Exploitation Élastique Et Plastique Des Sections
Exploitation Élastique Et Plastique Des Sections
Exploitation Élastique Et Plastique Des Sections
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II.2 cas de flexion :
𝑀𝑠𝑑 𝑓𝑦
𝜎= ∙ 𝑍 ≤ 𝜎𝑅𝑑 Avec 𝜎𝑅𝑑 = 𝜎𝑒 = 𝛾
𝐼𝑦 𝑀0
La distribution des contraintes est linéairement croissante à partir de l’axe neutre.le moment
élastique maximum « résistant »est obtenu dans les fibres extremes (à 𝑍𝑚𝑎𝑥 )
𝑓
𝑀𝑒𝑙,𝑅𝑑 = 𝑊𝑒𝑙 ∙ 𝜎𝑒 = 𝑊𝑒𝑙 ∙ ( 𝑦⁄𝛾 )
𝑀0
𝐼
𝑊𝑒𝑙 : Le module de résistance élastique ; 𝑊𝑒𝑙 = 𝑉
Dans ce cas, il faut que les valeurs maximales des contraintes sollicitant ne dépassent pas la
valeur de la résistance limite de l’acier utilisé.
𝑓𝑦
D’où : 𝜎𝑚𝑎𝑥 (𝑦, 𝑧) ≤ 𝜎𝑒 = 𝛾
𝑀0
2
𝑁𝑠𝑑 𝑀𝑦,𝑠𝑑 ∙ 𝑍 𝑀𝑦,𝑠𝑑 ∙ 𝑦
𝜎(𝑦, 𝑧) = [ ]+[ ]+[ ]≤1
𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝐼𝑦 𝑓𝑦 𝐼𝑧
𝐴×𝛾
𝑀0 𝛾 ×𝑧 𝑀0 𝛾 ×𝑦
𝑚𝑎𝑥 𝑀0 𝑚𝑎𝑥
𝐼𝑦 𝐼𝑧
Sachant que les modules de flexion 𝑊𝑒𝑙,𝑦 = 𝑧 et 𝑊𝑒𝑙,𝑧 = 𝑦
𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥
𝑁𝑠𝑑 0.90∗𝑓𝑢
En traction ultime σ = ≤ 𝜎𝑅𝑑 avec 𝜎𝑅𝑑 = 𝜎𝑅 =
𝐴 𝛾𝑀2
4
Si l’hypothèse de Navier – Bernouli reste valable : une section plane avant déformation reste
plane après déformation, les contraintes dans la section a mi travée est présentée comme
suivant :
Alors théoriquement toutes les fibres sont plastifié et le moment plastique que peut prendre la
section est égale :
𝑓
𝑀𝑝𝑙,𝑅𝑑 = ∫ 𝜎𝑒 ∙ 𝑍 ∙ 𝑑𝐴 = 𝜎𝑒 ∙ 𝑊𝑝𝑙 = ( 𝑦⁄𝛾𝑀0 )
𝐴
𝑏∙ℎ2
Pour une section rectangulaire : 𝑊𝑝𝑙 = 4
5
D’autre part on sait que :
𝑊𝑝𝑙 = ∫ 𝑍 ∙ 𝑑𝐴 = 2 ∙ 𝑀𝑠
𝐴
𝑊𝑝𝑙 = ∫ 𝑍 ∙ 𝑑𝐴 = 2 ∙ 𝑀𝑠
𝐴
ℎ − 𝑡𝑓 2 𝑡𝑤
𝑊𝑝𝑙,𝑦 = 2 ∙ 𝑀𝑠, 𝑦 = 2 ∙ ((𝑡𝑓 ∙ 𝑏) ∙ ( ) + (ℎ − 2 ∙ 𝑡𝑓 ) ∙ )
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Si l’élément est fléchi autour d’z-z le module de résistance plastique est donné par la relation
suivante :
2
𝑏 𝑡𝑤
𝑊𝑝𝑙,𝑧 = 2 ∙ 𝑀𝑠, 𝑦 = 2 ∙ ((𝑡𝑓 ∙ 𝑏) ∙ ( ) + (ℎ − 2 ∙ 𝑡𝑓 ) ∙ )
4 8
6
7