kπ , k ∈ Z.
°
π
° °
° 3x = π − + 2kπ
° ° 5π
° x = +
°
6 18 3
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est

π 2kπ 5π 2kπ
½ ¾
S= + , + ,k ∈ Z .
18 3 18 3
p
3
(b) Résolvons dans R l’équation : sin(x) = − .
p 2
3 ³ −π ´
sin(x) = − ⇐⇒ sin(x) = sin . On a alors :
2 3
−π −π
° °
° x + 2kπ
°
° x = + 2kπ =
3 , k ∈ Z ⇐⇒ 3 , k ∈ Z.
° °
−π 4π
° °
° x = π− + 2kπ
° ° x = + 2kπ
3 °
3
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est

π
½ ¾
4π
S = − + 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
3 3
p
(c) Pour tout x ∈ R, sin x ∈ [−1, 1] ; donc l’ensemble solution de l’équation sin(x) = − 2 est S = ;.
2. (a) Résolvons dans R l’équation : cos2 (x) + 3 sin2 (x) = 2.
Puisque cos2 xp= 1 − sin2 x, l’équation proposée est équivalente à : 2 sin2 x − 1 = 0 soit encore
¡p ¢¡ ¢
2 sin x − 1 2 sin x + 1 = 0.
p p 1 −1
On a 2 sin x = 1 ou 2 sin x = −1 soit encore sin x = p ou sin x = p .
2 2
π
°
x = + 2kπ
°
1 π °
4
• sin x = p = sin ; on obtient alors : ° , k ∈ Z.
°
4 3π
2 ° x = + 2kπ
4
°
−π
°
x + 2kπ
°
−1 −π ° =
• sin x = p = sin ; on obtient alors : °
° 4 , k ∈ Z.
2 4 ° x = 5π + 2kπ
4
°
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est :
π
½ ¾
3π −π 5π
S= + 2kπ, + 2kπ, + 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
4 4 4 4

(b) Résolvons dans R l’équation : 2 cos2 (x) = 3 sin(x).

Puisque cos2 x = 1 − sin2 x, l’équation proposée est équivalente à : 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0.
Posant t = sin x on obtient : 2t 2 + 3t − 2 = 0.
Le discriminant de cette équation est : ∆ = 9 + 16 = 25 = 52 .
−3 − 5 −3 + 5 1
Ses deux solutions sont : t 1 = = −2 et t 2 = = .
4 4 2
• L’équation sin x = −2 n’admet aucune ° solution.
π
° x = + 2kπ
°
1 π 6
• sin x = = sin ; on obtient alors : ° , k ∈ Z.
°
2 6 ° x = 5π
+ 2kπ
6
°

Année universitaire 2019-2020 3 Génie Civil - Génie mécanique - Électricité

US Travaux dirigés n ◦ 3 d’Algèbre 1 FAGES

D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est :

π
½ ¾
5π
S= + 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
6 6
hπ i
3. Soit x ∈ , π tel que sin(x) = 0, 6. On obtient pas la valeur de x en calculant arcsin(0, 6) à l’aide de la
2 h π πi
calculatrice puisque arcsin est la réciproque de sin sur − , .
2 2
π 3π
¸ ¸
4. Résolvons dans , l’équation sin(x) = −0, 4.
h π i2 2
Il existe α ∈ 0, tel que sin α = 0, 4. On a alors sin x = −0, 4 = − sin α = sin(π + α). On obtient donc :
2
x = π + α = π + arcsin(0, 4). D’où S = {π + arcsin(0, 4)} .

Solution de l’exercice 2. 1. Résolution dans R d’équations trigonométriques.

3π
°
p °
° x =
2 3π + 2kπ
(a) cos(x) = − = cos ⇐⇒ °
° 4 , k ∈ Z.
2 4 −3π
° x = + 2kπ
°
4
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est
½ ¾
3π −3π
S= + 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
4 4

p °
° x π
3 π = + 2kπ
6 , k ∈ Z.
°
(b) cos(x) = = cos ⇐⇒ °
−π
2 6 ° x
°
= + 2kπ
6
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est
nπ −π o
S= + 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
6 6
p
(c) L’ensemble solution de l’équation cos(x) = 3 est S = ; .
1
2. Soit x ∈] − π, 0] tel que cos(x) = − .
3 µ ¶
1
On obtient pas la valeur de x en calculant arccos − à l’aide de la calculatrice puisque arccos est la
3
réciproque de cos sur [0, π].
3. Résolvons dans ] − π, 0] l’équation cos(x) = −0, 8.
Il existe β ∈ [0, π] tel que cos β = 0, 8. Il s’ensuit que l’équation cos x = −0, 8 est équivalente à cos x =
cos(π − β) = cos(β − π). On en déduit que x = β − π = arccos(0, 8) − π . D’où S = {arccos(0, 8) − π} .
4. Résolution dans R d’équations trigonométriques.
° 5x = π − x + 2kπ π kπ
° °
°
³π ´ ° x = +
4 ,k ∈Z 24 3
−π kπ , k ∈ Z.
°
(a) cos(5x) = cos −x ⇐⇒ ° ⇔
°
−π °
4 ° 5x =
°
+ x + 2kπ ° x
°
= +
4 16 2
L’ensemble solution de l’équation proposée est donc :

π kπ −π kπ
½ ¾
S= + , + ,k ∈ Z .
24 3 16 2

(b) cos(4x) + 2 sin(x) cos(x) = 0 ⇐⇒ −2 sin2 2x + sin 2x + 1 = 0.

