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Partie II.
ETUDES TECHNIQUES
15
Chapitre IV. HYPOTHESES DE CALCUL
IV.I. C A LC U L A U X E TA TS L IM I TE S
Dans cette méthode, on se réfère à tout état (état limite) pour lequel la construction ne
répondrait plus à l’un des critères prévus lors de sa conception.
Dans ce cas, on définit ainsi :
• Etat Limite Ultime (ELU) : considérant la perte d’équilibre statique, capacité portante
et résistance maximale atteinte pour un élément porteur. C’est en ELU qu’on
détermine les sections des armatures, on distingue ainsi :
-Etat Limite Ultime de Résistance (ELUR)

-Etat Limite Ultime de Stabilité de Forme (ELUSF)
• Etat Limite de Service (ELS) : relatif à la question de déformation ou fissuration

excessive, vibration, …. La vérification des contraintes du béton et de l’acier est
vérifiée à ELS, on distingue ainsi :
-Etat Limite de Service d’ouverture des fissures

-Etat Limite de Service vis-à-vis de la compression du béton
Il faut utiliser des modèles de calcul plastique en ELU tandis que le modèle reste élastique en
ELS.
IV. I.1. E TA T L IM I TE D ’ O U V E R TU R E D ES F IS S U R E S
• La fissuration est considérée comme Peu Préjudiciable lorsque :
- Les éléments en cause sont situés dans des locaux couverts et clos, non soumis (sauf
exceptionnellement et pour de courtes durées) à des condensations ;
- Les parements susceptibles d’être fissurés ne sont pas visibles ou ne font pas l’objet
de conditions spécifiques concernant l’ouverture des fissures.
• La fissuration est considérée comme Préjudiciable lorsque les éléments en cause sont
exposés aux intempéries ou à des condensations, ou peuvent être alternativement
émergés ou noyés en eau douce (condition acceptée en accord avec le Maître de
l’ouvrage) ;
16
• La fissuration est considérée comme Très Préjudiciable lorsque les éléments en cause
sont exposés à un milieu agressif ou doivent assurer une étanchéité.
Dans notre cas, on admet que la fissuration est Peu Préjudiciable.
IV. I.2. E TA T L IM I TE D E C O M P R E S S IO N D U B E TO N
IV. I.2.i. R ES IS TA N C E C A R A C T ER IS TIQ U E A LA C O M P R ES S IO N
Le béton est dosé à 350 Kg/m3 en utilisant un liant hydraulique (CEM I 42.5) mise en
œuvre sur chantier dans des conditions de fabrication courante. Ces conditions nous ont
permis de choisir comme résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours de :
fc28 = 25 MPa
fc28 : Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours.
IV.II. C A R A C TE R IS TIQ U ES D ES MA TE R IA U X
IV. II.1. C A R A C TE R IS TIQ U E D U B E TO N
IV. II.1.i. R ES IS TA N C E C A R A C T ER IS TIQ U E A LA C O M P R ES S IO N

( M E N TIO N N E C I - D ES S U S )
IV. II.1.ii. R ES IS TA N C E DE CALCUL DU B E TO N EN C O M P R E S S IO N
Elle est donnée par la formule :
.
×
fbu =
Avec :
fbu : Résistance de calcul en compression à l’ELU

Ɵ : Coefficient qui dépend de la durée t d’application des surcharges
Ɵ = 0.85 si t < 1h
Ɵ = 0.9 si 1h ≤ t < 24h
Ɵ = 1 si t ≥ 24h
Dans notre cas, on a Ɵ = 1
: Coefficient de sécurité partielle du béton
= 1.5 pour la combinaison fondamentale
= 1.15 pour la combinaison accidentelle
On va prendre dans notre étude celle de la combinaison fondamentale = 1.5

Donc :
17
fbu = 14.2MPa
IV. II.1.iii. R ES IS TA N C E C A R A C T ER IS TIQ U E A LA TR A C TIO N
La résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours d’âges est conventionnellement

donnée par la formule qui suit :
ft28 = 0.6 + 0.06fc28
ft28 : Résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours d’âges.
Dans ce cas, on a :
ft28 = 2.1MPa
IV. II.2. C A R A C TE R IS TIQ U E D E S A C IE R S
Pour le calcul, on utilise des aciers hauts adhérences Fe E 400.

Alors, nous avons fe = 400MPa
Avec :
= fed =
Avec :
: Contrainte de l’acier en service ;
fed : Résistance de calcul de l’acier à l’ELU ;
fe : Limite d’élasticité de l’acier ;
: Coefficient de sécurité partielle de l’acier égal à :
• 1.15 pour combinaison fondamentale
• 1 pour combinaison accidentelle
On admet que seule la combinaison fondamentale est autorisée dans ce calcul.

Alors :
= 348 MPa
On considère une Fissuration Peu Préjudiciable avec un enrobage de 2cm, donc la contrainte
de l’acier en service n’est pas limitée.
18
Chapitre V. PREDIMENSIONNEMENT
Le prédimensionnement consiste à déterminer les sections des différents

éléments en béton armé de la structure via l’utilisation des formules approchées. Il a
pour but d’évaluer les sollicitations qui agissent sur ces éléments et en considérant les
conditions de résistance et économique.
V.I. T O ITU R E - TE R R A S S E
La toiture en terrasse est composée par les différents éléments suivants :
• Dalle en béton armé
V.II. F O R M E D E P EN TE D E 5 CM
• Etanchéité multicouche
• Protection d’étanchéité
• Un élément porteur
• Enduit en plâtre 15 mm
La dalle est une dalle pleine.

Soient :
• ho l’épaisseur de la dalle ;
• lx la petite portée ;
• ly la grande portée ;
• α=
L’épaisseur ho sera :
• Pour α ≤ 0.4 c’est-à-dire une dalle sur 2 appuis: ≤ℎ ≤
• Pour α ≥ 0.4 c’est-à-dire une dalle sur 4 appuis avec: ≤ℎ ≤ avec L= ×
Le panneau de dalle le plus large a été pris pour le calcul :

= 4.66
19
=4.99
 α = 0.943> 0.4
Donc la dalle porte sur deux directions
L=√4.66 × 4.99= 4.82
. .
 ≤ ho≤
 0.12≤ ℎ ≤0.16
Prenons ho = 15cm
V.III. L E S P O U TR ES
V. III.1. H A U TEU R H
Nous allons opter pour des poutres à section rectangulaire étant donné que ces poutres
s’avèrent être les plus courantes. D’après la condition de non-déformabilité, la hauteur
h de la poutre est proportionnelle à sa longueur l, et doit vérifier les inégalités
suivantes :
≤ℎ≤
15 10
La longueur maximale des poutres longitudinales est de 4.98 m. Celle des poutres
transversales est de 4.90 m.
Nous avons donc le pré-dimensionnement suivant :

• Poutres longitudinales
4.98 4.98
≤ℎ≤
15 10
33 ≤ h ≤ 50 [cm]
Afin de réduire la quantité et le coût du béton, on fixe : h=42cm

• Poutres transversales
4.85 4.85
≤ℎ≤
15 10
32 ≤ h ≤ 48 [cm]
Fixons h =42 cm
20
V. III.2. B A S E B
La base b’ des poutres doit vérifier la condition suivante :
0.3h ≤ b ≤ 0.4h
La base b’ est souvent choisie de façon à pouvoir loger les aciers.

Pour des raisons de bonne exécution, la base de toutes les poutres est prise égale à 20 cm.
Cette valeur n’est autre que l’épaisseur du mur sans enduit.
Conclusion
Dimensions :
Poutres longitudinales : 20×42 cm
Poutres transversales : 20×42 cm
V. III.3. L E P LA N C H ER
Comme précédemment, le calcul de l’épaisseur du plancher doit satisfaire les conditions

suivantes :
• Pour α ≤ 0.4 c’est-à-dire une dalle sur 2 appuis: ≤ ℎ ≤
• Pour α ≥ 0.4 c’est-à-dire une dalle sur 4 appuis avec: ≤ℎ ≤ avec L= ×
Le panneau de dalle le plus large a été pris pour le calcul :

= 4.66 m
 α = 0.94 ˃ 0.4
=4.99
 L= × = √4.66 × 4.99= 4.82
≤ℎ ≤
. .

 0.12 ≤ ho≤ 0.16
Prenons ho=15 cm
V. III.4. L E S P O TE A U X
Les poteaux sont considérés soumis en compression simple ou centrée en raison de la

faiblesse de la valeur de l’excentricité telle que :
21
,
e≤- avec a : côté de la section droite du poteau
Leur section sera déterminée à partir de la relation suivante :
.≥
01
.2 × 1
B : section du poteau [cm²] ;

B = a b pour une section rectangulaire ;
Nu : effort normal de compression [T]
Nu = n×q×S
n : nombre de niveaux,
q : charge moyenne supportée par un plancher d’étage, souvent comprise entre 1T/m² et
1,50T/m². Prenons q = 1,25T/m² ; (0.0125 Mpa)
S : surface d’influence du poteau [m²].
fbu : contrainte de compression du béton [MPa] telle que :
. ×
×
fbu = σbc =
où :
fc28=25MPa (béton dosé à 350 Kg/m3 de CEM I): contrainte de compression du béton à
l’âge de 28 jours ;
ft28=2.1MPa : résistance à la traction à 28 jours d’âge du béton ;
=1,5 : coefficient de sécurité du béton (combinaison fondamentale) ;
Ɵ =1 : la durée d’application des charges est supérieure à 24h (c’est le cas de la compression
simple) ;
Donc, on a :
fbu =14,2 MPa.
Par ailleurs, les poteaux doivent remplir la condition de non flambement :
Pour une section rectangulaire:
≤ 14.4
3
,
Avec lf : longueur de flambement du poteau[m] telle que :

lf = 0,707 l0 pour les poteaux assemblés à des poutres planchers à ses deux extrémités, l0
étant la longueur libre du poteau compté de plancher à plancher en [m]
Nous avons donc :
= ≤ 14.4 ⟹ a ≥
3 .5 5× 6 .5 5× 6
, , - .
Alors, pour :
l0=3,00 m pour tous les niveaux, a ≥ 14.58cm.

