Mathématiques Les Physiciens Les Ingénieurs: Pour Et

WELTNER_17X24_V2_Mise en page 2 22/05/12 10:21 Page1
sciences de sciences de
aW.-J. Weber
aP. Schuster
l’ingénieur
aJ. Grosjean
aK. Weltner
l’ingénieur
a K. Weltner
a J. Grosjean
Mathématiques CD-ROM
inclus
a W.-J. Weber pour les physiciens
physiciens et les ingénieurs

aK . We l t n e r
a P. Schuster
et les ingénieurs
Mathématiques pour les

aJ . G r o s j e a n
Notions fondamentales et guide d’étude interactif aW. - J . We b e r
Ce livre couvre et illustre de manière progressive et complète l’ensemble des a P. S c h u s t e r
concepts mathématiques à la base de la physique et des sciences de l’ingénieur.
Il se présente sous la forme de chapitres assez brefs, ciblant chacun un aspect
particulier, qui peuvent être abordés, si nécessaire, de manière indépendante.
L’ouvrage privilégie une approche concrète, basée sur de nombreux exemples
empruntés à la physique et aux sciences de l’ingénieur.
L’approche est résolument pédagogique. Outre, la progressivité de la présentation

des concepts, ce livre propose, pour chaque chapitre, de nombreux problèmes,
Mathématiques
de complexité croissante, dont les solutions brèves sont données en annexe.
Á ce manuel est joint un guide d’étude détaillé disponible sur un CD-rom. Ce guide
d’étude décompose la matière en petites unités, afin que l’étudiant(e) ait toutes
pour les physiciens
les chances de les maîtriser successivement avec succès. Ainsi il, ou elle, est
invité(e) à lire et étudier une partie limitée du manuel et à revenir ensuite au guide
d’étude. Dans ce guide, les résultats de l’apprentissage sont vérifiés, encadrés
et approfondis par des questions progressives, des exercices, des répétitions et,
et les ingénieurs
finalement, par des problèmes d’application du contenu étudié. Comme les niveaux
de difficulté augmentent peu à peu les étudiants voient croître leur confiance
en eux, et ils mesurent par eux-mêmes leurs progrès dans les compétences
Notions fondamentales et guide d’étude interactif
mathématiques, renforçant ainsi leur motivation.
Ce guide d’étude vise simultanément deux objectifs :

• il permet aux étudiants d’utiliser efficacement le manuel
• il propose des conseils pour l’amélioration des compétences d’étude. Traduction française :
G. Campion
Traduction de l’édition anglaise par Guy Campion
sciences de
l’ingénieur
Docteur en Sciences appliquées, Professeur émérite à l’Université

catholique de Louvain.
Conception graphique : Primo&Primo
ISBN : 978-2-8041-6906-0
9782804169060
WELTNER
Retrouvez l'intégralité de cet ouvrage et toutes les informations sur ce titre chez le libraire en ligne
decitre.fr
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Mathématiques
pour les physiciens
et les ingénieurs
Notions fondamentales et
guide d’étude interactif
Dans la collection « Sciences de l’ingénieur »
ALEXANDER, SADIKU, Analyse des circuits électriques

BEER, JOHNSTON, BENEDETTI, TREMBLAY,
Mécanique pour ingénieur. Vol. 1 Statique
BEER, JOHNSTON, COLLET, MAYER,
Mécanique pour ingénieur. Vol. 2 Dynamique
BOLES, CENGEL, LACROIX, Thermodynamique.
Une approche pragmatique, 2e éd.
CENGEL, BOLES, Thermodynamique, 2e éd.
GHASEM, HENDA, Bilans matière et énergétique pour l’ingénierie chimique.
Principes et applications pratiques
REDDY, Mécanique des milieux continus
WELTNER, WEBER, SCHUSTER, GROSJEAN,
Mathématiques pour physiciens et ingénieurs
sciences de
l’ingénieur
aW
E L T N E R
aG
R O S J E A N
aW
E B E R
aS
C H U S T E R
Mathématiques
pour les physiciens
et les ingénieurs
Notions fondamentales et
guide d’étude interactif
Ouvrage original
Translation from the English language edition :

Mathematics for Physicists and Engineers by Klaus Weltner, Jean Grosjean, Wolfgang J.
Weber, Peter Schuster.
Copyright © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009. Springer is a part of Springer
Science + Business Media. All Rights Reserved.
Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de
spécialisation, consultez notre site web : www.deboeck.com
© De Boeck Supérieur s.a., 2012 2e tirage 2014

Fond Jean Pâques, 4 – 1348 Louvain-la-Neuve
Pour la traduction et l’adaptation française
Tous droits réservés pour tous pays.

Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie)
partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le
communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.
Imprimé en Belgique
Dépôt légal :
Bibliothèque nationale, Paris : juin 2012
Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2012/0074/042 ISBN 978-2-8041-6906-0
Auteurs principaux de la version internationale
Le Professeur Dr. Klaus Weltner a étudié la physique à l’Université Technique de Hanovre

(Allemagne) et à l’Université de Bristol (Grande-Bretagne). Il a obtenu un diplôme en phy-
sique des plasmas et a été professeur de physique et de didactique de la physique dans les
Universités d’Osnabrück, Berlin et Francfort et professeur invité en physique à l’Université
Fédérale de Bahia (Brésil).
Le Professeur Dr. Jean Grosjean a dirigé le département de mathématiques appliquées à

l’École d’ingénieurs de l’Université de Bath (Grande-Bretagne).
Wolfgang J. Weber a étudié les mathématiques dans les universités de Francfort (Allemagne),
Oxford (Grande-Bretagne) et à la Michigan State University (USA). Il est actuellement res-
ponsable de la formation des spécialistes en informatique au Centre d’informatique de l’Uni-
versité de Francfort.
Le Dr.-Ingénieur Peter Schuster a enseigné à l’École d’ingénieurs à l’Université de Bath

(Grande-Bretagne). Il a entretenu différents contacts avec l’industrie chimique.
v
Avant-propos
Les mathématiques constituent un outil essentiel pour les physiciens et les ingénieurs. C’est
pourquoi les étudiants sont amenés à les utiliser de manière intensive dès le début de leur
formation. La combinaison d’un manuel et d’un guide d’étude vise justement à développer
aussi rapidement que possible les capacités des étudiants à comprendre et à utiliser les aspects
des mathématiques qu’ils rencontreront le plus fréquemment. Ainsi, les fonctions, les vecteurs,
le calcul différentiel et intégral, les équations différentielles ainsi que les fonctions de plusieurs
variables sont présentés d’une manière très accessible. De plus les différents Chapitres du
livre fournissent les connaissances de base sur divers aspects importants des mathématiques
appliquées.
Chacun des auteurs s’est construit, sur la base de son expérience d’enseignant, une perception
très claire des attentes des étudiants de première et de seconde années. Un de leurs objectifs
a été d’aider le lecteur à affronter avec succès les difficultés habituellement rencontrées en
mathématiques. Une spécificité de l’ouvrage qui amplifie l’efficacité du manuel est le « guide
d’étude » qui l’accompagne. Ce guide d’étude vise simultanément deux objectifs : il entraine
les étudiants à faire un usage plus efficace du manuel, et, de manière plus générale, il propose
des conseils pour l’amélioration des techniques d’apprentissage au moyen de supports écrits.
Le guide d’étude décompose l’ensemble du travail d’apprentissage en petites unités que
l’étudiant(e) pourra maîtriser, l’une après l’autre, avec succès. Ainsi il (ou elle) est invité(e)
à lire et étudier une partie limitée du manuel et à revenir ensuite au guide d’étude. Les résultats
de l’apprentissage sont conduits, approfondis et vérifiés par des questions progressives, des
exercices, des répétitions et, finalement, par des problèmes d’application du contenu étudié.
Comme les niveaux de difficulté s’élèvent peu à peu les étudiants voient se développer immé-
diatement leur confiance en eux, et ils mesurent par eux-mêmes les progrès dans leurs com-
pétences mathématiques, ce qui renforce leur motivation. De plus, en cas de difficultés
d’apprentissage, il leur est proposé des explications complémentaires, et, en cas de besoins
particuliers, des exercices et des applications additionnels. La séquence des études est ainsi
individualisée selon les performances et les besoins de chacun et peut être considérée comme
un enseignement complet.
vii
viii Avant-propos
Cet ouvrage a tout d’abord été publié en Allemagne sous le titre “Mathematik für Physi-
ker” (Mathématiques pour les physiciens). Il a prouvé sa valeur au cours d’années d’utilisation
effective. La version anglaise a été adaptée et étendue de manière à rencontrer les besoins
des étudiants, en sciences de l’ingénieur comme en physique.
Le CD offre deux versions. Dans la première version les différents cadres du guide d’étude
apparaissent sur l’écran du PC. L’utilisateur suit alors les instructions données à l’écran, après
une première étude des Chapitres du manuel menée indépendamment du PC. Après cette
étude autonome l’utilisateur est invité à répondre aux questions et à résoudre les problèmes
présentés par le PC. La seconde version est constituée de fichiers pdf pour les étudiants qui
préfèrent travailler avec une version imprimée.
Le manuel comme le guide d’étude résultent d’un travail d’équipe. Les auteurs du manuel
original et du guide d’étude sont le Prof. Dr. K. Weltner, le Prof. Dr. P.-B. Heinrich, le Prof.
Dr. H. Wiesner, P. Engelhard et le Prof. Dr. H. Schmidt. Les adaptations et la traduction en
anglais ont été réalisées par les soussignés.
Francfort, août 2009 K. Weltner

J. Grosjean
P. Schuster
W. J. Weber
Remerciements
Publication originale en République Fédérale d’Allemagne sous le titre
Mathematik für Physiker
par les auteurs
K. Weltner, H. Wiesner, P.-B. Heinrich, P. Engelhardt et H. Schmidt.
L’ouvrage a été traduit en anglais par J. Grosjean et P. Schuster et adapté par J. Grosjean, P.
Schuster, W. J. Weber et K. Weltner aux besoins des étudiants en science et des étudiants
ingénieurs dans les pays anglophones.
Il a été traduit en Français par G. Campion à destination des étudiants des pays francophones.
ix
Table des matières
Avant-propos .............................................................................................................. vii
1 Algèbre vectorielle I : scalaires et vecteurs ..................................................... 1

1.1 Scalaires et vecteurs ................................................................................ 1
1.2 Addition de vecteurs ................................................................................ 4
1.2.1 Somme de deux vecteurs : l’addition géométrique .................... 4
1.3 Soustraction de vecteurs .......................................................................... 6
1.4 Composantes et projection d’un vecteur ................................................. 7
1.5 Représentation par composantes dans un système de coordonnées ........ 9
1.5.1 Vecteurs position ....................................................................... 9
1.5.2 Vecteurs unité ............................................................................ 10
1.5.3 Représentation d’un vecteur par ses composantes ..................... 11
1.5.4 Représentation de la somme de deux vecteurs en termes de leurs
composantes ....................................................................................... 12
1.5.5 Soustraction de vecteurs en termes de leurs composantes ......... 13
1.6 Multiplication d’un vecteur par un scalaire ............................................. 14
1.7 Magnitude (ou norme) d’un vecteur ........................................................ 15
2 Algèbre vectorielle II : produit scalaire et produit vectoriel ........................ 23

2.1 Produit scalaire ........................................................................................ 23
2.1.1 Application : équations de la droite et du plan .......................... 26
2.1.2 Cas particuliers .......................................................................... 26
2.1.3 Commutativité et associativité ................................................... 27
2.1.4 Produit scalaire en termes des composantes des vecteurs ......... 27
2.2 Produit vectoriel ...................................................................................... 30
2.2.1 Moment de force ........................................................................ 30
2.2.2 Le moment comme vecteur ........................................................ 31
2.2.3 Définition du produit vectoriel .................................................. 32
2.2.4 Cas particuliers .......................................................................... 33
2.2.5 Anticommutativité du produit vectoriel ..................................... 33
2.2.6 Composantes du produit vectoriel ............................................. 34
xi
xii Table des matières
2.1 Produit scalaire ............................................................................................. 36

2.2 Produit vectoriel ...................................................................................... 36
3 Fonctions ........................................................................................................... 39
3.1 Le concept mathématique de fonction, et sa signification en physique
et en sciences de l’ingénieur .................................................................... 39
3.1.1 Introduction ................................................................................ 39
3.1.2 Le concept de fonction ............................................................... 40
3.2 Représentation graphique de fonctions ................................................... 42
3.2.1 Système de coordonnées, vecteur position ................................ 42
3.2.2 Fonction linéaire : la droite ........................................................ 43
3.2.3 Tracé de graphe .......................................................................... 44
3.3 Équations quadratiques ............................................................................ 47
3.4 Variations paramétriques de fonctions et leur interprétation graphique . 49
3.5 Fonctions inverses ................................................................................... 50
3.6 Fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires .............................. 52
3.6.1 Le cercle unité ............................................................................ 52
3.6.2 La fonction sinus ........................................................................ 53
3.6.3 La fonction cosinus .................................................................... 58
3.6.4 Relations entre les fonctions sinus et cosinus ............................ 59
3.6.5 Tangente et cotangente .............................................................. 61
3.6.6 Formules d’addition ................................................................... 62
3.7 Fonctions trigonométriques inverses ....................................................... 64
3.8 Fonction de fonction (composition de fonctions) .................................... 66
4 Les fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques .................... 69

