Cours Meth 1

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Méthodes numériques et programmation
RAHAB Hichem
rahab_hichem @yahoo.fr
2015 /2016
Méthodes Numériques et programmation 2eme physique
RAHAB Hichem 2015-2016

c 2
Table des matières
Table des matières 3
1 Rappels sur les langages informatiques 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 La transposé d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 La taille d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Sélection de ligne ou de colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 La matrice Identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 Le produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.6 La matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Autres fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Calcul des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Le teste conditionnel ’if’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Les boucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 La boucle for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 La boucle ’while’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Écriture de programmes Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Les scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Résolution numériques des équations non linéaires 13

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Méthode de Bissection (ou dichotomie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Résolution numériques des systèmes d’équations linéaires 21

3.1 Méthode Matricielle(matrice inverse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Méthode du pivot (Gauss-Jordan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1 Test d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Intégration numérique 29
4.1 Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Méthode du point milieu composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Programme Matlab (Méthode du point milieu composite) . . . . . . . . . 31
4.3 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 La méthode trapz de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
5 Travaux pratiques 35
5.1 TP 1 : Introduction à Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 TP 2 : Résolution numérique d’équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 TP 3 :Résolution numériques des systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 40
5.4 TP 4 : Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bibliographie 43

c 4
Chapitre 1
Rappels sur les langages

informatiques
1.1 Introduction
On appelle « langage informatique » un langage destiné à décrire l’ensemble des actions
consécutives qu’un ordinateur doit exécuter. Un langage informatique est ainsi une façon pra-
tique pour nous (humains) de donner des instructions à un ordinateur. À CHAQUE instruction
correspond une ou plusieurs actions du processeur. Le langage utilisé par le processeur est appelé
langage machine. Il s’agit des données telles qu’elles arrivent au processeur, constituées d’une
suite de 0 et de 1 (données binaire). Le langage machine n’est ainsi pas compréhensible par
l’être humain, c’est pourquoi des langages intermédiaires, compréhensibles par l’homme, ont été
mis au point. Pour être exploitable par le processeur, le code écrit dans ce type de langage est
transformé en langage machine par une opération de compilation.
Le langage Matlab
Matlab est un environnement de calcul numérique matriciel, il est donc basé sur le principe
de matrice. Tous les types dans Matlab sont à la base des matrices, un scalaire est une matrice
de dimension 1 × 1, un vecteur est une matrice de 1 × n ou n × 1. Ce principe est primordial à
comprendre pour pouvoir travailler avec Matlab. Matlab crée une variable lors de son affectation,
de ce fait on n’a pas besoin de déclarer les variables avant sont utilisation.
1.2 Les matrices

Pour créer les matrices suivantes :
x=4 ; Matrice 1×1

x=[1 2 3 4] Matrice 1×4
x=[1 ,2 , 3 , 4] ; Matrice 1×4
x=[1 ;2 ; 3 ; 4] ; Matrice 4×1
x=[1 : 5] Matrice ligne des éléments de 1 à 5.
x=[0 : 2 :10] Matrice ligne des éléments de 0 à 10 avec un pas de 2.
x=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9] Matrice de 3 × 3.
Remarque
– Le point-virgule ( ;) dans la matrice marque le retour à la ligne, alors qu’à la fin d’une
instruction bloque l’affichage du résultat.
5
1.2.1 La transposé d’une matrice

Exemple x=[0 :2 ;4 :6], retourne :
x =
0 1 2
4 5 6
C’est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes.

» y = x’ retourne la matrice transposée :
0 4
y= 1 5
2 6
1.2.2 La taille d’une matrice

La taille de la matrice y est donnée par la fonction size(y) :
>> size(y)
ans =
3 2
La réponse est : 3 lignes et 2 colonnes.
1.2.3 Sélection de ligne ou de colonne

La colonne j de la matrice x est donnée par : y(:,j) , pour j=2, on a :
y(:,2)=
4
5
6
La ligne i de la matrice x est donnée par : y(i,:) , pour i=2, on a :
y(2,:)=
1 5
1.2.4 La matrice Identité

Pour une matrice carrée A d’ordre n, on a sa matrice identité qui est donnée par la fonction
’eye’ .
Exemple pour n=3, on a :
>> A
A =
1 2 3
4 5 6
6 7 8
>> eye(size(A))
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

c 6
1.2.5 Le produit
Soient de matrices A de n × m et B de p × q, alors le produit C = A × B n’ est possible que
si m = p. Dans ce cas, le coefficient c11 de cette matrice C s’écrit :
c11 = a11 b11 + a12 b12 + . . . + a1m bp1
1.2.6 La matrice inverse

Soit A une matrice non nulle. La matrice inverse A−1 de A (si elle existe) est telle que :
A ∗ A−1 = Id
Dans Matlab, cette matrice inverse est donnée par :
A^(-1)=inv(A)
Exemple
>>A=[1 3 5;2 -1 0;5 4 3]

A =
1 3 5
2 -1 0
5 4 3
La matrice inverse de A est :
>>inv(A)
ans =
-0.0682 0.2500 0.1136
-0.1364 -0.5000 0.2273
0.2955 0.2500 -0.1591
1.2.7 Autres fonctions

Soit x=[2 15 0] une matrice ligne (vecteur ligne).
sort(x) , donne une matrice ligne dont les éléments sont en ordre croissant :
>>sort(x)
ans =
0 2 15
sort(x’) , donne une matrice colonne dont les éléments sont en ordre croissant :
>>sort(x’)
ans =
0
2
15
sum(x) calcule la somme des éléments de la matrice x.
>>sum(x)
ans =
17

c 7
Pour trouver le maximum et le minimum du vecteur x, on utilise les fonctions max(x) et

min(x) :
>>max(x)
ans =
15
1.3 Calcul des polynômes

Pour calculer le polynôme suivant : S = πR2 .pour R = 4, on suit les étapes suivants :
>> R=4 % affectation de la valeur 4 à la variable R
>> S=pi*R^2
>> S=
50.2655 % Le résultat de calcul
4x2 −2x+3
Pour le deuxième polynôme : P (x) = x3 +1
>> x=2
>> p=(4*x^2-2*x+3)/(x^3+1)
>> p =
1.6667
Opérateurs logiques :
= L’opérateur ’NON’ (différent)
(==) L’opérateur ’égal’
& L’opérateur ’et’
k L’opérateur ’ou’
> supérieur à
< inférieur à
>= supérieur ou égal
<= inférieur ou égal
1.4 Le teste conditionnel ’if’

Ce test s’emploie, souvent, dans la plupart des programmes, il permet de réaliser une suite
d’instructions si sa condition est satisfaisante.
Le test if a la forme générale suivante : if-elseif-else-end
if <condition 1>
<instruction 1.1>
<instruction 1.2>
...
elseif <condition 2>
<instruction 2.1>
<instruction 2.2>
...
...
else
<instruction n.1>
<instruction n.2>
...
end

c 8
où <condition 1>, <condition 2>, ... représentent des ensembles de conditions logiques,
dont la valeur est vrai ou faux. La première condition ayant la valeur 1 entraîne l’exécution de
l’instruction correspondante.
Si toutes les conditions sont fausses, les instructions <instruction n.1>,<instruction n.2>, ...
sont exécutées.
Si la valeur de <condition k> est zéro, les instructions <instruction k.1>, <instruction k.2>,
...ne sont pas exécutées et l’interpréteur passe à la suite.
Exemple 1
>> V=268.0826
V =
268.0826
>> if V>150, surface=pi*R^2, end
surface =
50.2655
Exemple 2 Pour calculer les racines d’un trinôme ax2 +bx+c, on peut utiliser les instructions
suivantes :
if a ~= 0
sq = sqrt(b*b - 4*a*c);
x(1) = 0.5*(-b + sq)/a;
x(2) = 0.5*(-b - sq)/a;
elseif b ~= 0
x(1) = -c/b;
elseif c ~= 0
disp(’Equation impossible’);
else
disp(’ L’’equation est une egalite’);
end
Remarques
– La double apostrophe sert à représenter une apostrophe dans une chaîne de caractères.
Ceci est nécessaire car une simple apostrophe est une commande Matlab.
– La commande disp(”) affiche simplement ce qui est écrit entre crochets.
1.5 Les boucles

