PolyedresII.

mac

Alphonse Capriani
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Table des matières
1 Syntaxe générale des macros de PolyedresII.mac 5

2 Liste des macros de PolyedresII.mac 7

2.1 Polyèdres réguliers convexes – solides de Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Polyèdres réguliers non convexes – solides de Kepler-Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Prismes et antiprismes uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Solides d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Polyèdres uniformes non convexes à faces convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Solides de Johnson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Exemples 10

Liste des tableaux

1 Polyèdres réguliers convexes – solides de Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Polyèdres réguliers non convexes – solides de Kepler-Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Prismes et antiprismes uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Solides d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Polyèdres uniformes non convexes à faces convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Solides de Johnson – Prismatoı̈des et rotondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Solides de Johnson – Pyramides modifiées et dipyramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8 Solides de Johnson – Coupoles et rotondes modifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 Solides de Johnson – Prismes augmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 Solides de Johnson – Solides platoniciens modifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 Solides de Johnson – Solides d’Archimède modifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12 Solides de Johnson – Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3
4
 PolyedresII.mac

Ce court document présente l’ensemble des macros constituant le fichier PolyedresII.mac. Dans une
première partie, la syntaxe générale des fonctions y est décrite. Le deuxième paragraphe regroupe quant à
lui l’ensemble des macros présentes dans le fichier.

1 Syntaxe générale des macros de PolyedresII.mac

Le fichier PolyedresII.mac est une collection de macros permettant la construction de nombreux
polyèdres. Plusieurs types de solides sont ainsi présents :
• les polyèdres réguliers convexes (solides de Platon),
• les polyèdres réguliers non convexes (solides de Kepler-Poinsot),
• les prismes uniformes,
• les antiprismes uniformes,
• les solides d’Archimède,
• les polyèdres uniformes non convexes à faces convexes,
• les solides de Johnson.
Chacune des macros permettant la création de ces polyèdres (à l’exception des prismes et antiprismes
uniformes) possède la syntaxe générale suivante :

Polyèdre (<Axe/Centre>, <Sommet>, [Faces 1], [Faces 2], ..., [Faces n], [Ar^
etes])

où les arguments mis entre crochets sont optionnels.

Le premier argument est soit le centre du polyèdre (pour les solides de Johnson, il s’agit d’un point intérieur
au solide sans être pour autant le centre de gravité), soit un axe de révolution d’une face du solide. Le
deuxième argument est un sommet du polyèdre. Grâce à la syntaxe Polyèdre (<Axe>, <Sommet>, ...) on
peut construire le polyèdre voulu de manière a ce que la face ayant le plus grand nombre de côtés admette
l’axe (premier argument) comme axe de révolution et ayant le deuxième argument pour sommet. (voir la
figure 1)

b
b

Sommet Axe

Fig. 1 – Syntaxe Polyèdre (<Axe>, <Sommet>)

5
Les prismes et antiprismes uniformes quant à eux possède la syntaxe suivante :

(Anti)PrismeUnif (<Axe>, <Sommet>, <n>, [Bases], [Carrés], [Ar^

etes])