4.1 Puissances, la fonction exponentielle ...................................................... 69
4.1.1 Puissances .................................................................................. 69
4.1.2 Lois des exposants ..................................................................... 70
4.1.3 Théorème du binôme ................................................................. 71
4.1.4 La fonction exponentielle .......................................................... 71
4.2 Les logarithmes et la fonction logarithmique .......................................... 74
4.2.1 Logarithmes ............................................................................... 74
4.2.2 Opérations avec les logarithmes ................................................ 76
4.2.3 Les fonctions logarithmiques ..................................................... 77
4.3 Les fonctions hyperboliques et les fonctions hyperboliques inverses ..... 78
4.3.1 Les fonctions hyperboliques ...................................................... 78
4.3.2 Les fonctions hyperboliques inverses ........................................ 81
5 Calcul différentiel ............................................................................................. 85

5.1 Suites et limites ........................................................................................ 85
5.1.1 Le concept de suite .................................................................... 85
5.1.2 Limite d’une suite ...................................................................... 86
5.1.3 Limite d’une fonction ................................................................ 89
5.1.4 Exemples de détermination pratique de limites ......................... 89
Table des matières xiii
5.2 Continuité ................................................................................................ 91

5.3 Séries ....................................................................................................... 92
5.3.1 Séries géométriques ................................................................... 93
5.4 Dérivation d’une fonction ........................................................................ 94
5.4.1 Gradient ou pente d’une droite .................................................. 94
5.4.2 Gradient d’une courbe quelconque ............................................ 95
5.4.3 Dérivée d’une fonction .............................................................. 97
5.4.4 Application physique : la vitesse ............................................... 98
5.4.5 Les différentielles ...................................................................... 99
5.5 Calcul des dérivées .................................................................................. 100
5.5.1 Dérivées des fonctions puissances ; facteurs constants ............. 101
5.5.2 Règles de dérivation ................................................................... 102
5.5.3 Dérivation de fonctions fondamentales ..................................... 106
5.6 Dérivées d’ordre supérieur ...................................................................... 112
5.7 Valeurs extrêmes et points d’inflexion ; tracé de courbes ....................... 113
5.7.1 Valeurs maximum et minimum d’une fonction ......................... 113
5.7.2 Remarques sur les points d’inflexion (contraflexure) ................ 117
5.7.3 Tracé de courbes ........................................................................ 118
5.8 Applications du calcul différentiel .......................................................... 121
5.8.1 Valeurs extrêmes ........................................................................ 121
5.8.2 Incréments .................................................................................. 122
5.8.3 Courbure .................................................................................... 123
5.8.4 Détermination de limites par dérivation : la règle de l’Hospital 125
5.9 Compléments aux méthodes de calcul des dérivées ................................ 127
5.9.1 Fonctions implicites et leurs dérivées ........................................ 127
5.9.2 Dérivation logarithmique ........................................................... 128
5.10 Fonctions paramétriques et leurs dérivées ............................................... 129
5.10.1 Forme paramétrique d’une équation .......................................... 129
5.10.2 Dérivées des fonctions paramétriques ...................................... 133
6 Calcul intégral ................................................................................................... 145

6.1 La fonction primitive ............................................................................... 145
6.1.1 Le problème fondamental du calcul intégral ............................. 145
6.2 Le problème de calcul des aires : l’intégrale définie ............................... 147
6.3 Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral ..................... 149
6.4 L’intégrale définie ................................................................................... 153
6.4.1 Calcul d’intégrales définies à partir d’intégrales indéfinies ...... 153
6.4.2 Exemples d’intégrales définies .................................................. 156
6.5 Méthodes d’intégration ............................................................................ 159
6.5.1 Principe de vérification .............................................................. 159
6.5.2 Intégrales standard ..................................................................... 159
6.5.3 Facteur constant et somme de fonctions .................................... 160
6.5.4 Intégration par parties : produit de deux fonctions ..................... 161
6.5.5 Intégration par substitution ........................................................ 164
xiv Table des matières
6.5.6 Cas particuliers de substitution .................................................. 166

6.5.7 Intégration par fractions rationnelles ......................................... 170
6.6 Règles de calcul des intégrales définies .................................................. 175
6.7 Le théorème de la valeur moyenne .......................................................... 178
6.8 Intégrales impropres ................................................................................ 179
6.9 Intégrales de ligne .................................................................................... 181
7 Applications de l’intégration ........................................................................... 191

7.1 Les aires ................................................................................................... 191
7.1.1 Calcul des aires pour les fonctions paramétriques ..................... 194
7.1.2 Calcul des aires en coordonnées polaires .................................. 195
7.1.3 Aire de figures délimitées par des courbes fermées .................. 197
7.2 Les longueurs de courbes ........................................................................ 198
7.2.1 Calcul de longueurs de courbes en coordonnées polaires .......... 201
7.3 Surface et volume d’un solide de révolution ........................................... 202
7.4 Applications à la mécanique .................................................................... 208
7.4.1 Concepts de base en mécanique ................................................. 208
7.4.2 Centre de masse et centroïde ..................................................... 208
7.4.3 Les théorèmes de Pappus ........................................................... 211
7.4.4 Moments d’inertie ; moment quadratique de surface ................ 213
8 Série de Taylor et séries potentielles ............................................................... 227

8.1 Introduction ............................................................................................. 227
8.2 Développement d’une fonction en série potentielle ................................ 228
8.3 Intervalle de convergence d’une série potentielle ................................... 232
8.4 Valeurs approchées de fonctions ............................................................. 233
8.5 Développement d’une fonction f (x) autour d’un point arbitraire ........... 235
8.6 Applications des séries ............................................................................ 237
8.6.1 Approximation par polynômes .................................................. 237
8.6.2 Intégration d’une fonction exprimée sous la forme d’une série 240
8.6.3 Développement en série par intégration .................................... 242
9 Les nombres complexes .................................................................................... 247

9.1 Définition et propriétés des nombres complexes ..................................... 247
9.1.1 Les nombres imaginaires ........................................................... 247
9.1.2 Les nombres complexes ............................................................. 248
9.1.3 Champs d’application ................................................................ 248
9.1.4 Opérations sur les nombres complexes ...................................... 249
9.2 Représentation graphique de nombres complexes .................................. 250
9.2.1 Le plan complexe de Gauss : le diagramme d’Argand .............. 250
9.2.2 Forme polaire d’un nombre complexe ....................................... 251
9.3 Forme exponentielle d’un nombre complexe .......................................... 254
9.3.1 La formule d’Euler ..................................................................... 254
9.3.2 Forme exponentielle des fonctions sinus et cosinus .................. 255
Table des matières xv
9.3.3 Les nombres complexes comme exposants ............................... 255

9.3.4 Multiplication et division de nombres complexes
sous leur forme exponentielle .................................................... 258
9.3.5 Élévation à la puissance, forme exponentielle ........................... 259
9.3.6 Périodicité de ............................................................................ 259
9.3.7 Transformation d’un nombre complexe d’une forme à l’autre .. 260
9.4 Opérations sur les nombres complexes exprimés sous la forme polaire .... 261
9.4.1 Multiplication et division ........................................................... 261
9.4.2 Élévation à une puissance .......................................................... 263
9.4.3 Racines d’un nombre complexe ................................................. 263
10 Équations différentielles ................................................................................... 273

10.1 Les équations différentielles : concept et classification .......................... 273
10.2 Remarques préliminaires ......................................................................... 277
10.3 Solution générale des ED du premier et du second ordre
avec coefficients constants ...................................................................... 279
10.3.1 ED linéaires homogènes ............................................................ 279
10.3.2 ED linéaires non homogènes ..................................................... 285
10.4 Problèmes aux conditions aux frontières ................................................. 291
10.4.1 ED du premier ordre .................................................................. 291
10.4.2 ED du second ordre .................................................................... 291
10.5 Quelques applications des ED ................................................................. 293
10.5.1 Décroissance de la radioactivité ................................................ 293
10.5.2 L’oscillateur harmonique ........................................................... 294
10.6 ED linéaires générales du premier ordre ................................................. 302
10.6.1 Résolution par variation des constantes ..................................... 302
10.6.2 Une méthode directe utilisant le facteur intégrant ..................... 304
10.7 Quelques remarques sur les ED du premier ordre ................................... 306
10.7.1 Les équations de Bernoulli ........................................................ 306
10.7.2 Séparation de variables .............................................................. 307
10.7.3 ED exactes ................................................................................. 308
10.7.4 Le facteur intégrant – Le cas général ......................................... 311
10.8 Systèmes d’ED simultanées .................................................................... 313
10.9 ED d’ordre plus élevé interprétées comme des systèmes d’ED
du premier ordre ...................................................................................... 317
10.10 Quelques conseils pour les ED coriaces .................................................. 317
11 Les transformées de Laplace ........................................................................... 321

11.1 Introduction ............................................................................................. 321
11.2 Définition de la transformation de Laplace ............................................ 321
11.3 Transformées de Laplace des fonctions standard .................................... 322
11.4 Résolution des ED linéaires avec coefficients constants ......................... 328
11.5 Résolution d’ED simultanées avec coefficients constants ...................... 330
xvi Table des matières
12 Fonctions de plusieurs variables :

Dérivée partielle ; dérivée totale ; différentielle totale .................................. 337
12.1 Introduction ............................................................................................. 337
12.2 Fonctions de plusieurs variables .............................................................. 338
12.2.1 Représentation de la surface par établissement d’une table
des valeurs de z .......................................................................... 339
12.2.2 Représentation de la surface par construction de courbes
d’intersection ............................................................................. 340
12.2.3 Expression d’une surface donnée sous forme fonctionnelle ...... 343
12.3 Les dérivées partielles ............................................................................. 344
12.3.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur ......................................... 348
12.4 Différentielle totale ................................................................................. 350
12.4.1 Différentielle totale de fonctions de plusieurs variables ............ 350
12.4.2 Application : calcul de tolérances .............................................. 354
12.4.3 Le gradient ................................................................................. 356
12.5 Dérivée totale ........................................................................................... 358
12.5.1 Fonctions explicites ................................................................... 358
12.5.2 Fonctions implicites ................................................................... 360
12.6 Maxima et minima de fonctions de deux ou plus de deux variables ....... 361
12.7 Applications : fonction d’onde et équation d’onde ................................. 367
12.7.1 Fonction d’onde ......................................................................... 367
17.7.2 Équation d’onde ......................................................................... 371
13 Intégrales multiples ; systèmes de coordonnées .............................................. 377

13.1 Intégrales multiples ................................................................................. 377
13.2 Intégrales multiples avec des bornes constantes ..................................... 379
13.2.1 Décomposition d’une intégrale multiple en un produit
d’intégrales simples ................................................................... 381
13.3 Intégrales multiples avec des bornes variables ........................................ 382
13.4 Systèmes de coordonnées ........................................................................ 386
13.4.1 Coordonnées polaires ................................................................. 387
13.4.2 Coordonnées cylindriques .......................................................... 389
13.4.3 Coordonnées sphériques ............................................................ 391
13.5 Application : moments d’inertie d’un solide ........................................... 395
14 Transformations de coordonnées ; matrices .................................................. 401

14.1 Introduction ............................................................................................. 401
14.2 Déplacement parallèle de systèmes de coordonnées : la translation ....... 404
14.3 Rotation ................................................................................................... 407
14.3.1 Rotation dans le plan .................................................................. 407
14.3.2 Rotations successives ................................................................. 410
14.3.3 Rotations dans l’espace tridimensionnel .................................... 411
14.4 Algèbre matricielle .................................................................................. 413
14.4.1 Addition et soustraction de matrices .......................................... 415
14.4.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire ............................. 416
Table des matières xvii
14.4.3 Produit d’une matrice et d’un vecteur ........................................ 416

14.4.4 Multiplication de deux matrices ................................................ 417
14.5 Expression matricielle des rotations ........................................................ 419
14.5.1 Rotation dans l’espace bidimensionnel ...................................... 419
14.5.2 Rotation particulière dans l’espace tridimensionnel .................. 420
14.6 Matrices spéciales .................................................................................... 421
14.7 Matrice inverse ........................................................................................ 424
15 Système d’équations linéaires ; déterminants ................................................ 429

15.1 Introduction ............................................................................................. 429
15.2 Systèmes d’équations linéaires ................................................................ 429
15.2.1 Élimination gaussienne : élimination successive des variables ... 429
15.2.2 Élimination de Gauss-Jordan ..................................................... 431
15.2.3 Notation matricielle pour les systèmes d’équations et calcul
de la matrice inverse .................................................................. 432
15.2.4 Existence des solutions .............................................................. 435
15.3 Déterminants ............................................................................................ 438
15.3.1 Remarques préliminaires sur les déterminants .......................... 438
15.3.2 Définition et propriétés d’un déterminant d’ordre n .................. 439
15.3.3 Rang d’un déterminant et rang d’une matrice ........................... 444
15.3.4 Applications des déterminants ................................................... 445
16 Valeurs propres et vecteurs propres de matrices réelles ............................... 451

16.1 Deux études de cas : valeurs propres de matrices 2 × 2 .......................... 451
16.2 Méthode générale de recherche des valeurs propres ............................... 454
16.3 Un exemple détaillé : les valeurs propres d’une matrice 3 × 3 .............. 456
16.4 Remarques importantes concernant les valeurs propres
et vecteurs propres ................................................................................... 458
17 Analyse vectorielle : intégrales de surface, divergence, rotationnel et potentiel 461