1.5.1 La boucle for
Une boucle for répète des instructions pendant que le compteur de la boucle balaie les
valeurs rangées dans un vecteur ligne.
Exemple Pour calculer les 6 premiers termes d’une suite de Fibonacci fi = fi−1 + fi−2 ,avec
f1 = 0 et f2 = 1, on peut utiliser les instructions suivantes :
>> f(1) = 0; f(2) = 1;

>> for i = 3:6
f(i) = f(i-1) + f(i-2);
end

c 9
Remarques
– L’utilisation du point-virgule ( ;) permet de séparer plusieurs instructions Matlab entrées
sur une même ligne.
– On pourrait remplacer la seconde instruction par : » for i = [3 4 5 6]
– Matlab n’exécute l’ensemble du bloc de commandes qu’une fois tapé end.
1.5.2 La boucle ’while’

La boucle while répète un bloc d’instructions tant qu’une condition donnée est vraie.
Exemple Les instructions suivantes ont le même effet que les précédentes :
>> f(1) = 0; f(2) = 1; k = 3;

>> while k <= 6
f(k) = f(k-1) + f(k-2); k = k + 1;
end
Remarque
– Le compteur ’k’ est ajouté ici, ce compteur doit être initialisé et incrémenté pour assurer
la condition d’arrêt de la boucle while.
1.6 Écriture de programmes Matlab

Un nouveau programme Matlab doit être placé dans un fichier, appelé m-fichier, dont le nom
comporte l’extension .m.
Les programmes Matlab peuvent être des scripts ou des fonctions.
1.6.1 Les scripts

Un script est simplement une collection de commandes Matlab, placée dans un m-fichier et
pouvant être utilisée interactivement.
3 2
Exemple Pour le polynôme : g(x) = 2xx2 −3x+5.e
+7x +3x+1
−x
On peut écrire un script, qu’on choisit d’appeler TP, comme suit :
g=(2*x^3+7*x^2+3*x-1)/(x^2-3*x+5*exp(-x));
ce script est enregistré dans le fichier TP.m.

Pour le lancer, on écrit simplement l’instruction TP après le prompt » Matlab.
>> x=3 ;
>> TP
g=
502.1384
1.6.2 Les fonctions

Une fonction est aussi définie dans un m-fichier qui commence par une ligne de la forme :
function [out1,... ,outn]=name(in1 ,... ,inm) .
Où :

c 10
– out1,...,outn sont les variables de sortie sur lesquels les résultats de la fonction sont
retournés ;
– in1,...,inm sont les variables d’entrée, qui sont nécessaire à la fonction pour accomplir
ses calculs.
Exemple 1 On définit une fonction determ , qui calcule le déterminant d’une matrice d’ordre
2:
function det=determ(A)
[n,m]=size(A);
if n==m
if n==2
det = A(1 ,1)*A(2,2)-A(2 ,1)*A(1 ,2);
else
disp(? Seulement des matrices 2x2 ?);
end
else
disp(? Seulement des matrices carrées ?);
end
return
Exemple 2 Le nombre d’or α = 1.6180339887.... Celui-ci est la limite pour k → ∞, du quotient

fk /fk−1 de deux termes consécutifs de la suite de fibonacci. On itère par exemple jusqu’à ce que
la différence entre deux quotients consécutifs soit inférieure à 10−4 :
function [Alpha ,k]=fibonacci
f(1) = 0; f(2) = 1; Alphaold = 0;
kmax = 100; tol = 1.e-04;
for k = 3:kmax
f(k) = f(k-1) + f(k-2);
Alpha = f(k)/f(k-1);
if abs(Alpha - Alphaold) < tol
return
end
Alphaold = Alpha;
end
return
L’exécution est interrompue soit après kmax=100 itérations, soit quand la valeur absolue de
la différence entre deux itérées consécutives est plus petite que tol=1.e-04. On peut alors écrire :
>> [alpha,niter]=fibonacci0
alpha =
1.61805555555556
niter =
14
Après 14 itérations, la fonction a retourné une valeur approchée dont les 5 premières déci-
males coïncident avec celles de α . Les paramètres kmax et tol peuvent être passés en entrée,
donc la fonction Fibonacci peut être modifier ainsi :
function [Alpha ,k]=fibonacci1(tol ,kmax)

f(1) = 0; f(2) = 1; alphaold = 0;

c 11
for k = 3:kmax
f(k) = f(k-1) + f(k-2);
alpha = f(k)/f(k -1);
if abs(alpha - alphaold) < tol
return
end
alphaold = alpha;
end
return
Exemple 3 La fonction suivante permet de trouver les solutions d’une équation de 2eme
degré :
function [x1,x2]= degre2(a,b,c)

delta=b^2-4*a*c;
if delta < 0
disp (’Pas de solution ...’)
else
x1= (-b-sqrt(delta))/(2*a);
x2= (-b+sqrt(delta))/(2*a);
end
return\\
Cette fonction doit être enregistrer sur le fichier : degre2.m .

Voici deux exécutions en ligne de commande :
>> [r1,r2]=degre2(1,3,1)
r1 =
-2.6180
r2 =
-0.3820
>> [r1,r2]= degre2 (1,1,1)
Pas de solution ...
Remarque
l’instruction return peut être utilisée pour forcer une interruption prématurée de la fonction
(quand une certaine condition est satisfaite).

c 12
Chapitre 2
Résolution numériques des équations

non linéaires
2.1 Introduction
Pour la résolution des d’équations non linéaires. C’est-à-dire pour une fonction f : Rn → Rn
donnée, la recherche d’un point x ∈ Rn tel que : f (x) = 0, il n’y a pas en générale un algorithme
fini pour trouver cette solution. On est donc obligé d’utiliser des méthodes itératives.
La particularité des méthodes par itération est qu’elles ne permettent de déterminer qu’une
seule racine par essai de suite d’itérations. Il faut alors rechercher les autres racines possibles
par d’autres suites d’itérations.
Dans toutes les méthodes itératives, il est nécessaire, pour éviter une divergence de la solu-
tion, de bien choisir les valeurs initiales. Celles-ci peuvent être obtenues graphiquement.
2.2 Méthode de Bissection (ou dichotomie)

