FichesAU3IUTL PDF
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Jean Duplaix
Automatique : Asservissement & Régulation 2ème Année GEII Toulon
1. Introduction à l’automatique
1.1. Définitions
Automatique : science et technique des méthodes et moyens d’étude et de conception des systèmes
automatisés (agencement de parties qui se coordonnent pour atteindre un résultat). En anglais terme
générique plus précis : « automatic control » soit commande automatique.
Système : boîte noire qui possède des entrées (actions gérées et subies) et des sorties (réactions
induites).
Systèmes à événements discrets : commande logique combinatoire et séquentielle (API)
Systèmes continus : commande en temps continu (analogique) ou discret (numérique)
Remarque : Dans ces fiches, seuls les systèmes continus seront traités.
Perturbation(s)
Capteur
Mesure
Grandeur réglée
Régulateur
Transmetteur Indicateur
de PT FIC de
Pression Débit
Fonctions
Régulation de niveau d’un réservoir d’une installation de dilution de sirop : le but est de maintenir le
niveau H constant dans le réservoir pour assurer un débit de sortie constant Q s réglé par l’ouverture
I/P
U P
LY
C LIC
Qa Qe
LV
M
N
Qs
LT HV
1.7. Modélisation
Dans ce module, l‘ensemble composants-système est considéré comme SISO ou MISO, continus,
causaux, linéaires et invariants. Leur description est faite à l’aide d’équations différentielles linéaires à
coefficients constants (EDLCC). Bien que la plupart des comportements soit non-linéaires, une étude
linéarisée autour d’un point de fonctionnement peut être envisagée. L’effet de phénomènes
typiquement non-linéaires comme la saturation, l’insensibilité (seuil) ou hystérésis (jeu) pourra être
considéré dans un environnement de simulation ou expérimental.
Qa ( p)
+
ε( p ) U ( p) Qe ( p)
C ( p) R(p) V(p) G(p) N ( p)
+ +
− −
Qs ( p)
M ( p)
T(p)
M ( p) R( p)V ( p) G ( p) T ( p)
Transfert mesure niveau-consigne : =
C ( p ) 1 + R ( p )V ( p ) G ( p ) T ( p )
M ( p) − G ( p) T ( p)
Transfert mesure niveau-débit sortie : =
Qs ( p) 1 + R ( p )V ( p) G ( p ) T ( p )
M ( p) G ( p) T ( p)
Transfert mesure niveau-débit recyclé : =
Qa ( p) 1 + R ( p )V ( p ) G ( p) T ( p )
Remarques :
• Toutes les fonctions de transfert possèdent le même dénominateur nommé équation
caractéristique.
• La partie réglable R ( p) intervient dans l’équation caractéristique et a une incidence sur
les pôles de ces transferts.
• Le dénominateur (polynôme caractéristique) est un polynôme construit à partir des zéros
et des pôles de la boucle ouverte
• L’incidence du régulateur R ( p ) n’a pas le même rôle vis à vis des perturbations et de la
consigne.
Bibliographie :
• Cours BTS CIRA Rouvière : http://gatt.club.fr/index.html
• Cours PSI Masséna : http://projetsi.chez-alice.fr/
• Cours et exercices corrigés Collection Sciences Sup (IUT BTS Licence) Editeur Dunod
Automatique : Systèmes linéaires et continus S. Le Ballois et P. Codron 2006
Automatique : Contrôle et régulation P. Prouvost 2005
Jonction :
S1
⇔ S1 ( p ) = S 2 ( p ) = E ( p )
E S2
Sommateur ou comparateur :
+
E1 S
− ⇔ S ( p ) = E1 ( p ) − E2 ( p )
E2
• Structures de base
Série :
S1
E F1 F2 S ⇔ E F1 F2 S
Parallèle :
E F1 +
S ⇔ E F1 − F2 S
E F2 −
Boucle :
+