Cette syntaxe est identique aux précédentes à l’exception que la définition par centre et sommet n’est plus
disponible et qu’un troisième paramètre obligatoire désignant le nombre de côtés de la base est ajouté.
Toutes ces macros renvoient la liste des faces du polyèdre en question. Pour les solides convexes, cette
liste est directement utilisable avec la macro DrawPoly(<Polyèdre>, <Mode>) ce qui permet de dessiner le
polyèdre suivant l’option choisie en deuxième paramètre.
Pour les polyèdres non convexes, la macro DrawPoly n’est plus utilisable. Pour dessiner de tels solides, il
faut avoir recours aux macros Build3D et Display3D et c’est là qu’interviennent les paramètres optionels des
macros. Chacun de ces paramètres est le nom d’une variable dans laquelle sera enregistrée la liste des faces
d’un même type ou des arêtes du solide avec les attributs courants afin qu’elles puissent être directement
utilisées avec la macro Build3D.
Les attributs des faces sont alors définis par les variables globales Color1, ..., Color4. Ces variables
sont simplement des réels désignant la couleur des faces en question. La variable globale opacity permet
de modifier l’opacité des face du solide. Si elle est négative, TEXgraph différencie le devant et le derrière
des faces et ainsi la couleur du dos d’une face est en générale plus clair que son devant. Si l’opacité est
positive, la distinction précédente n’est plus faite et les devant et derrière des faces sont de la même couleur.
Une dernière variable globale, contrast, permet de modifier le contrast ce qui peut être utile pour mieux
distinguer les intersections d’arêtes de certains polyèdres non convexes plus compliqués.
Pour les attributs des arêtes, deux variables globales sont présentes, à savoir ColorL et StyleL. La première
contient un nombre complexe du type couleur+i*opacité et la deuxième un nombre complexe du type
épaisseur+i*style.

Voici un exemple permettant de dessiner un grand dodécaèdre :

[
Color1:=lightpink, opacity:=1, contrast:=0.75,
ColorL:=gray, StyleL:=Thicklines+i*dashed,
GdDodecaedre(Origin, [1, 0], P, A),
Build3D(P, A),
Display3D()
]

Cette manière de dessiner un polyèdre s’applique également pour les solides convexes. Néanmoins, elle reste
moins adaptée. Elle peut quand même être utile si l’on veut colorier chaque type de faces d’un solide d’une
couleur différente.

Certains polyèdres possèdent deux formes chirales (le solide et son symétrique par rapport à un plan ne
son pas superposables). Pour permettre à l’utilisateur de choisir un solide ou son énantiomorphe, une va-
riable globale chiral prenant la valeur 0 ou 1 est présente dans le fichier. Les macros de polyèdres possédant
2 formes chirales seront mises en italique dans la liste de la section suivante.

Pour chaque classe de polyèdres, une macro générale permet de créer un polyèdre sans passer par la
macro du solide en question. Cela peut être particulairement pratique pour définir créer un polyèdre dont
le nom de la macro est un peu compliqué. Elles possèdent la même syntaxe que les autres macros excepté
qu’un paramètre Type a été ajouté (en première position) permettant l’identification du polyèdre que l’on
veut définir. Ces macros seront données avec leurs syntaxe au début de chaque sous-paragraphe de la section
suivante.

6
2 Liste des macros de PolyedresII.mac
2.1 Polyèdres réguliers convexes – solides de Platon
• Platon(<Type>, <Axe/Centre>, <Sommet>, [Faces], [Ar^
etes])
1 : Tétraèdre régulier
2 : Cube
3 : Octaèdre régulier
4 : Dodécaèdre régulier
5 : Icosaèdre régulier
• Tetraedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Triangles], [Ar^etes])
• Cube(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Carrés], [Ar^
etes])
• Octaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Triangles], [Ar^etes])
• Dodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Ar^etes])
• Icosaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Triangles], [Ar^etes])

2.2 Polyèdres réguliers non convexes – solides de Kepler-Poinsot

• KeplerPoinsot(<Type>, <Axe/Centre>, <Sommet>, [Faces], [Ar^
etes])
1 : Petit dodécaèdre étoilé
2 : Grand dodécaèdre étoilé
3 : Grand dodécaèdre
4 : Grand icosaèdre
• PtDodecaedreEt(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Ar^
etes])
• GdDodecaedreEt(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Ar^
etes])
• GdDodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Ar^
etes])
• GdIcosaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Triangles], [Ar^
etes])

2.3 Prismes et antiprismes uniformes

• PrismeUnif(<Axe>, <Sommet>, <n>, [Bases], [Carrés], [Ar^
etes])
• AntiprismeUnif(<Axe>, <Sommet>, <n>, [Bases], [Triangles], [Ar^etes])