Cette méthode repose sur le constat que si :
– f (x) est continue sur un intervalle [a, b] ;
– et le produit f (a).f (b) est négatif,
Alors la fonction f s’annule au moins une fois sur l’intervalle [a, b]. Les différentes étapes de
la méthode peuvent être résumées comme suit :
1. Choisir un intervalle [a0 = a; b0 = b] tel que f (a).f (b) < 0 ;
2. Calculer la valeur de la fonction en c = (a + b)/2 ;
(a) Si f (c) = 0 ; on s’arrête
(b) Sinon on retient comme nouvel intervalle :
– [a0 , c] Si f (a0 ) × f (c) < 0
– [c, b0 ] Si f (c) × f (b0 ) < 0
En respectant la condition du « 1 ». On est alors assuré de toujours encadrer la racine.
3. Répéter les étapes 2, (a) et (b) jusqu’à l’obtention de la précision désirée, c’est à dire
jusqu’à ce que : f (c) = 0 ou bien |f (c)| < e , ’e’ étant la précision désirée.
Le programme Matlab de la méthode de Bissection est donné ainsi :
function c=Bissection(a,b)
c=(a+b)/2
tol=1e-6; % C’est l’approximation désirée
while abs(f(c)) > tol
if f(a)*f(c)<0
13
Figure 2.1 – La méthode Bissection
b=c;
end
if f(c)*f(b)<0
a=c;
end
c=(a+b)/2;
end
c
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f une fonction continues sur un intervalle [a, b]. et : f (a) = m et f (b) = n alors elle prend
toutes les valeurs intermédiaires entre m et n.
Exemple 1 La fonction f (x) = x3 − x2 − 1 a une racine dans l’intervalle [1, 2]. Utiliser la
méthode de bissection pour approximer cette racine au rang de 10−4 .
On a : f (1) = −1 < 0 et f (2) = 3 > 0, alors la condition (1) est satisfaite.
Commençant avec a0 = 1 et b0 = 2, on calcule : c0 = (a0 +b 2
0)
= (1+2)
2 = 1.5 et f (c0 ) =
0.125. Alors f (1).f (1.5) < 0 la fonction change de signe dans l’intervalle [a0 , c0 ] = [1, 1.5].
pour continuer on met : a1 = a0 et b1 = c0 , donc : c1 = (a1 + b1 )/2 = (1 + 1.5)/2 = 1.25
et f (c1) = −0.609375 On a aussi, f (1.25).f (1.5) < 0, alors la fonction change de signe dans
l’intervalle [a1 , c1 ] = [1.25, 1.5]. Il y a une racine dans cet intervalle. On met a2 = c1 et b2 = b1 .
Et ainsi de suite jusqu’à aboutir aux valeurs du tableau de la Figure 2.3 . Qui nous donne la
racine r = 0.4656.
Le programme Matlab permettant de calculer la racine c est le suivant :
function [c,fc,iter]=Bissection(a,b)
c=(a+b)/2
tol=1e-5;

c 14
Figure 2.2 – La fonction f (x) = x3 − x2 − 1
Figure 2.3 – Le résultat de l’exécution du programme Matlab de l’exemple 1

c 15
iter=0;
while abs(c^3-c^2-1) > tol
if (a^3-a^2-1)*(c^3-c^2-1)<0
b=c;
end
if (c^3-c^2-1)*(b^3-b^2-1)<0
a=c;
end
c=(a+b)/2;
iter=iter+1;
end
fc=c^3-c^2-1;
Exemple 2 Soit la fonction f (x) = cosh x + cos x − 3 . On veut trouver un sous intervalle qui
contient le zéro de f dans l’intervalle [−3, 3], et ensuite calculer cette racine par la méthode de
dichotomie avec une tolérance de 10−10 .
On utilise la fonction plot(x,f)
Figure 2.4 – La fonction : f (x) = cosh x + cosx − 3
En partant de [a, b] = [−3, −1], la méthode de dichotomie converge en 34 itérations vers la

valeur α = −1.85792082914850 (avec f (α) = −3.6 ∗ 10−12 ).
De même, en prenant de [a, b] = [1, 3], la méthode de dichotomie converge en 34 itérations
vers la valeur α = 1.85792082914850 (avec f (α) = −3.6 ∗ 10−12 ).
2.3 Méthode de Newton

La méthode de Newton permet d’approcher par itérations la valeur de la racine x qui annulera
la fonction f (x) au moyen de la relation suivante :
f (xn )
xn+1 = xn − telque : f 0 (xn ) 6= 0
f 0 (xn )
La méthode de Newton ne nécessite pas de connaître un encadrement initial de la racine
cherchée. Il suffit de connaître une valeur approchée de cette racine, et cette valeur initiale x0
est utilisée pour calculer les autres valeurs par une suite d’itérations.
La fonction Matlab correspondante à la méthode de Newton :

c 16
Figure 2.5 – La Méthode de Newton
function x=Newton(x0)
tol=1e-10;
x=x0;
while abs(f(x))>tol
xi=x;
x=xi-(f(xi)/derf(xi));
iter=iter+1;
end
Exemple 1 On se propose d’appliquer cette méthode pour la recherche des racines de la

fonction non linéaire suivante : f (x) = ex − 2.cos(x)
Dans un premier temps, et pour déterminer la valeur initiale x0 on se propose de tracer la
courbe représentative de cette fonction en utilisant le programme ci-dessous :
x=-1:0.1:1;
f=exp(x)-2*cos(x);
plot(x,f); grid on;
Après exécution du programme, on obtient la courbe sur la Figure 2.6 .
D’après cette courbe, il est judicieux de choisir un x0 = 0.5 ; car f (x0 ) est proche de zéro, et
cela pour avoir une convergence rapide.
La fonction dérivée f 0 (x) a pour expression : f 0 (x) = ex + 2.sin(x). le calcule de x1 sera :
x1 = x0 − ff0(x 0) −0.1064
(x0 ) = 0.5 − 2.6075 x1 = 0.5408
Pour chercher les autres xn , c’est-à-dire la solution de f (x), on utilise le programme Matlab
de la fonction f (x) = ex − 2.cos(x) comme suit :
function [x,fx,iter]=Newton(x0)
tol=1e-10;
iter=iter+1;
x=x0;
while abs(e^x-2.cos(x))>tol
xi=x;
x=xi-(e^xi-2.cos(xi))/( e^xi+2.sin(xi));

c 17
Figure 2.6 – La fonction : f (x) = ex − 2.cos(x)
iter=iter+1;
end
fx=e^x-2.cos(x);
function f=f(x)
f=exp(x)-2*cos(x);
Et le programme Matlab de la dérivée de cette fonction f 0 (x) = ex + 2.sin(x).
function f=derf(x)
f=exp(x)+2*sin(x);
Après exécution de ce programme on obtient :
>> Newton
x =
0.5398
Exemple 2 Utiliser la méthode de Newton pour calculer la racine carrée d’un nombre positif
0 a0 . Procéder de manière analogue pour calculer la racine cubique de 0 a0 .
Les racines carrées et cubiques d’un nombre 0 a0 sont respectivement les solutions des équations
x2 = a et x3 = a .
En commençant par le racine carrée de : a = 3, on va premièrement tracer la courbe de la
fonction f (x) = x2 − 3 comme suit :
>> x=0:0.01:5;
>> f=x.^2-3;
>> plot(x,f); grid on
d’après le graphe on va choisir x0 = 1.5 et on va exécuter le programme de la méthode de

newton avec : fonctionf (x)
f=x^2-3;
et la dérivée f 0 (x)

c 18
Figure 2.7 – La fonction de racine carrée de a = 3
derf=2*x;
le résultat de l’exécution avec : tol=1e-5 .
>> [x,fx,iter]=Newton(1.5)
x =
1.73205081001473
fx =
8.472674117854240e-009
iter =
3

c 19

c 20
Chapitre 3
Résolution numériques des systèmes

d’équations linéaires
Le but de ce chapitre est de passer en revue quelques méthodes de résolution des systèmes
de m équations à n inconnues :


 a11 x1 +a12 x2 +··· +a1n xn = b1

 a21 x1

+a22 x2 +··· +a2n xn = b2
.. .. .. .. ..


