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I/FLEXION :
I.1/ Définition de la flexion :
La flexion est la déformation d'un objet qui se traduit par une courbure. Dans le cas d'une poutre, elle tend à rapprocher les deux extrémités de la poutre. Dans le cas d'une plaque, elle tend à rapprocher deux points diamétralement opposés sous l'action.
Il existe quatre types de flexion :
Flexion simple Flexion pure
Flexion déviée
Flexion composée
Dans ce TP, on a étudié uniquement la flexion simple
I.2/ Définition de la flexion simple :
La flexion simple est un mode de sollicitation tel que dans les sections droites de la barre il existe deux composantes des efforts intérieurs ; le moment fléchissant et l’effort tranchant.
La flexion simple a lieu, si toutes les forces extérieures appartiennent à l’un des plans principaux d’inertie (ce plan est dit plan des forces, ou plan des charges), et s’ils sont perpendiculaires à l’axe central de la barre. (Voir figure ci-dessous) Les déplacements des sections d’une poutre sont caractérisés par :
1/ Des déplacements angulaires des sections droites appelés rotation des sections.
2/ Des déplacements linéiques des centres de gravité des sections droites dans une direction normale à l’axe géométrique de la poutre appelés déformations verticaux ou flèches v(x).
I.3/ Définition de la flèche :
On appelle flèche, la valeur de l’ordonnée de la fibre moyenne déformée au point considéré (voir figure ci-dessous), qui dépend de : 1/ la position de la charge 2/ l’intensité de la charge 3/ la largeur de la poutre 4/ la hauteur de la poutre 5/ la portée de la poutre 6/ la nature du matériau constitutif de la poutre 7/ la forme de la section 8/ la nature des appuis
I.3/ But du TP :
Détermination de la flèche d’une poutre fléchie suivant deux configurations relatives aux plans d’inerties minimales et maximales. (Position 1 et 2)
Position 1 Position 2 I.4/ Travail demandé: a. Calculer les coordonnées du centre de gravité de la section A-A. b. Calculer les moments d’inertie IXX et YYY. c. Donner les valeurs mesurées de la flèche maximale de la poutre pour les deux positions étudiées : fexp_position1 et fexp_position2. d. Déterminer l’équation de la déformée et déduire la flèche théorique maximale de la poutre pour les deux positions : fth_position1 et fth_position2. e. Indiquer les conclusions tirées.
II/ TORSION: II.1/ Définition: La torsion est la déformation subie par un corps soumis à l'action de deux couples opposés agissant dans des plans parallèles.
II.2/ L’objectif du TP :
L’étude de l’effet de la torsion en déterminant la position du centre de cisaillement.
b’ B p s
M A G h’ section B-B B L h
L : longueur de la barre= 500mm b
h : hauteur de la section= 25mm p : charge appliquée= 45N b : Largeur de la section= 25mm s : épaisseur de la section= 3mm Aluminium : module d’élasticité= 68000N/mm²
II.3/ Travail demandé :
e. Calculer les coordonnées du centre de gravité de la section B-B (XG et YG). f. Calculer les moments d’inertie IXX et YYY. g. Déterminer l’excentricité expérimentale « eexp ». h. Calculer l’excentricité théorique « eth » et le moment de torsion Mt, sachant que : eth= MG=MA+AG . Mt= Fx (a)=Fx (b’2xh’2xs/4xIX) e. Indiquer les conclusions tirées Appareil utilisé : voir figure (1) : Description de l’appareil : Sur cet appareil de table, la disposition couchée des poutres d’essai constitue un montage expérimental clair, montré sur la figure (1) :
L’observation par l’avant permet de reconnaître clairement la flexion. Les poutres sont interchangeables à profil en I pour avoir l’effet de la flexion simple et à profil en U pour avoir l’effet de la torsion.
Les sections des profilés en I et U sont encastrées d’un côté dans une colonne massive et libres à l’autre extrémité. Une force est appliquée à l’extrémité libre par un jeu de poids suspendu à un goujon récepteur qui permet l’application excentrée (de quelque mm) de la force pour produire une contrainte combinée en torsion et en flexion pour déterminer le centre de cisaillement (pour une section dissymétrique).