Prenons a = 20 cm (largeur des murs)
22
Donc, on va dimensionner un poteau intérieur sur la file la plus chargée qui a pour surface
d’impact :
S= 4.495×4.645=20.88 m2
Donc Pour tous les poteaux : B ≥

× . - × .
.2×- .
= 0.061 m2
Tableau 5 : Section des poteaux et vérification au flambement
Etage n S(m2) N(MN) B(m2) b=B/a(m) b(approx) Section(cm2) Lf/a

R+2 1 20.88 0.261 0.021 0.105 0.11 20×20 10.605
R+1 2 20.88 0.522 0.042 0.21 0.20 20×20 10.605
RDC 3 20.88 0.783 0.063 0.315 0.32 20×30 10.605
V. III.5. E S C A L IE R
Dans ce prédimensionnement, nous allons déterminer la hauteur des marches, le giron et le

nombre de marches des escaliers intérieurs reliant le rez-de-chaussée à la première étage et la
première étage a la deuxième étage. Nous avons choisi un escalier de type le plus courant
mais qui offre le plus grand confort par l’existence d’un palier intermédiaire. L’espace réservé
pour l’escalier est de 2,50 × 3.00 m avec une hauteur plancher à plancher égale à 3,00 m
(escalier identique pour chaque niveau). Pour un immeuble d’habitation, la longueur de
l’emmarchement doit être supérieure à 0.80 m. De plus, la règle de Blondel doit aussi être
satisfaite.
Selon la loi de Blondel :
60cm ≤ 2h+g ≤ 65cm

h étant la hauteur de chaque contremarche :
17cm ≤ h ≤ 21cm
g étant la largeur de marche sans le nez.
27cm ≤ g ≤ 30cm
Calcul des marches entre les étages courants
• H A U TEU R D E C O N TR E MA R C H E H
La hauteur à franchir est de 3m.
Pour h=20cm, nous avons :
23
n= = 15 contremarches
• G IR O N G
g=60cm-2×20cm=20cm
g=64cm-2×20cm=25cm
En prenant la moyenne, nous avons g=22.5cm.
• PALIER DE REPOS
L’emmarchement E doit respecter les règles suivantes :
• E ≥ 0.80m pour les étages courants alors on fixe E = 1.20m
Ainsi, la largeur du jour est de 0.10 m
La largeur du palier de repos doit vérifier cette condition :
lp = 1.2E ⟹ lp = 1.2× 1.10 = 1.34m
• P A IL LA S S E
Prenons l’épaisseur de la paillasse e= 0.25 cm et l’inclinaison de la paillasse est donnée par :

8 = 9:;<=> ?AB = 9:;<=> ? . B = 41.63°
@
Vue en plan Vue en élévation
Figure Prédimensionnement de l’escalier intérieur
24
Chapitre VI. DESCENTE DE CHARGES
VI.I. D E FIN IT IO N
La descente des charges consiste à calculer, pour tous éléments porteurs de construction,
les charges qu’ils supportent au niveau de chaque étage jusque sur la fondation. Il faut
donc d’abord considérer la nature et l’importance des forces agissant sur les bâtiments. Ce
sont les charges permanentes ou poids mort, les surcharges d’exploitation, et les charges
climatiques.
VI.II. CHOIX DE L’ AXE A ETUDIER
Pour ce projet, la file 4 sera étudier car les poteaux ont la plus grande surface d’influence
La figure ci-dessous donne un aperçu plus explicite :
Figure : File à étudier
25
Figure : Portique
VI.III. H Y P O TH ES ES D E C A LC U L
La descente des charges précède toujours le calcul des poutres.

Les calculs pratiques sont faits en admettant que les poutres reposent simplement sur les
poteaux. On doit tenir compte d’une majoration de 15% sur la charge des poteaux centraux et
une minoration de 10% sur les poteaux de rive.
La loi de dégression ne sera pas appliquée pour les surcharges d’exploitation car le nombre de
niveau est inférieur à 5.
VI.IV. L E S C H A R G ES P ER MA N E N TES
Ce sont les charges qui sont dues à la force de la pesanteur, autrement dit, ce sont les poids
propres des éléments de la structure, des enveloppes et des équipements qui sont mentionnés
ci-dessous :
Tableau 6 : Poids propre des matériaux de construction
Materiaux de construction Poids volumique ou surfacique Unités

Béton armé 2500 [daN/m3]
Béton non armé 2300 [daN/m3]
Mortier de ciment 2200 [daN/m3]
Mortier de plâtre 180 [daN/m3]
Acier 7850 [daN/m3]
Agglo 10x20x50 cm 135 [daN/m2]
26
Agglo 20x20x50 cm 270 [daN/m2]
Chape et revêtement 100 [daN/m2]
Carrelage en céramique (1.5 cm) 24 [daN/m2]
Étanchéité multicouche (e = 2 cm) 12 [daN/m2]
Gravillon pour protection 20 [daN/m2]
d’étanchéité
Garde-corps a remplissage vitré 60 [daN/m]
VI. IV.1. É V A LU A T IO N D ES C H A R G ES P E R M A N E N TES D E C H A Q U E E LE M EN T

D U B A TIM E N T
Le poids de chaque élément porteur ou non du bâtiment fait partie des charges permanentes, il
est évalué par unité de surface ou par unité de longueur. Son évaluation se fait par l’addition
des poids des matériaux de construction qui le constituent. Ces éléments ainsi que leur poids
par unité de surface ou par unité de longueur sont représentés par le tableau de la page
suivante :
Éléments de la structure Désignations Charges Unités
h (hauteur des marches) : 20 cm

g (giron) : 22.5 cm
α (inclinaison de l’escalier sur
l’horizontale) :41.63°
ep (épaisseur en mètres de la paillasse) :
Escaliers 0.25 m
Chape et revêtement 100 daN/m2
p = 2500 × ( EF G + )=
CD @ 1086.17 daN/m2
(poids de 1m2 de l’escalier)
TOTAL ESCALIER 1186.17 daN/m2
Etanchéité multicouche 50 daN/m2

Protection d’étanchéité 30 daN/m2
Dalle 0.15 × 2500 375 daN/m2
Enduit en plâtre 15 mm 21 daN/m2
TOITURE-TERRASSE Garde-corps métallique 50 daN/m2
Carrelage en céramique ( 1.5cm) 24 daN/m2
Forme de pente 5 cm 75 daN/m2
TOTAL TOITURE-TERRASSE 752.5 daN/m2
Toiture non accessible Dalle en béton armé (e=0.70m) 750 daN/m2
27
Enduit en plâtre 15 mm 21 daN/m2
TOTAL TOITURE NON 771 daN/m2
ACCESSIBLE
PISCINE Eau 1100 daN/m2
Enduit hydrofuge (e = 4cm) 72 daN/m2
Dalle pleine en BA (e = 20 cm) 500 daN/m2
450
TOTAL PLANCHER COURANT
Balcon, terrasse et loggia Carrelage en grès cérame d’épaisseur 9 90 daN/m2

mm daN/m2
Chape de 4 cm d’épaisseur 80 daN/m2
Dalle pleine en BA (e = 15 cm) 375 daN/m2
TOTAL Terrasse et loggia daN/m2

545
Agglo 20x20x50 cm 270 daN/m2
Mur 23 Enduit de ciment 15 mm sur les 2 faces 60 daN/m2
TOTAL MUR 23 330 daN/m2
Mur 13 Agglo 10x20x50 cm 180 daN/m2

Enduit de ciment 15 mm sur les 2 faces 60 daN/m2
TOTAL MUR 13 240 daN/m2
Palier intermédiaire Chape et revêtement 100 daN/m2
Dalle pleine (épaisseur e=25 cm) 625 daN/m2
TOTAL PALIER INTERMEDIAIRE daN/m2

725
Cage d’ascenseur et monte-charge Voile en béton armé (épaisseur 375 daN/m2
e=15cm)
Enduit 1,5 cm sur 2 faces 60 daN/m2
TOTAL CAGE D’ASCENSEUR ET 436 daN/m2
MONTE-CHARGE
Poutres longitudinales 0.20×0.42×2500 210 daN/ml
Poutres transversales 0.20×0.42×2500 210 daN/ml
Poteaux 0.20×0.20×2500 100 daN/ml
0.20×0.30×2500 150 daN/ml
Tableau 26 : Évaluation des charges permanentes de chaque élément du bâtiment
VI.V. C H A R G E S D ’ EX P LO IT A TIO N
Les charges d’exploitation des bâtiments (appelées aussi surcharges) sont des charges
uniformément réparties ou concentrées.
28
Les charges d’exploitation des bâtiments sont provoquées par l’occupation des locaux. Leurs
valeurs tiennent compte :
• De l’usage normal que les personnes font des locaux ;

• Des meubles et objets mobiles ;
• Des véhicules ;
• Des événements rares prévus ;
Les charges comprennent :
• Les charges sur planchers ;

• Les charges sur toiture ;
• Les actions dues aux véhicules de transport ;
• Les actions des équipements spéciaux ;
Nature des locaux Charges d’exploitation [daN/m2]
Pièces habitées 200

Escaliers et dégagement 250
Garage 250
Terrasse et loggia 150
Toiture-terrasse accessible 500
Monte-charge 500
I.I. CALCUL DES D ES C EN TE DE CHARGE
I. I.1. D E S C E N TE D E C H A R G ES V E R TIC A LES D E LA FI LE 4
Nous étudierons le portique C comportant les poteaux B4 ,D4,F4,H4.