 . . . . .

 a x
m1 1 +am2 x2 + · · · +amn xn = bm
Dans ce système, on a A = aij connue, et b = bi connues et x = xj inconnues (i = 1, ..., m et

j = 1, .., n), alors :
1. Si m > n →système sur-déterminé,
2. Si m < n → système sous-déterminé.
3. Si m = n → système déterminé, une solution unique (si det(A)6=0 ),
Dans le dernier cas le système admet une unique solution que l’on peut obtenir par différentes
méthodes.
Soit par exemple un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues (x1 , x2 , x3 ) :

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

 a x +a x +a x = b
31 1 32 2 33 3 3
Celui-ci peut aussi s’écrire sous forme matricielle :

     
a11 a12 a13 x1 b1
 a21 a22 a23  .  x2  =  b2 
     
a31 a32 a33 x3 b3
3.1 Méthode Matricielle(matrice inverse)

Si A−1 est la matrice inverse de A , le système A × x = B s’écrit aussi :
x = A−1 × B
La connaissance de A−1 permet alors de calculer directement la solution x par produit

matriciel direct.
21

 x1 + 3x2 + 5x3
 = 6
Exemple Soit le système d’équations suivant : 2x − x
1 2 = 0
= −1

 5x + 4x + 3x
1
   2  3
1 3 5 6
On a la matrice A=  2 −1 0  et la matrice B=  0 
   
5 4 3 −1
La solution par Matlab est :
>>A=[1 3 5;2 -1 0; 5 4 3];
>>B=[6;0;-1];
>>x=A^(-1)*B
x=
-0.5227
-1.0455
1.9318
   
x1 −0.5227
Alors la solution est la matrice x =  x2  = −1.0455 
   
x3 1.9318
3.2 Méthode du pivot (Gauss-Jordan)

La méthode du pivot est plus commode pour les systèmes denses d’ordre élevé. cette méthode
basée sur le constat suivant : le système linéaire reste invariant pour les trois opérations suivantes
effectuées dans n’importe quel ordre et un nombre de fois indéterminé :
1. Permutation de lignes de la matrice A (et donc de b) ;
2. Multiplication d’une ligne par une constante non nulle ;
3. Addition d’une ligne à une autre ligne.
Prenons l’exemple d’un système de 3 équations à 3 inconnues :
     
a11 a12 a13 x1 b1
 a21 a22 a23   x2  =  b2 
     
a31 a32 a33 x3 b3
Dans cette méthode, on choisit successivement chaque ligne comme ligne pivot, le pivot étant
le premier élément non nul de la ligne. On divise alors la ligne N˚1 du système par a11 a :
 a a12 a13 b1
    
11
x1
 a11 a11 a11
  a11 
 a21 a22 a23   x2  =  b2 
 
a31 a32 a33 x3 b3
on obtient alors le système :

     
1 a012 a013 x1 b01
 a21 a22 a23   x2  =  b2 
     
a31 a32 a33 x3 b3
On annule ensuite le premier terme de chacune des autres lignes, en retranchant à la 2ème
ligne la 1ère ligne multipliée par a21 , à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par a31 , etc ...
     
1 a012 a013 x1 b01
 a21 − a21 a22 − a21 ∗ a12 a23 − a21 ∗ a013 
0
 x2  =  b2 − a21 × b01 
     
a31 a32 a33 x3 b3

c 22
     
1 a012 a013 x1 b01
 0 a022 a023 
  0 
 x2  =  b2 
  
a31 a32 a33 x3 b3
de même pour la troisième ligne :
     
1 a012 a013 x1 b01
0
a22 a023
  0
0  x2  =  b2
   
  
0 0
a31 − a31 a32 − a31 ∗ a12 a33 − a31 ∗ a13 x3 0
b3 − a31 ∗ b1
Alors :      
1 a012 a013 x1 b01
 0 a022 a023 
  0 
 x2  =  b2 
  
0 a032 a033 x3 b03
on procède ainsi avec la deuxième linge :
1 a012 a013 b01

     
x1
 0 a022 a023   b0 
 x2  =  a02 
 
 a0 a022 a022 
22 22
0 a032 a033 x3 b03
alors :      
1 a012 a013 x1 b01
 0 1 a0023 
  00 
 x2  =  b 
  
0 a032 a033 x3 b03
Exemple Soit à résoudre le système d’équation suivant par la méthode de Gauss :

 
4x1 + x2 + x3 = 7
 x1 − 7x2 + 2x3 = −2 
 
3x1 +4x3 = 11
On obtient :      
4 1 1 x1 7
 1 −7 2  x = −2
     
 2   
3 0 4 x3 11
On définit tout d’abord la matrice argument dans Matlab par :
 
4 1 1 7
A =  1 −7 2 −2 
 
3 0 4 11
On commence par diviser la première ligne par le Pivot=4.

   
4 1 1 7
4 41 14 14 74
4 4
A =  1 −7 2 −2  =  1 −7 2 −2 
   
3 0 4 11 3 0 4 11
On annule ensuite le premier terme des lignes 2 et 3, en retranchant à la 2ème ligne la 1ère ligne
multipliée par ’1’, à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par ’3’,
 1 1 7   1 1 7 
1 4 4 4 1 4 4 4
   
   
1 1 7
A= 1−1 −7 − 2− −2 − = 0 − 29 7
− 15
   
 4 4 4   4 4 4 

   
1 1 7
3−3 0−3× 4 4−3× 4 11 − 3 × 4 0 − 43 13
4
23
4

c 23
Ensuite on diviser la deuxième ligne par le Pivot= −29

4
1 1 7
1
   1 1 7 
4 4 4 1 4 4 4
   
 −29 7 −15
  
−7 15
  
A=
 0
4 4 4 = 0 1

−29 −29 −29   29 29 
 4 4 4   
  
0 − 43 13 23 0 − 43 13
4
23
4
4 4
On annule ensuite le deuxième terme des lignes 1 et 3, en retranchant à la 1ère ligne la 2ème
ligne multipliée par ’ 14 ’, à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par ’ −3
4 ’,
 1 1 1 1 −7 7 1 15   9 188 
1 4 − 4 ×1 4 − 4 × 29 4 − 4 × 29 1 0 29 116
   
   
−7 15 −7 15
A= 0 1 = 0 1
   
 29 29   29 29 

   
−3
0 4 − ( −3
4 × 1)
13
4 − ( −3
4 ×
−7
29 )
23
4 − ( −3
4 ×
15
29 ) 0 0 356
116
712
116
Dans l’étape suivante on diviser la troisième ligne par le Pivot= 356

116
9 188
1 0
   9 188 
29 116 1 0 29 116
   
  
 0 1 −7 15 
−7 15
 
A= = 0 1 
29 29
   29 29 

   
 356 712 
0 0 116
356
116
356 0 0 1 2
116 116
Comme a été fait avant on annule ensuite le troisième terme des lignes 1 et 2, en retranchant
9
à la 1ère ligne la 3ème ligne multipliée par ’ 29 ’, à la 2ème ligne la 3ème ligne multipliée par ’ −7
29 ’.
 9 9 188 9 
1 0 29 − ( 29 × 1) 116 − ( 29 × 2)  