E Td S ⇔ Td
E S
− 1 + Td Tr
Tr
E ( p) 1 1
Remarques : TBO ( p) = Td Tr et = = + Tr ( p )
S ( p) TBF ( p) Td ( p)
• Réduction (exemple)
+ −
E A B C S
− +
S ( p) A( p ). B ( p ). C ( p )
La fonction de transfert de la boucle fermée est : =
E ( p) 1 + B ( p ). ( A( p). D( p) + C ( p) )
p = σ + jω variable complexe
F ( p) = ∫ f (t )e − pt dt avec
∞
0
Re( p) > σ 0 ≥ 0 rayon de convergence
• (( ) )
Linéarité : L α. f 1 ( t ) + β. f 2 ( t ) . υ( t ) = α. F1 ( p) + β. F2 ( p)
• (
Multiplication par e −at : L e − at . f ( t ).υ( t ) = F p + a ) ( )
• ( )
Théorème de la dérivée : L f ( t ). υ( t ) = p. F p − f 0 + ( ) ( )
F ( p)
Théorème de l'intégration : L f (τ )dτ .υ(t ) =
t
•
∫0 p
• ( (
Théorème du retard : L f t − t 0 . υ t − t 0 ) ( )) = e − t p . F ( p )
0
s(t )− K
< Temps d'établissement ou de réponse à 5% : ∀t > Tr5% < 5%
K
s (Tm ) − K
< Dépassement et temps de montée au 1er maximum : D% =
K
• Ordre 1
ds (t )
Equation différentielle canonique : τ . + s (t ) = K .e(t ) avec K > 0 et τ >0
dt
S ( p) K
Forme canonique de la fonction de transfert : =
E ( p) 1 + τ . p
Gain statique : K
Temps d'établissement ou temps de réponse à 5% : K − s (Tr5% ) = 0.05 K soit Tr5% ≈ 3.τ
Réponse indicielle unitaire K = 2 et τ = 0.5s :
2
0.95K
1.5
0.632K
1
0.5
τ 3τ
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
• Ordre 2
1 d 2 s (t ) α ds (t )
Equation différentielle canonique : . + 2. . + s (t ) = K .e(t )
ω0 dt
2 2
ω0 dt
S ( p) K ω02
Forme canonique de la fonction de transfert : = 2
E ( p) p + 2αω0 p + ω02
2π
La réponse est oscillatoire amortie de pseudo-période Tp =
ωp
πα
s (π ω p ) − K −
1−α 2 π
Le premier dépassement vaut D1 = =e pour tm1 = .
K ωp
Le temps de réponse doit être évalué par analyse numérique à l'intersection de la réponse
s (t ) avec la droite s = 0.95K ou s = 1.05 K . Pour obtenir un encadrement de la
π π
localisation du point d'intersection valide ( i − 1) < t < i. , il faut déterminer la
ωp ωp
αζ=0.46
= 0.46
1.2
1.05
1
0.95
α = 1.0
ζ=1
0.8
α ζ=1.5
= 1.5
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F ( p) : A(ω ) = F ( jω ) et Φ (ω ) = arg ( F ( jω ) )
• Ordre 1
K K
F ( p) = ⇒ F ( jω ) =
1+τ p 1 + jτ ω
K
Amplitude : A(ω ) = ⇒ AdB (ω ) = 20 log K − 10 log(1 + τ 2 ω 2 )
1+ τ ω 2 2
Phase : Φ (ω ) = − arctan (τ ω )
Points remarquables :
• si ω = 1 τ ⇒ AdB (ω ) = 20log K − 3dB et Φ (ω ) = −45° pulsation de brisure
10
20
ω
0.1 1 10 100
15
-26.6°
30
Φ -45°
45
60
-63.4°
75
90 ω
0.1 1 10 100
• Ordre 2
K K ω
F ( p) = ⇒ F ( j. u ) = avec u = (pulsation réduite)
α p 2
1 − u + 2 jα u
2
ω0
1+ 2 p+ 2
ω0 ω0
K
(
AdB (u ) = 20log K − 10log 1 − u 2 ) + 4α 2 u 2
2
Amplitude : A(u ) = ⇒
(1 − u )
2
2
+ 4α u 2 2
2α u
Phase : si u ≤ 1 alors Φ (u ) = − arctan 2
1− u
2α u
si u > 1 alors Φ (u ) = − arctan 2
−π
1− u
Point remarquable :
• si ω = ω0 ⇒ AdB (1) = 20log K − 20log ( 2α ) et Φ (1) = −90°
10
20 u
0.1 1 10
Φ
0
α
ζ=0.2
α
ζ=0.46
30
αζ=1
60
αζ=1.5
90
120
150
180 u
0.01 0.1 1 10 100
8 16
6 12
4 8
2 1.3 4
2.3dB
0 α
ζ 0
α
ζ
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
• Conclusion :
Dans les deux paragraphes précédents, seuls des transferts stables ( K > 0, τ > 0, α > 0 et ω0 > 0 )
ont été présentés. Nous évoquerons au chapitre suivant la propriété de stabilité.