17.1 Flux d’un champ de vecteurs au travers d’un élément de surface ........... 461
17.2 Intégrales de surface ................................................................................ 464
17.3 Cas particuliers d’intégrales de surface ................................................... 466
17.3.1 Flux d’un champ de vecteurs homogène au travers
d’un parallélépipède rectangle ................................................... 466
17.3.2 Flux d’un champ de vecteurs à symétrie sphérique au travers
d’une sphère ............................................................................... 468
17.3.3 Application : le champ électrique d’une charge ponctuelle ........ 470
17.4 Calcul d’intégrales de surface : cas général ............................................ 470
17.5 Divergence d’un champ de vecteurs ........................................................ 475
17.6 Le théorème de Gauss (ou d’Ostrogradski) ............................................. 478
17.7 Rotationnel d’un champ de vecteurs ....................................................... 480
17.8 Le théorème de Stokes ............................................................................. 484
xviii Table des matières
17.9 Potentiel d’un champ de vecteurs ............................................................ 485

17.10 Références principales sur les dérivées vectorielles ............................... 488
18 Séries de Fourier ; analyse harmonique ......................................................... 491

18.1 Développement d’une fonction périodique en série de Fourier .............. 491
18.1.1 Évaluation des coefficients ........................................................ 492
18.1.2 Fonctions paires et impaires ...................................................... 495
18.2 Exemples de séries de Fourier ................................................................. 496
18.3 Développement de fonctions de période 2L ............................................ 501
19 Calcul des probabilités ..................................................................................... 507

19.1 Introduction ............................................................................................. 507
19.2 Le concept de probabilité ........................................................................ 508
19.2.1 Expérience aléatoire, espace des résultats et événements .......... 508
19.2.2 La définition classique de probabilité ........................................ 509
19.2.3 La définition statistique de probabilité ...................................... 509
19.2.4 Propriétés générales des probabilités ......................................... 511
19.2.5 Probabilité d’événements statistiquement indépendants.
Probabilité composée ................................................................. 513
19.3 Permutations et combinaisons ................................................................. 515
19.3.1 Permutations .............................................................................. 515
19.3.2 Combinaisons ............................................................................. 516
20 Distributions de probabilité ............................................................................. 519

20.1 Distributions de probabilité discrètes et continues .................................. 519
20.1.1 Distributions de probabilité discrètes ........................................ 519
20.1.2 Distributions continues de probabilité ....................................... 522
20.2 Valeurs moyennes de variables aléatoires discrètes ou continues ........... 525
20.3 La distribution normale comme limite de la distribution binomiale ....... 527
20.3.1 Propriétés de la distribution normale ......................................... 530
20.3.2 Construction de la distribution binomiale .................................. 532
21 Théorie des erreurs ........................................................................................... 537

21.1 Objet de la théorie des erreurs ................................................................. 537
21.2 Valeur moyenne et variance .................................................................... 538
21.2.1 Valeur moyenne ......................................................................... 538
21.2.2 Variance et écart-type ................................................................ 539
21.2.3 Valeur moyenne et variance d’un échantillon aléatoire
et de la population parente ......................................................... 540
21.3 Valeur moyenne et variance de distributions continues .......................... 542
21.4 Erreur dans l’estimation de la moyenne .................................................. 544
21.5 Distribution normale et distribution des erreurs aléatoires ...................... 545
21.6 Loi de propagation des erreurs ................................................................ 546
Table des matières xix
21.7 Moyennes pondérées ............................................................................... 548

21.8 Ajustement de courbe : méthode des moindres carrés,
droite de régression .................................................................................. 549
21.9 Corrélation et coefficient de corrélation .................................................. 552
Solutions des exercices ............................................................................................... 557
Index ............................................................................................................................ 581

Chapitre 1
Algèbre vectorielle I : scalaires et vecteurs
1.1 Scalaires et vecteurs

Les mathématiques sont utilisées en physique et dans les sciences de l’ingénieur pour décrire
des événements naturels caractérisés par des quantités spécifiées par des valeurs numériques
et des unités de mesure. Mais une telle description n’est pas toujours suffisante et elle peut
mener à des conclusions incomplètes.
Considérons, par exemple, cette prévision météorologique :
« On annonce un vent de force 4 sur la Mer du Nord. »
Ceci ne spécifie pas la direction du vent, information qui peut être cruciale.
La prévision suivante, par contre, est complète :
« On annonce un vent d’Ouest de force 4 sur la Mer du Nord. »
Cette phrase contient deux éléments d’information concernant le mouvement de l’air : la
force du vent, qui peut être mesurée, dans le cadre de la physique, par la vitesse du vent expri-
mée en mètres par seconde (m/s), ainsi que sa direction. Si la direction n’était pas connue,
le mouvement de l’air ne serait pas complètement spécifié. Les cartes météorologiques indi-
quent la direction du vent au moyen de flèches, comme indiqué à la Figure 1.1. Il est évident
Fig. 1.1
K. Weltner, W.J. Weber, J. Grosjean, P. Schuster, Mathematics for Physicists and Engineers
ISBN 978-3-642-00172-7 © Springer 2011
2 1 Algèbre vectorielle I : scalaires et vecteurs
que cet aspect de direction est d’une importance capitale pour la navigation. La vitesse n’est
donc complètement définie que si les deux informations, sa direction et sa grandeur, sont don-
nées. En physique et dans les sciences de l’ingénieur, il y a de nombreuses quantités qui doi-
vent être caractérisées par leur grandeur et leur direction. De telles quantités, dont la vitesse
est un exemple, sont appelées grandeurs vectorielles ou, plus simplement, vecteurs.
Comme second exemple de grandeur vectorielle, issu des mathématiques, considérons le
glissement en position d’un point, de P1 vers P2, comme indiqué à la Figure 1.2a. Ce dépla-
cement possède une magnitude et une direction, et il peut être représenté par une flèche. La
magnitude est la longueur de la flèche, tandis que la direction est spécifiée par rapport à un
système de coordonnées adapté. De même, le glissement du point vers une position P3 est
aussi une quantité vectorielle (Figure 1.2b).
Fig. 1.2
Une figure dans un plan ou dans l’espace peut être glissée parallèlement à elle-même (un
tel déplacement est appelé translation) ; lors d’un tel déplacement les directions de toutes
les lignes de la figure sont préservées. La Figure 1.3 illustre la translation d’un rectangle de
la position A vers la position B où chaque point du rectangle a été déplacé de la même distance
dans la même direction. Des déplacements effectués dans la même direction, avec des magni-
tudes égales, sont considérés comme des déplacements équivalents. Un tel ensemble de dépla-
cements équivalents est caractérisé de manière univoque par un vecteur représentatif, tel que a
à la Figure 1.3. Deux vecteurs sont considérés comme égaux s’ils possèdent la même magni-
tude et la même direction.
Fig. 1.3
1.1 Scalaires et vecteurs 3
De plus, les vecteurs peuvent glisser parallèlement à eux-mêmes, comme illustré à la

Figure 1.4a, sans subir de modification, pour autant que les magnitudes et les directions soient
conservées. En particulier, un vecteur peut glisser le long de sa ligne d’action, comme illustré
à la Figure 1.4b.
Fig. 1.4
Les vecteurs peuvent être combinés de plusieurs manières. Considérons l’addition de vec-
teurs. Soit le point P1, à la Figure 1.5 déplacé en P2, et enfin déplacé en P3. Chaque déplacement
est représenté par un vecteur, en l’occurrence P 1 P 2 et P 2 P 3 , et la résultante des deux dépla-
cements par un vecteur P 1 P 3 . Ainsi, nous pouvons interpréter la succession de deux dépla-
cements comme la somme de deux vecteurs donnant naissance à un troisième.
Fig. 1.5
La longueur du vecteur représentant une quantité physique doit être reliée à une unité de
mesure.
Définition Les vecteurs sont des quantités définies par leur magnitude et leur direc-
tion. La représentation géométrique d’un vecteur se fait à l’aide d’une
flèche dont la longueur, à une certaine échelle, représente la magnitude
de la quantité physique, et dont la direction indique la direction du vecteur.
D’autre part, il existe aussi des quantités physiques, différentes des vecteurs, qui sont
caractérisées exclusivement par leur magnitude, indépendamment de toute notion de direc-
tion. La température d’un corps en constitue un exemple. De telles quantités sont appelées
quantités scalaires, ou, simplement, des scalaires.
Définition Une quantité scalaire est une quantité qui est complètement caractérisée
par sa magnitude.
Les calculs portant sur les scalaires obéissent aux règles classiques de l’algèbre, avec des
nombres positifs ou négatifs. Les calculs impliquant les vecteurs peuvent sembler, au premier
abord, plus compliqués. Toutefois, la représentation graphique et géométrique des vecteurs
simplifie ce traitement. D’autre part, l’usage des vecteurs permet de décrire de manière
concise des situations physiques.
Il est nécessaire d’adopter des notations claires pour représenter les quantités vectorielles,
et il existe, de fait, de nombreuses notations.
Les vecteurs peuvent être représentés par :
1. deux lettres majuscules surmontées par une flèche spécifiant l’orientation de la direction,
par exemple P 1 P 2 où P1 est le point de départ et P2 le point d’arrivée du vecteur ;
2. des lettres grasses, par exemple a, A (notation adoptée dans cet ouvrage) ;
3. des lettres surmontées d’une flèche, par exemple a , A ;
4. des lettres soulignées par un trait, par exemple a , ou parfois par le signe « tilde », par
exemple a .
˜
Pour faire la distinction entre la magnitude d’un vecteur a et le vecteur lui-même, on utilise
la notation
|a| = a
La quantité |a| est une quantité scalaire, appelée norme du vecteur, et représente sa magnitude.
1.2 Addition de vecteurs

Dans une approche géométrique, les vecteurs peuvent être combinés en définissant des règles
simples.
Il est indispensable, évidemment, que les résultats (somme, différence) correspondent
exactement à la manière dont se comportent les quantités physiques sous-jacentes.
12.1 Somme de deux vecteurs : l’addition géométrique

Nous avons montré précédemment que la somme de deux vecteurs s’obtient à partir de
l’enchaînement de deux déplacements: la résultante de deux déplacements est représentée
par un troisième. Si deux vecteurs a et b sont additionnés de telle manière que leur somme
est un troisième vecteur c, alors nous écrivons
c=a+b
1.2 Addition de vecteurs 5
Considérons les deux vecteurs a et b, représentés à la Figure 1.6a, avec une origine commune
en A. Nous pouvons déplacer le vecteur b, parallèlement à lui-même, jusqu’à ce que son point
de départ coïncide avec le point d’arrivée du vecteur a (voir la Figure 1.6b). Suite à cette
translation, nous définissons le vecteur c comme le vecteur commençant en A et se terminant
au point d’arrivée du vecteur b déplacé (voir la Figure 1.6c). Alors c est le vecteur somme
des deux vecteurs a et b, et est appelé la résultante. La loi du triangle pour l’addition des
vecteurs est exprimée par l’équation vectorielle
c=a+b
Fig. 1.6
La somme de plusieurs vecteurs s’obtient par l’application successive de cette règle du

triangle, menant à la construction d’un polygone, comme illustré à la Figure 1.7.
Résultante
Fig. 1.7
L’ordre dans lequel sont additionnés les vecteurs n’a pas d’importance: a + b = b + a. Ce
fait constitue la propriété de commutativité de cette loi d’addition. De plus, cette loi d’addition
est associative, c’est-à-dire que si a, b et c sont trois vecteurs, alors leur somme est donnée,
de manière équivalente, par
a + (b + c) = (a + b) + c (1.1)
Cela signifie que l’on peut ajouter à a la somme de b et de c, ou bien additionner d’abord a
et b, puis additionner le résultat à c, en obtenant exactement la même résultante.
L’addition vectorielle est également conforme à la loi de Newton du parallélogramme des
forces, utilisée pour obtenir la résultante de deux forces appliquées au même point matériel,
comme illustré à la Figure 1.8. Le vecteur somme de deux tels vecteurs a et b s’obtient en
dessinant deux lignes parallèles respectivement aux vecteurs a et b, de manière à construire
un parallélogramme. Le vecteur somme c est alors représenté par la diagonale AB ; alors
c = a + b. Un examen de la figure montre immédiatement que cette construction est équiva-
lente à la règle du triangle, et que c = AB s’obtient en additionnant soit a à b, soit b à a,
c’est-à-dire
c=a+b= b+a (1.2)
Fig. 1.8
1.3 Soustraction de vecteurs

La méthode de soustraction de deux vecteurs s’obtient directement par extension de la règle
d’addition, dès lors que l’on introduit le concept de l’opposé d’un vecteur.
Définition L’opposé d’un vecteur a est un vecteur possédant la même magnitude

que a, mais la direction opposée. On le note – a.
Si le vecteur a commence en A et finit en B, de telle manière que a = AB , alors –a = BA .

La somme d’un vecteur et de son opposé est zéro :
a + (–a) = 0
En calcul vectoriel, 0 (introduit ci-dessus) est appelé le vecteur nul. C’est l’élément neutre
pour l’addition vectorielle : a + 0 = a.
Si a et b sont deux vecteurs, alors le vecteur c défini par l’équation
c = a + (–b)
s’appelle le vecteur différence et l’on peut noter c = a – b.