 1 0 0 1
−7
A= 0 1 − ( −7
29 × 1)
15
− ( −7
× 2) = 0 1 0 1 
   
 29 29 29 


  0 0 1 2
0 0 1 2
La solution obtenue est alors : x1 = 1 x2 = 1 x3 = 2
Programme Matlab
Le programme Matlab correspondent à la résolution d’un système de 3 équations à l’aide de la
méthode de Gauss-Jordan est donné par la fonction Matlab suivante :
function [x1,x2,x3]=Gauss(A)
disp(’Le premier pivot A(1,1)’)

Pivot=A(1,1);
for j=1:4
A(1,j)=A(1,j)/A(1,1);
end
Pivot=A(2,1);
for j=1:4
A(2,j)=A(2,j)- Pivot*A(1,j);
end

c 24
Pivot=A(3,1);
for j=1:4
A(3,j)=A(3,j)- Pivot*A(1,j);
end
disp(’Le deuxième pivot A(2,2)’)

Pivot=A(2,2);
for j=2:4
A(2,j)=A(2,j)/Pivot;
end
Pivot=A(1,2);
for j=2:4
A(1,j)=A(1,j)- Pivot*A(2,j);
end
Pivot=A(3,2);
for j=2:4
A(3,j)=A(3,j)- Pivot*A(2,j);
end
disp(’Le troisième pivot A(2,2)’)

Pivot=A(3,3);
for j=3:4
A(3,j)=A(3,j)/Pivot;
end
Pivot=A(1,3) ;
for j=3:4
A(1,j)=A(1,j)-Pivot*A(3,j);
end
Pivot=A(2,3);
for j=3:4
A(2,j)=A(2,j)- Pivot*A(3,j);
end
x1=A(1,4);
x2=A(2,4);
x3=A(3,4);
3.3 Méthode de Gauss-Seidel
La méthode de Gauss seidel est une méthode itérative pour le calcul de la solution d’un sys-
(k) (k) (k)
tème linéaire Ax = b avec A ∈ Rn×n , elle construit une suite de vecteurs : x(k) = (x1 , x2 , ..., xn )
convergent vers le vecteur solution exacte x = (x1 , x2 , ..., xn ) pour tout vecteur initiale x(0) =
(0)
(x1 (0), x2 , ..., xn (0) lorsque k tend vers ∞.

c 25
soit le système de 3 équations à trois inconnues :


 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

 a x +a x +a x = b
31 1 32 2 33 3 3
ce système peut s’écrit ainsi :


 x1
 = (b1 − a12 x2 − a13 x3 )/a11
x2 = (b2 − a21 x1 − a23 x3 )/a22
 x = (b − a x − a x )/a

3 3 31 1 32 2 33
À la première itération, on calcule à partir du vecteur initial :

(0) (0) (0)
x0 = (x1 , x2 , x3 )
Les valeurs de x de la première itération se calculent ainsi :


(1) (0) (0)
 x1

 = (b1 − a12 x2 − a13 x3 )/a11
(1) (1) (0)
x
2 = (b2 − a21 x1 − a23 x3 )/a22
 x(1) (1) (1)

= (b3 − a31 x1 − a32 x2 )/a33

3
Et on continue jusqu’à aboutir à une précision suffisante.
Exemple Considérons le système linéaire :

 
4x1 + 2x2 + x3 = 4
 −x1 + 2x2 = 2 
 
2x1 + x2 + 4x3 = 9
On peut le mettre sous la forme :
 
x1 = (4 − 2x2 − x3 )/4
 x2 = (2 + x1 )/2
 

x3 = (9 − 2x1 − x2 )/4
Soit x(0) = (0, 0, 0) le vecteur initiale.
Itération N 1
En partant de x(0) = (0, 0, 0)
 
x1 = (4 − 2(0) − (0))/4 = 1
 x2 = (2 + 1)/2 = 3/2 
 
x3 = (9 − 2(1) − 3/2)/4 = 11/8
x(1) = (1, 32 , 11
8 )
Itération N 2
En partant de : x(1) = (1, 32 , 11
8 )
−3
 
x1 = (4 − 2( 23 ) − ( 11
8 ))/4 = 32
 x2 = (2 − −3 )/2 = 61
 
32 64 
−3 61 527
x3 = (9 − 2( 32 ) − ( 64 ))/4 = 256
x(2) = ( −3 61 527
32 , 64 , 256 )

c 26
Itération N 3
En partant de : x(2) = ( −3 61 527
32 , 64 , 256 )
 
x1 = (4 − 2( 61 527
64 ) − ( 256 ))/4 = 9
1024
9 2057
x = (2 + )/2 =
 
 2 1024 2048 
9 2057 16339
x3 = (9 − 2( 1024 ) − ( 2048 ))/4 = 8192
9 2057 16339 ∼
x(3) = ( 1024 , 2048 , 8192 ) = (0.0087, 1.0043, 1.9945)
La suite x(3) converge vers la solution du système x = (0, 1, 2).
Programme Matlab de la méthode

function x=Gauss_seidel(a,b,Iter,x0)
x=x0;
for i=1:Iter %Les itérations
x(1)=(b(1)-x(3)*a(1,3)-x(2)*a(1,2))/a(1,1);
x(2)=(b(2)-x(3)*a(2,3)-x(1)*a(2,1))/a(2,2);
x(3)=(b(3)-x(2)*a(3,2)-x(1)*a(3,1))/a(3,3);
end
x
Remarque :
Le Iter représente le nombre d’itérations.
3.3.1 Test d’arrêt

on décide d’arrêter la méthode de Gausse seidel lorsque la différence (A*x) sera inérier à une
tolérance préciser à l’avance Tol. on modifier ainsi le programme précédent.
Programme Matlab avec test d’arrêt

function [x,iter]=Gauss_seidel(a,b)
iter=0;
x=[0,0,0];
C=(a*x’)-b;
tol=1e-5;
while abs(C(1))>tol | abs(C(2))>tol | abs(C(3))>tol %Les itérations
x(1)=(b(1)-x(3)*a(1,3)-x(2)*a(1,2))/a(1,1);
x(2)=(b(2)-x(3)*a(2,3)-x(1)*a(2,1))/a(2,2);
x(3)=(b(3)-x(2)*a(3,2)-x(1)*a(3,1))/a(3,3);
iter=iter+1;
C=(a*x’)-b ;
end

c 27

c 28
Chapitre 4
Intégration numérique
Dans ce chapitre, nous proposons des méthodes numériques pour le calcul approché de :
Z b
I(f ) = f (x)dx
a
Lorsqu’il s’agit d’une formule simple d’une fonction f (x), cet intégrale peut se fait analy-
tiquement et nous n’avons pas besoin d’utiliser les méthodes numériques. Alors que dans les
cas où la formule de f (x) est compliquée ou lorsque nous avons juste des mesures discrètes et
aucune formule mathématique qui relie ces mesures, on fait recours aux méthodes numériques.
Autrement dit, les méthodes numériques interviennent lorsque la fonction est compliquée ou
dans le cas d’une mesure expérimentale.
Calculer numériquement l’intégrale d’une fonction f (x) dans l’intervalle [a, b] revient à cal-
culer la surface délimitée par l’axe des abscisses, les deux droite y = a et y = b et la portion de
la courbe de f délimitée par ces deux droites.
Figure 4.1 – L’intégrale d’une fonction f
4.1 Méthode du point milieu