La surface d’influence des poteaux est indiquée par le schéma ci-après :
29
Figure : Surface d’influence des poteaux
RECAPITULATION
Tableau : Récapitulation des charges permanentes [daN]
Niveau PB4 PC4 PE4 PG4 PH4 PI4

N0 12916.39 11213.56 17631.05 15287.69 - -
N1 13216.39 11513.56 17931.05 15587.69 - -
N2 22303.01 27531.67 35618.28 43508.99 - 8323.83
N3 22603.01 27831.67 35918.28 43808.99 - 8623.83
N4 32334.85 40312.29 54614.25 69648.22 7096.12 13407.00
N5 32784.85 40762.29 55064.25 70098.22 7546.12 13857.00
N6 39414.64 55273.05 77916.13 64133.16 14257.57 14396.17
Tableau : Récapitulation des charges d’exploitation [daN]
Niveau PB4 PC4 PE4 PG4 PH4 PI4

N0 et 1125 2887.96 10439.6 8263.05 - -
N1
Ajouter 1407.49 3501.44 3673.26 3932.8 - -
N2 et 2532.5 6389.4 14112.86 12196 - 4444.4
N3
Ajouter 1586.33 2954.22 4067.86 3932.8 - 2879
N4 et 4118.8 9343.62 18180.72 16129 3815.1 7323.5
N5
Ajouter 1926.83 3439.06 5672.79 3331.6 866.01 0
30
N6 6045.6 12782.68 23853.51 19460.6 4681.0 7325.5
I. I.2. D E S C E N TE D ES C H A R G E S H O R IZ O N TA LE S
I. I.2.i. E F FE T DU VENT
Lorsque la force normale du vent est exercée sur les parois du bâtiment, il engendre des
efforts non négligeables pour la structure. Elle est principalement en fonction de la vitesse du
vent mais aussi des autres facteurs qu’on va voir après. Toutes les formulations suivent la
norme NV 65. Dans notre cas, on prendra la valeur extrême du vent car c’est le cas le plus
défavorable.
Comme on se trouve dans la région d’Analamanga , on a :
Pression dynamique de base q 10,n = 125 daN/m2 ( normale)

= 217 daN/m2 (extrême)
La construction repose sur un terrain plat. La hauteur totale par rapport au sol est de H=10.30
m.
Tableau20 : Pression dynamique extrême du vent
Concerné Dépendance Expression Valeur Unité

Pression dynamique de Vitesse v q=v²/16,3 Normale :125 daN/m²
base Extrême :217
Pression dynamique Pression dynamique qdn=q10n.Ch.Cm.Cs.δ 88.75 daN/m²
corrigé qdex=q10ex.Ch.Cm.Cs.δ 154.07
1
Effet de hauteur. Pression dynamique IJ-
IJK
Ch=2.5
Effet de site Site d’implantation : Cs 1

Normal
Effet de masque Masqué par une autre Cm 1

construction : Non
Effet de Hauteur et surface δ 0.71 (pour la

dimension offerte au vent valeur
d’Antananarivo)
I. I.2.ii. MOMENT D ’ IN ER TIE I :

LMN ≤ OP . QN
D E S S EC TIO N S D E P O T EA U X
De ce fait, le moment d’inertie sera :
31
T
LR = S OP . QN
NU-
Centre de gravité de l’ensemble des poteaux :
Le centre de gravité est obtenu par la formule :
∑ ON × VN
VM =
∑ ON
Avec :
Figure : Distance entre les poteaux
xi: Abscisse du poteau (m)

Si: Section du poteau (cm)
En prenant comme origine des abscisses le poteau PB4, on a les abscisses des poteaux
suivants pour tous les niveaux :
Tableau 25 : Distance cumulée des poteaux PB4 à PH4
Poteaux PB4 PC4 PE4 PG4 PH4 PI4

x 0 2.25 6.92 11.55 13.56 16.4
Tableau 26 : Section des poteaux en [cm2]
Poteaux PB4 [cm2] PC4 [cm2] PE4 [cm2] PG4 [cm2] PHA[cm2] PI4[cm2]
RDC 600 600 600 600 600 600
1er étage 400 400 400 400 - 400
2éme étage 400 400 400 400 - -
Les résultats des calculs du centre de gravité dans chaque niveau la distance des poteaux par
rapport à ce centre de gravité ainsi que le moment d’inertie sont donnés dans le tableau
suivant :
LR = ∑TNU- OP . QN
∑ ON × VN
VM =
∑ ON
Nivea d1 d2 [m] d3 d4 d5 [m] d6 [m] [m4]
u [m] [m] [m]
n0-n1 5.18 5.18 2.93 1.74 6.37 8.38 11.22 3.16
32
n2-n3 7.424 7.424 5.174 0.504 4.126 6.136 8.976 7.18
n4-n5 8.446 8.446 6.196 1.526 3.103 5.113 7.953 12.66
Figure : Efforts normaux dans les poteaux du RDC
Figure : Efforts normaux dans les poteaux du 01étage
Figure : Efforts normaux dans les poteaux du 01étage
33
I. I.2.iii. MOMENT E Q U I LIB R E P O U R C H A Q U E N IV EA U
Le moment équilibré pour chaque niveau est donné par :
X=Y.Z
Avec :
- z : Bras de levier ;
- F : résultante des efforts au – dessus du plancher de l’étage considéré :
Y=[\.].^
Où :
- h est la hauteur de la surface d’influence du poteau ;

- l : largeur de la surface d’influence du poteau (l=4.49m)
Toutefois, il faut vérifier si la somme des forces est nulle : F1+F2-F3-F4 = ?0
La formule des moments est la suivante :
`. QN . ON
_N =
LAN
Les valeurs des moments sont déterminées à partir du tableau suivant avec leurs formules
respectives :
Niveau h[m] F= qd.h.l z=h/2 M=F*z F1 F2 F3 F4 F5 F6 Vérifi

[Q=a] [b] [Q=a/b] [Q=a] [Q=a] [Q=a] [Q=a] cation
n0 1.65 1141.43 0.83 941.68 61.73 34.92 20.74 75.91 0 0 0

n1=n2 4.65 3216.75 2.33 7478.94 308.92 215.30 20.97 171.6 0 373. 0
9 51
n3=n4 7.65 5292.07 3.83 20242.18 809.91 594.17 146.39 297.5 49 762. 0
6 0.2 61
9
n5=n6 10.65 7367.40 5.33 39231.39 1569.6 1151.56 283.71 576.7 95 1478 0
9 1 0.2 .01
4
I. I.2.iv. CHARGES H O R IZ O N TA LE S S U R LE S P O TE A U X
Soit qc la pression dynamique exercée par le vent sur la paroi verticale et L la largeur
d’influence supportée par le portique.
Ainsi, la charge linéaire W exercée par le vent sur la paroi verticale gauche et droite est :
34
c= d;×e
L : largeur d’influence supporte par le portique.

Application :
W = 217×4.49 = 974.33 [daN/m]
à l’ELS : qw = 0.77×9.74= 7.50 [kN/m]
à l’ELU : qw = 9.74 [kN/m]
I. I.3. R EC A P ITU LA TIO N D E TO U TES LES C H A R G ES A P P L IQ U E E S A

C H A Q U E N IV E A U
Les charges sont amenées à faire les calculs. En effet le calcul de dimensionnement tient
compte des combinaisons d’action. Cependant, les tableaux récapitulatifs seront complétés
par les valeurs combinées.
• A l’ELS, nous avons : G + Q + 0.77 W
• A l’ELU, nous avons : 1.35G + 1.5 Q + W
Les calculs sont faits en admettant que les poutres reposent simplement sur les poteaux. Cette
façon sous-estime la charge des poteaux centraux mais surcharge un peu les poteaux de rive.
Donc, ces combinaisons d’actions vont être minorées de 10% pour les poteaux voisins des
poteaux des rives et majorées de 15% pour les poteaux centraux.
Récapitulation des charges appliquées sur le poteau PB4 [daN]
Niveau G Q w ELU 0.9*ELU ELS 0.9*ELS

N0 11244.35 1125 61.73 16929.10 15236.19 12416.88 11175.19
N1 11544.35 1125 308.92 17581.29 15823.16 12907.22 11616.50
N2 19559.97 2397.9 308.92 30311.73 27280.56 22195.74 19976.16
N3 19859.97 2397.9 836.12 31243.93 28119.54 22901.68 20611.51
N4 28226.51 3768.64 836.12 44594.87 40135.38 32638.96 29375.07
N5 28676.51 3768.64 1569.69 45935.94 41342.34 33653.81 30288.43
N6 34557.69 5407.97 1569.69 56334.53 50701.07 41174.32 37056.89
Récapitulation des charges appliquées sur le poteau PC4 [daN]
35
N0 11213.56 2888 34.92 19505.23 22431.01 14128.45 16247.72
N1 11513.56 2888 215.3 20090.61 23104.20 14567.34 16752.44
N2 27531.67 6389.4 215.3 46967.15 54012.23 34086.85 39199.88
N3 27831.67 6389.4 582.72 47739.57 54900.51 34669.76 39870.23
N4 40312.29 9343.6 582.72 69019.71 79372.67 50104.58 57620.27
N5 40762.29 9343.6 1151.56 70196.05 80725.46 50992.59 58641.48
N6 55273.05 12783 1151.56 94944.68 109186.38 68942.75 79284.16
Récapitulation des charges appliquées sur le poteau PE4 [daN]

N0 17631.05 10440 20.74 39482.66 45405.06 28087.02 32300.07
N1 17931.05 10440 20.97 39887.89 45871.07 28387.20 32645.28
N2 35618.28 14113 20.97 69275.15 79666.42 49747.43 57209.54
N3 35918.28 14113 56.76 69715.94 80173.33 50074.99 57586.23
N4 54614.25 18181 56.76 101057.50 116216.12 72838.96 83764.80
N5 55064.25 18181 283.71 101891.95 117175.74 73463.71 84483.26
N6 77916.13 23854 283.71 141251.49 162439.21 101988.59 117286.87
Récapitulation des charges appliquées sur le poteau PG4 [daN]

N0 15287.69 8263.05 75.91 33108.87 38075.20 23609.19 27150.57
N1 15587.69 8263.05 171.69 33609.65 38651.09 23982.94 27580.38
N2 34842.92 18269.7 171.69 74614.18 85806.31 53244.82 61231.54
N3 35142.92 18269.7 297.56 75145.05 86416.81 53641.74 61688.00
N4 53618.42 28276.33 297.56 115096.92 132361.46 82123.87 94442.45
N5 54068.42 28276.33 576.71 115983.57 133381.11 82788.82 95207.14
N6 64113.16 31607.9 576.71 134541.33 154722.52 96165.13 110589.90
Récapitulation des charges appliquées sur le poteau PH4 [daN]
36
N4 7096.12 1635.1 490.29 12522.70 14401.11 9108.74 10475.05
N5 7546.12 1635.1 950.24 13590.15 15628.67 9912.90 11399.84
N6 14257.57 2501.1 950.24 23949.61 27542.05 17490.35 20113.91
Récapitulation des charges appliquées sur le poteau PI4 [daN]