Posant t = sin 2x on obtient :
1
−2t 2 + t + 1 = 0 ⇐⇒ (t − 1)(−2t − 1) = 0 ⇐⇒ t = 1 ou t = − .
2
π π π
• sin 2x = 1 = sin ⇐⇒ 2x = + 2kπ ⇐⇒ x= + kπ, k ∈ Z.
2 2 4

Année universitaire 2019-2020 4 Génie Civil - Génie mécanique - Électricité

US Travaux dirigés n ◦ 3 d’Algèbre 1 FAGES

−π −π
° °
° 2x = + 2kπ ° x + kπ
° °
−1 ³ −π ´ =
• sin 2x = = sin ⇐⇒ °
° 6 ⇐⇒
° 12 , k ∈ Z.
° 2x = 7π + 2kπ 7π
°
2 6 ° x = + kπ
6 12
° °
L’ensemble solution de l’équation proposée est donc :
½ ¾
−π 7π
S= + kπ, + kπ, k ∈ Z .
12 12

(c) cos2 (x) + 2 cos(x) − 3 = 0 ⇐⇒ (cos x − 1)(cos x + 3) = 0 ⇐⇒ cos x = 1 ou cos x = −3.

• cos x = 1 ⇐⇒ x = 2kπ, k ∈ Z.
• cos x = −3 n’a aucune solution.
L’ensemble solution de l’équation proposée est donc :

S = {2kπ, k ∈ Z} .

Solution de l’exercice 3. Résolution dans R d’équations trigonométriques.

π π
1. tan(x) = 1 ⇐⇒ tan x = tan ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z.
4 4
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est
nπ o
S= + kπ, k ∈ Z .
4
p −π −π
2. tan(x) = − 3 ⇐⇒ tan x = tan ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z.
3 3
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est
n π o
S = − + kπ, k ∈ Z .
3

1 π π
3. tan(x) = p ⇐⇒ tan x = tan ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z.
3 6 6
D’où l’ensemble solution de l’équation proposée est
nπ o
S= + kπ, k ∈ Z .
6

1
4. tan(x) = .
i3 π π h 1
Soit α ∈ − , tel que tan α = . On a alors :
2 2 3
1
tan x = tan α ⇐⇒ x = α + kπ = arctan + kπ, k ∈ Z.
3
L’ensemble solution de l’équation proposée est :
½ µ ¶ ¾
1
S = arctan + kπ, k ∈ Z .
3

Solution de l’exercice 4. Résolution dans R d’équations trigonométriques.

1. Résolvons dans R l’équation cos(x) + sin(x) = 1. p p
Cette équation est de la forme a cos x + b sin x = c avec a = b = c = 1 ; on a r = a 2 + b 2 = 2.
1 1 1 ³ π ´ 1 π
cos(x) + sin(x) = 1 ⇐⇒ p cos x + p sin x = p ⇐⇒ cos − x = p = cos . On a :
2 2 2 4 2 4
° π π °
° −x = + 2kπ ° x = 2kπ
° 4 4 Z π , k ∈ Z.
°
° π , k ∈ . ⇐⇒
°
−π ° x =
°
+ 2kπ
° −x = + 2kπ 2
4 4
L’ensemble solution de l’équation proposée est :
n π o
S = 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
2

Année universitaire 2019-2020 5 Génie Civil - Génie mécanique - Électricité

US Travaux dirigés n ◦ 3 d’Algèbre 1 FAGES

p
2. Résolvons dans R l’équation 3 cos(x) + sin(x) = 2.
p
Cette équationpest de la forme
p a cos x + b sin x = c avec a = 3 ; b = 1 et c = 2.
2 2
On a alors r = a + b = 4 = 2.
L’équation à résoudre est équivalente à :
p ³π
3 1 ´ π
cos x + sin x = 1 ⇐⇒ cos − x = cos 0 ⇐⇒ x= + 2kπ, k ∈ Z.
2 2 6 6
L’ensemble solution de l’équation proposée est :
nπ o
S= + 2kπ, k ∈ Z .
6
p p
3. Résolvons dans R l’équation cos(x) + 3 sin(x) = 2. p
p
p équationpaussi est de la forme a cos x + b sin x = c avec a = 1 ; b = 3 et c = 2. On a alors
Cette
r = a 2 + b 2 = 4 = 2.
L’équation à résoudre est équivalente à :
p p ³π
1 3 2 ´ π
cos x + sin x = ⇐⇒ cos − x = cos .
2 2 2 3 4
On obtient alors :
° π π π
°
° x + 2kπ
°
° −x = + 2kπ =
° 3 4 ,k ∈Z 12 ,k ∈Z .
°
° π ⇐⇒
°
−π ° 7π
° −x = + 2kπ ° x = + 2kπ
3 4 °
12