La formule classique du point milieu (ou du rectangle) est obtenue en remplaçant f par sa
valeur au milieu de l’intervalle [a,b].
29
Figure 4.2 – Formule du point milieu
la formule de point milieu simple est obtenue en utilisant la formule suivante sur l’intervalle
[a,b] :
b−a
Ipm (f ) = (b − a)f ( )
2
4.2 Méthode du point milieu composite

La méthode du point milieu composite est obtenue en subdivisant l’intervalle [a, b] en n
sous-intervalles Ik = [xk−1 , xk ], k = 1, ..., n, avec xk = a + k × h, k = 0, ..., n et h = (b − a)/n.
En répétant pour chaque sous intervalle la formule du point milieu précédente, en posant
x +x
x̄k = k−12 k , l’intégrale de la fonction est alors la somme des intégrales obtenus, alors on a :
c
Ipm (f ) = h × f (x¯1 ) + h × f (x¯2 ) + ... + h × f (x¯n )
On obtient alors la formule générale suivante :

n
X
c
Ipm (f ) = h × f (x¯k )
k=1
Figure 4.3 – Formule du point milieu composite

c 30
Remarque :
L’indice pm signifie "point milieu", et l’exposant c signifie "composite".
4.2.1 Programme Matlab (Méthode du point milieu composite)

function I=PointMilieuComposite(a,b,n)
h=(b-a)/n;
I=0;
x=a+h/2;
for i=1:n
I=I+f(x);
x=x+h;
end
I=h*I;
Exemple soit à intégrer la fonction f (x) = 3x2 +2x dans l’intervalle [1, 2]. qui est une fonction
très simple à intégrer analytiquement.
Z 2 Z 2
f (x)dx = (3x2 + 2x) = [x3 + x2 ]21 = (8 + 4) − (1 + 1) = 10
1 1
On utilise la méthode du point milieu avec n = 4, on a :
h = 2−14 = 0.25, et x¯1 =
1+1.25
2 = 1.1250, x¯2 = 1.3750, x¯3 = 1.6250, x¯4 = 1.8750
l’intégrale :
I = 0.25[f (1.1250) + f (1.3750) + f (1.6250) + f (1.8750)] = 9.9844
On augmentant n à 8 on va avoir h = 18 = 0.125 on obtient le nouveau intégrale :
I = 0.125[f (1.0625) + f (1.1875) + f (1.3125) + f (1.4375) + f (1.5625) + f (1.6875) + f (1.8125) +
f (1.9375)] = 9.9961
En utilisant le programme Matlab PointMilieuComposite avec n = 100 on obtient le résultat :
>>format long; I=PointMilieuComposite(1,2,100)
I =
9.99997500000000
Remarque
l’instruction ’format long’ est utilisée pour afficher 15 chiffres après la virgule.
4.3 Méthode des trapèzes

Dans la méthode du trapèze on joint f (xk ) et f (xk−1 ) dans l’intervalle [x0 , xn ] . Le calcul de
l’intégrale dans ce cas revient au calcul de l’aire d’un trapèze comme illustrer à la Figure 4.4.
(P etite_base + Grande_base) × Hauteur
S=
2
b−a
On a : Petite base et grande base correspondent à f (xk ) et f (xk−1 ) et Hauteur = h (h = n )
on donne la formule de trapèze ainsi :
n
hX
It (f ) = (f (xk−1 ) + f (xk ))
2 k=1

c 31
Figure 4.4 – Méthode des Trapèzes
Programme Matlab
function I=trapeze(a,b,n)
h=(b-a)/n;
I =0;
xi=a;
for i=1:n
xf=xi+h;
I = I+(f(xi)+f(xf));
xi=xf;
end
I=h/2*I
4.3.1 La méthode trapz de Matlab

Il existe dans Matlab une fonction trapz qui implémente la méthode des trapèzes.
Exemple En utilisant l’exemple précédent de la fonction f (x) = 3x2 + 2x avec :

h = 1/4
>> x=[1:1/4:2];
>> Y=3*x.^2+2*x;
>> I=trapz(x,Y)
I =
10.03125000000000
h = 1/8
>> x=[1:1/8:2];
>> Y=3*x.^2+2*x;
>> I=trapz(x,Y)
I =
10.00781250000000

c 32
4.4 Méthode de Simpson

La méthode d’intégration de simpson est basé sur une division de l’intervalle de dérivation
[a, b] en sous intervalles de taille fixe h. et ensuite de diviser la longueur h en 3. Tel que :
Z b
h
Is (f ) = f (x)dx = [f (x1 ) + 4f (x2 ) + 2f (x3 ) + . . . + 4f (x2i ) + 2f (x2i+1 ) + . . . + f (xn+1 )]
a 3
h X X
Is (f ) = [f (x1 ) + f (xn+1 ) + 4 f (xi ) + 2 f (xi )]
3 (i_paire) (i_impaire)
Figure 4.5 – Méthode de Simpson
Le programme Matlab suivant correspond à l’exemple de f (x) = 3x2 + 2x.
Programme Matlab
function I=Simpson(a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=[a:h:b];
f=3*x.^2+2*x;
I=f(1)+f(n+1);
for i=2:2:n
I=I+4*f(i);
end
for i=3:2:n
I=I+2*f(i);
end
I=h/3*I;

c 33
en exécutant ce programme sur l’intervalle [1,2] avec 8 sous intervalles :
>> I=Simpson(1,2,8)
I =
10
On remarque que le résultat pour ce programme est très précis.

√
Exemple 2 Évaluer l’intégrale de f (x) = 1 + ex sur l’intervalle [0,2] avec la méthode de
Simpson pour n=2 , n=4 , n= 8 et n=16. puis comparer les résultats avec la valeur exact de
l’intégrale I = 4.006994 ;
En appliquant le programme Matlab de la méthode de simpson à cette fonction :
function I=Simpson(a,b,n)
h=(b-a)/n;
x=[a:h:b];
f=sqrt(1+exp(x));
I=f(1)+f(n+1);
for i=2:2:n
I=I+4*f(i);
end
for i=3:2:n
I=I+2*f(i);
end
I=h/3*I;
Les résultats de l’exécution de ce programme sont donnés ci-dessous :
>> format long;

>> I=Simpson(0,2,2)
I =
4.00791301203099
>> I=Simpson(0,2,4)
I =
4.00705492785743
>> I=Simpson(0,2,8)
I =
4.00699806600175
>> I=Simpson(0,2,16)
I =
4.00699446417137
La comparaison de ces résultat avec la valeur exacte I = 4.006994 montre qu’on augmentant le
nombre de sous intervalles n la précision du calcul s’augmente.

c 34
Chapitre 5
Travaux pratiques
35
5.1 TP 1 : Introduction à Matlab

Exercice 1 (Quelques commandes Matlab)
Commençant par tester les commandes suivantes :
– clock : affiche l’année, le mois, le jour, l’heure, les minutes et les secondes.
– date : Affiche la date.
– ans : quand on introduise des instructions anonymes (sans variables en sortie), le matlab
considère une variable ’ans’ par défaut pour enregistrer le résultat.
– input : permet de lire une valeur à partir du clavier (l’instruction habituelle lire) Exemple :
x = input (’taper un nombre : ’)
– disp : permet d’afficher un tableau de valeurs numériques ou de caractères. L’autre façon
d’afficher un tableau est de taper son nom. La commande ’disp’ se contente d’afficher le
tableau sans écrire le nom de la variable, ce qui peut améliorer certaines présentations. On
utilise fréquemment la commande disp avec un tableau qui est une chaîne de caractères
pour afficher un message. Exemple :
>> disp(’la valeurs saisie est erronée’).
– clear : permet de détruire une variable de l’espace de travail (si aucune n’est spécifiée,
toutes les variables seront effacées).
– who : donne la liste des variables définies dans l’espace de travail actuel (essayer whos).
– whos : donne la liste des variables définies dans l’espace de travail avec plus de détails.
– clc : effacer le contenu de la fenêtre des commandes et affiche uniquement l’invite « » »
– Help : on utilise cet commande pour obtenir l’aide sur une méthode donnée.
Exercice 2 (Calcul numérique)

