L1 - TC - Electrostatique Cours

UNIVERSITE F. H.
BOIGNY DE COCODY- ABIDJAN UFR SCIENCES DES STRUCTURES DE LA MATIERE
ET DE TECHNOLOGIE (SSMT)
Année académique : 2013-2014
Semestre 2
COURS
UE : ELECTRICITE
ECUE 1 : ELECTROSTATIQUE
UFR SSMT Cours Electrostatique [Chap.I. GRANDEURS PHYSIQUES – RAPPELS MATHEMATIQUES]
2
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE I 7
RAPPELS MATHEMATIQUES - GRANDEURS PHYSIQUES 7
I.1. ELEMENTS D’ANALYSE VECTORIELLE 7
I.1.1. VECTEURS UNITAIRES 7
I.1.2. REPERE ORTHONORME 7
I.1.3. SYSTEMES DE COORDONNEES 7
I.1.4. PRODUIT DE DEUX VECTEURS 9
I.1.5. VECTEURS POLAIRES ET VECTEURS AXIAUX 11
I.2. CHAMP SCALAIRE ET CHAMP VECTORIEL 11
I.3. DERIVEES ET PRIMITIVES 14
I.4. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS 18
I.5. QUELQUES OPERATEURS DIFFERENTIELS 19
CHAPITRE II : 22
GENERALITES - DISTRIBUTION DE CHARGES 22
II.1. GENERALITES 22
II.2. DISTRIBUTIONS DE CHARGES 27
II.3. LOI DE COULOMB - FORCES ELECTROSTATIQUES 29
II.3.1. LOI DE COULOMB 29
II.3.2. DISTRIBUTION DISCRETE DE CHARGES 30
II.3.3. DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES 31
II.4. INVARIANCES ET SYMETRIES 31
CHAPITRE III : 33
CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES 33
III.1. CHAMP ELECTROSTATIQUE 33
III.1.1. CHARGE PONCTUELLE 33
III.1.2. DISTRIBUTION DE CHARGES PONCTUELLES 34
III.1.3. DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES 34
III.1.3.1. Sur une ligne 35
3
III.1.3.2. Sur une surface 35
III.1.3.3. Dans un volume 35
III.1.4. LIGNES ET TUBES DE CHAMP 35
III.1.4.1. Ligne de champ 35
III.1.4.2. Tube de champ 36
III.1.5. CONDITION DE PASSAGE DU CHAMP A L’INTERFACE ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS DE CHARGES 36
III.1.6. PROPRIETES DE SYMETRIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE 36
III.2. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE 39
III.2.1. POTENTIEL ET DIFFERENCE DE POTENTIEL 39
III.2.1.1. Charge ponctuelle q0 40
III.2.1.2. Distribution discrète de charges 40
III.2.1.3. Distribution continue de charges 40
III.2.1.4. Remarque 41
III.2.2. TRAVAIL D'UNE FORCE ELECTROSTATIQUE 41
III.2.3. ENERGIE POTENTIELLE D’UNE CHARGE 41
III.2.4. SURFACES EQUIPOTENTIELLES 42
III.2.5. DIAGRAMME ELECTRIQUE 42
III.3. ENERGIE ELECTROSTATIQUE 43
III.3.1. SYSTEME DE DEUX CHARGES PONCTUELLES 43
III.3.2. SYSTEME DE N CHARGES PONCTUELLES 43
III.3.3. DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES 43
CHAP IV : 44
DIPOLE ELECTRIQUE 44
IV.1. MODELE DU DIPOLE 44
IV.2. POTENTIEL ET CHAMP CREES 46
IV.3. DIPOLE PLACE DANS UN CHAMP EXTERIEUR 48
CHAPITRE V : 51
THEOREME DE GAUSS 51
V.1. NOTION DE FLUX ET D’ANGLE SOLIDE 51
4
V.2. ENONCE DU THEOREME 54
V.2.1. DEPLACEMENT ELECTRIQUE 54
V.2.2. ENONCES 54
V.2.3. THEOREME DES EXTREMUMS 54
V.2.4. THEOREME DE GAUSS LOCAL 54
V.2.5. APPLICATION 55
CHAPITRE VI : 56
ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS - CONDENSATEURS 56
VI.1. CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE 56
VI.1.1. CONDITIONS DE L'EQUILIBRE 56
VI.1.2. CHAMP AU VOISINAGE DU CONDUCTEUR 57
VI.1.3. PRESSION ELECTROSTATIQUE 58
VI.1.4. PHENOMENES D'INFLUENCE 58
VI.1.4.1. Phénomène de charge d’un corps par influence 58
VI.1.4.2. Eléments correspondants 59
VI.1.4.3. Influence totale 59
VI.1.4.4. Ecran électrostatique 59
VI.1.5. EQUILIBRE D'UN SYSTEME DE CONDUCTEURS 60
VI.2. CAPACITES ET MATRICE DE CAPACITES 60
VI.2.1. CAPACITE PROPRE D'UN CONDUCTEUR 60
VI.2.2. MATRICE CAPACITE D'UN SYSTEME DE CONDUCTEURS 61
VI.3. LES CONDENSATEURS 61
VI.3.1. CAPACITE D'UN CONDENSATEUR 61
VI.3.1.1. Définition 61
VI.3.1.2. Calcul de la capacité d’un condensateur 62
VI.3.2. CHAMP DE RUPTURE 63
VI.3.3. ASSOCIATION DE CONDENSATEURS 64
VI.3.3.1. Association en série 64
5
VI.3.3.2. Association en parallèle 64
VI.3.4. ENERGIE ELECTROSTATIQUE EMMAGASINEE DANS UN CONDENSATEUR CHARGE 65
VI.3.5. FORCE D'ATTRACTION ENTRE ARMATURE 65
BIBLIOGRAPHIE 68
6
UFR SSMT Cours Electrostatique Chap.I : Rappels Mathématiques - Grandeurs Physiques
Chapitre I
RAPPELS MATHEMATIQUES - GRANDEURS
PHYSIQUES
L’objectif de ce chapitre est de rappeler les outils mathématiques utiles pour l’étude et la
compréhension des phénomènes physiques, en particulier de l’électromagnétisme dont
l’électrostatique en est une partie.
I.1. ELEMENTS D’ANALYSE VECTORIELLE

I.1.1. Vecteurs unitaires
Dans un espace vectoriel normé, un vecteur u est unitaire lorsque sa norme vaut 1.
On note : u  1
v
Tout vecteur v admet un vecteur unitaire u colinéaire, de même sens que v tel que u 
v
I.1.2. Repère orthonormé
Un repère R  (O, i, j, k ) est orthonormé lorsque les vecteurs de la base (i, j, k ) sont unitaires
et orthogonaux deux à deux. Pour un point M(x,y,z) dans un repère orthonormé, la distance
OM  x 2  y 2  z 2 .
I.1.3. Systèmes de coordonnées
Les trois (3) systèmes de coordonnées souvent utilisés en physique sont : les coordonnées
cartésiennes, les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.
z
I.1.3.1. Les coordonnées cartésiennes
M
M est repéré par ses coordonnées x, y, z telles que
k
OM  x i  y j  z k
O j y
i
Lorsque x, y, et z subissent une variation élémentaire
X
H H
7
dx, dy ou dz, le point M engendre un volume élémentaire
dv = dx.dy.dz
I.1.3.2. Les coordonnées cylindriques z
M est repéré par ses coordonnées (r , , z) ,

M
r = distance (Oz, M), r  0
uz
 = position de M autour de Oz,   0, 2  j y
O
i 
z = cote du point M
r u
X
H = projection orthogonale de M sur le plan (xOy) H
H ur
Dans la base (u r , u , u z ) , on a OM  r u r  z u z
Pour des variations élémentaires dr , d ou dz , le point M se déplace de à M’

respectivement de dr u r , rd u ou dr u z . Ainsi un volume élémentaire s’écrit :
dv  dr.rd .dz  r.dr.d .dz
Formules de passage entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques :
r  x2  y 2
x  r cos 
y
  arctan ou y  r sin 
x
zz
zz
I.1.3.3. Coordonnées polaires
Elles sont utilisées dans le plan. Le point M est repéré par Y

M
r et  respectivement appelés coordonnée radiale ou rayon y
et coordonnée angulaire ou angle polaire ou azimut.
r
Formules de passage entre coordonnées cartésiennes et j

coordonnées polaires : X
O x
i H
8
r  x2  y 2 x  r cos 
ou z
  arctan
y y  r sin 
x ur
M
r u

I.1.3.4. Coordonnées sphériques j y
O
Elles sont une généralisation des coordonnées polaires dans i 
l’espace. Le point M est repéré par (r , ,  ) où : x
u
X H
r = distance OM, r  0 H
θ et φ définissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M.
φ tourne autour de Oz ; d’où   0, 2  et   0,  
Dans le repère (O, u r , u , u ) , la position du point M est donnée par OM  r u r .
Pour des variations élémentaires de r ,  ou  , M se déplace respectivement de dr u r ,

rd u ou r sin  d u . Donc un volume élémentaire en coordonnées sphériques sera :
dv  dr.rd .r sin  d  r ² sin  drd d
Remarque :
Bien distinguer la coordonnée polaire r = OM et la coordonnée sphérique r = OM.
I.1.4. Produit de deux vecteurs
Soit (O, i, j, k ) un repère orthonormé. Considérons u et v deux vecteurs de coordonnées

cartésiennes respectives ( x, y, z ) et ( x ', y ', z ') .
On peut définir le produit scalaire ou le produit vectoriel de u et v .
I.1.4.1. Produit scalaire
Le produit scalaire des vecteurs u et v est le nombre u.v  u . v .cos(u, v) ou encore dans un
repère orthonormé : u.v  xx ' yy ' zz ' .
9
Propriétés :
a) u.(v  w)  u.v  u.w
b) ( u).( v)   .(u.v)
c) u  v si et seulement si u.v  0 (le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires

est nul)
Exemple : Travail d’une force
I.1.4.2. Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v d’un espace vectoriel E est le vecteur
w u v
dont :
- la norme est w  u . v .sin(u, v)
- la direction est orthogonale au plan (u, v)
- le sens est tel que le trièdre (u, v, w) est direct ; (Le tire-bouchon progresse dans le
sens de w lorsqu’on tourne u vers v suivant l’angle aigu).
Remarques :
a) si u  v  0 alors u et v sont colinéaires (le produit vectoriel de deux vecteurs

parallèles est nul).
b) Considérons u et v deux vecteurs de coordonnées cartésiennes respectives ( x, y, z ) et