Pour compléter ces originaux, l’analyse de l’influence de(s) zéro(s) dans les transferts peut être un
exercice intéressant. Nous pouvons citer au passage deux transferts particuliers qui sont
l’intégrateur et le dérivateur.
Instable
2
Oscillateur
Stable
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
• Précision :
Pour une boucle stable, il est naturel de vouloir contrôler en régime permanent l’écart existant
entre la consigne et la grandeur de sortie réglée ou l’influence d’une perturbation sur la sortie.
Cette qualité est la précision qui est différente suivant la nature de la variation de consigne ou de la
perturbation. Classiquement, l’erreur statique (ou de position) est la première considérée (voir
figure ci-dessous). Les erreurs dynamiques de vitesse et d’accélération font partie des qualités et
des performances imposées pour un cahier des charges pour la réalisation d’un asservissement.
1.5
Erreur de
position nulle
Consigne
1
εp
Erreur de
0.5 position εp
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
• Rapidité :
Une façon d’évaluer la rapidité est l’utilisation de la notion de temps de réponse à x % qui est le
temps que mette la mesure pour entrer définitivement dans une zone encadrant à ± x % la valeur
finale. Au sens du cahier des charges, les valeurs 5% et 1% sont les plus courantes.
• Conclusion :
Ces trois propriétés de base comme en général dans le monde de la physique sont souvent
contradictoires au sens des objectifs, toute l’habilité de l’automaticien sera d’établir un compromis
de réglage de la boucle étudiée en régulation et/ou en asservissement.
3.1. Conditions à satisfaire pour avoir une stabilité absolue puis relative d’une boucle
• Généralités
Ecarter un système de sa position d’équilibre pour conclure sur sa stabilité revient au sens
théorique à étudier la réponse impulsionnelle du système.
E ( p) F ( p) S ( p)
1
e(t ) = δ (t )
→ E ( p) = 1 ⇒ S ( p) = F ( p)
→ f (t )
Pour trouver la transformée inverse du transfert, il faut faire apparaître les éléments simples qui se
distinguent par la nature des pôles (réels p = −a ou complexes p = −a ± jω ) distincts ou
multiples :
A B.( p + a) Cω
, et
p + a ( p + a )2 + ω 2 ( p + a)
2
+ω2
Pour que ces expressions tendent vers 0 quand t tend vers l’infini, il faut que a soit strictement
positif.
Conclusion : un système est stable si tous ses pôles sont situés strictement dans le demi-plan
de gauche du plan complexe ( Re ( pôles ) , Im ( pôles ) ), c’est le domaine de stabilité absolue.
Pour définir un domaine de stabilité relative, nous imposons une certaine qualité d’amortissement :
1 1
- pôles réels : forme canonique 1 + τ p = 0 ⇒ a = ≥ σ0 ⇔ τ≤
τ σ0
Conclusion : un système a une stabilité pratique satisfaisante si tous ses pôles réels sont à
gauche de la droite σ 0 et tous ses pôles complexes dans le secteur ± β 0 du plan complexe à
partie réelle négative (voir figure ci-dessous).
β0
Stable Stable
Re −σ 0 Re
0 0
− β0
+
C k G ( p) M
−
Avec l’outil informatique, il est facile de représenter le lieu des pôles d’un système ou des racines
de son équation caractéristique, soit en le programmant (Mathcad), soit en utilisant la macro-
commande disponible dans le progiciel (Scilab ou Matlab).
