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    TP 01 Résolution Des Équations Non Linéaires

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    Université de Tipaza Institut : Sciences et Techniques

    Niveau : 2 ieme Année LMD ST Année universitaire : 2017-2018

    TP 01 : Résolution des équations non linéaires

    1 La méthode de Bissection (dichotomie)

    Les entrées Les sorties


    f la fonction concernée x la racine trouvée par la méthode
    a et b les limites de l’intervalle [a, b] niter le nombre d’itérations effectuées
    tol l’erreur tolérée par le résultat

    1. Si f(a).f(b)>0 alors l’intervalle [a, b] ne contient pas de racines et on s’arrête

    2. Si la valeur de |b - a| est inférieure à tol on s’arrête

    3. On calcule le milieu de l’intervalle [a, b] par : x = (a+b)/2

    4. Si f(a).f(x)>0 alors a ←− x (l’intervalle [a, b] devient[x, b]) Sinon b ←− x (l’intervalle [a, b] devient
    [a, x])
    5. Aller à l’étape 2

    2 La méthode du point fixe

    Les entrées Les sorties


    g la fonction étudiée zero La racine trouvée par la méthode
    x0 le point initial erreur L’erreur estimée.
    nmax le nombre maximal d’itérations niter Le nombre d’itérations effectuées.
    tol le critère d’arrêt (erreur tolérée)

    1. On commence par choisir le point initial x0 (n = 0)

    2. On calcule xn+1 = g(xn )

    3. Si |xn+1 − xn | < tol alors la méthode a convergé, et on s’arrête

    4. Si niter atteint nmax alors la méthode a divergé, ou elle n’a pas pu converger avec nmax itérations
    et on s’arrête.

    5. Sinon, on passe à l’étape 2 pour une nouvelle itération n+1 (n devient n+1).

    3 La méthode de Newton
    1. On commence par x0 (n = 0)
    f (xn )
    2. On calcule : xn+1 = xn − f 0 (xn )

    |xn+1 −xn |
    3. Si |xn | < tol alors la méthode a convergé, et on s’arrête

    4. Si niter atteint nmax alors la méthode a divergé, ou elle n’a pas pu converger avec nmax itérations
    et on s’arrête.

    5. Sinon, on passe à l’étape 2 pour une nouvelle itération n+1 (n devient n+1).

    1
    Université de Tipaza 2 Institut des ST

    Les entrées Les sorties


    f la fonction concernée zero La racine trouvée par la méthode.
    df la fonction dérivée de f erreur L’erreur estimée.
    x0 le point initial niter Le nombre d’itérations effectuées.
    nmax le nombre maximal d’itérations
    tol Le critère d’arrêt (erreur tolérée)

    4 Les questions
    4.1 La méthode de bisection
    Considérons l’équation : f (x) = x3 + x2 − 3 x − 3

    1. Dessinez la courbe de f (x) sur l’intervalle [−2, 2],puis trouvez des intervalles convenables pour appli-
    quer la méthode de bissection.

    2. Pour chaque intervalle (un pour chaque racine), appliquez la fonction Matlab ‘bissection.m’ sur f (x),
    en considérant : tol = 0.001.

    4.2 La méthode du point fixe


    Considérons l’équation non linéaire : f (x) = x3 + 4 x2 − 10 = 0 Qui admet une racine r dans l’intervalle
    [1, 2]. Voici trois façons d’écrire f (x) = 0 sous la forme d’un point-fixe :
    √
    10−x3
    • f (x) = x3 + 4 x2 − 10 =⇒ 4 x2 = 10 − x3 =⇒ x = 2
    = g1 (x)
    q
    10
    • f (x) = x3 + 4 x2 − 10 =⇒ (x + 4)x2 = 10 =⇒ x = x+4 = g2 (x)

    • f (x) = x3 + 4 x2 − 10 =⇒ x = x − f (x) =⇒ g3 (x) = x − x3 − 4 x2 + 10

    1. Appliquez la fonction Matlab ’pointfixe.m’ sur g1 (x), g2 (x), et g3 (x), en mettant : x0 = 1.5, tol =
    0.001, nmax = 50.

    2. Quelle est la fonction (g1 , g2 ou g3 ) qui donne la convergence la plus rapide.

    4.3 La méthode de Newton


    1. Considérant l’équation : f (x) = exp(−x) − x Appliquez la fonction Matlab ’newton.m’ sur f (x), en
    mettant : x0 = 0, tol = 10−3 = 0.001, nmax = 50.

    2. Montrez que l’équation f (x) = x3 − 2 possède une racine et qu’on peut obtenir celle-ci en utilisant la
    méthode de Newton à partir de x0 = 1.

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