( x ', y ', z ') dans un repère orthonormé direct (O, i, j, k ) .
w  ( yz ' zy ')i  ( xz ' zx ') j  ( xy ' yx ')k
10
x x' i
y y' x x' x x'
en posant w = u  v  y y ' j  i j k
z z' z z' y y'
z z' k
Exemple : Moment d’une force par rapport à un point O
I.1.5. Vecteurs polaires et vecteurs axiaux
Un vecteur polaire est indépendant du sens positif ou négatif de l’axe qui constitue son
support. Par exemple, une force est un vecteur polaire (on dit aussi « vecteur vrai ») : le
choix d’un sens pour son support ne modifie en rien sa direction, ni son sens.
Un vecteur axial (on dit aussi « pseudo-vecteur ») se distingue du vecteur polaire dans la
mesure où, une fois que sa direction et sa norme sont fixés, c’est le sens de rotation autour
de son axe-support qui finit de le déterminer.
Cela correspond dans le cas du vecteur moment d’une force par rapport à un point O au

choix du trièdre direct pour exprimer le produit vectoriel OMF  MO
Il arrive d’ailleurs qu’un vecteur axial soit représenté avec une flèche (par exemple M).
I.2. CHAMP SCALAIRE ET CHAMP VECTORIEL

En physique, on distingue 2 types de grandeurs appelées champ scalaire ou champ
vectoriel.
I.2.1. Champ scalaire
Soit M un point de l’espace de coordonnées (x,y,z) dans un repère (O, i, j, k ) .
Un champ scalaire ou champ de scalaires est une fonction à plusieurs variables qui associe à
un point M de l’espace un scalaire f(x,y,z).
Exemple : Champ des températures, champ des pressions, champ des masses volumiques
11
I.2.2. Champ vectoriel
Un champ vectoriel ou champ de vecteurs est une fonction vectorielle à plusieurs variables
qui à chaque point M de l’espace, fait correspondre un vecteur V (M )  x i  y j  z k
Exemple : le champ des vitesses des points d’un corps en mouvement.
I.2.3. Caractéristiques d’un champ vectoriel
On définit les termes suivants relativement à un champ vectoriel
- Lignes de champ : c’est une courbe tangente en chacun de ses points au champ vectoriel.
- Tube de champ : ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.
- Champ uniforme : c’est un champ où tous les vecteurs ont même module (norme), même
direction et même sens. Tous les vecteurs sont équipollents à un même vecteur.
Exemple : le champ de pesanteur
I.2.4. Système d’Unités International
C’est un système qui comporte 7 unités dites fondamentales ou de base et des unités
dérivées.
Les sept unités de base

GRANDEUR EQUATION AUX DIMENSIONS UNITE
1. Longueur  L mètre (m)
2. Temps T  seconde (s)
3. Masse M  kilogramme (kg)
4. Intensité électrique I  ampère (A)
5. Température   Kelvin (K)
6. Quantité de matière  n mole (mol)
12
7. Intensité lumineuse J  candela (cd)
Exemples d’unités dérivées

EQUATION AUX
GRANDEUR FORMULE UNITE
DIMENSIONS
Aire S  Ll  L 2 mètre carré (m2)
Vitesse v
d
 L  T  -1 mètre par seconde
(m.s-1)
t
V
Accélération a  L  T  -2 mètre par seconde
carré (m.s-2)
t
Force F  ma  M   L  T  -2 newton (N)
Energie W=F.d  M   L  2 T  -2 joule (J)
Puissance P
W
 M   L  2 T  -3 watt (W)
t
Charge électrique Q  It T   I  coulomb (C)
Tension
électrique
U
P
 M   L  2 T  -3  I  -1 volt (V)
I
Préfixes
Aux différentes unités précédentes, on peut associer des préfixes, formant ainsi d’autres
unités multiples ou sous-multiples.
Préfixe Symbole Valeur Préfixe Symbole Valeur
déca da 10 déci d 10-1
hecto h 102 centi c 10-2
kilo k 103 milli m 10-3
méga M 106 micro µ 10-6
giga G 109 nano n 10-9
13
tétra T 1012 pico p 10-12
Quelques lettres grecques utilisées pour désigner une grandeur scalaire
Lettre Appellation Lettre Appellation Lettre Appellation

 alpha  delta  thêta
 bêta  epsilon  iota
 gamma  êta  nu
 lamda  mu  psi
 rhô  sigma  tau
 phi  khi  oméga
I.3. DERIVEES ET PRIMITIVES

I.3.1 Dérivées de fonctions
I.3.1.1. Dérivées usuelles

Fonction Fonction
Dérivée f’(x) Dérivée f’(x)
f(x) f(x)
xn , n  nx n 1 sin x cos x
1 1 1
 tan x 1  tan ² x 
x x2 cos ² x
1
ln x ex ex
x
1
cos x  sin x cot anx 
sin x
I.3.1.2. Opérations sur les dérivées
14
( f  g ) '  f ' g ' ( f ) '   f ' ,   ( f .g ) '  f ' g  g ' f
f 'g  g' f
( f / g) '  ( g f ) '  f '.g ' f ( f n ) '  nf ' f n1
g2
 1  f '
 '  2
f  f
 f  '  2 f 'f , f 0 e  '  f ' e
f f
f'
(ln f ) '  , f 0 (sin f ) '  f 'cos f (cos f ) '   f 'sin f
f
I.3.1.3. Dérivée et différentielle d’une fonction

Fonction à une variable
- Soit y  f ( x) une fonction continue et dérivable au point x0, on exprime la différentielle de

dy
la fonction f ( x) sous la forme : dy  f '( x0 )dx , soit f '( x0 )  .
dx
Fonction à plusieurs variables
- Soit U  U ( x, y, z) , une fonction à plusieurs variables.
 U   U   U 
dU  dU x  dU y ou dU    dx    dy    dz est la différentielle totale
 x  y , z  y  x , z  z  x , y
de U.
 U 
  signifie : «je dérive U par rapport à x en maintenant y et z constants »
 x  y , z
Différentielle totale exacte
Soit une expression de la forme dU  A( x, y, z)dx  B( x, y, z)dy  C(x, y, z)dz (1)
- S’il existe une fonction U vérifiant (1) alors (1) est une équation différentielle et dU est
une différentielle totale exacte. On note « dU ».
15
- S’il n’existe pas de fonction U vérifiant (1), alors (1) n’est pas différentiable ; dU est une
forme différentielle. On notera « U ».
Relations aux dérivées partielles
Admettons que l’on ait une expression de la forme :
dU  A( x, y, z)dx  B( x, y, z)dy  C(x, y, z)dz .
dU est une différentielle totale exacte si et seulement si :
 A   B   B   C   A   C 
  =  ;   =  ;   = 
 y  x , z  x  y , z  z  x , y  y  x , z  z  x , y  x  y , z
 U   U   U 
Dans ce cas on peut écrire : A    ; B   ; C  
 x  y , z  y  x , z  z  x , y
I.3.2 Primitives et intégrales
I.3.2.1. Définitions
a) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. La primitive de f est la fonction
F telle que F’(x)= f(x).
b) Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b éléments de I. On appelle intégrale

f ( x)dx   F ( x)a  F (b)  F (a) où F est une primitive
b

b
de a à b, de la fonction f, le réel
a
quelconque de f sur I.
I.3.2.2. Quelques primitives usuelles

f ( x)  ,    F ( x)   x  C f ( x)  sin x,  F ( x)   cos x  C
x2
f ( x)  x,  F ( x)  C f ( x)  cos x,  F ( x)  sin x  C
2
x n1
f ( x)  x n ,  F ( x)  C
n 1
16
I.3.2.3. Opérations algébriques

u n1 u' 1 u' 1
 u 'u  , n u  u  , n
n
n 1 2
u n
(n  1)u n1
u' 1 u' u' 1

u n

(n  1)u n1
, n ,n 1 u  ln u u n

(n  1)u n1
, n ,n 1
I.3.2.4. Développements limités
17
I.4. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS

I.4.1 Intégrales multiples
On a une intégrale multiple lorsqu’on intègre sur surface ou un volume.
Lorsque la fonction à intégrer est un produit de fonctions de chacune des coordonnées et

que les bornes d’intégration de chaque coordonnée sont indépendantes des autres
coordonnées, alors l’intégrale multiple est égale au produit des intégrales simples.
L’application du théorème de Fubini donne alors :

x1 y1 z1
 f ( x) g ( y)h( z)dxdydz  
x0
f ( x)dx. g ( y)dy. h( z)dz
y0 z0
I.4.2 Définition du flux d’un champ de vecteurs
Soit W un champ de vecteurs et S une surface. Le flux de W à travers S s’écrit :
   W .d S
S
où d S  n.dS est le vecteur surface élémentaire orienté par le vecteur normal unitaire n à
dS .
L’orientation de n dépend de la nature de la surface considérée.
I.4.3 Orientation de la normale
- Si la surface est fermée, par convention n est sortant et on écrit :

n
  W .d S   W .ndS
S S

- Si la surface est ouverte, elle s’appuie nécessairement sur un
contour fermé auquel on donnera un sens arbitraire positif. Le
sens de la normale n est obtenu en appliquant le règle du tire-
bouchon.
18
I.5. QUELQUES OPERATEURS DIFFERENTIELS

I.5.1 Opérateur nabla ou gradient
L’opérateur gradient transforme une grandeur scalaire en grandeur vectorielle.