N2 8142.9 1904.8 373.51 14223.63 12801.26 10335.30 9301.77
N3 8442.9 1904.8 762.61 15017.73 13515.95 10934.91 9841.42
N4 13226.08 3138.6 762.61 23325.72 20993.15 16951.89 15256.70
N5 13676.08 3138.6 1478.01 24648.62 22183.76 17952.75 16157.47
N6 14396.17 3138.6 1478.01 25620.74 23058.67 18672.84 16805.55
37
Chapitre VII. ETUDE DE LA SUPERSTRUCTURE-PORTIQUE
VII.I. G E N E R A L ITE
La superstructure est la partie de la construction qui se trouve au-dessus du sol. L’objectif de ce

chapitre est d’évaluer les sollicitations que subissent les éléments porteurs de la construction afin
de déterminer les sections d’armatures de chaque élément.
VII.II. E V A LU A T IO N D ES C H A R G ES
VII. II.1. C H A R G E S V ER T IC A LE S A P P LIQ U E ES S U R LE S P O U TR E S
Les charges verticales sont constituées par le poids propre des poutres ainsi que la répartition des
charges apportées par les planchers, que ce soit charge permanente (poids propre de la dalle en
BA,…) ou exploitation. En ce qui concerne la transmission des charges des planchers aux
poutres on utilise la méthode des lignes de rupture.
VII. II.2. P R IN C IP E D E LA ME TH O D E D ES LIG N ES D E R U P TU R E
Les lignes de rupture d’un panneau de dalle encastré sur son contour (c’est-à-dire α ≥ 0.5)
forment un angle de 45° avec les rives du panneau et parallèles à son grand côté.
Théoriquement, les charges transmises par un panneau de dalle aux poutres peuvent être
triangulaires ou trapézoïdales suivant les directions et Dans ce cas, la méthode impose qu’on
assimile la charge trapézoïdale ou triangulaire à de charge rectangulaire uniformément
répartie équivalente.
Figure : Charges équivalentes des dalles par la méthode de rupture
38
Les charges suivent les répartitions suivantes :
Charges Trapézoïdales Triangulaires

8 h h
?1 f B
2 2 4
Pv
8 h h
i1 f k
3
Pm
3 2
• Pv : Produisant le même effort tranchant, que la charge apportée par la dalle, sur
appui de la poutre de référence ;
• Pm: Produisant le même moment fléchissant, que la charge apportée par la dalle, sur
appui de la poutre de référence;
• lx: la plus petite dimension
• ly: la plus grande dimension
Sur la poutre à étudier, les charges équivalentes peuvent être de même que forme que la
figure suivante :
Figure : Charges apportées par les dalles aux poutres du 01er étage et 2ème étage
39
Figure : Charges apportées par les dalles poutres de la toiture
On peut remarquer sur les figures que les charges sont différentes de part et d’autre de notre
poutre et varient d’une travée à une autre. Ce qui nous oblige à calculer chaque charge à un
coté d’une travée. La charge équivalente sera en daN/ml.
Les charges permanentes G sont respectivement la valeur de la charge permanente (poids
propre + chape revêtement) et les charges d’exploitation sont celle de la valeur de la
surcharge d’exploitation, toutes portées par le plancher.
D’où les valeurs dans les tableaux suivants, nous montrent uniquement des charges
uniformément réparties équivalentes et surcharges de la poutre de la file B, de la coupe
transversale, de part et d’autre de chaque travée.
VII. II.3. D E TE R M IN A T IO N D ES C H A R G ES P O R TE ES P A R C H A Q U E P O U TR E
P A R M E TR E L IN EA IR E
VII. II.4. C H A R G E S V ER T IC A LE S
Les charges unitaires seront calculées sur une bande de 1 mètre suivant la longueur de la
poutre. Les combinaisons d’actions seront les combinaisons à l’état limite. On supposera
que les charges se répartissent uniformément le long de la poutre.
VII. II.5. E V A LU A T IO N D ES C H A R G ES E Q U IV A LE N TE S A P P LIQ U E ES S U R LE S

P O U TR ES
40
Poids unitaire Charges d’exploitation
[daN/m2] ou [daN/ml]
Toiture-terrasse 752.5
Toiture non 771
accessible
Poutre transversale 210
Evaluation des charges appliquées sur la toiture
Toiture Gauche
Travée lx[m] Ly[m] α G Q Gv Gm Qv Qm
2
P-L [daN/m ] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml]
4.40 4.78 0.92 752.5 500 1037.75 1313.67 550 733.33
Droite
lx[m] Ly[m] α G Q Gv Gm Qv Qm
[daN/ml] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml]
3.80 4.40 0.86 752.5 500 1103.55 1397.92 593.72 633.97
Travée Gauche
L-H
4.46 4.78 0.93 752.5 500 1049.04 1328.72 557.50 743.33
Droite
3.80 4.46 0.85 752.5 500 1030.66 1293.78 545.29 605.18
Travée Droite
H-D
2.05 3.80 0.54 752.5 500 595.66 724.21 256.25 341.67
Evaluation des charges appliquées sur le 2nd étage
Local Poids unitaire [daN/m2] ou

[daN/ml]
Dressing 450
41
Balcon 545
Terrasse 545
Dégagement 450
Hall 450
Chambre à coucher 450
Salle d’eau 450
Mur en agglo 20×20×50 330
Escalier 1186.17
Garde-corps 60
Evaluation des charges équivalentes appliquées sur les poutres
Travée Gauche
U-O
1462.42 335.87
Droite
3.80 4.85 0.78 545 150 629.84 823.61 173.35 197.52
Travée Gauche
O-K
4.40 4.78 0.92 450 200 495 660 220 293.33
Droite
3.80 4.40 0.86 450 250 2016.25 2173.15 269.89 297.86
Travée Gauche
K-G
4.46 4.78 0.93 450 200 501.75 669 223 297.33
Droite
3.80 4.46 0.85 450 250 1030.76 1188.11 272.65 302.59
Travée Droite
G-C
2.05 3.80 0.54 450 250 771.19 848.25 128.44 171.25
42
Evaluation des charges appliquées sur le 1er étage
Poids unitaire [daN/m2] ou [daN/ml]

Balcon 545
Cuisine 450
Dégagement 450
Hall 450
Escalier 1186.17
Evaluation des charges équivalentes appliquées sur les poutres
Travée Gauche
T-R
lx[m ly[m] α G Q Gv Gm Qv Qm
1399.78 327.46
Droite
lx[m Ly[m] α G Q Gv Gm Qv Qm
2.54 3.8 0.66 545 150 346.08 461.43 95.25 127
Travée Gauche
R-N
1411.16 323.13
Droite
1.867 3.8 0.48 545 150 254.8 339.17 70.01 93.35
Travée Gauche
N-J
4.40 4.78 0.92 450 200 495 660 220 293.33
Droite
3.80 4.40 0.85 450 250 2016.52 2173.15 269.89 297.86
Travée Gauche
J-F
43
4.46 4.78 0.93 450 200 501.75 669 223 297.33
Droite
3.80 4.46 0.85 450 200 700.76 858.11 218.12 242.07
Travée Droite
F-B
2.05 3.80 0.54 450 250 771.19 848.25 128.44 171.25
VII.III. CHARGES H O R IZ O N TA LE S
La charge linéaire du vent est calculée précédemment
WELU= 9.74 kN/ml

WELS= 7.50 kN/ml
VII.IV. C O MB IN A IS O N S D ’ A C TIO N
- A l’ELU : 1.35lmno + lmpq + 1.5rs + t1.3 × 0.77vc

Les combinaisons à considérer dans le cas de bâtiment en phase d’exploitation sont :
défavorables. Donc : A l’ELU : 1.35l +1.5rs + c

Seule sera considérée, en supposant toutes les charges permanentes comme étant toutes
- A l’ELS : G + Q + 0.77W
Tel que :
- G: La charge permanente ;
- Q: La charge d’exploitation du bâtiment ;
- W : L’action du vent définie par les règles NV65.
VII.V. R EC A P ITU LA TIO N D ES C H A R G EM E N TS D U P O R TIQ U E
44
Niveau Travée G(daN/ml) Q(daN/ml) Gv(daN/ml) Gm(daN/ml) Qv(daN/ml) Qm(daN/ml)
Gauche Droite Gauche Droite
Terrasse P-L 752.5 752.5 500 500 2141.3 2711.59 1143.72 1367.3
L-H 752.5 752.5 500 500 2079.7 2622.5 1102.79 1348.51
H-D 752.5 500 595.66 724.21 256.25 341.67
R+2 U-O 1462.42 545 335.87 150 629.84 823.61 173.85 197.52
O-K 450 450 200 250 2511.25 2833.15 489.89 591.19
K-G 450 450 200 250 1532.51 1857.11 495.65 599.92
G-C 450 250 771.19 848.25 128.44 171.25
R+1 T-R 1399.78 545 327.46 150 1745.86 1861.21 422.71 454.46
R-N 1411.16 545 323.13 150 1659.96 1750.33 393.14 418.48
N-J 450 450 200 250 2511.52 2833.15 489.99 591.19
J-F 450 450 200 200 1202.51 1527.11 441.12 539.4
F-B 450 450 771.19 848.25 128.44 171.25
VII.VI. R EC A P ITU LA TIO N S U I V A N T LE S C O MB IN A IS O N S D E C H A R G E S
PV PM
Niveau Travée ELU(kN/ml) ELS(kN/ml) ELU(kN/ml) ELS(kN/ml)