2k 2k
TBO ( p ) = ⇒ TBF ( p) =
p ( p + 1)( p + 2 ) p + 3 p + 2 p + 2k
3 2
−2 −2.155
- Trois racines réelles stables : 0 < k ≤ 0.19245 ⇒ −1 < r ( k ) ≤ −0.423
0 −0.423
- Une racine réelle stable et deux racines complexes conjuguées stable :
−2.155 −3
0.19245 < k < 3 ⇒ −0.423 < r (k ) < 2 j
−0.423
− 2 j
0.3 0
2.25
24°
1.5
0.75
0 0 Re
0.75
k p = 0.67
1.5 klim = 3
2.25
3
4 3 2 1 0 1
m(t , k )
2
m(t , klim )
1.5 m(t , k p )
1.05
1
0.95
0.5
0 t
0 2 4 6 8 10 12 14
an p n + an −1 p n −1 + an − 2 p n − 2 + "" + a1 p + a0
P 1 an an − 2 "" a1 0
o
s
e 2 an −1 an −3 "" a0 0
r avec
3 A1 A2 "" 0 an −1 an − 2 − an an − 3 a a − an an − 5
A1 = , A2 = n −1 n − 4 , "
4 B1 B2 "" 0 an −1 an −1
A1 an − 3 − an −1 A2 A a − an −1 A3
C " "" "" "" B1 = , B2 = 1 n − 5 , "
a A1 A1
l " "" "" "" """""
c
u n−2 L1 L2 0
l M 1 L2 − L1 M 2
e n − 1 M1 M2 0 N1 = avec M 2 = a0
r M1
n N1 0 O1 = a0
n +1 O1 0
• Pour que la boucle soit stable, il faut que tous les coefficients du polynôme soient présents et
de même signe, et si cette condition est vérifiée que les coefficients de la première colonne du
tableau de Routh soient de même signe (le nombre de changements de signe de la 1ère colonne
donne le nombre de pôles instables).
• Exemples :
τ 0
- ordre 1 : τ p +1 ⇒ stable si τ > 0
1 0
1 ω02 0
- ordre 2 : p 2 + 2α ω0 p + ω02 ⇒ 2 α ω0 0 0 stable si α ω0 > 0
ω 2
0 0
1 2 0
3 2k 0
- ordre 3 : p + 3 p + 2 p + 2k
3 2
⇒ 6 − 2k stable si 0 < k < 3
0
3
2k 0
Conclusion : Ce critère est facile à appliquer mais il ne nous donne que les limites de réglage pour
obtenir la stabilité absolue de la boucle.
Ce critère est applicable à un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte ne possède pas de
pôles et de zéros à partie réelle positive. Dans le cas contraire, il faut appliquer le critère de Nyquist
complet que nous ne présentons pas dans ce cours.
forme position de k .G ( j ω ) par rapport au point dit critique (limite de stabilité) ( −1, 0 ) du plan
complexe ou par rapport au point critique ( 0 dB, − 180° ) des plans de Black et Bode.
• Règle du revers dans le plan de Nyquist : Un système bouclé est stable si en décrivant le lieu du
transfert de boucle ouverte k .G ( j ω ) dans le sens croissant des ω , le point critique ( −1, 0 ) du plan
Recherche de la limite de stabilité en étudiant les conditions sur k pour laisser le point critique
( −1, 0 ) à gauche, une étude similaire peut être faite en raisonnant en module et argument par rapport
au point critique ( 0 dB, − 180° ) .
−6 k
Re (TBO ( j ω ) ) = 1 + ω 2 4 + ω 2
2k ( )( )
TBO ( p ) = ⇒
p ( p + 1)( p + 2 ) ( )
−2 k 2 − ω 2
Im (TBO ( j ω ) ) = ω 1 + ω 2 4 + ω 2
( )( )
d’où
Im (TBO ( j ω ) ) = 0 avec Re (TBO ( j ω ) ) ≠ 0 ⇒ ω −180° = 2 puis Re (TBO ( j ω −180° ) ) > −1 ⇒ 0 < k < 3
Nous retrouvons les résultats de l’approche lieu des pôles et celui du critère de Routh avec en plus par
rapport à ce dernier la pulsation de l’oscillation limite.
• Marge de gain :
Elle correspond à la distance du point critique ( −1, 0 ) à l’intersection du lieu de boucle ouverte
k .G ( j ω ) avec l’axe réel. Physiquement, la marge de gain représente la quantité par laquelle nous
pouvons multiplier la partie réelle k .G ( j ω ) pour passer par ( −1, 0 ) pour la pulsation ω = ω−180°
1
A−180° = k . G ( j ω−180° ) ⇒ MG = ou MG dB = −20log ( A−180° )
A−180°
D’un point de vue pratique, la marge de gain doit être comprise entre 3 et 10 soit 10 à 20 dB.
• Marge de phase
Elle correspond à l’angle que fait l’axe des réels négatifs avec la droite joignant l’origine du repère
et le point de module 1 du lieu de boucle ouverte. Physiquement, la marge de phase représente la
quantité de phase que nous pouvons perdre avant que la boucle fermée ne devienne instable.