Le gradient d’un champ de scalaire f est défini tel que, pour tout déplacement
élémentaire dl , on a :
grad f .dl  df où df est la différentielle totale de f.
f f f
- En coordonnées cartésiennes : grad f  i j k
x y z
  
Lorsqu’on pose   i j  k appelé « opérateur nabla », on a : grad f   f
x y z
f f f
- En coordonnées cylindrique (r , , z) : grad f  ur  u  u z
r r z
f f 1 f
- En coordonnées sphériques (r , ,  ) : grad f  ur  u  u
r r r sin  
I.5.2 Circulation d’un gradient
La circulation d’un champ de vecteur W le long d’un chemin  s’écrit :
C =  W .dl où dl est un élément de longueur du chemin.


Ainsi donc, la circulation C du gradient d’un champ de scalaires f (qui est un vecteur) entre
deux points A et B sera :
B B
C= 
A
grad f .dl   df  f ( B)  f ( A) .
A
19
Cette circulation ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement de la valeur de f aux points
A et B.
Lorsque la circulation d’un champ de W ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement
des points de départ et d’arrivée, ce champ de vecteur est dit « à circulation conservative ».
Propriété :
Lorsqu’un champ de vecteur W est à flux conservatif alors il existe une fonction scalaire f
dont ce champ est le gradient : W   grad f
I.5.3 Opérateur divergence
La divergence d’un champ de vecteur W est un scalaire. On note : div W
Wx Wy Wz

- En coordonnées cartésiennes (x,y,z) : divW     .W
x y z
(rWr ) 1 W Wz

- En coordonnées cylindrique (r , , z) : divW   
rr r  z
(r ²Wr ) 1 (W sin  ) 1 W

- En coordonnées sphériques r , ,   : divW   
r ²r r sin   r sin  
Formule d’Ostrogradsky
Le flux d’un champ W à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de la divergence
de ce champ sur le volume V délimité par cette surface.
On écrit :  S
W .d S   div WdV
V
I.5.4 Opérateur rotationnel
Le rotationnel est un vecteur obtenu à partir d’un champ de vecteurs.

- En coordonnées cartésiennes (x,y,z) :
20
rot W    W
 Wz Wy   Wx Wz   Wy Wx 
rot W    i     j   k
 y z   z x   x y 
Formule de Stokes
La circulation d’un champ de vecteurs W le long d’un contour  est égal au flux de son
rotationnel à travers toute surface ouverte S s’appuyant sur ce contour :
 W .dl   rot W .d S
 S
Remarque : Un champ de vecteurs est à circulation conservative si et seulement si en tout

point de l’espace, rot W  0
I.5.5 Opérateur laplacien scalaire
Le laplacien scalaire est un opérateur de dérivation spatiale qui s’applique à un champ de

scalaires pour donner un scalaire :
V  div( grad V )  .V  ²V
 ²V  ²V  ²V
En coordonnées cartésiennes : V   
x ² y ² z ²
21
UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. II : Généralités – Distribution de charges
Chapitre II :
GENERALITES - DISTRIBUTION DE CHARGES
Objectifs :
 Choisir un modèle de description des distributions de charges.
 Maîtriser l’étude des symétries et invariances d’une distribution de charges.
 Savoir appliquer la loi (de Coulomb) régissant les interactions entre charges
ponctuelles
Introduction
L'électrostatique est le domaine de la physique qui étudie les propriétés fondamentales

de l’espace dans lequel sont placées des charges immobiles dans un référentiel donné.
Ces charges sont à l’origine de grandeurs physiques telles la force électrostatique, le
champ électrostatique, le potentiel électrostatique ou l’énergie électrostatique.
II.1. GENERALITES
Les lois de l’électrostatique permettent d’étudier l’interaction des charges électriques
au repos ainsi que les propriétés d’un ensemble de charges au sein de la matière
II.1.1. Les charges électriques au sein de l’atome
La charge est une propriété de la matière qui lui fait produire et subir des effets
électriques et magnétiques. On distingue :
- l'électrostatique qui est l'étude des effets électriques créés par des charges au
repos;
- l'électromagnétisme qui est l'étude des phénomènes électriques et magnétiques

(les phénomènes magnétiques impliquent généralement des charges électriques en
mouvement).
22
L’attraction produite à courte distance sur des corps très légers (poussières, plumes,
bouts de papier…) par certains matériaux préalablement frottés (ambre, verre et,
aujourd’hui, de nombreux polymères) a été observée depuis bien longtemps. On a
expliqué ce phénomène en supposant que les frottements faisaient apparaître sur ces
matériaux particuliers de l’électricité (mot formé à partir du Grec elektron qui signifie
ambre).
Expériences : tout le monde a déjà vécu l'expérience désagréable d'une "décharge

électrique".
Attraction de corps légers avec des corps frottés
Exemple : prenons une boule très légère en polystyrène par exemple recouverte
de métal fin. Approchons ensuite une tige de verre ou d'ambre préalablement
frottée avec un tissu : verre chargé +, ambre chargé -
23
Figure II. 1 : Expériences d'électricité statique
L'électrisation d'un corps est un transfert d'électrons ; on peut l’obtenir par :
Frottement : une baguette de verre frottée perd des électrons. Une baguette de résine
frottée acquiert des électrons.
Contact : le contact avec un autre corps électrisé.
Influence : voisinage d'un corps électrisé.
Etc.
On tire les conclusions suivantes :
Il existe deux types d'électricités : l'électricité négative et l'électricité positive.
 Deux charges de même signe se repoussent
 Deux charges de signe contraire s'attirent.
 Pas d'électrisation : le corps est neutre ; aucun effet observé
Du point de vue microscopique, on explique l’existence de ces électricités en postulant

que certaines des particules constitutives de la matière, sont naturellement dotées
d’une charge électrique (symbolisée par la lettre q). Ces particules sont :
- les électrons auxquels on attribue une charge négative q = - e que l’on admet être
indivisible en première approche (donc la plus petite qui soit), et une masse me ;
- les protons portant une charge égale et opposée à celle de l’électron, soit q = + e,
également indivisible, avec une masse m p  1836 me .
Il existe une troisième sorte de particule constitutive, le neutron, de masse

sensiblement égale à m p , neutre électriquement.
Dans le Système International où l’unité de charge électrique est le Coulomb

(symbole C), et l’unité de masse le kg, les charges et masses de ces trois particules
sont les suivantes :
24
Exemple : Unité de la charge → 1 Coulomb : ENORME
2 charges de même signe de 1C chacune, situées à 1km l'une de l'autre se repoussent

avec une force équivalents de "1 tonne" (masse équivalente)
Aux températures usuelles, ces particules se regroupent en diverses sortes d’atomes,

chacune étant caractéristique d’un élément chimique (ex : hydrogène, carbone,
cuivre…). Tout atome est ainsi formé :
- d’un noyau, qui est un assemblage de protons et de neutrons et contient, par

conséquent, une charge électrique > 0 ;
- d’une collection d’électrons orbitant en nuage autour du noyau, et se trouvant en

nombre égal à celui des protons ; un atome est donc électriquement neutre par
compensation et ne peut, a priori, repousser ou attirer des charges électriques proches.
Chaque sorte d’atome, X , est définie par son nombre de masse, A , égal à la somme
du nombre de protons et de neutrons que contient le noyau (ou somme des « nucléons
»), et par son numéro atomique, Z , égal à son nombre d’électrons, ces caractéristiques
A
étant notées sous la forme symbolique Z X.
En pratique, on identifie le nombre de masse A d’un atome à sa masse atomique

exprimée en grammes, c’est-à-dire à la masse en grammes de N (nombre d’Avogadro
= 6,022 .10 23 ) de ces atomes.
Remarques :
a. Il arrive qu’un atome perde ou gagne un ou plusieurs électrons ; il n’est alors plus
neutre et devient ce qu’on appelle un ion (> 0 s’il en a perdu, < 0 s’il en a gagné).
b. Tout corps est constitué soit d’atomes soit d’ions. Dans le premier cas, les
charges électriques qu’il contient se compensent exactement ; dans le second, il
peut arriver qu’une partie des charges contenues ne soit pas compensée.
25
II.1.2. Notions sur les isolants et les conducteurs
Les matériaux dits « conducteurs » sont des matériaux (les métaux en particulier) dans
lesquels les charges électriques peuvent se déplacer. Les autres sont appelés isolants.
La matière telle que nous pouvons l’observer, se présente sous les 4 états possibles :
- Dans l’état de plasma, qui ne se rencontre qu’à très haute température (au cœur des
étoiles à 15 106 K environ, dans la flamme de chalumeaux spéciaux…), la matière ne
comporte plus d’atomes individualisés car ceux-ci se sont dissociés en une « soupe »
des particules élémentaires dont ils étaient primitivement constitués. Des particules
chargées se trouvent ainsi libres de se mouvoir, et donc de conduire de l’électricité
d’un point à un autre ; de ce fait, un plasma est conducteur.
- L’état gazeux est un ensemble d’atomes ou de molécules (associations de 2 ou 3