Terrasse P-L 46.06 32.85 57.12 40.79
L-H 44.62 31.82 55.63 39.71
H-D 11.89 8.52 14.90 10.66
2ème étage U-O 11.11 8.04 14.08 10.21
O-K 41.25 30.01 47.12 34.24
K-G 28.12 20.28 34.07 24.57
G-C 12.34 9.00 14.02 10.20 57
01er étage T-R 29.91 21.69 31.94 23.16
R-N 28.31 20.53 29.91 21.69
N-J 41.26 30.02 47.12 34.24
J-F 22.85 16.44 28.71 20.67
F-B 12.34 9.00 14.02 10.20
45
Figure : Charges à l’ELU sur le portique en kN/m : cas de vent gauche
Figure : Charge à l’ELU sur le portique en kN/m : cas de vent gauche
46
Chapitre VIII. ETUDE DE LA SUPERSTRUCTURE-CALCUL DES
STRUCTURES
VIII.I. M E TH O D E D E D E TER M IN A TIO N D E S S O LL IC I TA T IO N S
VIII. I.1. M E TH O D E D E C A LC U L U TI LIS E E
Il existe plusieurs méthodes de calcul des portiques, des plus simples aux plus exactes. Elles
sont, en général, d’autant moins précises qu’elles sont plus simples.
Nous pouvons citer :
Les méthodes rapides : le principe est de solidariser les éléments horizontaux (Poutres) , des
éléments verticaux (Poteaux). Les traverses d’un même niveau peuvent être calculées comme
la travée d’une poutre continue en négligeant la raideur du poteau, par la méthode de Caquot
ou la règle de trois moment ;
 Méthode de résistance de matériaux(RDM), citons :

 Méthode de Hardy Cross : approximations successives ;
 Méthode de rotation : qui conduit à n équations à n inconnues.
Nous avons choisi la méthode de rotation pour la détermination des efforts dans la structure
VIII. I.2. P R IN C IP E D E LA M E TH O D E D E R O TA T IO N :
Le calcul se ramène à la détermination des moments fléchissant aux extrémités des

poutres MAB et MBA, nous trouvons ensuite les moments en travée et les efforts
tranchants à partir des expressions suivantes :
V V
`tVv = μtVv f `xs ?1 f B + `sx
`xs + `sx
ytVv = ztVv +
Cette méthode consiste à prendre comme inconnus les rotations des nœuds et la rotation des
poutres et à écrire les équations d’équilibre pour chaque nœud. Les Moments fléchissant aux
extrémités des poutres sont donnés par les formules suivantes :
`xs = bxs + {xs |xs + }xs {xs |xs f {xs t1 + }xs v~xs
`sx = bsx + {sx |sx + }sx {sx |sx f {sx t1 + }sx v~sx
Avec mAB et mBA et les moments d’encastrement parfait de la poutre AB. Pour les cas de
charge illustrés par la figure suivante, nous trouvons les valeurs de mAB et mBA
respectivement.
47
Figure : schéma de calcul pour le moment d'encastrement
h h
bxs = •< bxs = f
12 12
VIII. I.3. C O U R B E EN V E LO P P E :
Pour obtenir une courbe d’enveloppe, il faut :
• Déterminer les charges verticales et les charges horizontales de sens gauche vers
droite.
• Déterminer les charges verticales et les charges horizontales de sens charges droit vers
gauche.
• Charges verticales seules

Les courbes enveloppes seront présentées en annexes
48
Chapitre IX. DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS EN BETON
ARMES
IX.I. O B J EC TI FS
Les objectifs de ce chapitre est de dimensionner les éléments porteur de la

superstructure en fonction des sollicitations, puis effectuer les vérifications nécessaires afin
de justifier la stabilité de l’élément vis‐à‐vis des contraintes, des déformations et, dans
certains cas, de la résistance au feu. Pour y arriver, Nous allons utiliser les règles BAEL 91
modifié 99.
IX.II. H Y P O TH ES ES DE CALCUL
Les règles BAEL 91 révisées 99 sont l’ensemble des règles techniques de conception et de
calcul des ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des états limites. Ces
règles s’appliquent à tous les ouvrages en béton armé avec un dosage en ciment d’au moins
égal à 300 kg/m3 de béton mise en œuvre.
Les calculs vont se faire dans le principe des états limites, dont :
- Etat limite ultime :
L’état limite ultime ou ELU étudie les comportements du béton, l’équilibre statique et la
capacité portante maximale que peut supporter un ouvrage.
- Etat limite de service :
L’état limite de service ou ELS concerne plutôt la déformation, la fissuration, la durabilité,

ainsi que l’aptitude à l’emploi d’un ouvrage.
IX.III. E TA TS D ’ EX P O S I T IO N D E LA C O N S TR U C TIO N O U D E L ’ E LE ME N T
E TU D IE
Selon les conditions et le cas du milieu de la construction, la fissuration peut être :
- Peu préjudiciable (FPP) : locaux couverts et clos, non soumis à des condensations ;
- Préjudiciable (FP) : éléments exposés aux intempéries ou à des condensations ;
- Très préjudiciable(FTP) : éléments exposés à un milieu agressif ou doivent assurer une
étanchéité.
IX.IV. C A R A C TE R IS TIQ U ES D ES MA TE R IA U X
49
IX. IV.1. B E TO N :
Ciment CEM I 42.5 ;

Dosage 350 Kg /m3 ;
Granulats : 5/15 et 15/25 ;
Quantité d’eau entre 180 [L/ m3] ;
Résistances mécaniques à 28 jours d’âge :
• fc28 = 25 MPa en compression ;
• ft28 = 0.6+0.6fc28= 2,1 MPa en traction.
- Coefficient de sécurité :
• ᵞb = 1,5 pour la combinaison fondamentale ;
• θ = 1 pour durée d’application des charges supérieures à 24 heures.
- Module de résistance du béton à l’ELU :
€•‚ = = 14,17 `‰=

. ∗ „…
† ∗ ‡ˆ
•
- On considère que la fissuration est peu préjudiciable ;
- Contrainte limite de compression du béton à l’ELS :
• ̅•̅; = 0,6 ∗ €;28 = 15 MPa
IX. IV.2. L’ A C IER :
- Nuance : acier à haute adhérence Fe E 400

- Limite d’élasticité fe = 400 MPa
- Enrobage e = 2 cm
- Coefficient partiel de sécurité : ɣs = 1,15 pour combinaison non accidentelle
- Résistance de calcul des aciers à l’ELU
€CŠ = = = 348 MPa

ϒ -.-
- On considère que la fissuration est peu préjudiciable
IX.V. E TU D E D E S E LE M E N TS
50
IX.V.1. P O U TR E TR A N S V ER S A LE
Les poutres sont des éléments porteurs horizontaux de section rectangulaire ou en« té », ils
font
parties de la superstructure des bâtiments, ils ont pour rôles de:
- Supporter un mur, dans le cas où il y en a ;

- Supporter les planchers ;
- Transmettre les charges aux poteaux ;
- Stabiliser la structure.
IX.V.2. C H O IX D E LA P O U TR E A E TU D IE R
Les résultats lors du calcul des structures indiquent que ce sont les poutres au niveau de la
toiture-terrasse qui sont les plus sollicitées.
Figure : Courbes enveloppes des moments fléchissant à l’ELU
51
Figure : Courbes enveloppes des moments fléchissant à l’ELS
On voit d’après les résultats que c’est la poutre LP qui est la plus sollicitée, alors nous allons
dimensionner cette poutre.
IX.V.3. D O N N EE S S U R LA S EC TIO N D E LA P O U TR E
La construction étant dans les hauts plateaux et que l’élément soit dans un endroit clos, on
peut considérer une fissuration peu préjudiciable, ce qui permet de considérer l’ELU pour le
dimensionnement.
Figure: Schéma de calcul d'armature d'une poutre de section rectangulaire
Récapitulation des données sur la poutre
Béton Acier
Ft28[Mpa]= 2.1 Fe[Mpa]= 400
Fc28[Mpa]= 25 Fed[Mpa]= 348
h [m]= 0.42
bo [m]=0.20
d [m]=0.378
ө= 2 cm
fbu [MPa]= 14.17
d'[m]= 0.042
52
IX.V.4. A R M A TU R E M IN IM A L E :
IX.V.4.i. C O N D IT IO N D E N O N F R A G I LI TE
ℎ. •F €•
9ŒNT = `=V • ; 0.23•F Q •
1000 €C
Donc on a :
; 0.23 ∗ 20 ∗ 37.8 ∗
. ∗ .-
-
On a Amin = Max ( ) = Max (0.84 ; 0.91)
D’où Amin = 0.91 cm²
µ lu=10-4(3440.θϒ+49 – 3050)
IX.V.5. A R M A TU R ES LO N G ITU D IN A LE S
On va se référer à l’organigramme de calcul présenté dans l’annexe pour calculer ces

armatures longitudinales.
IX.V.5.i. A R M A TU R ES S U R A P P U IS
Appuis L P
Mu [MN.m] 0.125 0.127 0.025
Mser[ MN.m] 0.090 0.091 0.018
ϒ 1.389 1.396 1.389
μbu 0.313 0.318 0.063
μlu 0.183 0.185 0.183
μbu ≤ μlu)? NON NON OUI
SDA SDA
Section Simple Armature

Zb [cm] 0.364
Au [cm2] 1.974
Ath [cm2] 1.974
Choix A 7HA6
Section A [cm2] 1.98
Section Double Armature

Mlu [MN.m] 0.073 0.074
53
α1 0.255 0.258
Zb1[m] 0.339 0.339
A1[cm²] 6.20 6.29
σsce[MPa] 238.056 239.567
A'th [cm²] 6.47 6.56
A2[cm²] 4.52 4.52
Ath [cm²] 10.62 10.80
Choix A' 1HA8+4HA1 1HA8+4HA1
4 4
Section 6.66 6.66
A'[cm²]
Choix A 7HA14 1HA10+5HA
16
Section A[cm²] 10.78 10.84
IX.V.5.ii. A R M A TU R ES E N TR A V EE S
Travées LP
Mu [MN.m] 0.085
Mser[ MN.m] 0.061
ϒ 1.393
μbu 0.213
μlu 0.185
μbu ≤ μlu)? NON
SDA
Section Double Armature