Ceci signifie que cette différence est la somme du vecteur a et de l’opposé du vecteur b.
Cette construction est illustrée à la Figure 1.9, en trois étapes.
Tout d’abord, nous construisons le vecteur opposé –b (Figure 1.9a) ; puis nous déplaçons
ce vecteur opposé de telle sorte que son origine coïncide avec l’extrémité de a (Figure 1.9b) ;
enfin, nous construisons la somme de a et de (–b), conformément à la règle du triangle, de
manière à obtenir la différence c = a + (–b) = a – b (Figure 1.9c).
1.4 Composantes et projection d’un vecteur 7
Fig. 1.9
Le vecteur différence c = a – b peut aussi s’obtenir par l’application de la règle du paral-

lélogramme. La Figure 1.10a présente 2 vecteurs a et b ; à la Figure 1.10b on complète le
parallélogramme. Le vecteur différence c = a – b est donné par la diagonale BA
(Figure 1.10c).
Fig. 1.10
Il est aisé de vérifier que les deux constructions mènent au même résultat, et que la seconde
construction montre clairement que le vecteur différence peut s’interpréter géométriquement
comme le segment joignant l’extrémité du second vecteur, b, à celle du premier, a.
1.4 Composantes et projection d’un vecteur

Considérons la translation d’un point de la position P1 à la position P2 par un vecteur a, comme
illustré à la Figure 1.11a. Nous définissons dans le plan un repère cartésien, défini par l’ori-
gine O et les axes des x et des y perpendiculaires entre eux. Nous souhaitons déterminer de
quelle distance le point a été déplacé dans la direction des x. Pour caractériser ce déplacement
nous menons deux perpendiculaires à l’axe des x, respectivement à partir des points P1 et P2,
et coupant l’axe en x1 et x2. La distance entre ces deux points est la projection du vecteur a
sur l’axe des x. Cette projection est appelée la composante en x du vecteur.
Dans le repère de la figure, les points P1 et P2 ont des coordonnées cartésiennes,
respectivement (x1, y1) et (x2, y2). Il en résulte que la composante en x du vecteur a = P 1 P 2
est donnée par la différence entre les coordonnées en x des points P1 et P2.
Fig. 1.11
De même, le déplacement du point dans la direction des y s’obtient en abaissant des per-
pendiculaires de P1 et P2 sur l’axe des y, coupant celui-ci en y1 et y2, comme illustré à la
Figure 1.11b. Alors, la composante en y du vecteur a dans la direction y est donnée par la
différence y2 – y1.
Les composantes du vecteur a sont généralement notées comme suit :
ax = x 2 − x1
ay = y 2 − y1
Si les axes de coordonnées ne sont pas perpendiculaires entre eux, le système de coordonnées
est dit oblique. Les projections dans un tel système s’effectuent parallèlement aux axes et
non plus en abaissant des perpendiculaires à ceux-ci. Nous n’utiliserons pas ce type de coor-
données dans cet ouvrage, bien que des systèmes obliques soient très utiles dans certaines
applications, par exemple en cristallographie.
Généralisation du concept de projection. Jusqu’à présent nous avons rencontré la pro-
jection d’un vecteur sur les axes d’un système cartésien de coordonnées. Nous montrons
maintenant comment généraliser ce concept à la projection d’un vecteur a sur un vecteur b.
Des extrémités de a nous abaissons les perpendiculaires sur la ligne d’action de b, comme
indiqué à la Figure 1.12a. La ligne d’action d’un vecteur est la droite déterminée par la direction
Fig. 1.12
1.5 Représentation par composantes dans un système de coordonnées 9
du vecteur, s’étendant donc des 2 côtés du vecteur. La distance entre les 2 perpendiculaires
est la composante de a selon le vecteur b ; elle est notée ab. On peut simplifier la construction
en translatant le vecteur a parallèlement à lui-même jusqu’à ce que son point de départ se
situe sur la ligne d’action de b, et en abaissant alors, depuis son autre extrémité, la perpen-
diculaire sur cette ligne, comme illustré à la Figure 1.12b. On construit ainsi un triangle rec-
tangle et la projection, ou composante de a selon b, est donnée par
|ab| = |a| cos α
ou ab = a cos α
De même on peut projeter b sur a, en obtenant
ba = bcos α.
1.5 Représentation par composantes dans un système de coordonnées

L’addition et la soustraction se réalisent facilement de manière graphique dans une surface
plane, c’est-à-dire dans un plan muni d’un système cartésien de coordonnées x–y. Toutefois,
on est souvent confronté à des situations décrites dans l’espace à 3 dimensions. On peut y
arriver si les composantes des vecteurs sont données dans les 3 directions du système de coor-
données. On peut alors manier les composantes en chacun des axes comme des scalaires rele-
vant des règles standard du calcul algébrique.
1.5.1 Vecteurs position

Le vecteur position d’un point dans l’espace est le vecteur reliant l’origine du système de
coordonnées au point considéré. Dès lors, à chaque point de l’espace correspond un et un
seul vecteur. De tels vecteurs ne peuvent pas glisser et sont souvent appelés vecteurs liés.
L’addition de 2 vecteurs position n’a pas d’objet. Par contre, leur soustraction possède
une signification. Si P1 et P2 sont deux points de l’espace, et O l’origine du système de coor-
données, alors les vecteurs position des points sont OP 1 et OP 2 , et leur différence, OP 2 –
OP 1 = P 1 P 2 , est un vecteur commençant en P1 et finissant en P2, comme illustré à la
Figure 1.13.
Fig. 1.13
1.5.2 Vecteurs unité

Tout vecteur possède une magnitude et une direction, mais si l’on désire spécifier uniquement
sa direction, on définit un vecteur unité. Un vecteur unité a une magnitude égale à une unité ;
dès lors il définit uniquement la direction.
La Figure1.14 montre trois de ces vecteurs unité (flèches en gras), correspondant respec-
tivement aux vecteurs a, b et c.
Les vecteurs unité alignés sur les axes de coordonnées d’un repère cartésien présentent
un intérêt particulier (voir la Figure 1.15). L’ensemble de ces trois vecteurs constitue une base
et ces vecteurs sont appelés vecteurs de base. Dans un tel système tridimensionnel, les vec-
teurs unité sont désignés par les lettres i, j, k ou ex, ey, ez, ou encore e1, e2, e3. Nous allons
adopter la notation i, j, k.
Fig. 1.14 Fig. 1.15
La Figure 1.16 montre un point P, de coordonnées Px, Py, Pz. Le vecteur position a trois
composantes :
• une composante Px i, selon l’axe des x ;

• une composante Py j, selon l’axe des y ;
• une composante Pz k selon l’axe des z.
Fig. 1.16
On observe sur cette figure que
OP = P = Px i + Py j + Pz k
1.5.3 Représentation d’un vecteur par ses composantes

On peut reconstruire un vecteur dès lors que l’on connait ses composantes selon les axes du
système de coordonnées. En effet, l’information suivante est suffisante pour déterminer un
vecteur :
• un système de coordonnées spécifié ;

• les composantes du vecteur dans les directions des axes de coordonnées.
Fig. 1.17
La Figure 1.17 montre un système cartésien de coordonnées x-y-z. Si le vecteur a possède

les composantes ax, ay, az, alors
a = ax i + ay j + az k.
On peut également l’exprimer sous une des formes abrégées suivantes en assimilant le vecteur
au triplet de scalaires constitué de ses trois coordonnées dans le repère cartésien spécifié :
a = (ax, ay, az)
ou
()
ax
a = ay
az
Le vecteur a est donc bien défini par les trois nombres ax, ay, az . Pour obtenir le vecteur a,
il suffit de multiplier ces nombres par les trois vecteurs unité appropriés avant d’effectuer
l’addition des trois vecteurs ainsi obtenus. Ces nombres ax, ay, az sont les « coordonnées »
du vecteur. Ce sont des quantités scalaires.
Définition Ayant défini un système de coordonnées, on peut exprimer un vecteur

sous la forme :
a = ax i + ay j + az k
Sous forme abrégée : a = (ax, ay, az ) = ay

az
()ax
Ce sont les représentations en composantes du vecteur a.
Exemple : Le vecteur illustré à la Figure 1.18 est défini par a = (1, 3, 3).
Fig. 1.18
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Ainsi, si a = b,
alors
ax = bx
ay = by
az = bz
1.5.4 Représentation de la somme de deux vecteurs en termes de leurs
composantes
Nous allons maintenant montrer que le résultat de
l’addition géométrique expliquée ci-dessus peut
s’obtenir en additionnant séparément les compo-
santes des vecteurs.
Deux vecteurs a et b, dans le plan x-y, muni d’un
système cartésien de coordonnées comme illustré à
la Figure 1.19a, peuvent s’exprimer à partir des vec-
teurs unité :
a = ax i + ay j
et Fig. 1.19 (a)
b = bx i + by j
Nous additionnons maintenant les deux vecteurs pour

obtenir la résultante c = a + b, comme illustré à la
Figure 1.19b.
La composante en x de c est donnée par cx i = ax i +
bx i = (ax + bx) i. Ainsi, la composante en x de la résul-
tante est égale à la somme algébrique des composantes
en x des vecteurs d’origine.
Fig. 1.19 (b)
De même, la composante en y (voir la

Figure 1.19c) est donnée par cy j = (ay + by) j.
Il en résulte que le vecteur c, résultante de a et b,
est donné par
c = (ax +bx) i + (ay +by) j
Fig. 1.19 (c)
avec, comme coordonnées, (ax +bx) et (ay +by ).

La même procédure peut être appliquée dans le cas tridimensionnel.
Si a et b sont deux vecteurs tels que
a = (ax, ay, az ) et b =(bx, by, bz ),
alors a + b = (ax + bx, ay +by, az +bz). (1.3a)
Ceci se généralise immédiatement : la somme de plusieurs vecteurs s’obtient en additionnant

séparément leurs composantes dans les directions des axes.
1.5.5 Soustraction de vecteurs en termes de leurs composantes

La construction de la différence, a – b, entre deux vecteurs a et b consiste à additionner le
vecteur a à l’opposé du vecteur b.
Il en résulte que, dans le cas bidimensionnel,
a – b = (ax – bx, ay – by)
et, dans le cas tridimensionnel,
a – b = (ax – bx, ay – by, az – bz). (1.3b)
Exemple : Soit deux vecteurs a = (2, 5, 1) et b = (3, –7, 4). Alors, en termes de composantes,
nous obtenons
a – b = (2 – 3, 5 + 7, 1 – 4) = (–1, 12, –3)
La différence de deux vecteurs position présente un intérêt particulier : elle est donnée par
le vecteur joignant les extrémités des deux vecteurs.
La Figure 1.20 montre que le vecteur c = OP 1 – OP 2 est donné par le vecteur joignant
P1 à P2. En termes de composantes de OP 1 et OP 2 ,
c = (P1x – P2x, P1y – P2y)
Fig. 1.20
Exemple : Si P1 = (3, –1, 0) et P2 = (–2, 3, –1) sont deux points de l’espace, alors le vecteur
différence des vecteurs position est donné par
c = OP 2 – OP 1 = P2 – P1 = (–2 – 3, 3 + 1, –1 – 0) = (–5, 4, –1).
1.6 Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Le résultat de la multiplication d’un vecteur par une quantité scalaire est un vecteur dont la
magnitude est égale à celle du vecteur original multipliée par la valeur absolue du scalaire,
et dont la direction est soit celle du vecteur original (si le scalaire a une valeur positive), soit
la direction opposée (si le vecteur a une valeur négative).
1.7 Magnitude (ou norme) d’un vecteur 15
Définition La multiplication du vecteur a par le scalaire λ donne lieu à un vecteur

λa, ayant la magnitude |λ| a, et la même direction que a si λ est positif ou
la direction opposée si λ est négatif.
En termes de composantes du vecteur a, le nouveau vecteur λa est donné par
λa = (λax, λay, λaz) (1.4)
Si λ = 0, le vecteur λa est le vecteur nul (0, 0, 0).
Exemple : Étant donné le vecteur a = (2, 5, 1), alors pour λ = 3, on a
λa = (6, 15, 3)
et, pour λ = – 3,
λa = (–6, –15, –3).
1.7 Magnitude (ou norme) d’un vecteur

Si les composantes d’un vecteur (dans un système cartésien de coordonnées) sont connues,
alors sa magnitude (appelée aussi sa norme) s’obtient à l’aide du théorème de Pythagore.
La Figure 1.21 présente un vecteur a de composantes (ax, ay), c’est-à-dire a = (ax, ay).
Comme le vecteur et ses composantes constituent un triangle rectangle, on a
a 2 = ax2 + ay2
et la magnitude (norme) du vecteur est égale à

2 2
|a| = a = ax + ay (1.5a)
Fig. 1.21
Fig. 1.22
Le vecteur tridimensionnel a = (ax, ay, az) illustré à la Figure 1.22 a une magnitude (norme)
donnée par
2 2 2
|a| = a = ax + ay + az (1.5b)
Exemple : La norme du vecteur a = (3, –7, 4) est
a= 32 + 72 + 4 2 = 74 ≈ 8,60
La distance entre deux points se détermine donc facilement si l’on connait leurs coordonnées.
Exemple : La Figure 1.23 montre deux points du plan : P1 = (x1, y1) et P2 = (x2, y2). On veut
calculer la distance entre ces deux points.
Pour cela, on a besoin des composantes du vecteur de liaison P 2 P 1 , qui sont
P 2 P 1 = (x1 − x 2 , y1 − y 2 )
et la norme est égale à