atomes, en général) se déplaçant à grande vitesse en tous sens. Si les atomes ne sont
pas ionisés, le déplacement de ces molécules ne peut s’accompagner d’aucun
déplacement de charges non compensées et le gaz n’est pas conducteur : on le dira
isolant. Par contre, si sous l’effet des chocs qu’ils peuvent subir certains atomes
s’ionisent, les molécules auxquelles ils appartiennent portent alors des charges non
compensées qu’elles transportent avec elles, rendant ainsi le gaz conducteur.
- Au contraire d’un gaz, un corps à l’état liquide possède un « volume propre » (c’est-
à-dire peu variable) ; de plus, les atomes ou les molécules dont il est constitué,
s’assemblent souvent en agrégats temporaires susceptibles de se déplacer d’un point à
un autre. Ainsi, lorsque ces atomes ou ces molécules ne portent pas de charges non
compensées, le liquide est isolant ; en cas contraire (électrolytes, par exemple), il est
conducteur.
- Les solides sont constitués d’atomes qui vibrent, chacun, autour d’une position
moyenne fixe dans l’espace (lorsque le solide est au repos). Il ne peut donc y avoir
conduction par déplacement d’ions, comme pour les gaz ou les liquides, mais
seulement par déplacement d’électrons. C’est ce qui se passe dans un matériau où les
atomes possèdent des électrons périphériques, ou « de valence », peu liés ; dans ce cas,
en effet, l’apport d’une énergie très faible suffit à « libérer » un électron de la tutelle de
son noyau et à le faire migrer au sein du matériau. Si, au contraire, les électrons de
valence sont très fortement liés, leur libération devient extrêmement difficile car elle
requiert l’apport d’énergies très importantes ; en l’absence de charges « libres » le
matériau n’est alors plus « conducteur », mais « isolant ».
26
Remarques :
1. De même que les électrons de valence, les charges non compensées que peut
recevoir un solide isolant, ne peuvent quitter l’endroit où elles ont été déposées,
malgré l’attraction ou la répulsion que produiraient des charges extérieures. Alors
que, dans un solide conducteur, il est très facile de faire migrer ces charges d’un point
à un autre.
2. En raison de propriétés particulières, les solides (ou liquides) isolants sont encore
qualifiés de matériaux « diélectriques ».
3. La charge électrique d’un système isolé se conserve.
N.B. : nous ne considérons pas ici les cas litigieux, les mauvais conducteurs, les semi-
conducteurs, etc… mais seulement les bons conducteurs métalliques (Al, Cu) et les
bons isolants.
II.2. DISTRIBUTIONS DE CHARGES

II.2.1. Charge ponctuelle
Une charge est dite ponctuelle si elle occupe un volume dont les dimensions sont très
inférieures aux distances d'observation.
Elles sont supposées sans dimension, ce qui est analogue à l’hypothèse du point
matériel en mécanique.
La charge élémentaire est une excellente approximation d'une charge ponctuelle.
II.2.2. Distributions discrètes ou discontinues
Considérons N charges ponctuelles fixes dans un volume V. Ce volume est supposé

suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les charges soit très supérieure
à la dimension de la charge. Nous avons affaire à une distribution discontinue ou
discrète de charges.
II.2.3. Distributions continues
27
Les calculs sont impossibles à faire en partant d'une distribution discrète car, en
général, le nombre de charges est très élevé lorsque le volume est de dimension
macroscopique. Dans ce cas, il faut introduire une distribution continue de charges.
A cette échelle, les distributions e charges seront représentées à l’aide de la grandeur

densité de charges.
On fait l’hypothèse d’une charge macroscopique permettant de définir une charge

infinitésimale dq, à laquelle on peut appliquer les formules établies dans le cas d’une
charge ponctuelle, avant d’intégrer sur la distribution.
On définit ainsi les distributions :

– linéique (sur un fil) de densité λ = dq/dl [C.m-1]
– surfacique ou superficielle (sur une surface) de densité σ = dq/dS [C.m-2]
– volumique (dans un volume) de densité ρ = dq/d [C.m-3]
auxquelles correspondent respectivement les charges infinitésimales λ dl, σ dS et ρ d.
Le calcul de la charge totale Q revient à celui d’une intégrale simple ou multiple :
28
Q   dq   dl , avec Q  L si la densité linéique est uniforme

l l
Q   dq   dS , avec Q  S si la densité surfacique est uniforme

S S
Q   dq   d , avec Q   si la densité volumique est uniforme

 V
II.3. LOI DE COULOMB - FORCES ELECTROSTATIQUES

II.3.1. Loi de Coulomb
Dire que des charges électriques s’attirent ou se repoussent, revient à dire qu’elles
exercent des forces les unes sur les autres.
C’est Charles Augustin COULOMB (physicien français, 1736-1806) qui, le premier,

a énoncé la loi régissant les interactions entre charges ponctuelles :
Deux charges électriques ponctuelles placées dans le vide, exercent l’une sur l’autre
une force :
- portée par la droite qui les joint,
- proportionnelle au produit des valeurs absolues de ces charges,
- inversement proportionnelle au carré de leur distance,
- tendant à les rapprocher (force attractive) si elles sont de signes contraires et à les
éloigner (force répulsive) si elles sont de même signe.
Exemple : Une charge ponctuelle q 0 , immobile en O exerce sur une autre charge

ponctuelle q placée en P une force électrostatique F
P

F
q
O

u
q0
Cette force est donnée par :
29
q0 q
F u
4 r 2
r OP
u   Vecteur unitaire ;    0 r
r OP
1
0  10 9  8,84.10 12 F m  Permittivité absolue ou la permittivité du vide.
36
Unités :
F force (newton N)
 permittivité du milieu ( F .m1 )
q0 , q charges (coulomb C)
Remarques : r  OP distance (mètre m)
a. Selon le principe de l'action et de la réaction, la force F ' exercée par q sur q0 est
égale à la force exercée par q0 sur q mais de sens opposé : F '   F
a. C’est un fait expérimental, valable dans un repère où les deux charges sont
immobiles.
 
b. Si q0 et q sont placées en un même point alors F  0 ; résultat admis et cohérent
avec des considérations élémentaires de symétrie. Rien ne permet d’attribuer

une direction plus qu’une autre à F .
II.3.2. Distribution discrète de charges
La force électrostatique obéit au principe de superposition. La force exercée par un

système de n charges ( q1 , q 2 , …, q n ), immobiles en Oi , sur une charge q en P est la
somme vectorielle des Fi
30
O2
F
F
F 1
q 2 <0 2 q
P
O1
q 1 >0
q est supposé positif.
qi 1
Fi  q 2 ui
4 ri
n
Force résultante : F   Fk
k 1
II.3.3. Distribution continue de charges
Soit un élément de charge dq 0 . La force exercée par dq 0 sur q est :
1 r
dF  dq 0 q
4 r3
dl r

1
F q Distribution linéique
4 L  r3
1 ds r
F
4 S
q
 r3
Distribution surfacique
dv r
V
1
F q Distribution volumique
4  r3
II.4. INVARIANCES ET SYMETRIES

II.4.1. Invariances des distributions de charges
Une distribution, illimitée dans la direction de l’axe , est invariante par translation
suivant  si, pour tout point M et son translaté M’, sa densité de charge vérifie ρ(M) =
ρ(M′).
Exemple : distribution invariante par translation suivant Oz : ρ(r, θ, z) = ρ(r, θ)

Une distribution, est invariante par rotation autour d’un axe  si, pour tout point M et
M’ obtenu après rotation, sa densité de charge vérifie ρ(M) = ρ(M′).
31
Exemple : distribution invariante par rotation autour d’un axe Oz : ρ(r, θ, z) = ρ(r, z)
Une distribution à symétrie cylindrique est telle que ρ(r, θ, z) = ρ(r)
(Invariance par rotation autour de Oz et invariance par translation suivant Oz)
Une distribution à symétrie sphérique est telle que ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r)
(Invariance par rotation autour de e et invariance par rotation autour de Oz)
II.4.2. Plan de symétrie et plan d’antisymétrie
Une distribution est symétrique par rapport a un plan  si, pour tout point M il existe
un symétrique M’, et si sa densité de charge vérifie ρ(M) = ρ(M′)
Le plan  de symétrie est aussi appelé plan-miroir
Une distribution est antisymétrique par rapport à un plan * si, pour tout point M il
existe un symétrique M’, et si sa densité de charge vérifie ρ(M) = − ρ(M′)
Le plan * est appelé plan d’antisymétrie ou plan-antimiroir
32
UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. III : Champ et Potentiel électrostatiques
Chapitre III :
CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES
Objectif
- Calculer le champ et le potentiel électriques pour une charge ponctuelle et une

distribution de charges
- Exprimer la circulation du champ et l’énergie potentielle d’interaction

électrostatique
Introduction
Le champ électrostatique est la grandeur qui permet de décrire les effets de charges
électriques statiques sur l’espace qui les entoure. Il peut être caractérisé simplement
par une fonction appelée potentiel électrostatique.
III.1. CHAMP ELECTROSTATIQUE
Une charge ponctuelle modifie les propriétés de l'espace qui l'entoure. On dit qu'elle
crée dans son voisinage un champ électrostatique ou champ électrique. Il est
caractérisé par le vecteur E . La charge q 0 est une source de champ.
III.1.1. Charge ponctuelle
Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrique subit une force
électrostatique F .
F  qE
De la loi de Coulomb, on déduit :
33
q0 1 r
E
4 r 2 r
q0 1
E grad  
4 r
III.1.2. Distribution de charges ponctuelles
Le champ électrique obéit au principe de superposition. Le champ électrique crée par

un système de n charges ( q1 , q 2 , …, q n ), immobiles en Ok est la somme vectorielle
des E k
O2
E
E
E 1
q 2 <0 2 q
P
O1
q 1 >0
qk u k q 1
Ek    k grad  
4 rk2
4  rk 
1 n
qk 1
La résultante du champ : E
4
 
grad  
k 1  rk 
III.1.3. Distribution continue de charges
Soit un élément de charge dq 0 d’une distribution continue de charges
Le champ créé par dq 0 en un point P de l'espace est :
dq0 r
dE 
4 r 3
34
III.1.3.1. Sur une ligne
1 dl r 1 dl 1