Mlu [MN.m] 0.074
α1 0.257
Zb1[m] 0.339
A1[cm²] 6.26
σsce[MPa] 239.080
A'th [cm²] 1.38
A2[cm²] 0.953
Ath [cm²] 7.21
Choix A' 5HA6
Section A'[cm²] 1.41
Choix A 1HA8+6H
A12
Section A[cm²] 7.29
IX.V.5.iii. V ER I F IC A TIO N A L ’ELS
Pour la vérification à l’ELS, il faudra assurer la contrainte de compression dans le béton :
54
‘’“= ˜™ ≤š.›œ“•ž
”•–—
1) Calcul de la position de la fibre neutre ˜™ :
Ÿ- =-D+√ +E
15t9 + 9¢ v
Avec :
=
•F
30t9Q + 9¢ Q ¢ v
£=
•F
2) Calcul du moment d’inertie
•Ÿ-
L= + 15[9¢ tŸ f Q¢ v + 9tQ f Ÿv ]
3
Calcul de la position de l'axe neutre et du moment d'inertie en appui
Appui D E Y1[cm] I[b ]

L 13.08 653.184 15.63 0.0011798
13.12 656.586 15.66 0.0011842
P 1.48 112.266 9.21 0.0002948
Calcul de la position de l'axe neutre et du moment d'inertie en travée
Travée D E Y1[cm] I[b ]

LP 6.525 422.226 15.03 0.0008181
IX.V.5.iv. V ER I F IC A TIO N D ES C O N TR A IN TE S
Les contraintes à vérifier sont :
` C¦ Ÿ-
=
E
L
= 15 (d-Ÿ- v
§ ¨
P
1) Vérification des contraintes en appui
Appui ` C¦ [MNm] E [MPa] ˂0.6€E =15MPa [`Pa] ˂348[MPa]

L 0.090 11.92 Vérifié 253.67 Vérifié
0.091 12.03 Vérifié 255.13 Vérifié
P 0.018 5.62 Vérifié 261.76 Vérifié
55
2) Vérification des contraintes en travée
Travée ` C¦ [MNm] E [MPa] ˂0.6€E =15MPa [`Pa] ˂348[MPa

LP 0.061 11.21 Vérifié 254.61 Vérifié
D’après les résultats, les contraintes dans le béton comprimé et la contrainte dans l’acier tendu
ne dépassent pas les valeurs maximales admissibles.
3) Vérification des flèches :
chaque travée doit rester inferieure à une certaine valeur limite € ªb pour que l’ouvrage
La vérification des déformations se fait toujours à l’ELS. En effet, la flèche en service dans
puisse répondre très bien à son usage :
€« ≤ € ªb
Où € ªb = { ¬ª ≤ 5b
0.005 + - ¬ª ≥ 5b
En générale, le calcul de la flèche n’est pas nécessaire si les trois inégalités suivantes sont
toutes vérifiées :
h 1
° ≥ t1v
® l 16
®h M´
≥ t2v
¯ l 10Mµ
®4.2 ≥ A t3v
®
- f– do
où h : Hauteur de la poutre ;
l : distance entre les appuis ;
M0 : Moment maximal de la travée (pris comme isostatique) : `0=
º»
Mt: Moment maximal en travée ;

A : Section des armatures tendues.
1/16 0.0625
4.2/fe=4.2/400 0.0105
Travées LP
56
h[m] 0.42
l 4.63
A [m2] 0.00073
P[MN/m] 0.041
Mo[MN.m] 0.109
Mt[MN.m] 0.060
h/l 0.090
h/l ≥1/16? OUI
Mt/10Mo 0.055
h/l ≥ (Mt/10Mo)? OUI
A/(bo*d) 0.0096
A/(bo*d)≤ 4.2/fe? OUI
Toutes les conditions sont vérifiées, il n’est pas nécessaire de calculer la flèche.
IX.V.5.v. V ER I F IC A TIO N D ES C O N D IT IO N S D ’ A P P U IS
1) Vérification des armatures longitudinales:
• Appuis de rive
Il faut vérifier que:
½¾Œ, + ¿¾
9¬ ≥
€C
ϒ
• Appuis intermédiaires
En plus de l’effort tranchant Vu, il y a un moment de flexion Mu qui doit être introduit lors de
la vérification des armatures :
⎸`¾ ⎹
⎸½¾Œ, ⎹ f
9¬ ≥ 0.9Q
€C
ϒ
Où :
Vu : effort tranchant à l’appui ;
Hu : force transmise par l’appui ; dans notre cas elle est négligeable.
IX.V.5.vi. V ER I F IC A TIO N D E LA C O M P R ES S IO N D U B E T O N :
€E
½¾ ≤ 0.4 = × •F
ϒ
Avec a : profondeur de l’appui a=min {a’ ; 0.9d}=
57
a’=largeur d’appui-(enrobage+2cm)= 20-(2+2)= 20 cm
 a=min (20, 34.02)=20 cm
TABLEAU Condition d’appui
½¾Œ, ⎸`¾ ⎹
⎸½¾Œ, ⎹ f
€C 0.9Q
Appuis Vumax[MN] Mu [MNm] As [m2] Conclusion
ϒ €C
ϒ
L 0.125 0.127 - -0.000714 0.001084 Vérifiée
P 0.090 0.025 0.0002588 - 0.000198 Non vérifiée
Pour l’appui P, la section doit-être au moins égale à 2.59 cm2 donc prenons au lieu de 7HA6,
on prend 1HA10+7HA6=2.77 cm2, revérifions les contraintes à l’ELS :
Appui D E Y1[cm] I[b ]

P 2.0775 157.059 10.62 0.0003868
Appui ` C¦ [MNm] E [MPa] ˂0.6€E =15 MPa [`Pa] ˂348[MPa]

P 0.018 4.944 Vérifié 189.68 Vérifiée
TABLEAU : Compression du béton
€E
0.4 × = × •F
ϒ
Appuis a[m] bo[m] Vumax[MN] Conclusion
L 0.20 0.20 0.26 0.125 Vérifiée

P 0.20 0.20 0.26 0.090 Vérifiée
IX.V.6. A R M A TU R ES TR A N S V ER S A LES
Dans le calcul de ces armatures, il est nécessaire de déterminer plusieurs critères.
IX.V.6.i. V ER I F IC A TIO N D U B E TO N D E L ’ A ME
1) Contrainte tangente conventionnelle
Il s’agit de vérifier : z‚,0≤z‚ = {0,2€;28ɣ• ;5 `‰=}
z‚,= 3.33 MPa
La contrainte tangente conventionnelle utilisée pour les calculs relatifs à l’effort tranchant est
définie par :
«¾,F
z¾,F =
•F Q
58
«¾ : Effort tranchant à l’ELU dans la section ;
Avec :
•F : Base de la section de la poutre ;

d : position de l’acier tendu.
5ℎ
½¾,F = ½¾,Œ, f h
6 ¾
½¾,Œ, : Effort tranchant maximal

pu: charge répartie sur la travée
2) Nécessité d’armature d’âme :
La nécessité et la nature des armatures d’âme dépendent de la contrainte tangentielle sous

laquelle l’élément est soumis, le tableau suivant indique la correspondance entre elles pour
une fissuration peu préjudiciable :
• Cas n°1 : z‚,0<Ä1 =«•; Ä1=(0,07×€;28Å•;1,5 `‰=)=1,17 `‰=
Les armatures d’âme ne sont pas nécessaires mais des armatures transversales régulièrement
espacés seront mises pour maintenir les armatures longitudinales en place.
• Cas n°2 : Ä1<z‚,0<Ä2 =«•; Ä2=(0,2×€;28Å•;5 `‰=)=3,33 `‰=
Les armatures d’âmes sont nécessaires et des armatures d’âme verticales ou droites sont
suffisantes.
• Cas n°3 : Ä2<z‚,0<Ä3 =«•; Ä3=(0,27×€;28Å•;7 `‰=)=4.5 `‰=
Il faut prévoir des armatures inclinées.
• Cas n°4 : Ä3<z‚,0
Il faut prévoir des armatures mixtes (droites + inclinées)
Figure : Vérification de contrainte tangente au niveau de la poutre LP
59
Appuis L P
Vumax [MN] 0.125 0.116 0.090
pu [MN] 0.046 0.046 0.046
Vu0 [MN] 0.108 0.099 0.0739
z‚, ªb
Ԏuo [MPa] 1.44 1.32 0.97
Condition z‚,0≤z‚,lim
3.33 3.33 3.33
Vérifié Vérifié Vérifié
Nécessité et nature des Ä1<z‚,0<Ä2 Ä1<z‚,0<Ä2 z‚,0<Ä1

armatures Les armatures Les armatures Les armatures d’âme
d’âmes sont d’âmes sont ne sont pas
nécessaires et des nécessaires et des nécessaires mais des
armatures d’âme armatures d’âme armatures
verticales ou verticales ou droites transversales
droites sont sont suffisantes régulièrement espacés
suffisantes. seront mises pour
maintenir les
armatures
longitudinales en
place.
IX.V.6.ii. C A LC U L D E S EC T IO N D ’ A R MA TU R E TR A N S V ER S A LE E T
D’AME :
Le diamètre des armatures transversales est déterminé suivant la relation suivante :
Æ Œ, ℎ •
Æ<b=V ≤ `ª> Ç , , È
3 35 10
Et dans la pratique : Æ<b=V ≤ 12 bb
Avec É^ : Diamètre maximale des armatures longitudinales, ici égale à 16 mm
420 200
Æ<b=V ≤ `ª> Ç4, , È
35 10
Æ< ≤ 5.33 bb
Donc on a :
1) Choix du diamètre :
Pour les barres HA il faut que :
Æ<bª> ≥ 6bb
Prenons donc Æ<bª> = 6bb , le choix de la section est 4HA6 : 1.13 cm2
60
2) Espacement des armatures :
• Pour les espacements réguliers :
ÊË ≤ ÌÍÎÏÐ + ™š; ™ÑÉ^ÌÍÎ; Òš “ÌÓ
Appui a+10 [cm] 15Æ bª> [cm] St ≤ [cm]

P 30 9 9
Avec a la plus petite dimension de la section
• Pour les armatures d’âmes :
(a) Espacement initial st0:
Elle est donnée par :
¬<0 = Ô0×9<
Avec θo = : espacement correspondant à At=1 cm2 <• d‚•: Û =1 en