2.4 Solides d’Archimède

• Archimede(<Type>, <Axe/Centre>, <Sommet>, [Faces1], [Faces2], [Faces3], [Ar^
etes])
1 : Tétraèdre tronqué
2 : Cuboctaèdre
3 : Cube tronqué
4 : Octaèdre tronqué
5 : Petit rhombicuboctaèdre
6 : Grand rhombicuboctaèdre
7 : Dodécaèdre tronqué
8 : Icosidodécaèdre
9 : Icosaèdre tronqué
10 : Cube adouci
11 : Petit rhombicosidodécaèdre
12 : Grand rhombicosidodécaèdre
13 : Dodécaèdre adouci

7
 • TetraedreTrq(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Hexagones], [Triangles], [Ar^ etes])
• Cuboctaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Carrés], [Triangles], [Ar^ etes])
• CubeTrq(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Octogones], [Triangles], [Ar^ etes])
• OctaedreTrq(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Hexagones], [Carrés], [Ar^ etes])
• PtRhombicuboctaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Carrés], [Triangles], [Ar^ etes])
• GdRhombicuboctaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Octogones], [Hexagones], [Carrés], [Ar^etes])
• DodecaedreTrq(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Décagones], [Triangles], [Ar^ etes])
• Icosidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Triangles], [Ar^ etes])
• IcosaedreTrq(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Hexagones], [Pentagones], [Ar^ etes])
• CubeAdc (<Axe/Centre>, <Sommet>, [Carrés], [Triangles 1], [Triangles 2], [Ar^ etes])
• PtRhombicosidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Pentagones], [Carrés], [Triangles], [Ar^etes])
• GdRhombicosidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Décagones], [Hexagones], [Carrés], [Ar^
etes])
• DodecaedreAdc (<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Pentagones], [Triangles 1], [Triangles 2], [Ar^ etes])

2.5 Polyèdres uniformes non convexes à faces convexes

• PolyNC(<Type>, <Axe/Centre>, <Sommet>, [Faces1], [Faces2], [Faces3], [Ar^
etes])
1 : Tétrahémihexaèdre
2 : Cubohémioctaèdre
3 : Octahémioctaèdre
4 : Grand dodécaèdre
5 : Grand icosaèdre
6 : Grand icosidodécaèdre ditrigonal
7 : Petit rhombihexaèdre
8 : Petit cubicuboctaèdre
9 : Grand rhombicuboctaèdre uniforme
10 : Petit dodécahémidodécaèdre
11 : Petit icosihémidodécaèdre
12 : Petit dodécicosaèdre
13 : Petit rhombidodécaèdre
14 : Petit dodécicosidodécaèdre
15 : Rhombicosaèdre
16 : Grand icosicosidodécaèdre
• Tetrahemihexaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Carrés], [Triangles], [Ar^etes])
• Cubohemioctaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Hexagones], [Carrés], [Ar^etes])
• Octahemioctaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Hexagones], [Triangles], [Ar^ etes])
• GdDodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Ar^etes])
• GdIcosaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Triangles], [Ar^etes])
• GdIcosidodecaedreDtg(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Pentagones], [Triangles], [Ar^ etes])
• PtRhombihexaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Octogones], [Carrés], [Ar^etes])
• PtCubicuboctaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Octogones], [Carrés], [Triangles], [Ar^etes])
• GdRhombicuboctaedreUnif(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Carrés 1], [Carrés 2], [Triangles], [Ar^
etes])
• PtDodecahemidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Décagones], [Pentagones], [Ar^etes])
• PtIcosihemidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Décagones], [Triangles], [Ar^etes])
• PtDodecicosaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Décagones], [Hexagones], [Ar^etes])

8
 • PtRhombidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Décagones], [Carrés], [Ar^
etes])
• PtDodecicosidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Décagones], [Pentagones], [Triangles], [Ar^
etes])
• Rhombicosaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>, [Hexagones], [Carrés], [Ar^etes])
• GdIcosicosidodecaedre(<Axe/Centre>, <Sommet>,
[Hexagones], [Pentagones], [Triangles], [Ar^etes])