E
4  L  r 3
ou E
4 L 
grad  
r
III.1.3.2. Sur une surface
1 ds r 1 ds 1

E
4 S  r 3 ou E  
4 S  grad  
r
III.1.3.3. Dans un volume
1 dv r 1 dv 1

E
4 
V  r 3
ou E  
4  V 
grad  
r
III.1.4. Lignes et tubes de champ
III.1.4.1. Ligne de champ
La ligne de champ est la ligne tangente en chacun de ses points au champ électrique.
L’ensemble de lignes de champ appartenant à un même champ est appelé spectre de ce

champ.
Remarques :
 Les lignes de champ sont orientées dans le même sens que le champ électrique.
 Le vecteur champ est colinéaire au vecteur déplacement élémentaire sur la ligne
de champ : soit E  dl  0
 Si les lignes de champ sont parallèles, le champ est dit uniforme.
Exemple : les lignes de champs d'une charge ponctuelle sont des lignes concentriques.
35
q >0 q <0
0 0
NB : les lignes de champ du champ électrique ne peuvent se couper. Elles partent des
charges positives (ou de l’infini) et aboutissent aux charges négatives (ou à l’infini).
III.1.4.2. Tube de champ
Le tube de champ est l'ensemble des lignes de champ qui

s'appuient sur un contour fermé.
III.1.5. Condition de passage du champ à l’interface entre deux distributions de

charges
On montre que le champ tangent à l’interface est conservé et le champ normal subit
une discontinuité si l’interface est chargée
En effet, à la traversée d’une surface chargée (milieu 1 à milieu 2), le champ

électrostatique subit une discontinuité normale à la surface traversée
III.1.6. Propriétés de symétrie du champ électrostatique
III.1.6.1. Principe de Curie
« Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des
causes doivent se retrouver dans les effets produits ».
Ainsi, si l’on connaît les propriétés de symétrie d’une distribution de charges, ces
propriétés de symétries seront applicables au champ électrostatique qui résulte de ces
charges.
36
De même, dans un milieu homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation
géométrique à une distribution de charge capable de créer certains effets (forces,
champs) alors ces effets subissent les mêmes transformations.
Conséquences sur le champ
 Une isométrie (rotation, translation ou symétrie) qui laisse invariant le système

de charges laisse également invariant le champ électrique. Le champ électrique,
qui a les mêmes symétries que le système qui le crée, a les propriétés d’un
vecteur polaire ou vecteur « vrai ».
 Au point M et M’ symétriques par rapport à un plan-miroir  d’une distribution

de charges, les champs électrostatiques E(M) et E(M’) sont symétriques l’un de
l’autre. (Figure III.1)
 Sur un plan de symétrie ou plan-miroir  d’une distribution, le champ

électrostatique créé est parallèle au plan . (Figure III.1)
Figure
III. 1 :
symétrie
plane
37
Figure III. 2 : antisymétrie plane
 Au point M’ symétrique de M par rapport à un plan-antimiroir * d’une

distribution de charges, le champ électrostatique E(M’) est l’opposé du
symétrique du champ E(M) créé en M par la distribution.
 Sur un plan d’antisymétrie ou plan-antimiroir * d’une distribution de charges,

le champ électrostatique créé est perpendiculaire au plan *.
L’analyse des symétries doit précéder tout calcul de champ ; elle peut permettre
de prévoir la direction du champ ainsi que les coordonnées adaptées au système.
III.1.6.2. Règles d’invariances et de symétries et conséquences pour le champ
1. Invariance d’une distribution par translation le long d’un axe : le champ créé ne
dépendra pas de la variable associée à cet axe.
2. Invariance d’une distribution par rotation autour d’un axe : en coordonnées

cylindriques ou sphériques, le champ créé ne dépendra pas de l’angle  ou
 servant à mesurer la rotation.
38
3. Plan de symétrie : (S) est un plan de symétrie d’une distribution si, pour tout point P
de cette distribution, son symétrique P’ appartient à la distribution et porte la même
charge que P.
- si (S) est un plan de symétrie d’une distribution, si P '  symP /(S )
 
alors E ( P ')  sym E ( P) /(S ) .
- si (S) est un plan de symétrie d’une distribution passant par le point M

où l’on veut déterminer le champ électrostatique, alors E (M )  (S ) .
4. Plan d’antisymétrie : (S) est un plan d’antisymétrie d’une distribution si, pour tout
point P de cette distribution, son symétrique P’ appartient à la distribution et porte
une charge opposée à celle de P.
- Soit (S) un plan d’antisymétrie d’une distribution, si P '  symP /(S )
 
alors E ( P ')  sym E ( P) /(S ) .
- soit (S) est un plan d’antisymétrie de la distribution passant par le point

M alors en ce point M, le champ électrostatique E ( M ) est
perpendiculaire au plan (S).
5. Symétrie cylindrique : si l’on a invariance par rotation et translation autour et le

long d’un axe, alors le champ électrique ne dépendra que de la distance variable r
par rapport à l’axe.
6. Symétrie sphérique : si l’on a invariance par rotation selon  et  (en coordonnées

sphériques) autour d’un axe, alors le champ électrique ne dépendra que de la
distance variable r par rapport à l’origine.
III.2. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE

III.2.1. Potentiel et différence de potentiel
Le champ E dérive d'un potentiel scalaire appelé potentiel électrique.
39
E   grad V ou encore dV   E.dl
III.2.1.1. Charge ponctuelle q0
q0 1
E grad  
4 r
1 q0
V K
4 r
III.2.1.2. Distribution discrète de charges
1 n
qk 1
E
4
 grad  
k 1  rk 

1 qk
V K
4  rk
k 1
III.2.1.3. Distribution continue de charges
1  dl 1
E
4  L 
grad  
r
dl

1
V K
4 L  r
1  ds 1
E
4  S 
grad  
r
ds

1
V K
4 S r
40
1  dv 1
E
4 
V 
grad  
r
dv
V
1
V K
4 r
III.2.1.4. Remarque
Le potentiel est défini à une constante près. Lorsqu'il n'y a pas de charges à l'infini, on
y prendra V  0 .
La constante d'intégration K qui apparaît dans l’expression de V est alors nulle.
III.2.2. Travail d'une force électrostatique
Soit une charge ponctuelle q se déplaçant de A vers B dans un champ électrique. Le

travail des forces électrostatiques est :
B B B
W AB 
A F .dl  q
A E.dl  q
A gradV .dl  qV A  VB 
Remarque : le travail des forces électrostatiques pour amener une charge q de A vers
B est indépendant du chemin suivi. Il ne dépend que de la différence de potentiel
V A  VB .
III.2.3. Energie potentielle d’une charge
On définit l'énergie potentielle électrostatique d’une charge passive q placée en un

point P par la grandeur scalaire E P dont dérive la force électrostatique :

F   grad E P

or F  qE donc q E   grad E P . Par ailleurs, nous avions E   grad V .
On en déduit : EP  q V
Remarques :
 E P correspond au travail dépensé pour amener la charge ponctuelle q depuis

l’infini où le potentiel est nul jusqu’au point P où le potentiel est V.
 Le travail W AB est alors la variation de l'énergie potentiel électrostatique entre les

points A et B.
41
III.2.4. Surfaces équipotentielles
Une ligne équipotentielle est telle qu'en tous ses points le potentiel a la même valeur.
Une surface équipotentielle est telle qu'en tous ses points le potentiel a la même
valeur.
Remarque :
Sur chaque point d'une surface équipotentielle la ligne de champ est

perpendiculaire.
En effet, on a :
dV   E.dl  0
Exemple : Pour une charge ponctuelle, les surfaces équipotentielles sont des sphères
concentriques et les lignes de champs sont les rayons de ces sphères.
q>0 q<0
Figure III. 3 : Diagramme d’une charge ponctuelle
III.2.5. Diagramme électrique
Le diagramme électrique est la représentation sur la même figure des lignes de

champ et des équipotentielles d’une charge ou d’une distribution de charges.
La Figure III. 3 illustre les diagrammes électriques pour une charge ponctuelle
respectivement positive et négative.
42
III.3. Energie électrostatique

III.3.1. Système de deux charges ponctuelles
Une charge q1 est supposée être au repos et fixe dans toute la durée de l'expérience.
Une 2ème charge q2 est amenée de l'infini à une distance a de q1. Supposons que les
deux charges soient positives. On montre (à faire à la maison) que l'énergie potentielle
du système est :
III.3.2. Système de N charges ponctuelles
Pour calculer l'énergie électrostatique d'un système de N charges ponctuelles, il faut

approcher chaque charge jusqu'à la distance que l'on souhaite. L'énergie potentielle de
ce système est l'opposé du travail de toutes les forces.
Le facteur 1/2 s'explique encore une fois par le fait que nous comptons deux fois le
couple qi qj dans la sommation.
III.3.3. Distribution continue de charges
Dans le cas d'une distribution continue de charges, il suffit de remplacer le signe

somme discrète par une intégrale. Comme dans le cas d'une distribution discontinue, il
faut introduire le facteur 1/2.
Attention, contrairement à la distribution discontinue de charges, pour laquelle le

potentiel Vj est le potentiel créé par toutes les charges sauf qi, le potentiel V est ici créé
par toutes les charges.
43
UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. IV : Dipôle électrique
Chap IV :
DIPOLE ELECTRIQUE
Objectif
- Modèle du dipôle
- Champ et potentiel dipôlaires
- Actions exercées par un champ sur un dipôle
Introduction
Le système de deux charges -q, +q placées aux points A et B, distants de 2a, appelé
dipôle électrique (modèle le plus simple) ou doublet électrique, constitue un objet en
soi, qui crée un champ et un potentiel dans l’espace environnant. Le modèle théorique
du dipôle trouve son application dans la polarisation des molécules conduisant à
l’approximation dipolaire de la matière.
Les calculs du champ et du potentiel créés par un dipôle se font toujours en des points
très éloignés du dipôle (OM » 2a).
IV.1. MODELE DU DIPOLE