Utiliser Matlab pour faire les calculs suivants (en ligne de commande) :
X=1+1/2 ; y=X2+1 ; y1=x+1 2+1=y2 ; 3y=5+0.5 ; z1=2x, z1=2.x, z1=2*x, 1+1 , 102 -5, 5/2 .
Exercice 3
Donner la suite de commandes Matlab pour calculer les formules suivantes :
V = 43 πR3 où R = 4cm
4x2 −2x+3
P (x) = x3 +1
où x = 2
x = 2cos(π)
x2 +2x
y= 2
Exercice 4
Utiliser la fenêtre de commandes Matlab pour créer les matrices suivantes :
x1=( 1 2 3 4 )
x2=(1 3 5 7 9)
x3=(15

12 
963)
1
 8 
 
x4 =  2 
 
 
 5 
9

c 36
 
1
 2 
La matrice transposé de x1, x10 = 
 
3

 
4
 
1 2 3
x5 =  4 5 6 
 
7 8 9
Exercice 5
Soit un vecteur y contenant des valeurs comprises entre −6π et 6π avec un pas de 0.001. Soit
deux fonctions h et i définie par :
h(x) = sin( π4 x) et i(x) = cos( π4 x)
Ecrire un script Matlab représentant h et i en fonction de y sur le même graphe.
Gestion des axes

Les différentes fonctions suivantes permettent de gérer les labels des axes et commentaires
sur les figures, ainsi que diverses fonctions pour manipuler les graphiques.
– title : title(’Texte du titre’) Ajoute un titre à la figure.
– xlabel : xlabel(’Unité des x’)
– ylabel : ylabel(’Unité des y’)
– legend : legend(’Nom de la courbe 1’,’nom courbe 2’, ...)
– grid : grid on, grid off, quadrille ou non le graphique.
– clf : efface la figure en cours d’utilisation.
– ginput : ginput(n) récupère les coordonnées de n points cliqués à la souris dans la figure
en cours.
Série TP N= 01 (Supplémentaire)
Exercice 1
Ecrire un script MATLAB qui permet de calculer les éléments de la matrice C, la somme de
deux matrices A et B de dimensions 1 × 3 chacune.
Exercice 2
 
e11
Soit deux matrice D et E données comme suit : D = d11 d12 d13 et E =  e21 
 
e31
Ecrire une fonction MATLAB permettant de calculer le produit D × E.
Exercice 3
Ecrire un script qui permet de lire une matrice saisie par l’utilisateur et l’informe si elle est
carrée.
Exercice 4
Ecrire un programme MATLAB qui permet de retourner la transposé A’ d’une matrice A
(2 × 3) saisie par l’utilisateur. En calculant ses éléments.

c 37
Exercice 5
Ecrire une fonction MATLAB qui lit une matrice carré A et donne son inverse A−1 (s ?il
existe) Remarque : il est possible d ?inverser une matrice si :
– Elle est carrée.
– Son déterminant n ?est pas null.
Exercice 6
Ecrire une fonction MATLAB permettant de remplacer les éléments de diagonale d ?une
matrice carrée saisie par l ?utilisateur par des zéros.
Exercice 7
Ecrire un script MATLAB pour construire une matrice triangulaire supérieure de dimension
10 ayant des 2 sur la diagonale principale et des ?3 sur le reste des éléments.
Exercice 8
Écrire les instructions MATLAB permettant d’interchanger la troisième et la septième ligne
des matrices construites à l’Exercice précédent, puis les instructions permettant d’échanger la
quatrième et la huitième colonne.
Exercice 9
Ecrire une fonction MATLAB permettant de calculer la surface d’un disque. Surf ace =
pi ∗ R2 / R = Rayon
Exercice 10
Ecrire une fonction MATLAB permettant de calculer le périmètre et la surface d’un rectangle
en connaissant son largeur et longueur.

c 38
5.2 TP 2 : Résolution numérique d’équations non linéaires

Exercice 1
Trouver des encadrement pour les 3 racines de la fonction suivante utilisant les fonctionnalités
graphiques de Matlab :
f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6;
Exercice 2
En utilisant les fonctionnalités graphiques de MATLAB, localiser la racine positive de l’équation :
f (x) = 2sin(x) − x
Exercice 3
Appliquer la méthode de dichotomie, pour trouver la valeur approchée de la racine de f (x)
définie dans l’exercice 5.2.
Exercice 4
En utilisant la méthode de dichotomie on désire trouver un zéro de la fonction :
f (x) = x.sin(x) − 1
1. Montrer que l’intervalle [0; 2] peut être choisi comme intervalle initial pour cette recherche.
2. Appliquer l’algorithme et calculer la valeur approchée de la racine et de la fonction.
3. Quel est le nombre maximal d’itérations nécessaires pour atteindre une précision sur la
racine de 103
Exercice 5
Soit la fonction : f (x) = −5x3 +39x2 −43x−39. On cherche à estimer x ∈ [1; 5] tel que f (x) = 0.
Exercice 6
Soit la fonction f (x) = e−2x − cos(x) − 3
1. Vérifier que le zéro de cette fonction est situé dans l’intervalle [−1; 0] ;
2. Calculer la valeur de ce zéro par la méthode de Newton avec comme point initial le point
x0 = 0.
Exercice 7
Trouver la racine ’c’ de la fonction f (x) = x3 + 4x2 + 7 dans le voisinage de x0 = −4, avec une
précision de 5 places decimal.

c 39
5.3 TP 3 :Résolution numériques des systèmes d’équations li-

néaires
Exercice 1
Résoudre par la méthode de la matrice inverse (matricielle) les systèmes linéaires suivants :
 

 2x2 + x3 = −8 
 x1 − 2x2 − 6x3 = 12
x1 − 2x2 − 3x3 = 0 2x1 + 4x2 + 12x3 = −17
 −x

+ x2 + 2x3 = 3

 x1 − 4x2 − 12x3 = 22
1
Exercice 2
En se basant sur votre cours en particulier la méthode de la matrice inverse,écrire le pro-
gramme Matlab permettant de résoudre un système de deux d’équations de deux variables
x1 , x2 .
Exercice 3
résoudre par le programme de l’exercice précédent le système linéaire suivant :
(
x1 + 5x2 = 7
−2x1 − 7x2 = −5
Exercice 4
Résoudre par la méthode de Gauss le système linéaire suivant :

 4x1 + 2x2
 − x3 = 1
3x − 5x2
1 + x3 = 4

 x
1 + 2x3 = 3
Exercice 5
En se basant sur votre cours en particulier la méthode de Gauss, écrire le programme Matlab
permettant de résoudre un système de deux d’équations de deux variables x1 , x2 .
Exercice 6
résoudre par le programme Matlab de l’exercice précédent (Gauss) le système linéaire sui-
vant : ( (
7x1 − x2 = 6 −4x1 + 2x2 = −6
x1 − 5x2 = −4 3x1 − 5x2 = 1
Exercice 7
Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode de Gauss-seidel en posant x(0) =
(0, 0, 0) :
 