M ϕ = arg ( k G ( j ω ) ) + 180° pour ω = ω0 dB pulsation pour laquelle k G ( j ω ) = 1
D’un point de vue pratique, la marge de phase est supérieure ou égale à 45°.
• Exemple d’un système du 3ème ordre
Nous imposons une marge de phase de 45°. L’argument de la fonction de transfert de boucle
ouverte doit être de –135° .
1.5ω
arg ( k G ( j ω ) ) = −90° − arctan (ω ) − arctan ( 0.5 ω ) = −135° ⇔ =1
1 − 0.5ω 2
L’équation du 2ème degré en ω conduit à deux solutions dont seule la solution positive est retenue
ω = ω0 dB ≈ 0.56 rad / s .
La valeur du réglage du gain vérifie pour cette pulsation un module unité :
2k
k G ( j ω0 dB ) = = 1 ⇒ k p = 0.669
ω0 dB . 1 + ω02dB . 4 + ω02dB
1 180
A−180°
40
0.5
klim G ( jω ) 20
klim G ( jω ) Mϕ
0 0 Re
0 0 φ°
Mϕ MG
0.5
20
k p G ( jω ) k p G ( jω )
1 40
2 1.5 1 0.5 0 270 225 180 135 90
1
A−180° = k p . G ( j ω−180° ) = 0.223 ⇒ MG = = 4.49 ou MG dB = −20log ( A−180° ) ≈ 13 dB
A−180°
A dB
60
klim G ( jω ) 0.56 2
Plan de Bode
40
20
ω−180° = 1.414 rd / s
0
k p G ( jω ) 0 ω
MGdB ω 0 dB = 0.562 rd / s
20
40
0.01 0.1 1 10
klim = 3
90 ω
k p = 0.669
0.56 2
135 135
φ° Mϕ
180 180 M ϕ = 45°
225
arg ( G ( jω ) ) MGdB = 13 dB
270
0.01 0.1 1 10
Y
iso-phase caractéristiques de la fonction . L’utilité de ce plan est que pour un point du plan
1+ Y
représenté par son module en dB et son argument en degré, en ce point se « coupent » une courbe iso-
gain et une courbe iso-phase qui correspondent au module en dB et à l’argument en degré du nombre
Y
complexe . Pour un automaticien, l’utilisation de cet abaque permet le passage du tracé de la
1+ Y
boucle ouverte à celui de la boucle fermée d’une boucle à retour unitaire.
60
180 135
50
40
30 klim G ( j ω )
20 2.3dB
AdB 10
0 0
10
20
30
kp G( jω)
40
270 255 240 225 210 195 180 165 150 135 120 105 90
φ°
Nous illustrons ci-dessus avec le réglage pratique du système du 3ème ordre, l’iso-gain de 2.3dB qui
signifie qu’en 2ème ordre équivalent, le système se comporte en réponse indicielle avec un 1er
dépassement voisin de 22 % (recoupement avec les résultats du lieu des pôles en stabilité relative).
3.7. Précision
La précision (en régime permanent) dépend, contrairement à la stabilité, de la nature des signaux de
consigne ou de perturbation. Pour donner des résultats, nous utilisons la structure de boucle suivante :
P( p)
+
ε( p ) U ( p)
C ( p) R( p) G1 ( p ) G2 ( p ) M ( p)
+ +
−
K
de pôles à l’origine (intégrateurs) et m ≤ n pour assurer la causalité. Nous posons TBO ( p ) ≈
p →0 pi
avec K gain de boucle.
- Consigne échelon unité ou erreur de position : C ( p) = 1 p
1
pi ε pos = si aucun intégrateur
ε pos = lim ⇒ 1 + K
p →0 p + K
i
ε pos = 0 si au moins un intégrateur
- Consigne rampe de vitesse unité ou erreur de vitesse : C ( p ) = 1 p 2
Remarque : Nous ne devons pas oublier deux choses fondamentales. L’erreur quand elle est finie,
est le plus souvent inversement proportionnelle au gain de boucle et quand elle est nulle (sans non-
K1 .K 2
respectivement K1 et K 2 : TBO ( p ) ≈
p →0 p i1+ i 2
1
- perturbation échelon unité P ( p ) =
p
−K2
ε pert = si aucun intégrateur
1 + K1 K 2
1
− K 2 p i1 ε pert = − si au moins un intégrateur
ε pert = lim i1+ i 2 ⇒ K1
p →0
p + K1 K 2 dans G2 ( p) et aucun dans G1 ( p )
ε pert = 0 si au moins un intégrateur
dans G1 ( p )
En conclusion la localisation des intégrateurs est bénéfique si ces derniers sont situés en amont de
la perturbation. De même, si l’erreur est constante, cette dernière est plus petite si nous
augmentons le gain en amont de la perturbation.