Le dipôle électrique est un exemple de distribution discrète de charges constituée de
deux particules A et B de charges opposées –q et +q séparées par une distance 2a
supposée invariable (dipôle rigide) et très petite par rapport aux distances r des points
M où on désire étudier l’action du dipôle.
E
Er
E '
M
r2
r r1
er
e  u
A(-q) 44 B(+q)
O
2a
Figure IV. 1 : dipôle électrique
IV.1.1. Moment dipolaire :
Une distribution de charge globalement neutre dont le point A représente le barycentre

des charges négatives –q et le point B le barycentre des charges positives q possède un

moment dipolaire défini par : p  q AB . Son unité est le Coulomb par mètre [C.m]
Par définition, le moment dipolaire du dipôle est le vecteur p  2qa u , u est un

unitaire orienté de A vers B. p et u sont orientés dans le même sens.
On peut noter que q est toujours la valeur absolue de la charge et que p est orienté de
la charge négative vers la charge positive.
Remarques
Les chimistes utilisent le Debye (symbole : D) comme unité de moment dipolaire bien
que cette unité, adaptée à leurs besoins, appartienne à un système d’unités
actuellement abandonné.
IV.1.2. Intérêt du dipôle : molécules polaires
La notion de dipôle prend en compte les propriétés électrostatiques que manifeste

spontanément la matière, ou bien qui apparaissent lorsqu’elle est soumise à un champ
électrique extérieur.
45
Si un atome, qui est constituée d'une charge positive et d'une charge négative, a un
moment dipolaire nul, il n'en va pas de même de certaines molécules, telles que H2O
ou HCl (Figure IV. 2), qui ont un moment dipolaire permanent (i.e. en l'absence de
toute cause extérieure) non nul. Un champ électrique aura ainsi une influence sur la
molécule.
Ainsi, une molécule libre, présentant un moment dipolaire naturel et soumise à un

champ électrique extérieur, va aligner son moment dipolaire selon la direction et le
sens du champ appliqué ; de plus, si elle est libre de se mouvoir, elle se déplacera
dans le sens où s’accroît ce champ
Figure IV. 2 : les molécules telles que HCl, CO, H20, CO2 constituent des exemples de
dipôles électrostatiques
IV.2. POTENTIEL ET CHAMP CREES

IV.2.1. Potentiel VM créé par le dipôle au point M à grande distance
Soit dans le vide, un point M de coordonnées (r,θ) avec OM  r er et Par   ( p, OM ) .

On rappelle que r  2a .
Par définition et selon le principe de superposition :
q q q 1 1
VM      
4 0 r1 4 0 r2 4 0  r1 r2 
1 1 2a cos 
On montre (à faire en exercice) que  ; donc
r1 r2  r 2
46
2aq cos  p cos 

VM  
4 0 r 2 4 0 r 2
er . p r. p r
soit VM   puisque e r  .
4 0 r 2
4 0 r 3 r
Ou bien
IV.2.2. Champ électrostatique E M créé par le dipôle au point M à grande

distance.
On détermine les composantes radiale Er et orthoradiale E du champ électrostatique

E à partir de la relation E   grad V .
En coordonnées polaires :
V 1 2 p cos  V 1 p sin 
Er    et E   
r 4 0 r3 rr 4 0 r 3
p 1  3cos ² E 1
Ainsi : E  Er 2  E 2 = ; tan  '    tan 
4 0 r 3
Er 2
IV.2.3. Equipotentielles et lignes de champ
47
C’est une équation différentielle à variables séparées, dont la résolution ne cause

aucune difficulté
Les lignes de champs sont données par :
Equipotentielles V=cte (à faire à la maison)
IV.3. DIPOLE PLACE DANS UN CHAMP EXTERIEUR

Soit le champ extérieur Eext et V le potentiel dont il dérive :
E ext   grad V
IV.3.1. Energie potentielle d’interaction
L’énergie potentielle Ep du dipôle est l’énergie nécessaire pour amener le dipôle

depuis l’infini où le potentiel est nulle jusqu’à sa position actuelle. Elle obéit au
principe de superposition.
E P   qVA   qVB 
E P  q VB  VA  = q(VA  VB )  q  E ext .dl  q AB.E ext  q  2au.E ext   p.E ext
B
IV.3.2. Forces électriques exercées sur le dipôle
La résultante des forces exercées sur le dipôle est déduite de la relation de base :
 
  
F   grad E P  grad p.Eext .
Pour un dipôle donné, le moment dipolaire est constant. En coordonnées cartésiennes :

on a donc
 Eext  Eext  Eext

Fx  p Fy  p Fz  p
x y z
IV.3.3. Moment résultant
Moment résultant en O :   p  E ext
48
Remarque : si E ext est uniforme alors F  O .

 
Exemple : on notera dans cet exemple AB=a ; E  Eext
49
NB : Dans le cas d’une molécule assimilée à un dipôle, le moment dipolaire


moléculaire aura tendance à s’aligner avec le champ E . On dit que la molécule (ou la
substance) se polarise.
50
UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. V : Théorème de Gauss
Chapitre V :
THEOREME DE GAUSS
V.1. NOTION DE FLUX ET D’ANGLE SOLIDE

V.1.1. Flux du champ électrostatique
Par définition, le flux élémentaire d du vecteur champ électrique E à travers un

élément de surface orienté ds est :
d   E .ds  E .n ds
nn  E
E
ds
d  est un scalaire. Il est positif (flux sortant) ou négatif (flux entrant)
d   E.ds.cos 
On a, pour une surface S :

Sd
Le flux d'un champ vectoriel est conservatif lorsque le flux sortant de toute surface
fermée est nul.
Exemple :
Flux du vecteur champ électrostatique produit par une charge ponctuelle Q situé à la
distance r de l’élément de surface dS
E
P 
n
Q r
51
Q r Q Q u.d S
d  dS  u.d S 
4 r 3
4 r 2
4 r 2
V.1.2. Angle solide
dS
u
P 
r n
Q
A d
Soit l’élément de surface dS entourant le point P, AP  ru  r .
u.d S
Par définition d   est l’angle solide sous lequel on voit du point A l’élément de
r2
surface dS par sa face négative (face côté A).
La valeur absolue de d caractérise l’ouverture du cône. Son unité est le stéradian

(symbole sr).
u r
Par définition, l’angle solide correspond au flux du vecteur V 2
 3.
r r
Le flux du vecteur champ électrostatique produit par une charge ponctuelle Q situé à la
distance r de l’élément de surface dS s’écrit en fonction de l’angle solide ainsi :
Q
d  d .
4
Calculer le flux revient à déterminer l’angle solide.
Exemples de calculs d’angles solides :
52
a) Considérons un cône de révolution de demi-angle au sommet  .

Déterminons  .
 V
r n

  h O dSB
A
R
La surface du cône est composée de sa surface latérale SL et de sa surface de base SB.
r
L’angle solide sous lequel on voit la surface du cône est le flux du vecteur V  à
r3
travers S = SL+SB.
Soit d   Vd S L  Vd S B . Le vecteur V est tangent à la surface latérale du cône, donc

1
Vd S L  0 . Il en résulte que d   Vd S B  VdSB cos  avec V  et dSB  2 d  .
r2
1  h
Soit d   2 d  cos  . Notons que tan      h tan   d   d et
r 2
h cos ²
h h
d’autre part cos    r  si bien que l’on peut écrire : d   2 sin  d .
r cos 

Soit    2 sin  d  2   cos  0  2 cos    2 (1  cos  )
 0
0
  2 (1  cos  )

b) Pour une surface plane :   , d’où   2 .
2
c) Pour une surface sphérique entourant le point d’observation :    , d’où