.2 CŠ
FtÖ×, Ø , Ù Ú v
admettant qu’il n’y a pas de reprise de bétonnage.
Application numérique:
z‚0 [MPa]
Appuis L
Ô0 [;b/;b2]
1.44 1.32
¬<0 [cm]
19.33 22.69
¬<0 [cm]
21.84 25.64
20 25
(b) Espacement maximal stmax :
Les règles BAEL imposent de respecter un espacement maximal tel que :
¬<max ≤ min {0,9Q; 40 ;

xÚ à
.
} = min {34.02; 40 ; 49.15} = 34.02 cm
6
3) Répartition des armatures
61
La répartition sera étudiée sur une distance lo = L/2 qui est la distance au nu d’appui jusqu’à
@
la section ou l’effort trnchant change de signe. Soit l’o la distance située à x= K du nu d’appui
ou Vu= Vu,0 telle que :
5ℎ 0.3Û€•
:
′F = t f vt1 f v
F
6 z¾,
La méthode la plus utilisée pour déterminer cette répartition est la méthode de Caquot.
Les étapes à suivre pour cette méthode sont les suivantes :
 Calculer d’abord l’espacement initial ¬<0 pour l’effort tranchant ½‚0 en s’arrangeant
que ¬<0 appartient à la série de nombre suivante : 7-8-9-10-11-13-16-20-25-35-40
(cm) ;
 Placer la première armature d’âme à ¬<0/2 du nu d’appui ;
 Répéter l’espacement ¬<0 un nombre entier n fois de manière à couvrir la longueur

5h/6,
1 5ℎ
> ≥ • f 3•
6 ¬•F
>≥3
 Si le nombre de mètre n’est pas entier, arrondir à l’entier le plus voisin le nombre de répétition
cumulé depuis le départ.
• Pour la travée à gauche de l’appui L
lo 2.34
l’o 1.12
St [cm] Sto/2 20 25
Nombre de répétition 2.87 1.12
Nombre cumulé 2.87 3.99
Nombre arrondi 3 4
Nombre pratique 3 4
Abscisse [cm] 10 70 170
Il manque pour arriver à lo : 234-170=64 cm = 4×16
62
10+4×16+3×20+4×25=2.34m
• Pour la travée à droite de l’appui L
lo 2.32
l’o 1.03
St [cm] Sto/2 25
Nombre de répétition 2.43
Nombre cumulé 2.43
Nombre arrondi 2
Nombre pratique 6
Abscisse [cm] 13 163
Il manque pour arriver à lo : 232-163=69 cm = 13+16+2×20

2×13+16+2×20+6×25
IX.V.7. P O U TR E LO N G ITU D IN A LE :
L’étude se fera comme précédemment au niveau des poutres de la toiture terrasse. Le calcul se rapporte
à des poutres continues soumises à une flexion simple. Les calculs seront menés à l’ELU car les
fissurations sont peu préjudiciables
Figure : Poutres longitudinales
Afin de déterminer les sollicitations, les poutres longitudinales sont assimilées à des poutres continues,
négligeant ainsi leur solidarité avec les poteaux.
IX.V.8. C A R A C TE R IS TIQ U E D E LA P O U TR E A E TU D IE R
Béton Acier
Ft28[Mpa]= 2.1 Fe[Mpa]= 400
Fc28[Mpa]= 25 Fed[Mpa]= 348
h [m]= 0.42
bo [m]=0.20
d [m]=0.378
ө= 2.5 cm
fbu [MPa]= 14.17
63
d'[m]= 0.042
IX.V.9. E V A LU A T IO N D ES C H A R G ES
On considère le poids propre de la poutre et les charges transmises par les dalles. La transmission des
charges du plancher vers les poutres suivent la ligne de rupture à 45.
Figure : Charges apportées par les dalles aux poutres longitudinales
Travée Poids propre de la travée Charges équivalentes transmises par les Total
[daN/ml] planchers
Poids propre Surcharges G Q
[daN/ml] [daN/ml] [daN/ml] [daN/ml]
AB 210 1360.69 806.17 1470.69 806.17
BC 210 2382.96 1263.17 2492.96 1263.17
CD 210 1906.33 1266.67 2106.33 1266.67
DE 210 2364.67 1244.84 2544.67 1244.84
EF 210 1442.36 1442.36 1652.36 1442.36
IX.V.10. C A LC U L D ES S O L LIC I TA T IO N S
Pour le calcul des poutres continues, on a les méthodes suivantes :
La méthode de CAQUOT
64
La méthode de CAQUOT minorée ;
La méthode forfaitaire ;
Mail faut d’abord vérifier certaines conditions pour pouvoir utiliser ces méthodes
On choisit la méthode de CAQUOT qui permet de calculer les moments fléchissant et efforts
tranchants de la poutre longitudinale.
La méthode de calcul proposée par Albert Caquot part du principe que les moments aux nus
des appuis intermédiaires sont provoqués par les charges se trouvant sur les travées adjacentes
à l’appui considéré. Soit q la charge uniformément répartie de la travée voisine de gauche et
qe celle de droite de l’appui considéré, on a :
1) Moment sur appuis Ma
dâ â
¢
+ dC ′C
`, = f
8.5t â + C¢ v
¢
Longueurs fictives l’w à gauche et l’e à droite de l’appui considéré tel que :
• l’i=li pour les travées de rive

• l’i=0,8 li pour les travées intermédiaires relatives à la barre i
65
2) Moments en travée Mt :
V V
`• tVv = μtVv + `â ?1 f B + `C t v
µ(x) : Moment dans la travée isostatique de référence tel que dans le cas d’une charge
uniformément répartie notée q appliquée sur la travée :
Mw et Me : Moment fléchissant au niveau des appuis gauche et droite de la travée
d
concernée.
μtxv = V t f Vv
2
Pour un chargement symétrique, la position de l’abscisse xo du moment maximal

Mtmax en travée est :
`C + `â
V = +
2 d
Avec T(x) l’effort tranchant dans la travée isostatique de référence.
3) Efforts tranchants en travée :

L’effort tranchant est l’opposé de la dérivée du moment fléchissant :
`â + `C
½tVv = ztVv +
Avec τ(x) l’effort tranchant dans la travée isostatique de référence :
4) Efforts tranchants sur appuis :

Les efforts tranchants Vi à gauche et à droite au niveau d’un appui i sont donnés par
les expressions suivantes :
66
`,N f `,NØ-
½NA = ½NFA +
`,NJ- f `,N
½NŠ = ½NFŠ +
Avec :
• Mai : Moment sur l’appui i :

• Viog er Viod : Efforts tranchants dans la travée isostatique de référence
respectivement à gauche et à droite de l’appui i considéré, tels que dans le cas d’une
charge uniformément répartie q :
½NFA = f
ã
h
½NFŠ =
2
5) Cas de charges
Pour avoir les valeurs maximales des sollicitations, il est nécessaire de considérer les cas de
charges dépendants des chargements et déchargements de chaque travée consécutive, ainsi on
a:
• Les travées toutes chargées au maximum : CCCCC

• Les travées chargées et déchargées en alternance : CDCDC
• Les travées déchargées et chargées en alternance : DCDCD
• Les travées toutes déchargées : DDDDD
67
Figure : Méthode de CAQUOT, chargement et déchargement des poutres
Ce principe de chargement et de déchargement ne concerne que les surcharge

d’exploitation Q et on notera par C une travée chargée et par D une travée déchargée
Travée AB BC CD DE EF
Appuis A B B C C D D E E F
l[m] 3.21 4.985 4.00 4.94 3.74
l’[m] 3.21 3.988 3.2 3.952 3.74
G[kN/ml] 17.25 24.93 21.06 25.44 16.52
Q[kN/ml] 13.61 12.63 12.67 12.45 14.42
C=1.35G+1.5Q 43.70 52.60 47.44 53.02 43.93
D=1.35G 23.29 33.65 28.43 34.34 22.30
ELU CCCCC
Ma [kN/m] 0 -71.00 -71.00 -80.05 -80.05 -79.40 -79.40 -85.20 -85.20 0
Vow[kN] Voe[kN] 48.89 -48.89 131.11 -131.11 94.87 -94.87 130.96 -130.96 82.15 -82.15
Vw[kN] Ve[kN] 26.78 -71.01 129.29 -131.49 95.03 -94.71 129.78 -132.13 104.9 -59.37
3
X0 [m] 0.88 2.42 2.00 2.45 2.39
68
µ(x0) [kNm] 31.21 163.25 94.87 94.87 161.72
Mtmax= Mt (x0) 23.99 84.29 15.15 79.44 40.12
ELU CDCDC
Ma [kN/m] 0 -51.36 -51.36 -60.38 -60.38 -60.44 -60.44 -67.57 -67.57 0
Vow[kN Voe[kN] 48.89 -48.89 83.89 -83.89 94.87 -94.87 84.83 -84.83 82.15 -82.15
Vw[kN Ve[kN] 32.89 -64.89 82.08 -85.70 94.86 -94.8 83.38 -86.26 100.2 -64.09
2
X0 [m] 1.08 2.42 2.00 2.43 2.28
µ(x0) [kNm] 35.04 104.45 94.87 104.73 73.10
Mtmax= Mt (x0) 17.76 48.72 34.46 40.79 46.74
ELU DCDCD
Ma [kN/m] 0 -64.46 -64.46 -69.85 -69.85 -69.16 -69.16 -67.90 -67.90 0
Vow[kN] Voe[kN] 29.49 -37.38 131.11 -131.11 56.86 -56.86 130.96 -130.96 41.70 -
41.70
Vw[kN] Ve[kN] 9.41 -49.57 130.03 -132.19 57.04 -56.09 131.21 -130.70 59.86 -
23.55
X0 [m] 0.51 2.45 2.00 2.47 2.68
µ(x0) [kNm] 12.69 163.34 56.86 161.73 31.61
Mtmax= Mt (x0) 2.41 96.23 -12.64 93.21 12.43
ELU DDDDD
Ma [kN/m] 0 -44.82 -44.82 -50.19 -59.19 -50.20 -50.20 -50.27 -50.27 0
Vow[kN] Voe[kN] 29.49 -29.49 83.89 -83.89 56.86 -56.86 84.86 -84.83 41.70 -41.70
Vw[kN] Ve[kN] 15.53 -43.45 82.81 -84.43 56.86 -56.86 84.82 -84.84 41.70 -41.70
X0 [m] 0.85 2.45 2.00 2.47 2.47
µ(x0) [kNm] 18.36 104.51 56.86 104.76 34.94
Mtmax= Mt (x0) 6.56 57.05 6.67 54.53 17.91
ELS CCCCC
Ma [kN/m] 0 -50.65 -50.65 -57.08 -57.08 -56.65 -56.65 -60.53 -60.53 0
Vow[kN] Voe[kN] 34.78 -34.78 93.62 -93.62 67.46 -67.46 93.59 -93.59 57.86 -57.86
Vw[kN] Ve[kN] 19.00 -50.56 93.33 -93.91 67.57 -67.35 92.80 -94.37 74.04 -41.67
X0 [m] 0.88 2.44 2.00 2.45 2.39
µ(x0) [kNm] 22.17 116.62 67.46 115.574 49.86
Mtmax= Mt (x0) 8.33 62.82 10.59 57.00 28.07
ELS CDCDC
Ma [kN/m] 0 -37.56 -37.56 -43.97 -43.97 -44.01 -44.01 -48.77 -48.77 0
Vow[kN] Voe[kN] 34.78 -37.78 62.14 -62.14 67.46 -67.46 62.84 -62.84 57.86 -57.86
Vw[kN Ve[kN 23.08 -46.48 60.85 -63.42 67.45 -67.47 61.87 -63.80 70.90 -44.82
X0 [m] 1.07 2.44 2.00 2.43 2.29
69
µ(x0) [kNm] 24.75 77.41 67.46 77.59 51.35
Mtmax= Mt (x0) 12.29 36.71 23.47 31.23 32.46
ELS DCDCD
Ma [kN/m] 0 -46.29 -46.29 -50.29 -50.29 -49.82 -49.82 -48.99 -48.99 0
Vow[kN] Voe[kN] 21.84 -21.84 93.62 -93.62 42.12 -42.12 93.59 -93.59 30.89 -30.89
Vw[kN] Ve[kN] 7.42 -36.27 92.82 -94.42 42.24 -42.00 93.76 -93.42 43.99 -17.49
X0 [m] 0.55 2.46 2.00 2.47 2.66
µ(x0) [kNm] 9.89 116.65 42.12 115.58 23.69
Mtmax= Mt (x0) 2.02 68.39 -7.93 66.18 9.58
ELS DDDDD
Ma [kN/m] 0 -33.20 -33.20 -37.17 -37.17 -37.18 -37.18 -37.23 -37.23 0
Vow[kN] Voe[kN] 21.84 -21.84 62.14 -62.14 42.12 -42.12 62.84 -62.84 30.89 -30.89
Vw[kN Ve[kN 11.50 -32.19 61.34 -62.94 42.12 -42.12 62.83 -62.85 40.85 -20.94
X0 [m] 0.85 2.46 2.00 2.47 2.47
µ(x0) [kNm] 13.60 77.44 42.12 77.60 25.88
Mtmax= Mt (x0) 4.86 42.26 4.94 40.40 13.27
Récapitulation des sollicitations maximales
Travée Mu [kNm] Mser[kNm]