Nous pouvons imaginer une correction parallèle ou mixte (voir boucle TD amplification en série et
retour tachymétrique) .
Boucle correction parallèle
+ +
C G ( p) M
− −
R( p)
Nous présentons une dernière forme de boucle avec un élément de correction hors bouclage, nous
disposons alors de trois degrés de liberté avec la possibilité pour le correcteur hors bouclage d’éviter
les sauts de variation brutale de consigne en entrée de boucle.
le domaine harmonique (par exemple en faisant référence sur la bande d’utilisation du système à un
équivalent de comportement de type 2ème ordre : abaque de black). Un simulateur peut permettre de
confirmer les réglages.
M ( p) R ( p)G ( p)
Fonction de transfert de la boucle à correction série : =
C ( p) 1 + R ( p)G ( p)
Nous pouvons distinguer trois domaines de pulsation à gérer pour la boucle ouverte :
- pulsation basse : assurer un gain fort ou un comportement intégrateur de la fonction de
transfert de boucle ouverte (précision)
- pulsation de coupure ou ω 0dB : assurer une marge de phase suffisante pour assurer une
stabilité relative satisfaisante
- pulsation élevée : avoir une atténuation forte pour « filtrer » les éventuels bruits de mesure.
D’une manière générale, cela conduit à trois actions classiques : Proportionnelle (gain), Intégrale
(précision) et Dérivée (stabilité). La structure PID sera étudiée au chapitre 5. Nous allons pour l’instant
nous limiter à la présentation de deux correcteurs qui permettent les mêmes réglages globalement que
le PID mais de manière « indépendante » : les correcteurs à avance et à retard de phase.
28
26
ω max
Résultats principaux
24
22
20 1
18
ω max =
16 T a
AdB 14
a −1
12
sin(φmax ) =
10
8
a +1
6 ω
4
0.1 1 10 100 Exemple tracé dans Bode
90
ω max
K r = 2, a = 10 et T = 0.1 s
67.5
φ° φ max
ω max = 3.162 rad / s
45
φmax ≈ 55°
22.5 Amin ≈ 6 dB
ω Amax ≈ 26 dB
0
0.1 1 10 100
8
6
ω min
Résultats principaux
4
2
0 0 1
2
ω min =
4 T a
AdB 6 a −1
8
sin(φmin ) = −
10
12
a +1
14 ω
16
0.1 1 10 100 Exemple tracé dans Bode
0
ω min
K r = 2, a = 10 et T = 0.1 s
22.5
ω min = 3.162 rad / s
φ°
45
φ min
φmin ≈ −55°
67.5 Amin ≈ 6 dB
90
ω Amax ≈ −14 dB
0.1 1 10 100
Apport du correcteur à retard de phase : amélioration de la précision mais avec effet déstabilisant
et une diminution de la bande passante (transitoire plus long).
Le placement du correcteur tient surtout compte de l’amélioration de la précision en choisissant le
1
gain K r et le paramètre a , la pulsation de brisure est choisie au moins une décade au-dessous
T
de la pulsation ω 0dB pour ne pas trop détériorer la marge de phase.
• Conclusion
Suivant le cahier des charges, il est bien sûr très intéressant de placer en série les deux correcteurs
avance et retard de phase pour augmenter les possibilités de réglage.
5. Régulation industrielle
5.1. Quelques bases d’identification
Le but est de déterminer un modèle sous la forme d’une fonction de transfert de l’ensemble
actionneur-processus-transmetteur. Nous limitons la présentation aux systèmes apériodique ou
intégrateur identifiés à partir d’une réponse indicielle en boucle ouverte et à partir de la recherche
de l’oscillation limite en boucle fermée.