  4
53
V.2. ENONCE DU THEOREME

V.2.1. Déplacement électrique
On définit le vecteur déplacement électrique ou induction électrique dans un milieu de

permittivité  par : D   E
Il est parfois plus commode d'introduire le vecteur induction électrique lorsqu'on est en
présence de plusieurs milieux diélectriques.
V.2.2. Enoncés
Enoncé 1 :
Le flux du champ électrostatique E à travers une surface fermée S est égal à la somme
des charges intérieures à cette surface divisée par la permittivité électrique  .
Qint Qint
Soit  (S ) E.d S 
0
dans le vide et  (S ) E.d S 

dans un milieu différent du vide.
Attention : Qint est la somme des charges se trouvant à l’intérieur de la surface fermée
(S) mais E est le champ total créé aussi bien par les charges intérieures à (S) que par
les charges extérieures à (S).
Enoncé 2 :
Le flux du vecteur induction électrique à travers une surface fermée est égal à la
somme des charges intérieures à cette surface.
Le théorème de Gauss, dans cette configuration, facilite les calculs de champ et de

potentiel.
V.2.3. Théorème des extremums
Dans un domaine dépourvu de charges, le potentiel ne peut présenter ni maximum, ni

minimum. C'est une fonction monotone, croissante ou décroissante.
V.2.4. Théorème de Gauss local
Dans un élément de volume, le théorème local de Gauss est exprimé par :

div E 

Or E   grad V donc
54

V   Équation de Poison

avec V est le laplacien de V ;
 2V  2V  2V
Rappelons que V  div( gradV )   2V   
x 2 y 2 z 2
Dans un espace dépourvu de charge (dans le vide), on a :
V  0 Équation de Laplace
V.2.5. Application
Calculez le champ crée par une boule de rayon R, uniformément chargée d’une
distribution volumique .
55
UFR SSMT Cours Electrostatique Chap. VI : Conducteurs - Condensateurs
Chapitre VI :
ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS -
CONDENSATEURS
Objectifs
Définir le conducteur en équilibre
Démontrer le théorème de Coulomb (Champ au voisinage immédiat d’un conducteur chargé)
Définir un condensateur
Calculer les capacités de quelques condensateurs simples
Déterminer la capacité équivalente des associations de condensateurs
Introduction
Les conducteurs sont des milieux dans lesquels existent des charges libres (positives ou
négatives) pouvant être mises en mouvement sous l’action d’un champ électrique.
Parmi les conducteurs, on peut citer les métaux, les semi-conducteurs, les électrolytes ou
encore les gaz ionisés. En effet, dans un métal, ces charges sont les électrons les moins liés.
Les ions du métal restent fixes. Dans une solution électrolytique par contre, ce sont les ions qui
bougent.
À l’intérieur d’un système isolé constitué par plusieurs conducteurs, des déplacements de
charges peuvent se produire par frottement, par contact, par influence…
VI.1. CONDUCTEUR EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

VI.1.1. Conditions de l'équilibre
Définition : un conducteur est en équilibre électrostatique si la vitesse d'ensemble des charges

libres par rapport au réseau y est nulle en tout point.
56
Ainsi aucune force n’agit sur ses charges libres et donc notamment pas de champ appliqué
dans le conducteur.
Lorsqu'un conducteur est en équilibre électrostatique :
oSon volume est un volume équipotentiel

oSa surface est équipotentielle
oSa charge est uniformément repartie sur sa surface avec une densité surfacique 
VI.1.2. Champ au voisinage du conducteur
Conducteur
dS
E
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de base dS centré sur la surface

équipotentielle.
Lorsque le conducteur est en équilibre électrostatique, son volume est équipotentiel. Le champ
à l'intérieur est nul. Le champ est normal à la surface du conducteur. Le flux à travers la
surface latérale du cylindre est nul.
 dS 
Le théorème de Gauss donne : E dS  ou encore E 
 
Le théorème de Coulomb traduit la discontinuité du champ électrique à la traversée de la

surface équipotentielle.
E 0 à l'intérieur du conducteur

E n à l'extérieur du conducteur

Il traduit également que les lignes de champ sont normales à la surface du conducteur
57
VI.1.3. Pression électrostatique

Le champ à la surface d’un conducteur à l’équilibre est : E s  n
2
La force exercée sur un élément de charge dq à la surface du conducteur en équilibre est

donc :
 ²
d F  E s .dq . Puisque E s  n et dq   dS , on peut écrire d F  dS .
2 2
Cette force est toujours dirigée vers l’extérieur du conducteur quelque soit le signe de  .
Soit P la pression électrostatique à la laquelle est soumis chaque point matériel à la surface
du conducteur chargé :
dF 2
P . Soit P  n
dS 2
VI.1.4. Phénomènes d'influence
VI.1.4.1. Phénomène de charge d’un corps par influence
Plaçons un cylindre métallique électriquement neutre et isolé dans le champ E1 créé par une
sphère conductrice chargé par exemple positivement. Les électrons libres du cylindre subissent
une force électrostatique. Le déplacement des électrons libres crée deux zones de charges (une
positive et une négative). Ces zones créent un autre champ électrique E 2 .
E
2
+
+ +
-
- - + +
+ - - +
+ - + +
+ +
+
E
1
Le mouvement des électrons s'arrêtent lorsque : E1  E 2  0
Le cylindre est ainsi électrisé par influence.
Si le cylindre est relié au sol, les charges positives s'écoulent vers le sol.
58
+
+ +
- -
- - - -
+ - - - - -
+ - -
+ +
+
Les charges portées par le cylindre sont dites charges induites.
Les charges portées par la sphère sont dites charges influençantes.
L'influence est partielle quand certaines lignes de champ du corps influençant n'atteignent pas
le corps influencé.
L'influence est totale quand toutes les lignes de champ du corps influençant atteignent le corps
influencé.
VI.1.4.2. Eléments correspondants
Soit A et B en influence partielle. On désigne par

éléments correspondants dSA et dSB, les surfaces
découpées sur deux conducteurs par un même
tube de champ. En appliquant le théorème de
Gauss, on montre que les charges qA et qB portées
par deux éléments correspondants sont égales en
valeur absolue mais de signe opposé : qA  qB .
VI.1.4.3. Influence totale
La charge induite QA sur la surface intérieur SA est

égale au signe près à la charge influençante QB :
QA  QB
VI.1.4.4. Ecran électrostatique
- Soit B chargé et C non chargé. Le système A+B ne produit pas de

champ extérieur ; don le conducteur C ne peut pas être influencé par B.
Le conducteur creux A forme un écran contre toute influence de B sur
des corps extérieurs.
59
- Soit B non chargé et C chargé. Pour le conducteur creux A dans lequel il n’y a pas de charge,
le potentiel ne peut avoir ni maximum, ni minium, il est constant et vaut ici zéro, celui du sol
auquel A est relié. Le champ étant nul à l’intérieur de A, C ne peut pas influencer B ; A forme
alors un écran contre l’influence de C sur B.
Conclusion : Le conducteur creux A relié au sol (ou à un potentiel constant) est appelé écran
électrostatique : il isole totalement du point de vue électrostatique, par rapport à l’extérieur, les
corps qui lui sont intérieurs. Il existe plusieurs domaines d’application de l’effet d’écran : cage
de Faraday, paratonnerres, blindages de câbles coaxiaux, etc.
VI.1.5. Equilibre d'un système de conducteurs
On considère un ensemble de conducteurs placés dans une position donnée. Ces conducteurs
sont en état d'influence. Sur chacun d'eux, on impose soit une charge constante (conducteur
isolé) soit un potentiel constant (conducteur non isolé). Le problème est de déterminer, à
l'équilibre électrostatique :
Le potentiel et les charges de chaque conducteur
Le potentiel et le champ électrique en tout point de l'espace.
Pour résoudre ce problème, on utilise le principe de superposition qui résulte de la linéarité des
équations de l'électrostatique : un état d'équilibre ( V , Q ) est obtenu par la superposition de
plusieurs états d'équilibres ( Vk , Qk ).
VI.2. CAPACITES ET MATRICE DE CAPACITES

VI.2.1. Capacité propre d'un conducteur
La charge portée par un conducteur isolé est proportionnelle à son potentiel. Le coefficient de proportionnalité
est appelé capacité. Il dépend principalement de la géométrie du conducteur. Il s'exprime en Farads.
Q
Q  C V ou encore C 
V
Pour calculer la capacité propre, on a :
La charge totale par
Q
S  ds
60
Le potentiel en un point quelconque de la surface par
1  dS
V
4 S  r
La charge et le potentiel sont de même signe. La capacité propre d'un conducteur est toujours positive.
VI.2.2. Matrice capacité d'un système de conducteurs
Si le conducteur appartient à un ensemble de conducteurs, la charge qu'il porte dépend de son potentiel et de
celui des autres.
La relation entre les charges et les potentiels est une équation matricielle du type :
Q  C V 
n
Qi   CijV j
j 1
Q et V  sont des matrices colonnes donnant la charge et le potentiel de chaque conducteur.
C  est une matrice carrée symétrique ayant les propriétés suivantes :
C ii : coefficient de capacité propre du conducteur i en présence des autres. Ce coefficient est
toujours positif.
C ij : coefficient d'influence du conducteur j sur le conducteur i. Ce coefficient est toujours

négatif.
La somme des éléments d'une ligne est positive ou nulle.
La somme des éléments d'une colonne est positive ou nulle.
Armature externe
VI.3. LES CONDENSATEURS Q
2
V
2
VI.3.1. Capacité d'un condensateur

Armature interne
Q V
VI.3.1.1. Définition 1 1
Un condensateur est constitué par deux
61
conducteurs
(appelés armatures) en influence totale.
Q1  C11V1  C12V2
Q2  C21V1  C22V2
L'armature externe est reliée au sol ; les 2 conducteurs sont en influence totale :
Q1  Q2  Q C11  C21  C12  C
La charge de l'armature interne est appelée charge du condensateur. C est appelé capacité du
condensateur. On aura alors :
Q  C V1  V2 
Le condensateur est symboliquement représenté par :
V +Q -Q V
1 2
VI.3.1.2. Calcul de la capacité d’un condensateur
La méthode générale consiste à :
a) Calculer le champ E entre les armatures par le théorème de Gauss

B
b) Calculer le ddp VA  VB   E.dl
A
Q
c) Poser C 
VA  VB
Exemple 1 : Condensateur sphérique
62
Q
R2 E
4 0 r ²
R1 n
rM
+Q O E Q R2  R1 4 0 R1 R2
-Q V1  V2  C
4 0 R2 R1 R2  R1
S : surface de Gauss
Exemple 2 : Condensateur sphérique
Q Q R2 2 0 h
Soit h la hauteur du condensateur, E  , V1  V2  ln , C
2 0 rh 2 0 h R1 R
ln 2
R1
Exemple 3 : Condensateur plan Q