2 2
P2 P1 = ( x1 – x2 ) + ( y1 – y2 )
Fig. 1.23
Exercices 17
Si P1 et P2 sont deux points de l’espace tridimensionnel, alors la distance qui les sépare est
donnée par
2 2 2
P2 P1 = ( x1 – x2 ) + ( y1 – y2 ) + ( z1 – z2 )
Tout vecteur peut s’exprimer en termes d’un vecteur unité. Soit le vecteur a = (ax, ay, az).
Sa norme est donnée par
2 2 2
|a| = a = ax + ay + az
Le vecteur unité dans la direction de a est donné par
ax i + ay j + az k
ea = -----------------------------------
-
2 2 2
ax + ay + az
ou
a a a
ea = λa = ------ a = § -----x-, -----y-, -----z-·
1
|a| © |a| |a| |a|¹
Dès lors
a = aea
Exercices
1.1 Scalaires et vecteurs

1. Parmi les quantités suivantes, lesquelles sont des quantités vectorielles ?
(a) accélération (b) puissance
(c) force centripète (d) vitesse
(e) quantité de chaleur (f) moment de force
(g) résistance électrique (h) intensité magnétique
(i) poids atomique
1.2 Addition de vecteurs 1.3 Soustraction de vecteurs

2. Étant donnés les vecteurs a, b et c, dessinez la somme S = a + b + c, dans chacun des cas.
Fig. 1.24 Fig. 1.25

3. Dessinez la somme vectorielle S = a1 + a2 + … + an.
Fig. 1.26 Fig. 1.27
4. Dessinez le vecteur c = a – b.
Fig. 1.28 Fig. 1.29
1.4 Composantes et projections d’un vecteur

5. Projetez le vecteur a sur le vecteur b.
Fig. 1.30 Fig. 1.31

Exercices 19
6. Calculez la magnitude de la projection de a sur b.

π π
(a) |a| = 5, ∠ (a, b) = --- (b) |a| = 2, ∠ (a, b) = ---
3 2
3 2
(c) |a| = 4, ∠ (a, b) = 0 (d) |a| = --- , ∠ (a, b) = --- π
2 3
1.5 Représentation en composantes

7. Étant donnés les points P1 = (2, 1), P2 = (7, 3) et P3 = (5, –4), calculez les coordonnées du
quatrième sommet P4 du parallélogramme P1P2P3P4 formé par les vecteurs a = P 1 P 2 et
b = P1 P3 .
Fig. 1.32
8. Si P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2), P3 = (x3, y3) et P4 = (x4, y4) sont quatre points quelconques du
plan x-y et si a = P 1 P 2 , b = P 2 P 3 , c = P 3 P 4 et d = P 4 P 1 , calculez les composantes du
vecteur résultant S = a + b + c + d , et montrez que S = 0.
Fig. 1.33
9. Un chariot est tiré par quatre hommes. Les

composantes des quatre forces F1, F2, F3 et F4
sont
F1 = (20N, 25N)
F2 = (15N, 5N)
F3 = (25N, -5N)
F4 = (30N, -15N)
Fig. 1.34
Calculez la force résultante.

10. Si a = (3, 2, 1), b = (1, 1, 1), c = (0, 0, 2), calculez
(a) a + b – c (b) 2a - b + 3c
1.6 Multiplication d’un vecteur par un scalaire

11. Calculez la norme du vecteur a = λ1a1 + λ2a2 – λ3a3 dans les cas suivants :
(a) a1 = (2, –3, 1), a2 = (–1, 4, 2), a3 = (6, –1, 1),
1
λ1 = 2, λ2 = --- , λ3 = 3
2
(b) a1 = (–4, 2, 3), a2 = (–5, –4, 3), a3 = (2, –4, 3),
λ1 = –1, λ2 = 3, λ3 = –2
12. Dans chaque cas calculez le vecteur unité ea dans la direction de :
(a) a = (3, –1, 2) (b) a = (2, –1, –2)
1.7 Norme d’un vecteur

13. Calculez la distance a entre les points P1 et P2 dans chacun des deux cas :
(a) P1 = (3, 2, 0) et P2 = (–1, 4, 2)
(b) P1 = (–2, –1, 3) et P2 = (4, –2, –1)
14. Un avion vole vers le Nord et sa vitesse relative par rapport à l’air est V1 = (0km/h,
300 km/h).
Calculez la vitesse de l’avion par rapport au sol pour trois valeurs différentes de la
vitesse de l’air :
(a) V2 = (0, –50) km/h, vent de face
(b) V3 = (50, 0) km/h, vent de dos
(c) V4 = (0, 50) km/h, vent de côté
Exercices 21
Fig. 1.35
Calculez la norme de la vitesse relative par rapport au sol pour les 3 cas :
(d) |V1 + V2| (e) |V1 + V3| (f) |V1 + V4|
Chapitre 2
Algèbre vectorielle II : produit scalaire et produit
vectoriel
Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment additionner et soustraire des quantités
vectorielles. Dans ce chapitre, nous introduisons de nouvelles lois de composition, des pro-
duits de vecteur, et nous établissons les règles permettant de les effectuer. Nous allons exa-
miner tout d’abord deux situations rencontrées fréquemment dans la vie pratique.
1. En science appliquée, on définit le travail effectué par une force comme le produit de la
magnitude de la force par la distance parcourue par le point d’application de celle-ci, le
long de sa ligne d’action. Ou encore par le produit de la magnitude de la composante de
la force dans la direction du mouvement par la distance parcourue dans cette direction.
Le travail est une quantité scalaire et le produit obtenu par la multiplication d’une force
par un déplacement s’appelle produit scalaire.
2. Le moment produit sur un corps par une force F (Figure 2.1) est défini comme le produit
de la force par la longueur du bras de levier OA, perpendiculaire à la ligne d’action de la
force. Un tel produit est appelé produit vectoriel et son résultat est un vecteur dans la
direction de l’axe autour duquel la force tend à faire tourner le corps, c’est-à-dire
perpendiculaire à la fois à la force et au bras de levier.
Force
Corps
bras de levier
Fig. 2.1
2.1 Produit scalaire

Considérons un chariot roulant sur des rails. Il se déplace dans la direction des s
(Figure 2.2) sous l’effet d’une force F qui agit sous un angle α avec la direction du
ISBN 978-3-642-00172-7 © Springer 2011
24 2 Algèbre vectorielle II : produits scalaires et vectoriels
déplacement. Nous nous intéressons au travail effectué par la force lorsque le chariot se
déplace d’une distance s dans la direction des s.
Fig. 2.2 Fig. 2.3
Le déplacement est caractérisé par le vecteur s. D’autre part, afin d’analyser l’action de
la force F sur le chariot, nous la décomposons en ses deux composantes : l’une le long des
rails (dans la direction des s), et l’autre perpendiculaire aux rails, ce qui définit respectivement
Fs et Fp . Fs , Fp et s sont des quantités vectorielles. Le travail est, par définition, le produit
de la projection de la force dans la direction du mouvement par la distance parcourue. Dans
notre cas, c’est le produit de Fs par s. Il résulte de cette définition que le travail effectué par
la composante perpendiculaire Fp est nul, puisqu’il n’y a pas de déplacement dans cette direc-
tion. De plus, si les rails sont horizontaux, le mouvement du chariot et le travail effectué ne
sont pas influencés par la force de gravité, puisque celle-ci agit dans une direction perpendi-
culaire aux rails.
Le travail effectué, W, est donné par W = F . cos α . s = F . s . cos α .
Comme le travail est une quantité scalaire ce produit des deux vecteurs est appelé produit
scalaire, et l’une des manières de le noter consiste à utiliser le point entre les deux vecteurs :
W = Fs . s
où
F s = F cos α
Les terminologies anglaises pour le produit scalaire sont scalar product, dot product, ou
encore parfois inner product.
De manière générale, si a et b sont deux vecteurs, leur produit scalaire est noté a . b.
Définition Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est le produit de leurs normes

par le cosinus de l’angle entre leurs directions :
a . b = ab cos α (2.1)
Interprétation géométrique. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est égal au produit

de la norme du vecteur a par la projection de b sur a (Figure 2.4a) :
a . b = a (b cos α )
2.1 Produit scalaire 25
De même, c’est aussi le produit de la norme de b par la projection de a sur b (Figure 2.4b) :
a . b = b (a cos α )
Ceci met en évidence le caractère commutatif du produit scalaire : a . b = b . a
Fig. 2.4
Dans notre exemple du chariot, nous pouvons donc également calculer le travail en effec-
tuant le produit de la norme de la force par la projection du déplacement sur la direction de
la force (Figure 2.5).
Fig. 2.5
Exemple : Une force de 5N est appliquée à un corps. Le corps se déplace sur une distance
de 10 m dans une direction qui sous-tend un angle de 60° avec la ligne d’action de la force.
Le travail mécanique effectué est donné par :
U = F . s = F s cos α
= 5 × 10 × cos 60° = 25 Nm
Notons l’unité utilisée pour le travail : c’est le

newton × mètre = Nm ou Joule (J). Cet exemple
peut représenter la situation où la force de gravité
s’exerce sur un corps glissant le long d’une pente
faisant un angle de 30° avec l’horizontale (et donc
de 60° avec la direction de la gravité), sur une dis-
tance s ; la force de gravité est donnée par F = mg,
où m est la masse du corps et g est l’accélération
d’un corps en chute libre sous l’action de la gravité Fig. 2.6
(Figure 2.6).
2.1.1 Application : équations de la droite et du plan

On peut utiliser le produit scalaire pour établir l’équation d’une droite dans le plan x–y si l’on
connaît la normale abaissée de l’origine sur la droite (Figure 2.7). Dans ce cas, le produit
scalaire de la normale, n, avec le vecteur position, r, de tout point de la droite prend toujours
la même valeur, égale à n2, le carré de la longueur de la normale. On a dès lors :
2
n = n ⋅ r = ( n x, n y ) ⋅ ( x , y )
2
n = xn x + yn y
(2.2a)
n 2
y = ----x x + n-----
ny ny
En étendant cette procédure au cas tridimensionnel, on obtient l’équation du plan dans un
système cartésien de coordonnées x–y–z :
2
n = xn x + yn y + zn z (2.2b)
Fig. 2.7
2.1.2 Cas particuliers

Produit scalaire de vecteurs orthogonaux entre eux
Si deux vecteurs a et b sont perpendiculaires entre eux, alors α = π2 et, dès lors, cos α = 0.
Il en résulte que le produit scalaire des deux vecteurs est égal à 0, c’est-à-dire a . b = 0.
L’inverse de cet énoncé est important. Si le produit scalaire de deux vecteurs a et b est
égal à 0, alors on peut conclure que les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux, à condi-
tion que a ≠ 0 et b ≠ 0.
Produit scalaire de vecteurs parallèles

Si deux vecteurs a et b sont parallèles entre eux, alors α = 0, et, dès lors, cos α = 1. Il en
résulte que leur produit scalaire a . b = ab.
2.1.3 Commutativité et associativité

Le produit scalaire possède les propriétés de commutativité et de distributivité. La preuve
n’est pas donnée mais s’établit facilement à partir des définitions de l’addition vectorielle et
du produit scalaire.
Commutativité a.b=b.a (2.3)
Distributivité a . (b + c) = a . b + a . c (2.4)
Comme exemple d’utilisation du produit scalaire, redécouvrons la loi du cosinus pour les
triangles. La Figure 2.8 présente trois vecteurs constituant un triangle ; α est l’angle entre
les vecteurs a et b.
Fig. 2.8
On a b+c=a et donc c=a–b

Nous utilisons maintenant les expressions des produits scalaires des vecteurs par eux-mêmes.
On obtient successivement
2 2
c ⋅ c = c = (a – b)
2
c = a ⋅ a + b ⋅ b – 2a ⋅ b (2.5)
c = a + b – 2ab cos α
2 2 2
Si α = π2 , c’est-à-dire si le triangle est rectangle, on retrouve l’expression du fameux

théorème de Pythagore.
2.1.4 Produit scalaire en termes des composantes des vecteurs