• Signature LRT (boucle ouverte : courbe en S)
Pente R
Point
d'inflexion
L T
Point
d'inflexion
Tu Ta
Tu τ
Ordre ns
Ta n ent
Ta n ent
0.000 1 1.000
0.104 2 0.368
0.218 3 0.271
0.319 4 0.224
0.410 5 0.195
0.493 6 0.175
0.570 7 0.161
0.642 8 0.149
Principe de la méthode :
Tu
Etape 1 : A partir des mesures Tu et Ta sur la réponse, calculer η =
Ta
Tu
Etape 2 : Prendre pour ns la valeur entière du tableau pour la valeur immédiatement
Ta n ent
τ
inférieure à η , la constante de temps du modèle est τ s = .Ta
Ta n ent
Tu
Etape 3 : Le retard pur du modèle est rs = Tu − .Ta
Ta n ent
1
t1 t2
0.8
0.6
0.4 0.40
0.28
0.2
0
0 2 4 6 8 10
t1
t2
K b .e − rb . p ∆mesure
Modèle de Broïda Gb ( p) = avec Kb =
1+τb.p ∆commande
Principe de la méthode :
Etape 1 : Relever les instants t1 et t2 correspondants respectivement à 28% et 40% de la
valeur finale.
Etape 2 : La constante de temps du modèle est τ b = 5.5 ( t2 − t1 ) .
2
Pente R
1
0 0
L
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R.e − L. p
Modèle de Broïda ou LR : Gb ( p) =
p
+ ε u Ks
c Kr m
(1 + τ s . p )
ns
Kr Ks
ns
=1 et −ns arctan (τ sωosc ) = −π
(1 + (τ ω ) )
s osc
2 2
− ns
π Tosc π
d’où K r K s = cos ⇒ ns (Tableau ci-dessous) puis Tosc ⇒ τs = .tan
ns 2π ns
Kr Ks ns Kr Ks ns Kr Ks ns
232.09 2.1 8.00 3 2.37 6
72.92 2.2 6.56 3.2 2.21 6.5
38.95 2.3 5.60 3.4 2.08 7
25.63 2.4 4.91 3.6 1.97 7.5
18.84 2.5 4.40 3.8 1.88 8
14.81 2.6 4.00 4 1.81 8.5
12.19 2.7 3.32 4.5 1.75 9
10.36 2.8 2.89 5 1.70 9.5
9.02 2.9 2.59 5.5 1.65 10
+ ε u K b .e − rb p
c Kr m
1+τb.p
−
Après avoir déterminé K b connu par un essai statique en boucle ouverte, l’opérateur relève le gain K r
Tosc Tosc
( K r Kb ) . π − arctan ( K r Kb ) − 1
2 2
τb = . −1 et rb =
2π 2π
Remarque : Les méthodes d’identification en boucle fermée présentées peuvent compte tenu de la
recherche du gain limite de stabilité, engendrer des phénomènes non linéaires (saturation par
exemple). Il peut être intéressant d’utiliser une méthode basée sur la recherche d’un cycle limite avec
un relais à la place de l’amplification régulateur.
Action D
Action I
Retard
Action P
Avance
Direct
I
-1
Ext
+ Erreur +
C Σ +
Int _ Inverse Mesure
D Σ P Auto
+ U
Manu
M
Action proportionnelle : U P ( p ) = K p .ε ( p )
1
Action intégrale : U I ( p ) = .ε ( p )
Ti p
Td p
Action dérivée non filtrée : U D ( p ) = Td p.ε ( p ) et filtrée U D ( p ) = .ε ( p )
1 + N −1Td p
1
Type mixte : K r ,m 1 + + Td ,m p
T p
i ,m
1
Type parallèle : Kr, p + + Td , p p
Ti , p p
1
T p (
Type série : K r , s 1 + 1 + Td , s p )
i,s
• Passage d’une structure à une autre
La connaissance du type de structure est impérative. La synthèse du régulateur est réalisée à partir
d’une structure donnée, le régleur doit ensuite adapter les valeurs des actions à régler à la structure
technologique du régulateur.