 
 V V
S
V1
Théorème de Coulomb : E  , or E  1 2 + + + + + + + + + + + + + +
0 e
e E
0S
- - - - - - - - - - - - - - -
Q V1  V2 V2
D’où   C -
0S e e
NB : Dans les formules ci-dessus, si l’isolant est quelconque, il faut remplacer  0 par  0 r .
VI.3.2. Champ de rupture
Lorsqu’on applique aux bornes d’un condensateur une tension de plus en plus croissante U, le
champ entre les armatures d’épaisseur e augmente aussi. (Pour le condensateur plan, on a :
U
E  U  Ee ). Lorsque E atteint une certaine valeur critique Ed, on constate une étincelle
e
dans le diélectrique. C’est le phénomène de claquage. Ed est appelé champ de rupture ou
champ disruptif ou rigidité électrique. Ce champ impose une d.d.p. maximale applicable aux
bornes du condensateur. Pour éviter le claquage, le fabricant précise une tension Us à ne pas
dépasser. Us est la tension de service.
63
VI.3.3. Association de condensateurs
VI.3.3.1. Association en série
+Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q
A B
C C C C C
1 2 k n-1 n
Q Q Q Q Q
V A  VB    ...   
C1 C 2 C n1 C n C éq
soit donc :

1 1

C éq Ck
k 1
Le montage série permet de distribuer sur plusieurs condensateur une d. d. p. qui serait
prohibitive si elle était supportée par un seul.
VI.3.3.2. Association en parallèle
+Q C +Q +Q +Q
1 1 2 k n-1 +Q n
C C C C
2 k n-1 n
-Q -Q
1 -Q -Q n-1 -Q
2 k n
Q1 Q2 Qn1 Qn k 1
Qk 
V A  VB    ...   
C1 C 2 C n1 C n C éq
donc :
n
C éq   Ck
k 1
64
Le montage parallèle permet d'avoir une plus grande capacité.
VI.3.4. Energie électrostatique emmagasinée dans un condensateur chargé
L’énergie électrostatique emmagasinée correspond à l’énergie nécessaire pour charger le

condensateur de O à Q (Q est la charge finale). C’est la même énergie qui est libérée lors de la
décharge de Q à zéro.
Soit q  Cv , la quantité d’électricité emmagasinée pendant la charge au bout d’un temps t ,

v étant la d.d.p. aux bornes du condensateur. Pour une durée élémentaire dt où v demeure
presque constante, pour élever la charge de dq , il faut apporter l’énergie dW  vdq . Ainsi,
l’énergie totale utile pour porter la charge du condensateur à Q, il faudra :
Q
Q Q q  1 q²  1 Q²
W   vdq   dq     .
0 0 C  2 C 0 2 C
1 QU 1
Si on pose la différence de potentiel U  V1  V2 , W s’écrit aussi : W   CU ²
2 C 2
VI.3.5. Force d'attraction entre armature
Résultant des charges opposées portées par les armatures, cette force peut être déterminée à
partir de la densité surfacique de charge ou de l’énergie emmagasinée.
dF 2
a) L’expression de la pression électrostatique P   n.
dS 2
2 2
On a donc d F  dS .n  F  S .n .
2 2
Q CV V
Dans le cas d’un condensateur plan, la densité surfacique de charge     .
S S e
 SV 2
Soit F  .n
2e2
b) Détermination de F par l’énergie emmagasinée
65
On utilise la méthode du travail virtuelle qui consiste à imaginer une translation

élémentaire dx ou une rotation élémentaire d autour de l’axe Ox d’une armature sous l’action
de la force F .
En faisant le bilan énergétique de cette translation ou rotation, on déduit F ou le moment

résultant  .
Rappelons que dans la translation, le travail est dT  Fdx et dans la rotation le travail est
dT  d .
Nous allons considérer les deux cas suivants :
– la charge reste constante,
– le potentiel reste constant.
1 Q²
1er cas : l’opération s’effectue à Q constant (système isolé) : W 
2 C
La conservation de l’énergie impose : dT  dW  0  dT  dW .
dT dW  Q 2 dC
Pour la translation : F   
dx dx  Q 2C 2 dx
dT dW  Q 2 dC
Pour la rotation :    
d d  Q 2C 2 d
1 1
2ème cas : l’opération s’effectue à V constant : W  QV  CV 2
2 2
Pour maintenir V constant, le système est relié à une source d’énergie qui lui fournit de
l’énergie dW0  VdQ.
Le bilan énergétique de l’opération s’écrit :
1  1 1 1
dT  dW  dW0 or dW  d  QV   VdQ donc dT  dW0  dW  VdQ  VdQ  VdQ
2  2 2 2
1
Soit dT  VdQ  dW
2
66
dT dW  1 dC
Pour la translation : F     V²
dx dx V 2 dx
dT dW  1 dC
Pour la rotation :      V2
d d V 2 d
Remarque : l’opération de translation ou de rotation s’accompagne toujours d’une

augmentation de la capacité.
67
BIBLIOGRAPHIE
1) Electrostatique – Electrocinétique : fascicule PC/
Issa DOUMBIA, Université FHB
2) Electromagnétisme I
Jean-Pierre FAROUX, DUNOD
3) Electromagnétisme PC-PSI
P. KREMPF, Editions Bréal
4) Les lois générales de l’électricité F2/F3/F5
F. LUCAS, Delagrave
5) Physique Terminal CE
A. SAISON, Fernand Nathan
6) Cours Electrostatique-Electrocinétique
Z. YEO, INPHB
WWW.Google.ci
7) Electromagnétisme du vide
CHRISTIAN MAIRE
68
8) Electromagnétisme
Jonathan FERREIRA, Université Joseph Fourier
9) Cours d’Electrostatique-Electrocinétique (Année 2001-2002, DEUG SMa)
Jonathan FERREIRA, Université Joseph Fourier
10) Cours d’ELECTROMAGNETISME (Année 2011/12)
1ère partie : ELECTROSTATIQUE, H. CERCELLIER, DLST - U. J. Fourier
69

L1 - TC - Electrostatique Cours

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BOIGNY DE COCODY- ABIDJAN UFR SCIENCES DES STRUCTURES DE LA MATIERE

Année académique : 2013-2014

I.1.1. VECTEURS UNITAIRES 7

I.1.2. REPERE ORTHONORME 7

I.1.3. SYSTEMES DE COORDONNEES 7

I.1.4. PRODUIT DE DEUX VECTEURS 9

I.1.5. VECTEURS POLAIRES ET VECTEURS AXIAUX 11

I.2. CHAMP SCALAIRE ET CHAMP VECTORIEL 11

I.3. DERIVEES ET PRIMITIVES 14

I.4. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS 18

I.5. QUELQUES OPERATEURS DIFFERENTIELS 19

II.2. DISTRIBUTIONS DE CHARGES 27

II.3. LOI DE COULOMB - FORCES ELECTROSTATIQUES 29

II.3.1. LOI DE COULOMB 29

II.3.2. DISTRIBUTION DISCRETE DE CHARGES 30

II.3.3. DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES 31

II.4. INVARIANCES ET SYMETRIES 31

III.1.1. CHARGE PONCTUELLE 33

III.1.2. DISTRIBUTION DE CHARGES PONCTUELLES 34

III.1.3. DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES 34

III.1.3.1. Sur une ligne 35

III.1.3.3. Dans un volume 35

III.1.4. LIGNES ET TUBES DE CHAMP 35

III.1.4.1. Ligne de champ 35

III.1.4.2. Tube de champ 36

III.1.5. CONDITION DE PASSAGE DU CHAMP A L’INTERFACE ENTRE DEUX DISTRIBUTIONS DE CHARGES 36

III.1.6. PROPRIETES DE SYMETRIE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE 36

III.2. POTENTIEL ELECTROSTATIQUE 39

III.2.1. POTENTIEL ET DIFFERENCE DE POTENTIEL 39

III.2.1.1. Charge ponctuelle q0 40

III.2.1.2. Distribution discrète de charges 40

III.2.1.3. Distribution continue de charges 40

III.2.2. TRAVAIL D'UNE FORCE ELECTROSTATIQUE 41

III.2.3. ENERGIE POTENTIELLE D’UNE CHARGE 41

III.2.4. SURFACES EQUIPOTENTIELLES 42

III.2.5. DIAGRAMME ELECTRIQUE 42

III.3. ENERGIE ELECTROSTATIQUE 43

III.3.1. SYSTEME DE DEUX CHARGES PONCTUELLES 43

III.3.2. SYSTEME DE N CHARGES PONCTUELLES 43

III.3.3. DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES 43

IV.2. POTENTIEL ET CHAMP CREES 46

IV.3. DIPOLE PLACE DANS UN CHAMP EXTERIEUR 48

V.2.1. DEPLACEMENT ELECTRIQUE 54

V.2.3. THEOREME DES EXTREMUMS 54

V.2.4. THEOREME DE GAUSS LOCAL 54

VI.1.1. CONDITIONS DE L'EQUILIBRE 56

VI.1.2. CHAMP AU VOISINAGE DU CONDUCTEUR 57

VI.1.3. PRESSION ELECTROSTATIQUE 58

VI.1.4. PHENOMENES D'INFLUENCE 58

VI.1.4.1. Phénomène de charge d’un corps par influence 58

VI.1.4.2. Eléments correspondants 59

VI.1.4.3. Influence totale 59

VI.1.4.4. Ecran électrostatique 59

VI.1.5. EQUILIBRE D'UN SYSTEME DE CONDUCTEURS 60

VI.2. CAPACITES ET MATRICE DE CAPACITES 60

VI.2.1. CAPACITE PROPRE D'UN CONDUCTEUR 60

VI.2.2. MATRICE CAPACITE D'UN SYSTEME DE CONDUCTEURS 61

VI.3. LES CONDENSATEURS 61