 5x1 + x2 − x3 = 4
  4x1 +
 x2 + x3 = 7
x1 + 4x2 + 2x3 = 15 x1 − 7x2 + 2x3 = −2
 x − 2x + 5x = 12
 
 3x 4x3 = 11
1 2 3 1

c 40
Exercice 8
En se basant sur votre cours en particulier la méthode de Gauss-seidel, écrire le programme
Matlab permettant de résoudre un système de deux d’équations de deux variables x1 , x2 . En
utilisant la méthode de Gauss-Seidel.
Exercice 9
résoudre par le programme Matlab de l’exercice précédent (Gauss-seidel) le système linéaire
suivant :
(
3x1 − x2 = 2
x1 + 4x2 = 5
Exercice 10
Démontrer que la méthode de Gauss-seidel vace x(0) = (0, 0, 0)diverge pour les systèmes
suivants :

( (
 x1
 + 3x2 − x3 = 5
x1 − x2 = −1 −x1 − 4x2 = 1
3x1 − x2 = 5
2x1 + x2 = 3 3x1 − 2x2 = 2 
 x2 + 2x3 = 1
échanger les lignes de ces système pour obtenir des matrices à diagonale dominant et refaire la
résolution avec la méthode de Gauss-seidel.
Exercice 11
Ecrire les programmes Matlab permettant d’utiliser la méthode de Gauss-seidel pour résoudre
les systèmes d’équation suivants :
x1 + 2x2 + 1 x3 + x4 = 13

 2x + 3x + 24x + x 2



1 2 3 4 = 12
1
x1 + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 24
 2



2x1 + 5x2 + 6x3 + 3x4 = 22


 4x1 + x2 − x3 + = 3
+ 6x2 − 2x3 − x5 = −6




 x1 + x4
x2 + 5x3 − x5 + x6 = −5





 2x2 + 5x4 − x5 − x7 − x8 = 0

 − x3 − x4 + 6x5 − x6 − x8 = 12




 − x3 − x5 + 5x6 = −12
− x4 + 4x7 − x8 = −2






− x4 − x5 − x7 + 5x8 = 2


 4x1 −x2 −x3 = 18
−x +4x2 −x3




 1 = 18
−x2 +4x3 −x4 −x5 = 4





 −x3 +4x4 −x5 −x6 = 4

 −x4 +4x5 −x6 −x7 = 26




 −x5 +4x6 −x7 −x8 = 16
−x6 +4x7 −x8 = 10






−x7 +4x8 = 32

c 41
5.4 TP 4 : Intégration numérique

Exercice
Soient deux fonction : f (x) = πx sin(2x) et g(x) = x
1+x2
Utilisant la méthode de point milieu donnez une valeur numérique approchée de :

Z π
I1 = f (x)dx
−π
Z 3
I2 = g(x)dx
0
Exercice
Déterminer par la méthode des trapèzes puis par celle de Simpson :
Z π
2
f (x)dx
0
sur la base du tableau suivant :

π π 3π π
x 0 8 4 8 2
f (x) 0 0.382683 0.707107 0.923880 1
Ces points d’appui sont ceux donnant sin x, comparer alors les résultats obtenus avec la valeur
exacte.
Exercice
Calculer à l’aide de la méthode des trapèzes l’intégrale
Z π
I= sin x2 dx
0
avec le nombre de points n = 5 puis n = 10.
Exercice
Calculer Z 2
√
x dx
1
par la formule du point milieu décomposant l’intervalle d’intégration en dix parties.
Exercice
Rπ
Évaluer à l’aide de la méthode de Simpson l’intégrale −π cos x dx, avec 20 subdivision de
l’intervalle d’intégration.

c 42
Bibliographie
[1] Paola Gervasio Alfio Quarteroni, Fausto Saleri. Calcul Scientifique ; Cours, exercices corri-
gées et illustrations en MATLAB et Octave. Springer, deuxième edition, 2010.
[2] Saïd Mammar. Méthodes numériques. Institut Universitaire Professionnalisé d’Évry, 1999.
[3] M. Marcoux. Programmation avec Matlab (TP). I.N.S.S.E.T. Université de Picardie.
[4] Christelle MELODELIMA. Evaluation des méthodes d’analyses appliquées aux sciences de
la vie et de la santé - analyse, fascicule d’exercices. Université Joseph Fourier de Grenoble,
2011/2012.
[5] M.LICHOURI. Série de TPINFO4, Faculté des Sciences. Université de Blida, 2013.
[6] Hichem RAHAB. Cours Méthodes numériques et programmation. Université de khenchela,
2014/2015.
[7] Alfio Quarteron Steven Dufour. Guide de Matlab. Ecole Polytechnique de Montréal, 2002.
43

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Méthodes numériques et programmation

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Table des matières 3

1 Rappels sur les langages informatiques 5

2 Résolution numériques des équations non linéaires 13

3 Résolution numériques des systèmes d’équations linéaires 21

RAHAB Hichem 2015-2016

Rappels sur les langages

1.2 Les matrices

x=4 ; Matrice 1×1

1.2.1 La transposé d’une matrice

C’est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes.

1.2.2 La taille d’une matrice

La réponse est : 3 lignes et 2 colonnes.

1.2.3 Sélection de ligne ou de colonne

La ligne i de la matrice x est donnée par : y(i,:) , pour i=2, on a :

1.2.4 La matrice Identité

Exemple pour n=3, on a :

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c11 = a11 b11 + a12 b12 + . . . + a1m bp1

1.2.6 La matrice inverse

>>A=[1 3 5;2 -1 0;5 4 3]

La matrice inverse de A est :

1.2.7 Autres fonctions

sum(x) calcule la somme des éléments de la matrice x.

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Pour trouver le maximum et le minimum du vecteur x, on utilise les fonctions max(x) et

1.3 Calcul des polynômes

1.4 Le teste conditionnel ’if’

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1.5 Les boucles

>> f(1) = 0; f(2) = 1;

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1.5.2 La boucle ’while’

>> f(1) = 0; f(2) = 1; k = 3;

1.6 Écriture de programmes Matlab

1.6.1 Les scripts

ce script est enregistré dans le fichier TP.m.

1.6.2 Les fonctions

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Exemple 2 Le nombre d’or α = 1.6180339887.... Celui-ci est la limite pour k → ∞, du quotient

function [Alpha ,k]=fibonacci1(tol ,kmax)

RAHAB Hichem 2015-2016

function [x1,x2]= degre2(a,b,c)

Cette fonction doit être enregistrer sur le fichier : degre2.m .

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Résolution numériques des équations

2.2 Méthode de Bissection (ou dichotomie)

Figure 2.1 – La méthode Bissection

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Le programme Matlab permettant de calculer la racine c est le suivant :

RAHAB Hichem 2015-2016

Figure 2.2 – La fonction f (x) = x3 − x2 − 1

Figure 2.3 – Le résultat de l’exécution du programme Matlab de l’exemple 1

RAHAB Hichem 2015-2016

Figure 2.4 – La fonction : f (x) = cosh x + cosx − 3

En partant de [a, b] = [−3, −1], la méthode de dichotomie converge en 34 itérations vers la

2.3 Méthode de Newton

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