Si les composantes des deux vecteurs sont connues, alors on peut facilement calculer leur
produit scalaire. Il est très instructif de considérer d’abord le produit scalaire des vecteurs
unité i le long de l’axe des x et j le long de l’axe des y, comme illustré à la Figure 2.9. De la
définition du produit scalaire, nous pouvons déduire les résultats suivants :
i . i = j . j = 1 et i . j = j . i = 0
Fig. 2.9
La Figure 2.10 présente deux vecteurs a et b issus de l’origine d’un système cartésien de
coordonnées. Si ax, bx, ay, by sont les composantes des deux vecteurs, respectivement le long
des axes x et y, alors
a = ax i + ay j , et b = bx i + by j
Fig. 2.10
En utilisant la propriété de distributivité le produit scalaire est donné par
a . b = (ax i + ay j) . ( bx i + by j) = ax bx i . i + ax by i . j +ay bx j . i + ay by j. j
et donc a . b = axbx + ayby
Cela signifie que le produit scalaire s’obtient en additionnant les produits des composantes
des vecteurs le long de chaque axe (Figure 2.11).
Fig. 2.11
Dans le cas tridimensionnel, on montre aisément que le produit scalaire s’obtient à partir de
la règle suivante :
Produit scalaire : a . b = axbx + ayby + azbz (2.6)
Il devient aussi très facile de retrouver l’expression de la norme d’un vecteur à partir de
ses composantes, telle qu’on l’a obtenue à la section 1.7 (relation 1.5b). On a
2
a = a⋅a
= ax ax + ay ay + az az
2 2 2
= ax + ay + az
2 2 2
a = a = ax + ay + az
Exemple : On demande de calculer le produit scalaire, ainsi que la norme de deux vecteurs
définis par a = (2, 3, 1) et b = (–1, 0, 4).
Produit scalaire : a . b = 2 × (–1) + 3 × 0 + 1 × 4 = 2
Norme de a : a = 22 + 32 +12 = 14 ≈ 3,74
Norme de b : b = (−1) 2 + 02 + 4 2 = 17 ≈ 4,12

2.2 Produit vectoriel
2.2.1 Moment de force

Au début de ce chapitre, nous avons introduit le concept de moment de force C par rapport
à un point O, résultant de l’application d’une force F au point P d’un corps (Figure 2.12) :
c’est le produit de la force par le vecteur position r du point d’application P par rapport au
point de référence O, les directions de la force et du vecteur position étant perpendiculaires
entre elles.
La norme du moment est donc donnée par C = |r| |F|, ou, plus simplement, par C = r F.
Dans le cas où le point de référence O est un point fixe jouant le rôle d’axe de rotation,
ceci est connu comme la loi du levier.
Fig. 2.12
Un cas particulier est illustré à la Figure 2.13, où la ligne d’action de la force F passe par
le point de référence (l’angle entre la force et le vecteur position r est alors égal à zéro). Dans
cette situation, la force ne produit pas d’effet tendant à faire tourner le corps autour du point
O, et, dès lors, C = 0.
Fig. 2.13
2.2 Produit vectoriel 31
La situation générale est celle où la force F et le vecteur position r font entre eux un angle
α comme illustré à la Figure 2.14. Pour calculer le moment C exercé sur le corps, nous décom-
posons la force en deux composantes : l’une perpendiculaire à r, F ⊥ , et l’autre parallèle à la
direction de r, F|| .
La première composante, F ⊥ , est la seule à produire un effet de rotation sur le corps. Sa
norme est égale à F sin α ; dès lors C = r F sin α .
Fig. 2.14
Définition Norme du moment de force C
C = r F sin α
2.2.2 Le moment comme vecteur

Du point de vue de la physique, le moment de force est une quantité vectorielle, puisque sa
direction est prise en considération.
La convention suivante est généralement admise :
Le vecteur moment de force C est perpendiculaire au plan contenant la force F et le vecteur
position r. Sa direction est celle de l’enfoncement d’une vis (ou d’un tire-bouchon) tournant,
Fig. 2.15
par le plus court chemin, de la direction de r à la direction de F. Ceci est appelé la règle du
tire-bouchon. Pour illustrer cette convention, considérons le bloc de bois dessiné à la
Figure 2.15, où le point de référence est en A, et la force F est appliquée en un point P dont
le vecteur position par rapport à A est r. Les deux vecteurs r et F définissent un plan dans
l’espace. Déplaçons le vecteur F parallèlement à lui-même, de manière à l’attacher au point
A. On fait tourner la vis depuis la direction de r vers celle de F en décrivant un angle α . Alors,
la direction du moment C est celle de la pénétration de la vis.
2.2.3 Définition du produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b faisant entre eux un angle α (Figure 2.16) est
défini comme un vecteur c dont la norme est égale à ab sin α . Sa direction est perpendiculaire
au plan défini par les vecteurs a et b, conformément à la règle du tire-bouchon.
Fig. 2.16
Le produit vectoriel est noté
c=a×b ou encore c = a∧b (2.7)
On parle de « a croix b ».
Sa norme est donnée par c = ab sin α . Notez que a × b = – b × a.
En anglais, on appelle aussi ce produit outer product ou cross product.

Cette définition est indépendante de toute justification physique. D’un point de vue géo-
métrique, la norme de c peut s’interpréter comme l’aire du parallélogramme ayant a et b
comme côtés adjacents, comme illustré à la Figure 2.17. Le vecteur c est perpendiculaire au
plan défini par a et b, dans la direction déterminée par la règle du tire-bouchon.
Fig. 2.17
La propriété de distributivité du produit vectoriel est donnée sans preuve.
a × (b + c) = a × b + a × c (2.8)
et (a + b) × c = a × c + b × c (2.9)
De plus, pour un scalaire quelconque λ ,
λ a × b = a × λ b = λ (a × b) (2.10)
Exemple : Étant donnés deux vecteurs a et b, de norme a = 4 et b = 3, faisant entre eux un

angle α = π6 = 30, calculez la norme de c = a × b.
c = ab sin 30° = 4 × 3 × 0,5 = 6.
2.2.4 Cas particuliers
Produit vectoriel de vecteurs parallèles

L’angle entre deux vecteurs parallèles est zéro. Dès lors, leur produit vectoriel est 0 et le paral-
lélogramme dégénère en un segment de droite. En particulier, a × a = 0.
Il est important de noter que la proposition inverse est vraie. Donc, si le produit de deux
vecteurs est égal au vecteur nul, on peut en conclure que les deux vecteurs sont parallèles, à
condition qu’ils soient tous les deux différents du vecteur nul.
Produit vectoriel de vecteurs perpendiculaires entre eux
L’angle entre les deux vecteurs vaut 90°, c’est-à-dire que sin α = 1. Dès lors
|a × b| = ab.
2.2.5 Anticommutativité du produit vectoriel

Si a et b sont deux vecteurs, alors
a×b=–b×a (2.11)
Démonstration : La Figure 2.18 illustre la construction du produit vectoriel c = a × b qui

pointe vers le haut. Par contre, à la Figure 2.19, le produit c = b × a est obtenu en faisant tourner
b vers a, et donc, d’après notre définition, le vecteur b × a pointe vers le bas. Les normes du
produit vectoriel sont égales dans les deux cas. Cela signifie que a × b = – b × a.
Fig. 2.18 Fig. 2.19
2.2.6 Composantes du produit vectoriel

Considérons tout d’abord les produits vectoriels des vecteurs unité i, j et k (Figure 2.20).
Conformément à notre définition, nous constatons que :
Fig. 2.20
Nous allons maintenant exprimer le produit vectoriel en termes de composantes. Les

expressions en composantes de a et b sont
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
Le produit vectoriel des deux vecteurs est donné par
a × b = (ax i + ay j + az k) × ( bx i + by j + bz k)
En développant cette expression à l’aide de la propriété de distributivité on obtient
a × b = (ax bx i × i) + (ax by i × j) + (ax bz i × k) + (ay bx j × i) + (ay by j × j) + (ay bz j × k)
+ (az bx k × i) + (az by k × j) + (az bz k × k)
En utilisant les expressions des produits vectoriels des vecteurs unité nous obtenons finale-
ment
a × b = (ay bz – az by) i + (az bx – ax bz) j + (ax by – ay bx) k (2.12a)
D’un point de vue formel, ce produit vectoriel peut s’écrire de manière commode
sous la forme d’un déterminant. Un traitement détaillé des déterminants se trouve
au Chapitre 15.
i j k
a × b = ax ay az (2.12b)
bx by bz
Exemple : La vitesse d’un point P d’un corps en rotation autour d’un axe est donnée par le
produit vectoriel de la vitesse angulaire du corps par le vecteur position du point par rapport
à l’axe de rotation. La Figure 2.21 présente un corps tournant autour de l’axe des z, avec un
vecteur de vitesse angulaire ω . Si la position du point P est donnée par r = (0, ry, rz) et la
vitesse angulaire par ω = ( 0, 0, ω z ), comme illustré par la figure, alors le vecteur vitesse v
de P est donné par
i j k
v = ω × r = 0 0 ω z = −ryω z i
0 ry rz
Fig. 2.21
Exercices :
2.1 Produit scalaire
1. Calculez les produits scalaires des vecteurs a et b spécifiés ci-dessous :
(a) a = 3 b=2 α = π /3 (b) a = 2 b=5 α =0
(c) a = 1 b=4 α = π /4 (d) a = 2,5 b=3 α = 120°
2. En utilisant la notion de produit scalaire, que pouvez-vous dire de l’angle entre les
vecteurs a et b ?
(a) a . b = 0 (b) a . b = ab
ab
(c) a . b = (d) a . b < 0
2
3. Calculez le produit scalaire des vecteurs suivants :
(a) a = (3, –1, 4) (b) a = (3/2, 1/4, – 1/3)
b = (–1, 2, 5) b = (1/6, –2, 3)
(c) a = (–1/4, 2, –1) (d) a = (1, –6, 1)
b = (1, 1/2, 5/3) b = (–1, –1, –1)
4. Parmi les vecteurs a et b suivants, quels sont ceux qui sont perpendiculaires ?
(a) a = (0, –1, 1) (b) a = (2, –3, 1)
b = (1, 0, 0) b = (–1, 4, 2)
(c) a = (–1, 2, –5) (d) a = (4, –3, 1)
b = (–8, 1, 2) b = (–1, –2, –2)
(e) a = (2, 1, 1) (f) a = (4, 2, 2)
b = (–1, 3, –2) b = (1, –4, 2)
5. Calculez l’angle entre les vecteurs a et b :
(a) a = (1, –1, 1) (b) a = (–2, 2, –1)
b = (–1, 1, –1) b = (0, 3, 0)
6. Une force F = (0N, 5N) est appliquée à un corps qui subit un déplacement s. Calculez le
travail effectué par la force.
(a) s1 = (3 m, 3 m) (b) s2 = (2 m, 1 m) (c) s3 = (2 m, 0 m)
2.2 Produit vectoriel

7. Sur les Figures 2.22 et 2.23, indiquez la direction du vecteur c, si c = a × b
(a) lorsque a et b se trouvent dans le plan x–y.
(b) lorsque a et b se trouvent dans le plan y–z.
8. Calculez la norme du produit vectoriel des vecteurs suivants :

(a) a = 2 b=3 α = 60° (b) a = 1/2 b=4 α = 0°
(c) a = 8 b = 3/4 α = 90°
Exercices 37
Fig. 2.22 Fig. 2.23
9. La Figure 2.24 présente 3 vecteurs : a = 2 i, b = 4 j, c = –3 k (i, j, k sont les vecteurs unité

dans les directions des axes x, y et z). Calculez
(a) a × b (b) a × c (c) c × a
(d) b × c (e) b × b (f) c × b
Fig. 2.24
10. Calculez le produit c = a × b lorsque
(a) a = (2, 3, 1) et b = (–1, 2, 4)
(b) a = (–2, 1, 0) et b = (1, 4, 3)

Chapitre 3
Fonctions
3.1 Le concept mathématique de fonction,

et sa signification en physique et en sciences de l’ingénieur
3.1.1 Introduction
La vitesse d’un corps en chute libre au voisinage de la terre augmente au fil du temps, c’est-
à-dire que la vitesse de chute dépend du temps. La pression d’une quantité d’un gaz maintenue
à température constante dépend du volume occupé. La période de l’oscillation d’un pendule
simple dépend de sa longueur. De telles dépendances entre des quantités observées se ren-
contrent souvent en physique et en sciences de l’ingénieur et permettent la formulation des
lois de la nature.
Les deux quantités en relation se mesurent à l’aide d’instruments appropriés, comme des
règles graduées, des balances, des ampèremètres, des voltmètres, des chronomètres, etc. ; on
fait varier l’une des quantités et l’on observe la variation de l’autre. La première s’appelle
quantité indépendante et la seconde la quantité dépendante, toutes les autres conditions étant
soigneusement maintenues identiques. La procédure consistant à déterminer expérimentale-
ment les relations entre les quantités physiques s’appelle une méthode empirique. Une telle
méthode peut s’étendre à la détermination des relations entre plus de deux quantités ; ainsi
la pression d’un gaz dépend du volume occupé et de sa température, quand à la fois le volume
et la température peuvent varier.
Les relations obtenues expérimentalement peuvent être tabulées ou bien traduites par un
graphique permettant d’illustrer la variation en un coup d’œil. De telles représentations sont
utiles, mais, en pratique, on préfère représenter ces relations sous forme mathématique.
Une formulation mathématique présente de nombreux avantages :
– Elle est plus concise et souvent plus claire qu’une description en mots.
– Elle chasse toute ambiguïté. Les relations décrites de telle manière se communiquent
facilement sans aucun risque de malentendu.
– Elle permet de prédire le comportement de quantités physiques dans des régions non encore
explorées expérimentalement ; cette démarche est connue sous le nom d’extrapolation.
La description mathématique d’une relation entre des quantités physiques peut donner lieu
à un modèle mathématique.
ISBN 978-3-642-00172-7 © Springer 2011
40 3 Fonctions
3.1.2 Le concept de fonction

