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    Changement Variables Calcul Integrales

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    Maurel Hans Amou

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    MOOC DE MATHEMATIQUES

    « PRÉPARATION A L’ENTRÉE DANS L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR »

    SÉQUENCE 5.3 

    CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    1
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    Première méthode
    π

    ∫ 0
    2
    sin(2x)dx
    x → sin(2x)
    −cos ( 2x )
    x→
    π 2 π
    −cos(2x)
    ∫02 sin(2x)dx = [ 2 ]02
    = ( −cos (π ) + cos ( 0 ))
    1
    2
    =1
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    Deuxième méthode
    π

    ∫0
    2
    sin(2x)dx
    u = 2x du = 2dx
    1
    dx = du
    2
    π
    π 1
    ∫0 sin(2x)dx = ∫0 2 sin(u)du
    2

    1
    = [−cos ( u )]π0
    2
    =1
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Changement de variable

    u : x → u(x)
    u est C 1 et bijective

    u :[a,b] → [u(a),u(b)]

    du = u ' ( x ) dx
    b u(b)
    ∫a
    u '(x) f (u(x))dx = ∫
    u(a)
    f (u)du
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Changement de variable

    x = φ (t)
    φ est C 1 et bijective

    dx = φ ' ( t ) dt
    b φ −1 (b)
    ∫a
    f (x)dx = ∫ −1
    φ (a)
    φ '(t) f (φ (t))dt
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    π
    cos(x)
    ∫0 1+ sin(x) dx
    2

    u(x) = sin(x)
    π
    u :[0 ] → [0,1]
    2
    du = u '(x)dx
    du = cos(x)dx
    π
    cos(x) 1 du
    ∫0 1+ sin(x) dx = ∫0 1+ u
    2

    = [ln (1+ u )]10


    = ln(2)
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES
    Exemple
    3 dx
    ∫2 x ln(x)
    u(x) = ln(x)
    dx
    du =
    x
    3 dx ln(3) du
    ∫2 x ln(x) = ∫ln(2) u
    = [ln ( u )]lnln(( 23))
    = ln(ln(3)) − ln(ln(2))
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    1
    ∫ 0
    1− x 2 dx
    x = sin(t)
    dx = cos(t)dt
    π
    sin :[0, ] → [0,1]
    2
    π
    1
    ∫0
    1− x 2 dx = ∫
    0
    2
    1− sin 2 (t)cos(t)dt
    π
    =∫ 2
    cos 2 (t)cos(t)dt
    0
    π
    ∀t ∈[0, ],cos(t) ≥ 0 cos 2 (t) = cos(t)
    2
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    π
    1
    ∫ 0
    1− x 2 dx = ∫ cos 2 (t)dt
    2
    0

    cos(2t) = 2cos 2 (t) − 1


    1+ cos(2t)
    cos 2 (t) =
    2
    π
    1 1+ cos(2t)
    ∫0 1− x dx = ∫0
    2 2
    dt
    2
    π π
    1 1
    = ∫ 2 dt + ∫ 2 cos(2t)dt
    0 2 2 0
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    π
    1 π 1
    ∫ 0
    1− x 2 dx = + [sin(2t]02
    4 4
    π
    =
    4
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    e2 (1+ ln(x)
    ∫ e (x ln(x)) 2
    dx

    u = x ln(x)
    1
    du = (ln(x) + x. )dx
    x
    = (ln(x) + 1)dx
    u : x → x ln(x) C 1
    u :[e,e2 ] → [eln(e),e2 ln(e2 )] = [e,2e2 ]
    e2 (1+ ln(x) 2e2 du
    ∫e (x ln(x)) 2
    dx = ∫
    e u2
    SÉQUENCE 5.3 - CHANGEMENTS DE VARIABLES ET CALCUL D’INTÉGRALES

    Exemple
    1 1
    u → 2 a pour primitive u → −
    u u
    2e2 du 1 2e2
    ∫e u 2 = [− u ]e
    1 1
    =− 2 +
    2e e
    e2 (1+ ln(x) 1 1
    ∫e (x ln(x))2 dx = e − 2e2

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