2.6 Solides de Johnson

• Johnson(<Type>, <Axe/Centre>, <Sommet>,
[Faces1], [Faces2], [Faces3], [Faces4], [Ar^ etes])
Les solides de Johnson sont au nombre de 92. Vu leur nombre important, je vais me contenter d’en
donner la définition et quelques particularité.
Un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chacune des faces est un polygone régulier
mais qui n’est ni un solide de Platon, ni un solide d’Archimède, ni un prisme ou antiprisme uniforme. Les
faces des solides de Johnson peuvent alors être des triangles équilatéraux, des carrés, des pentagones, hexa-
gones, octogones ou décagones réguliers. Il peuvent avoir jusqu’à 4 types de faces différentes (d’où la présence
de la variable globale Color4 qui ne sert que pour les solides de Johnson). Il faut noter que beaucoup de ces
solides peuvent être construits par ajouts ou suppressions de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des
faces de solides de Platon, d’Archimède ou sur des prismes et antiprismes uniformes.

Voici la syntaxe des macros de construction de ces polyèdres :

• Jk (<Axe/Centre>, <Sommet>, [Faces1], [Faces2], [Faces3], [Faces4], [Ar^

etes])
où k est un entier compris entre 1 et 92.

On notera finallement que seuls 5 des solides de Johnson possèdent deux formes chirales ; il s’agit des
solides J44 , J45 , J46 , J47 et J48 .

9
3 Exemples

Tétraèdre régulier Cube Octaèdre régulier

Dodécaèdre régulier Icosaèdre régulier

Tab. 1 – Polyèdres réguliers convexes – solides de Platon

Petit dodécaèdre Grand dodécaèdre Grand dodécaèdre Grand icosaèdre

étoilé étoilé

Tab. 2 – Polyèdres réguliers non convexes – solides de Kepler-Poinsot

10
 Prismes uniformes Antiprismes uniformes

Tab. 3 – Prismes et antiprismes uniformes

Tétraèdre tronqué Cuboctaèdre Cube tronqué Octaèdre tronqué

Petit Grand Dodecaèdre tronqué Icosidodécaèdre

rhombicuboctaèdre rhombicuboctaèdre

Icosaèdre tronqué Cube adouci Petit Grand

rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre

Dodécaèdre adouci

Tab. 4 – Solides d’Archimède

11
 Tétrahémihexaèdre Cubohémioctaèdre Octahémioctaèdre Grand dodécaèdre

Grand icosaèdre Grand icosidodecaèdre Petit rhombihexaèdre Petit cubicuboctaèdre

ditrigonal

Grand rhombicuboctaèdre Petit Petit Petit dodécicosaèdre

uniforme dodécahémidodécaèdre icosihémidodécaèdre

Petit Petit Rhombicosaèdre Grand

rhombidodécaèdre dodécicosidodécaèdre icosicosidodécaèdre

Tab. 5 – Polyèdres uniformes non convexes à faces convexes

12
 J2 – Pyramide pentago- J3 – Coupole triangu-
J1 – Pyramide carrée J4 – Coupole carrée
nale laire

J5 – Coupole pentago- J6 – Rotonde pentago-

nale nale

Tab. 6 – Solides de Johnson – Prismatoı̈des et rotondes

13
J7 – Pyramide triangu- J8 – Pyramide carrée al- J9 – Pyramide pentago- J10 – Pyramide carrée
laire allongée longée nale allongée gyroallongée

J11 – Pyramide penta- J12 – Diamant triangu- J13 – Diamant pentago- J14 – Diamant triangu-
gonale gyroallongée laire nal laire allongé

J15 – Diamant carré al- J16 – Diamant pentago- J17 – Diamant carré gy-
longé nal allongé roallongé

Tab. 7 – Solides de Johnson – Pyramides modifiées et dipyramides

14
J18 – Coupole triangu- J19 – Coupole carrée al- J20 – Coupole pentago- J21 – Rotonde pentago-
laire allongée longée nale allongée nale allongée