Nous allons maintenant étudier la description mathématique rigoureuse de la dépendance de
deux quantités.
Exemple : Considérons un ressort dont une extrémité est fixe et l’autre est étirée, comme
illustré à la Figure 3.1. Il en résulte une force qui s’oppose à l’élongation et au déplacement
de la seconde extrémité. La direction de la force est l’opposée de celle du déplacement.
On mesure deux quantités : le déplacement x, en mètres (m) ; la force F en newtons (N).
On effectue ces mesures pour différentes élongations x. On obtient ainsi une série de paires
de valeurs pour x et F associées l’une à l’autre.
1. Les paires de valeurs sont tabulées, comme montré à la Figure 3.1. Un tel tableau est
appelé tableau des valeurs pour tous les déplacements x de l’extrémité du ressort tels que
celui-ci n’est ni détruit ni déformé de manière irréversible. Le domaine des x est appelé
le domaine de définition. Le domaine correspondant des valeurs de la force est appelé le
domaine des valeurs (appelé parfois co-domaine).
Déplacement Force
(m) (N)
0 0
0,1 –1,2
0,2 –2,4
Position de repos
0,3 –3,6
0,4 –4,8
0,5 –6,0
0,6 –7,2
Fig. 3.1
2. Nous portons chaque paire de valeurs sur un graphique et traçons une ligne reliant les
points obtenus. Ceci nous permet d’obtenir, de manière approximative, les valeurs
intermédiaires (Figure 3.2).
Fig. 3.2
3. La relation entre x et F peut s’exprimer par une formule qui doit être valide dans le
domaine de définition. Dans notre cas la formule est simplement
F = – ax , où a = 12 N/m
Index
A coefficient binomial 71, 517

distribution binomiale 527, 529, 533
Abscisse 42 développement binomial 517
Accélération 99, 134, 158, 273 théorème du binôme 71
Acoustique (onde) 371 Bornes d’intégration
Addition borne inférieure 149
formules 62 et suivantes borne supérieure 149
géométrique 4
loi d’addition pour les probabilités 511 C
de vecteurs 4
de matrices 415 Caractéristique
Aire équation caractéristique 454-456, 459
limitée par une courbe 191 polynôme caractéristique 455, 456
fonction d’aire 150, 151 Cardioïde 202
en coordonnées polaires 195 Carré
du cercle 196, 385, 388 matrice carrée 414, 422, 424, 444
Aire de surface Cauchy (formule du rayon de convergence)
d’un solide de révolution 202 232
Aléatoire Centre de masse 208, 210
expérience 508, 509, 519, 526, 527 Centre de pression 208, 222, 223
échantillon 538, 540 Centroïde 208, 210, 398, 550
variable 519 et suivantes Cercle (équation paramétrique du cercle) 131
variable aléatoire discrète 519 Champ
Amortissement critique 297 électrique 470
Amortissement 296 vectoriel 461
Angle polaire 391 Champ conservatif 184, 487
Antisymétrique (matrice) 423 Champ vectoriel 461
Approximation 228 homogène 461, 462
Argument Charge ponctuelle 470
d’une fonction 41 Circulaire (fréquence) 57, 369
d’un nombre complexe 252 Circulation 481
Asymptote 46 Codomaine (d’une fonction) 40
Axe neutre 220 Cofacteur 439, 443
Axe perpendiculaire (théorème de l’) 217 Colonne
vecteur colonne 415, 432, 445, 451
B colonne d’une matrice 414
Combinaison 516 et suivantes
Base 69, 74 Commutativité (d’une loi) 27
Bernoulli Complémentaire
équation différentielle 306 aire complémentaire 193, 194
équation de Bernoulli 306 fonction complémentaire 277, 278, 285
Binomial Complexe conjugué 248, 266
582 Index
Composé d’une constante 102

événement composé 513, 514 de la fonction cosinus 107
probabilité composée 532 d’une courbe sous forme paramétrique
Composition de fonctions 66 136
Condition de normalisation 512, 524 de la fonction exponentielle 139
Condition initiale 291 d’une puissance 101, 138
Conditions aux frontières 147, 276, 291, 293, du produit de deux fonctions 103
294, 296, 372 du quotient de deux fonctions 104
Continuité 91 de la fonction sinus 102
Contraflexure (ou point d’inflexion) 117 d’une fonction trigonométrique 107, 138
Coordonnée 11 de la fonction logarithmique 139
système de coordonnées 42, 386 d’une fonction de fonction 104
et suivantes d’une fonction hyperbolique 110
coordonnées polaires 195, 387 d’une fonction trigonométrique
et suivantes hyperbolique 139
coordonnées polaires spatiales 391 d’une fonction implicite 127
coordonnées sphériques 391 d’une fonction inverse 105
Coordonnées cartésiennes (système de) 42, d’une fonction hyperbolique inverse 109,
387 138
Corrélation 554 d’une fonction trigonométrique inverse
coefficient de corrélation 554 109, 138
Cosinus 58 d’une fonction paramétrique 129, 133
fonction cosinus 58 et suivantes partielle 347
fonction sous forme exponentielle 255, 266 du vecteur position 133
intégration de la fonction cosinus 156 seconde 112, 113
règle du cosinus 27 vectorielle 488
Cotangente 61 Déterminant d’ordre n 439
Couple 30, 31 Déterminant 423, 424, 438 et suivantes
Courbe en chaînette 79 évaluation 440
Courbes d’intersection 340, 342, 345, 367 développement 439
Courbure 123, 125 d’une matrice carrée 439
centre de courbure 123 propriétés 442
rayon de courbure 123, 125 rang 444
Cramer (règle de) 438, 445 et suivantes évaluation de déterminants d’ordre 2440
Cycloïde 137 évaluation de déterminants d’ordre 3441
aire de la cycloïde 194 mineur 509
Cylindrique Développement
coordonnées cylindriques 389 d’une fonction 228, 229, 235
symétrie cylindrique 391 de la série binomiale 231
de la fonction exponentielle 230
D Diagonale
diagonale principale (d’une matrice) 414
D’Alembert (solution de) 372 forme diagonale 444
De Moivre (théorème) 263 matrice diagonale 421
Décroissance radioactive 293 Diagonale principale (d’une matrice) 414,
Demi vie 73 421, 423
Dents de scie (fonction en) 496 Diagramme d’Argand 250, 253, 256
Déplacement (théorème du) 323 Différentielle 99, 100, 351
Dérivée 97-99, 114, 145 calcul différentiel 99, 100, 351
Index 583
quotient différentiel 96, 97 ED simultanées avec coefficients constants

différentielle totale 351 330
Solution par substitution 285
Direction 1 Équations algébriques linéaires 429
Dirichlet, Peter G.L. 495 Erreur
Discriminant 48 absolue 122
Distribution normale 73, 529, 530 et suivantes, théorie des erreurs 507
545 constante 537
Distributivité (d’une loi) 27 aléatoire 537
Divergence d’un champ de vecteurs 475 systématique 537
Domaine propagation 547
d’une fonction de 2 variables 340 Espace des résultats 508
de définition 40 Estimation
Droite (ligne) 43, 145 de la valeur moyenne arithmétique 541
équation paramétrique 131 de l’écart type 541
de la variance 541
E Euler
Écart type 531, 539, 540 formule d’Euler 255, 266, 282
de la valeur moyenne 544 nombre d’Euler 71, 88
Échantillonnage Événement
erreur d’échantillonnage 544 événements exclusifs 512
espace d’échantillonnage 508 événements statistiquement indépendants
ED (voir équation différentielle) 273 514
Élément élémentaire 508, 509, 514, 532
d’aire 545 impossible 509
de volume 392 composé 513, 514
Élément de chemin 182, 357 Expérience 508
Élémentaire Exponentielle (fonction) 71, 76, 109, 110
erreur 545 Exposant 69, 74
événement 508, 509, 514, 532 Extrapolation 39
Équation F
d’une courbe 26
d’une sphère 406 Facteur intégrant 302, 304, 311 et suivantes
Équation auxiliaire 281, 284 Factorielle
Équation différentielle (ED) 273 et suivantes Flux 464
exacte 308 densité de flux 462
linéaire du premier ordre 275 Fonction 40, 41
générale du premier ordre 302 paire 55, 495
d’ordre quelconque 317 impaire 55, 495
homogène 275, 277 circulaire 52
homogène du premier ordre 279 continue 91
homogène du second ordre 279, 281, 282 discontinue 91
linéaire avec coefficients constants 275 explicite 127
linéaire avec coefficients constants, solution exponentielle 71
328 fractionnaire rationnelle 170
non homogène 277 implicite 127
linéaire non homogène 285 inverse 50
du second ordre 276 limite d’une fonction 125
584 Index
linéaire 43 oscillateur harmonique forcé 299 et

de fonction 66, 67 suivantes
monotone 51 Hélice (sous forme paramétrique) 132
de deux variables 337, 367 Hertz 57
périodique 54 Homogène
réelle 41 équation différentielle homogène 279
trigonométrique 52 équation algébrique linéaire homogène
primitive 145, 146, 154, 159 436
Fourier Hyperbolique
série de Fourier 492 cosinus hyperbolique 79
spectre 502 cotangente hyperbolique 80
théorème de Fourier 491 sinus hyperbolique 78
Fraction tangente hyperbolique 79
propre 170 fonction hyperbolique 78
impropre 170
Fréquence naturelle 294, 301, 316 I
non amortie 301 Imaginaire
amortie 301 nombre 247, 248, 266
Fréquence 369, 492 partie imaginaire 248
unité imaginaire j 266
G Implicite
Gauss fonction implicite 360
loi de Gauss 470 Impossible
plan complexe de Gauss 250 événement impossible 509
élimination de Gauss-Jordan 431, 433- Impropre (intégrale) 179 et suivantes
435, 443 convergente 179
élimination de Gauss 430, 431 divergente 179
courbe (en cloche) de Gauss 240 Incrément 122
distribution normale 545 Indéterminée (expression) 125
Géométrique Indice 69
progression 86, 93 Intégrale de ligne 181 et suivantes, 480
série 93, 227 Intégrale définie 147, 149, 153, 154, 175, 191,
Gradient 379
d’une fonction 357 Intégrale double 383, 398
d’une courbe 94 Intégrale indéfinie 145, 159
Graphe 42 Intégrale multiple 377 et suivantes
tracé de graphe 44 et suivantes avec des bornes constantes 378, 379
avec des bornes variables 382, 384
H Intégrale standard 159
Intégrand 149
Hadamard 232 Intégration
Harmonique 503 applications de l’intégration 191 et
analyse harmonique 491 suivantes
fondamental 495 par parties 161 et suivantes, 186
second 495 par fractions rationnelles 170 et
oscillateur harmonique 294 suivantes, 186
oscillateur harmonique amorti 296 par substitution 164 et suivantes, 186
oscillateur harmonique non amorti 294 constante d’intégration 276
Index 585
techniques 186 M
terme à terme 228
Matrice 413 et suivantes
Intervalle
algèbre matricielle 413
de convergence 232
addition et soustraction 415
de confiance 545
colonne d’une matrice 414
Inverse ligne d’une matrice 414
fonction inverse 50, 64, 67, 322 élément d’une matrice 415
d’une matrice 424, 432 matrice antisymétrique 423
calcul d’une matrice inverse 433 matrice symétrique 423, 424
fonction sinus inverse 64 transposée 422, 458
fonction cosinus inverse 65 de rotation 419
fonction cotangente inverse 65 de rotations successives 419
fonction tangente inverse 65 produit d’une matrice par un vecteur 416
fonctions trigonométriques inverses 64 produit de 2 matrices 417
sinus hyperbolique inverse 81 produit d’une matrice par un scalaire 416
cosinus hyperbolique inverse 81 matrice augmentée 433, 434, 436
tangente hyperbolique inverse 82 carrée 414, 422, 424, 444
tangente hyperbolique inverse 82 rectangulaire 414
Irrotationnel (champ vectoriel) 480 matrice inverse 424, 432
singulière 45
L calcul de la matrice inverse 433
orthogonale 422, 424
L’Hospital rang 444
règle de l’Hospital 125 carrée 414, 422, 424, 444
Lagrange (formule) 235 trace d’une matrice 456
Lemme de Dirichlet 495 Maximum 114, 115, 119, 120
Ligne de contour 350, 351, 357, 360 local 113
Limite d’une fonction de plusieurs variables 361
d’une fonction 89, 90 Maxwell 372
d’une série 86 Méridien 391
Linéaire Mineur (d’un déterminant) 439
algèbre 413 Minimum 115, 119, 120
facteur 456 local 113
équation différentielle linéaire 274 d’une fonction de plusieurs variables 361
équation algébrique linéaire 429 Module (d’un nombre complexe) 252, 255
indépendance linéaire 280 Moment
Logarithme 74 et suivantes d’inertie polaire 216, 398
standard 75 d’inertie 208, 213, 215, 395, 398
naturel (népérien) 75 du premier ordre 209, 398
d’ordre deux d’une surface 213, 220
conversion 76
statique 398
Logarithmique
Monotone (fonction) 51
dérivation 128
Multiplication
fonction 77, 109
à gauche 424, 433
Loi de la composition de fonctions (dérivation)
à droite 424
104 Multiplication de deux matrices 417
Loi du levier30
Longueur d’une courbe 198 N
en coordonnées polaires 201 Nabla (opérateur) 483
586 Index
Newton-Raphson équation aux dérivées partielles 371