L’ensemble solution de l’équation proposée est :

π
½ ¾
7π
S= + 2kπ, + 2kπ, k ∈ Z .
12 12

Solution de l’exercice 5.

1.

Résolution sur [−π, π] de l’inéquation cos x > 12 .

Du cercle trigonométrique nous obtenons :
i −π π h ¸ 5π ¸
S= , ∪ , 2π .
3 3 3

Résolution sur R de l’inéquation cos x < 12 .

Du cercle trigonométrique nous obtenons :
2. [ −π
¸
5π
·
S= + 2kπ, + 2kπ .
k∈Z 3 3

Année universitaire 2019-2020 6 Génie Civil - Génie mécanique - Électricité

US Travaux dirigés n ◦ 3 d’Algèbre 1 FAGES

3. Résolution sur [−π, π] de l’inéquation sin x ≥ 21 .

π 5π
¸ ·
Du cercle trigonométrique nous obtenons : S = , .
6 6
4. Résolution sur ] − π, π] de l’inéquation cos x ≥ 12 .
h −π π i
Du cercle trigonométrique nous obtenons : S = , .
3 3

Solution de l’exercice 6 (TP).

iπ p
h 5−1
Solution de l’exercice 7. Trouvons a ∈ , π tel que sin(a) = en utilisant cos(4a).
2 4
iπ h
• Puisque a ∈ , π , on a
2
Ãp p p
v s
u !2 p
p
2
u 5 − 1 6 − 2 5 10 + 2 5
cos a = − 1 − sin a = − 1 − t = − 1− =−
4 16 4
Ãp !Ã p p ! ¡ p ¢ p p
5−1 10 + 2 5 1 − 5 10 + 2 5
sin 2a = 2 sin a cos a = 2 − = .
4 4 8

On obtient alors :
¡ p ¢2 ¡ p ¢ ¡ p ¢¡ p ¢ p p
2 1 − 5 10 + 2 5 6 − 2 5 10 + 2 5 40 − 8 5 5 − 5
sin 2a = = = = .
64 64 64 8
p p p
5− 5 5− 5 5−1
• cos 4a = 1 − 2 sin2 2a = 1 − 2 × = 1− = = sin a.
8 4 ³ 4
³ π´ π´
Puisque sin a = cos a − on obtient alors cos 4a = cos a − . Il s’ensuit :
2 2
° 4a = a − π + 2kπ −π 2kπ
° °
°
° a = +
2 , k ∈ Z ⇐⇒ ° 6 3
2kπ , k ∈ Z.
°
π
°
π
°
° 4a = − a + 2kπ
°
a = +
°
2 °
10 5
iπ h 9π π 2kπ
La seule valeur de a appartenant à , π est a = obtenue en posant k = 2 dans l’expression + .
2 10 10 5
i πh 1
Solution de l’exercice 8. Soient x et y deux éléments de l’intervalle 0, vérifiant tan x = et tan y = 2.
2 7
1. En utilisant tan(x + 2y), nous allons calculer x + 2y.
D’abord on a :
2 tan y 4 4 −4
tan(2y) = = = = .
1 − tan2 y 1 − 4 −3 3
Par conséquent il s’ensuit :
1
tan x + tan 2y −4 3 − 28 −25 ³ π´ π
tan(x+2y) = = 71 34 = = = −1 = tan − ⇐⇒ x+2y = − +kπ, k ∈ Z.
1 − tan x tan 2y 1 + 7 × 3 21 + 4 25 4 4
i πh ¸
3π
·
π 3π 3π
Puisque x, y ∈ 0, alors x + 2y ∈ 0, . Ainsi : x + 2y = − + π = =⇒ x + 2y = .
2 2 4 4 4
2. Calculons maintenant cos(2y). On a :
sin2 y
³ ´
2
2
cos y − sin y2 cos y 1 − 2
cos y 1 − tan2 y 1 − 4 −3
cos 2y = cos2 y − sin2 y = = = = = =⇒
cos2 y + sin2 y cos2 y 1 + sin y 1 + tan2 y
2
³ ´
1+4 5
2
cos y
−3
cos 2y = .
5
Solution de l’exercice 9 (TP).

Solution de l’exercice 10 (TP).

Année universitaire 2019-2020 7 Génie Civil - Génie mécanique - Électricité