De mixte
K r , p = K r ,m (
K r , s = 0.5 K r ,m . 1 + 1 − 4 Td ,m Ti ,m )
Pour série
Ti , p = Ti , m K r ,m Ti , s = 2 Td , m ( 1 − 4T T d ,m i ,m −1 )
Ti , m > 4.Td , m
---
Td , p = K r ,mTd , m Td , s = 2 Td , m (1 + 1 − 4 T d ,m Ti ,m )
De parallèle K r ,m = K r , p
Ti , m = K r , pTi , p
(
K r , s = 0.5 K r , p + K r2, p − 4 Td , p Ti , p )
Pour série
K r2, p > 4.Td , p Ti , p
Td ,m = Td , p K r , p
--- Ti , s = 2 Td , p (K r, p − K r2, p − 4 Td , p Ti , p )
Td , s = 2 Td , p (K r, p + K r2, p − 4 Td , p Ti , p )
K r ,m = K r , s . (Ti , s + Td , s ) Ti , s K r , p = K r , s (Ti , s + Td , s ) Ti , s
De série Ti , m = Ti , s + Td , s Ti , p = Ti , s K r , s
---
Td ,m = Ti , sTd , s (Ti , s + Td , s ) Td , p = K r , sTd , s
U ( p) 1
Résultats de réglage pour un régulateur à structure mixte : = Kr 1 + + Td p
C ( p) − M ( p) Ti p
Modèle du processus :
K b .e − rb . p Rb .e − rb . p
stable Gb ( p ) = ou instable Gb ( p ) =
1+τb.p p
Kb
avec Rb = pente du procédé intégrateur = pour un procédé stable
τb
Type de régulateur Kr Ti Td
1
P rb Rb ----------- -----------
PI 0.9 -----------
3.33 rb
rb Rb
1.2
PID 2 rb 0.5 rb
rb Rb
Remarque : Ces réglages conduisent à des systèmes avec des réponses indicielles de consigne trop
oscillantes (1er dépassement de l’ordre de 30%). Nous proposons ci-après un tableau pour un
rb
modèle de Broïda stable qui dépend du facteur de réglabilité r = .
τb
Considérer ce facteur permet d’avoir une idée du choix du type de régulateur à utiliser et aussi de
constater que plus le retard est important devant la constante de temps du procédé moins
l’utilisation du PID est satisfaisante. Il faut alors mettre en place d’autres types de régulateur
possibles avec les technologies numériques (PIR par exemple).
Réglabilité r Kr Ti Td
5
0 à 0.1 τb 0
Kb
0.5
0.1 à 0.2 τb 0
Kb r
Tosc
0.45 K rs
PI 1.2 -----------
Schéma de boucle :
+ ε u G.e − r p
c R ( p) m
1 +τ . p
−
1
Régulateur de type série : R ( p ) = K r 1 + .(1 + Td p )
Ti p
π
arctan (Ti ω −π ) + arctan (Td ω −π ) − r ω −π − − arctan (τ ω −π ) = −π
2
−r ω −π − arctan (τ ω −π ) = −π
Système à résoudre Kr G 1 soit 2 équations et 2 inconnues K r , ω −π
=
1 + τ ω −π 2
2 2
π
−r ω −π − arctan (τ ω −π ) + arctan (Ti ω −π ) = − 2
Système à résoudre K r G 1 + Ti 2ω −2π 1
=
Ti ω −π 1 + τ 2ω −2π 2
π
−r ω −π − arctan (τ ω −π ) + arctan (Ti ω −π ) + arctan (Td ω −π ) = − 2
Système à résoudre K r G 1 + Ti 2ω −2π . 1 + Td2ω −2π 1
=
Ti ω −π 1 + τ 2ω −2π 2
π
déphasage de la partie 1er ordre du modèle de Broïda voisin de .
2
π τ
⇒ ω −π ≈ et K r ≈ 0.785
2r Gr
Régulateur PI : Pour résoudre « facilement » les équations, nous pouvons faire une hypothèse de
compensation zéro-pôle en introduisant l’équation supplémentaire Ti = τ
π τ
⇒ ω −π ≈ ; K r ≈ 0.785 et Ti = τ
2r Gr
Régulateur PID : Pour résoudre le système, nous devons introduire 2 équations supplémentaires,
nous conservons la compensation zéro-pôle ( Ti = τ ) et nous utilisons l’action dérivée pour avoir
π π
un apport de phase de arctan (Td ω −π ) =
4 4
3π τ
⇒ ω −π ≈ ; K r ≈ 0.833 ; Ti = τ et Td = 0.424 r
4r Gr
Ces considérations terminent le cours AU3, les résultats étant donnés sous forme de fonctions de
transfert notamment au niveau des correcteurs et régulateurs sont relatifs au domaine analogique.
Ils vont être étendus à une structure numérique dans le module complémentaire AS21
Sommaire
1.1. Définitions................................................................................................................................. 2
3.1. Conditions à satisfaire pour avoir une stabilité absolue puis relative d’une boucle.............. 14
5. Régulation industrielle................................................................................................................. 26