J22 – Coupole triangu- J23 – Coupole carrée gy- J24 – Coupole pentago- J25 – Rotonde pentago-
laire gyroallongée roallongée nale gyroallongée nale gyroallongée

J26 – Gyrobiprisme tri- J27 – Orthobicoupole J28 – Orthobicoupole J29 – Gyrobicoupole

angulaire triangulaire carrée carrée

J30 – Orthobicoupole J31 – Gyrobicoupole J32 – Orthocoupole- J33 – Gyrocoupole-

pentagonale pentagonale rotonde pentagonale rotonde pentagonale

15
J34 – Orthobirotonde J35 – Orthobicoupole J36 – Gyrobicoupole tri- J37 – Gyrobicoupole
pentagonale triangulaire allongée angulaire allongée carrée allongée

J40 – Orthocoupole- J41 – Gyrocoupole-

J38 – Orthobicoupole J39 – Gyrobicoupole
rotonde pentagonale rotonde pentagonale
pentagonale allongée pentagonale allongée
allongée allongée

J42 – Orthobirotonde J43 – Gyrobirothonde J44 – Bicoupole triangu- J45 – Bicoupole carrée
pentagonale allongée pentagonale allongée laire gyroallongée gyroallongée

J47 – Coupole-rotonde
J46 – Bicoupole pentago- J48 – Birotonde penta-
pentagonale gyroal-
nale gyroallongée gonale gyroallongée
longée

Tab. 8 – Solides de Johnson – Coupoles et rotondes modifiées

16
J49 – Prisme triangu- J50 – Prisme triangu- J51 – Prisme triangu- J52 – Prisme pentagonal
laire augmenté laire biaugmenté laire triaugmenté augmenté

J53 – Prisme pentagonal J54 – Prisme hexagonal J55 – Prisme hexagonal J56 – Prisme hexagonal
biaugmenté augmenté parabiaugmenté métabiaugmenté

J57 – Prisme hexagonal

triaugmenté

Tab. 9 – Solides de Johnson – Prismes augmentés

17
J58 – Dodécaèdre aug- J59 – Dodécaèdre para- J60 – Dodécaèdre J61 – Dodécaèdre
menté biaugmenté métabiaugmenté triaugmenté

J62 – Icosaèdre J63 – Icosaèdre tridi- J64 – Icosaèdre tridi-

métabidiminué minué minué augmenté

Tab. 10 – Solides de Johnson – Solides platoniciens modifiés

18
J65 – Tétraèdre tronqué J66 – Cube tronqué aug- J67 – Cube tronqué bi- J68 – Dodécaèdre
augmenté menté augmenté tronqué augmenté

J69 – Dodécaèdre J70 – Dodécaèdre

J71 – Dodécaèdre J72 – Gyro-
tronqué parabiaug- tronqué
tronqué triaugmenté rhombicosidodécaèdre
menté métabiaugmenté

J73 – Parabigyro- J74 – Métabigyro- J75 – Trigyro- J76 – Rhombicosi-

rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre dodécaèdre diminué

19
J77 – Rhombicosi- J78 – Rhombi- J79 – Rhombicosi- J80 – Rhombicosi-
dodécaèdre paragyrodi- cosidodécaèdre dodécaèdre bigyrodi- dodécaèdre parabidi-
minué métagyrodiminué minué minué

J81 – Rhombi- J82 – Rhombicosi-

J83 – Rhombicosi-
cosidodécaèdre dodécaèdre gyrobidi-
dodécaèdre tridiminué
métabidiminué minué

Tab. 11 – Solides de Johnson – Solides d’Archimède modifiés

20
J84 – Disphénoı̈de J85 – Antiprisme carré J87 – Sphéno-couronne
J86 – Sphéno-couronne
adouci adouci augmentée

J88 – Sphénoméga- J89 – Hébesphénoméga- J91 – Birotonde bilu-

J90 – Disphéno-ceinture
couronne couronne naire

J92 – Hébesphéno-
rotonde triangulaire

Tab. 12 – Solides de Johnson – Divers

21
22