La position angulaire des profilés est indiquée sur un disque gradué et des comparateurs à cardan mesurent de déplacement de l’extrémité libre de la poutre. Des vis de réglage permettent d’effectuer un ajustage à zéro précis. SOLUTION
I.Partie théorique : Détermination des déformées des systèmes représentés sur les figures 1 et 2 en utilisant la méthode de double intégration.
q F F
EI L EI L Figure -1- Figure -2-
I.1/Equation de la courbe élastique :
O
A B B’ dθ
M A dθ B
du M D y C D’ dx C D dθ
du : l’allongement du= ±ydθ (du/dx)= ±y(dθ/dx) (du/dx) : accroissement d’une fibre par unité de longueur, c’est donc la déformation de dx. Soit ε=du/dx il vient : ε = ±y/dθ soit avec : ds= ςdθ=dx ε=± y/ς avec ε= Б/E Б=± yE /ς
avec Б=±My/I
1/ς = ±M/ EI → équation de la courbure
1/ς : la courbure
La déformée de la poutre est en fonction de a rigidité de la poutre EI et du moment
fléchissant.
1/ς
I.2/ Equation de la flèche :
1/ς = M/ EI 1/ς = ± (d²v/dx²) / [1+(dv/dx)²]3/2 Le signe dépend de l’orientation des axes 1/ς = + (d²v/dx²) / [1+(dv/dx)²]3/2 → si oy est dirigé vers le haut 1/ς = − (d²v/dx²) / [1+(dv/dx)²]3/2 → si oy est dirigé vers le bas On considère l’axe y dirigé vers le bas : 1/ς = − (d²v/dx²) / [1+(dv/dx)²]3/2 Pour les poutres rigides dv/dx est petit donc on peut négliger (dv/dx)² devant 1
1/ς = − d²v/dx² −M/ EI= d²v/dx²
V’’(x)= −M/ EI
I.3/ Méthode de calcul : pour déterminer V(x), on peut utiliser l’une des méthodes suivantes : Méthode de double intégration Méthode graphique Méthode des paramètres initiaux
*on va utiliser la méthode de double intégration :
V’’(x)= −M/ EI V’(x)= θ(x)= - 1/EI ∫M(x) dx θ(x) : déplacement angulaire V(x)= -1/ EI ∫∫M(x) dx Conditions d’extrémités : les constantes d’intégration sont déterminées à l’aide des conditions d’extrémités ou d’appuis : a) Appui simple :
F Si x=a → v(x)= v(a)= 0 a
b) Encastrement :
q V(x)= V(a)= 0 si x=a a V’(x)= V’(a)= 0
I.4/ Calcul des déformées :
a) Figure1 :
F A B
X L
M(x)= -F.x → V’’=F.x/ EI V’= Fx²/2EI + A V= Fx3/6EI + Ax+B Conditions aux limites:
II.1.a) calcul des coordonnées du centre de gravité de la section A-A:
Section rectangulaire OX et OY sont des axes de symétrie
Donc : XG=b/2 = 9,9/2 = 4,95mm YG=h/2 = 24,9/2 = 12,45mm Y L : Longueur de la barre b : Largeur de la section h h : Hauteur de la section X F : Charge appliquée ƒ : La flèche E: module d’élasticité
b section A-A II.1.b) Calcul des moments d’inertie Ixx et Iyy : *Ixx= bh3/12 = 9,9(24,9)3/12 Ixx= 12736,55mm4
*Iyy= hb3/12 = 24,9(9,9)3 /12
Iyy= 2013, 37mm4
II.1.C) Les valeurs mesurées de la flèche maximale de al pouter pour les
deux positions étudiées fexp_position1 et fexp_position2 : fexp_position1= 7,30mm fexp_position2= 1,26mm
II.1.d) Calcul de flèche théorique maximale de la poutre pour les deux
II.1.e) Conclusions : La flèche varie en changeant les positions de la barre. La flèche est inversement proportionnelle à l’inertie de la barre. II.2/Etude de la torsion d’une poutre à section en U :
b’ B p s
M A G h’ section B-B B L h
L : longueur de la barre= 500mm b
h : hauteur de la section= 25mm p : charge appliquée= 45N b : Largeur de la section= 25mm s : épaisseur de la section= 3mm Ealuminium : module d’élasticité= 68000N/mm²
II.2.a) Calcul des coordonnées du centre de gravité de la section B-B :