formule d’approximation 239 Pente 98, 114, 346
Nombre complexe 247 et suivantes d’une droite 44, 94
addition et soustraction 249, 251 Période 54, 56, 59, 369, 492
produit 249 Périodicité 263
division 250 Permutation 515, 516, 532
puissance 263 Phase 57, 59, 370
racines 263 vitesse de phase 369
sommaire des opérations 266 Planche de Galton 528
forme arithmétique 266 Point d’inflexion 113-115, 118, 120
forme exponentielle 254, 256 Point extrême 362
forme polaire 252, 261 position 119, 121
transformations entre formes 260 condition nécessaire 364
représentation graphique 250 condition suffisante 364
périodicité 266 Pôle 45, 118
conjugué 248, 266 Polynôme 170
polynôme approximant 237
O Pondéré (moyenne pondérée) 548
Onde Population parente 540, 542
équation d’onde 371, 372 Position (vecteur position) 9, 42, 43, 129, 182
longueur d’onde 368 Potentiel 485, 486
acoustique 371 champ potentiel 486
Onde rectangulaire498 Poutre encastrée 292
Ordonnée42 Pression atmosphérique 237
Ordre Primitive (fonction) 145, 146, 154, 159
d’une ED 273 Principal (valeur principale) 264
d’intégration 383 Principe de vérification 159
Orthogonal Probabilité 508 et suivantes, 520 et suivantes
matrice orthogonale 422, 424 définition classique 509
Orthogonalité 458 densité 524, 526
Oscillations fonction de densité de probabilité 524, 525
amorties 296 distribution 519, 520, 524-526
non amorties 294 distribution continue 522, 523
forcées 299 distribution discrète 519
définition statistique 510
P Produit (règle du) 103, 161
Projection 7, 43, 350
Pappus
Puissance 69 et suivantes
premier théorème 211
Pythagore (théorème de) 27, 60
second théorème 212
Paramètre 129-132
forme paramétrique d’une équation 129 et Q
suivantes, 181
fonction 194 Quadrant 42
Particulier Quadratique 47, 363
solution particulière 276, 291, 458 équation 47
Partiel résolution de l’équation 48
dérivée partielle 347 Quantité continue 522
dérivée partielle d’ordre quelconque 348 Quotient (règle du) 104
Index 587
R Sous-matrice 444
Sphère (équation) 343
Radian 52
Sphérique
Raison (d’une progression géométrique) 86
coordonnées 391
Rang
symétrie 394
d’un déterminant 444
onde 371
d’une matrice 444
Stationnaire
Rayon
onde 373
de convergence 132, 233
régime 300
de giration 218, 398
Statistique
Réel
mécanique 507
matrice réelle 413
probabilité 510
partie réelle 248
Steiner (théorème) 218
Règles de dérivation 138
Stokes (théorème) 484-485
Régression
Substitution 165
courbe de 552
des bornes d’intégration 177
droite de 549, 554
Successif
Relatif
élimination successive des variables 430
erreur relative 122
rotations successives 411
fréquence relative 510
Suite 85 et suivantes, 92
Résonnance 301
convergente 87, 88
Reste 233, 235
divergente 87, 88
Rotation 404, 407, 409
Supérieur
dans l’espace à trois dimensions 411
borne supérieure d’intégration 149
règles de transformation pour la 409
somme 149
Superposition (formule de) 63 , 295
Rotationnel 480 et suivantes, 483
Surface
S dans l’espace 3-D 350
intégrale de surface 464
Scalaire 1 et suivantes élément de surface 461
produit 23 et suivantes, 357, 416, 417 vecteur élément de surface 462
quantité 4 Symbole de sommation 92
Sécante 96 Symétrie
Selle (point de) 114, 362 axiale 390
Séparable sphérique 394
variables séparables 307 Système apériodique 297
Séparation (de variables) 279, 307, 308 Système d’équations algébriques linéaires 429,
Série de Maclaurin 229, 232, 237 445
Série infinie 93 Système d’équations linéaires
Série potentielle 227-229 Existence et unicité des solutions 435 et
infinie 227 suivantes, 445
intervalle de convergence 232 et suivantes Système de coordonnées obliques 8
Série 92 et suivantes
Singulier T
matrice singulière 45 Tangente 61, 95, 113, 114
Sinus 53 plan tangent 361
fonction sinus 53 -55 vecteur tangent 135, 136
forme exponentielle 255, 266 Taylor (série de ) 236, 237
Solution non triviale (équations algébriques Terme principal 92
linéaires homogènes) 436 Théorème de l’axe parallèle 218, 221
588 Index
Théorème fondamental de l’algèbre 170 pondérée 548

Théorème fondamental du calcul différentiel et Valeur propre 452 et suivantes
intégral 149, 152 Variable
Tire-bouchon (règle du) 31, 32 dépendante 41
Tolérance 354 indépendante 41
Total d’intégration 149
dérivée totale 358, 360 aléatoire 519 et suivantes
Trace (d’une matrice) 456 aléatoire discrète 519
Tracé de courbe 45, 118 Variance 539 et suivantes
Transformation expliquée 554
équations de transformation pour la d’une distribution continue 542
rotation 419 Variation 518
règle 405, 407 de paramètres 289
règle pour les rotations successives 411 des constantes 302 et suivantes
Transformée de Laplace 321 et suivantes Vecteur normal 135, 136
d’une somme de fonctions 326 Vecteur propre 452 et suivantes
de dérivées 326
Vecteur 1 et suivantes, 414
de produits 324
addition 4, 12
de fonctions standard 322
représentation en composantes 7
table des transformées directes 332
norme 15
table des transformées inverses 333
multiplication par un scalaire 14
Transitoire (phase) 300
Translation 403, 404 produit scalaire 23 et suivantes, 357, 416,
Transposé (matrice transposée) 422 et 417
suivantes, 458 produit vectoriel 23, 30 et suivantes, 448
Travail produit vectoriel sous forme de déterminant
mécanique 25, 180 35
fourni par l’expansion d’un gaz 193 projection d’un vecteur 7
Triple (intégrale) 378 représentation 3
Trivial (solution triviale) 436 soustraction 6, 9
composantes 10, 43
U vecteurs de base 471
lié 9
Uniforme (poutre chargée uniformément) 118
vecteur position 9, 42, 43, 129, 182
Unité
radial 391
cercle unité 52
ligne 414
matrice unité 421, 433
Vibration 297
vecteur unité 10 et suivantes, 34
Vitesse
V moyenne 98
instantanée 98
Valeur limite 86 de phase 369
Valeur moyenne arithmétique 525 angulaire 131
Valeur moyenne 525 et suivantes, 538 Volume
distribution continue 542 d’un parallélépipède 448
d’une variable aléatoire à distribution d’un solide de révolution 202
continue 526 d’une sphère 394
d’une variable aléatoire à distribution
discrète 525 Z
d’une fonction 178
Zéro (d’une fonction) 46
théorème de la valeur moyenne 178
WELTNER_17X24_V2_Mise en page 2 22/05/12 10:21 Page1
sciences de sciences de
aW.-J. Weber
aP. Schuster
l’ingénieur
aJ. Grosjean
aK. Weltner
l’ingénieur
a K. Weltner
a J. Grosjean
Mathématiques CD-ROM
inclus
a W.-J. Weber pour les physiciens
physiciens et les ingénieurs

aK . We l t n e r
a P. Schuster
et les ingénieurs
Mathématiques pour les

aJ . G r o s j e a n
Notions fondamentales et guide d’étude interactif aW. - J . We b e r
Ce livre couvre et illustre de manière progressive et complète l’ensemble des a P. S c h u s t e r
concepts mathématiques à la base de la physique et des sciences de l’ingénieur.
Il se présente sous la forme de chapitres assez brefs, ciblant chacun un aspect
particulier, qui peuvent être abordés, si nécessaire, de manière indépendante.
L’ouvrage privilégie une approche concrète, basée sur de nombreux exemples
empruntés à la physique et aux sciences de l’ingénieur.
L’approche est résolument pédagogique. Outre, la progressivité de la présentation

des concepts, ce livre propose, pour chaque chapitre, de nombreux problèmes,
Mathématiques
de complexité croissante, dont les solutions brèves sont données en annexe.
Á ce manuel est joint un guide d’étude détaillé disponible sur un CD-rom. Ce guide
d’étude décompose la matière en petites unités, afin que l’étudiant(e) ait toutes
pour les physiciens
les chances de les maîtriser successivement avec succès. Ainsi il, ou elle, est
invité(e) à lire et étudier une partie limitée du manuel et à revenir ensuite au guide
d’étude. Dans ce guide, les résultats de l’apprentissage sont vérifiés, encadrés
et approfondis par des questions progressives, des exercices, des répétitions et,
et les ingénieurs
finalement, par des problèmes d’application du contenu étudié. Comme les niveaux
de difficulté augmentent peu à peu les étudiants voient croître leur confiance
en eux, et ils mesurent par eux-mêmes leurs progrès dans les compétences
Notions fondamentales et guide d’étude interactif
mathématiques, renforçant ainsi leur motivation.
Ce guide d’étude vise simultanément deux objectifs :

• il permet aux étudiants d’utiliser efficacement le manuel
• il propose des conseils pour l’amélioration des compétences d’étude. Traduction française :
G. Campion
sciences de
l’ingénieur
Docteur en Sciences appliquées, Professeur émérite à l’Université

catholique de Louvain.
Conception graphique : Primo&Primo
ISBN : 978-2-8041-6906-0
9782804169060
WELTNER

Mathématiques Les Physiciens Les Ingénieurs: Pour Et

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Mathématiques Les Physiciens Les Ingénieurs: Pour Et

Transféré par

Informations du document

Titre original

Copyright

Formats disponibles

Partager ce document

Partager ou intégrer le document

Options de partage

Avez-vous trouvé ce document utile ?

Ce contenu est-il inapproprié ?

Droits d'auteur :

Formats disponibles

Mathématiques Les Physiciens Les Ingénieurs: Pour Et

Transféré par

Droits d'auteur :

Formats disponibles

WELTNER_17X24_V2_Mise en page 2 22/05/12 10:21 Page1

physiciens et les ingénieurs

Mathématiques pour les

L’approche est résolument pédagogique. Outre, la progressivité de la présentation

Ce guide d’étude vise simultanément deux objectifs :

Docteur en Sciences appliquées, Professeur émérite à l’Université

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

ALEXANDER, SADIKU, Analyse des circuits électriques

Translation from the English language edition :

© De Boeck Supérieur s.a., 2012 2e tirage 2014

Tous droits réservés pour tous pays.

Le Professeur Dr. Klaus Weltner a étudié la physique à l’Université Technique de Hanovre

Le Professeur Dr. Jean Grosjean a dirigé le département de mathématiques appliquées à

Le Dr.-Ingénieur Peter Schuster a enseigné à l’École d’ingénieurs à l’Université de Bath

Francfort, août 2009 K. Weltner

Publication originale en République Fédérale d’Allemagne sous le titre

Mathematik für Physiker

par les auteurs

K. Weltner, H. Wiesner, P.-B. Heinrich, P. Engelhardt et H. Schmidt.

Avant-propos .............................................................................................................. vii

1 Algèbre vectorielle I : scalaires et vecteurs ..................................................... 1

2 Algèbre vectorielle II : produit scalaire et produit vectoriel ........................ 23

2.1 Produit scalaire ............................................................................................. 36

4 Les fonctions exponentielles, logarithmiques et hyperboliques .................... 69

5 Calcul différentiel ............................................................................................. 85

5.2 Continuité ................................................................................................ 91

6 Calcul intégral ................................................................................................... 145

6.5.6 Cas particuliers de substitution .................................................. 166

7 Applications de l’intégration ........................................................................... 191

8 Série de Taylor et séries potentielles ............................................................... 227

9 Les nombres complexes .................................................................................... 247

9.3.3 Les nombres complexes comme exposants ............................... 255

10 Équations différentielles ................................................................................... 273

11 Les transformées de Laplace ........................................................................... 321

12 Fonctions de plusieurs variables :

13 Intégrales multiples ; systèmes de coordonnées .............................................. 377

14 Transformations de coordonnées ; matrices .................................................. 401

14.4.3 Produit d’une matrice et d’un vecteur ........................................ 416

15 Système d’équations linéaires ; déterminants ................................................ 429

16 Valeurs propres et vecteurs propres de matrices réelles ............................... 451

17 Analyse vectorielle : intégrales de surface, divergence, rotationnel et potentiel 461

17.9 Potentiel d’un champ de vecteurs ............................................................ 485

18 Séries de Fourier ; analyse harmonique ......................................................... 491

19 Calcul des probabilités ..................................................................................... 507

20 Distributions de probabilité ............................................................................. 519

21 Théorie des erreurs ........................................................................................... 537

21.7 Moyennes pondérées ............................................................................... 548

Solutions des exercices ............................................................................................... 557

Index ............................................................................................................................ 581

1.1 Scalaires et vecteurs

De plus, les vecteurs peuvent glisser parallèlement à eux-mêmes, comme illustré à la

1.2 Addition de vecteurs

12.1 Somme de deux vecteurs : l’addition géométrique

La somme de plusieurs vecteurs s’obtient par l’application successive de cette règle du

c=a+b= b+a (1.2)

1.3 Soustraction de vecteurs

Définition L’opposé d’un vecteur a est un vecteur possédant la même magnitude

Si le vecteur a commence en A et finit en B, de telle manière que a = AB , alors –a = BA .

s’appelle le vecteur différence et l’on peut noter c = a – b.