AB 23.99 12.29
BC 96.23 68.39
CD 34.46 23.47
DE 93.21 66.18
EF 40.12 32.46
Sollicitations maximales sur appuis de la poutre longitudinale
Appuis ELU ELS

Mu [kNm] Mser [kNm] Vu [kN] Vser [kN]
Vugauche Vudroite [kN] Vsergauche [kN] Vserdroite [kNm]
[kN]
A 0 0 0 32.89 0 23.08
B 71.00 50.65 71.01 130.03 50.56 93.33
C 80.05 57.08 132.69 95.03 94.02 67.57
D 79.40 56.65 94.8 131.21 67.47 93.76
E 85.20 60.53 132.13 104.93 94.37 74.04
F 0 0 64.09 0 44.82 0
La travée BC est la plus sollicitée d’après les résultats, le calcul des armatures se portera
uniquement sur cette poutre
IX.V.11. A R M A TU R E M IN IM A L E :
70
IX.V.11.i. C O N D IT IO N D E N O N F R A G I LI TE
ℎ. •F €•
9ŒNT = `=V • ; 0.23•F Q •
1000 €C
Donc on a :
; 0.23 ∗ 20 ∗ 37.8 ∗
. ∗ .-
-
Amin = Max ( ) = Max (0.84 ; 0.91)
D’où Amin = 0.91 cm²
µ lu=10-4(3440.θϒ+49 – 3050)
IX.V.12. A R M A TU R ES LO N G ITU D IN A LE S
On va se référer à l’organigramme de calcul présenté dans l’annexe pour calculer ces

armatures longitudinales.
IX.V.12.i. A R M A TU R ES S U R A P P U IS
Appuis B C
Mu [MN.m] 0.071 0.080
Mser[ MN.m] 0.051 0.057
ϒ 1.392 1.404
μbu 0.178 0.200
μlu 0.184 0.188
μbu ≤ μlu)? OUI NON
SSA SDA
Section Simplement Armée

Zb 0.33 -
Ath [cm2] 6.04 -
Choix A 2HA20 -
Secton A [cm2] 6.28 -
Section Doublement Armée

Mlu [MN.m] - 0.075
α1 - 0.263
Zb1[m] - 0.338
71
A1[cm²] - 6.39
σsce[MPa] - 241.345
A'th [cm²] - 0.59
A2[cm²] - 0.407
Ath [cm²] - 6.80
Choix A' - 1HA10
Section A'[cm²] - 0.79
Choix A - 2HA16+1HA10
Section A[cm²] - 6.82
IX.V.12.ii. A R M A TU R ES E N TR A V EE S
Travées BC
Mu [MN.m] 0.096
Mser[ MN.m] 0.068
ϒ 1.418
μbu 0.240
μlu 0.191
μbu ≤ μlu)? NON
SDA
Section Doublement Armée

Mlu [MN.m] 0.076
α1 0.267
Zb1[m] 0.338
A1[cm²] 6.50
σsce[MPa] 243.203
A'th [cm²] 2.40
A2[cm²] 1.68
Ath [cm²] 8.18
Choix A' 1HA14+1HA16
Section A'[cm²] 2.51
Choix A 1HA8+5HA14
Section A[cm²] 8.20
IX.V.12.iii. V ER I F IC A TIO N R A P ID E A L ’ELS
Il faut vérifier à l’ELS la section des aciers calculés à l’ELU, la condition suivante doit-etre
vérifiée :
M•–— ≤ M•–— »pm avec M•–— »pm = μ C¦ NŒ bQ €E
µser lim est fonction de μ = μ’è = • è

X
’\ œ ’“
72
Mu Mser µ µser lim Mser lim Vérification
Travée BC 0.096 0.068 0.290 0.119 0.120 Vérifié
Appui B 0.071 0.051 0.215 0.107 0.108 Vérifié
C 0.080 0.057 0.195 0.104 0.092 Vérifié
IX.V.12.iv. V ER I F IC A TIO N D E LA D E FO R MA B IL ITE D E LA P O U TR E
Travée BC
h[m] 0.42
l 4.985
A [m2] 0.000820
P[MN/m] 0.022
Mo[MN.m] 0.118
Mt[MN.m] 0.068
h/l 0.084
h/l ≥1/16? OUI
Mt/10Mo 0.057
h/l ≥ (Mt/10Mo)? OUI
A/(bo*d) 0.0107
A/(bo*d)≤ 4.2/fe? NON
La dernière condition n’est pas vérifiée, il faut calculer la flèche
1) La flèche instantanée
Ce calcul est effectué grâce à la méthode de l’inertie fissurée.
La flèche instantanée fi est égale à :
` C¦ e e 1
€N = = t v
10£P L N 10 :N
2) L’inertie fissurée est donnée par la relation :
1.1LF
LN=
1 + }N μ
3) Les autres paramètres sont obtenues a partir des formules ci-après :
1.75€•
μ= 1f
4é + €•
73
si μ˃0 , sinon μ = 0
0.05€•
}N =
5é
9
é=
•Q
Puisque L < 500 donc flim = L/500 = 0.00997 m
Travée Y[cm] Io[m4] é }N [`h=] μ L N [m4] -

¦ê
Ei[Mpa] [m-1] fi flim Fi<flim
[cm]
BC 15.32 0.0090785 0.0015498 13.63 0 0.0099864 32164.20 0.000211704 0.053 0.97 Vérifiée
 La fléché n’est pas à craindre
IX.V.12.v. V ER I F IC A TIO N D ES C O N D IT IO N S D ’ A P P U IS
1) Vérification des armatures longitudinales:
• Appuis de rive
½¾Œ, + ¿¾
9¬ ≥
€C
ϒ
• Appuis intermédiaires
⎸`¾ ⎹
⎸½¾Œ, ⎹ f
9¬ ≥ 0.9Q
€C
ϒ
IX.V.12.vi. V ER I F IC A TIO N D E LA C O M P R ES S IO N D U B E T O N :
€E
½¾ ≤ 0.4 = × •F
ϒ
Avec a : profondeur de l’appui a=min {a’ ; 0.9d}= a’=largeur d’appui-(enrobage+2cm)= 20-

(2+2)= 20 cm
 a=min (20, 34.02)=20 cm
TABLEAU : Condition d’appui
74
½¾Œ, ⎸`¾ ⎹
⎸½¾Œ, ⎹ f
€C 0.9Q
Appuis Vumax[MN] Mu [MNm] As [m2] Conclusion
ϒ €C
ϒ
B 0.130 0.071 - -0.0003728 6.28 Vérifié
C 0.133 0.080 - -0.000294 6.82 Vérifié
TABLEAU : Compression du béton
€E
0.4 × = × •F
ϒ
Appuis a[m] bo[m] Vumax[MN] Conclusion
B 0.20 0.20 0.26 0.130 Vérifiée

C 0.20 0.20 0.26 0.133 Vérifiée
IX.V.12.vii. V ER I F IC A TIO N D E LA C O N TR A IN TE D E C IS A I LLE M E N T

D U B E TO N
Appuis B C
Vu [MN] 0.071 0.130 0.133 0.095
pu [MN] 0.044 0.052 0.052 0.047
Vu0 [MN] 0.06 0.12 0.114 0.11
z‚, ªb
Ԏuo [MN] 0.800 1.48 1.51 1.04
Condition z‚,0≤z‚, lim

3.33 3.33 3.33 3.33
Vérifiée Vérifiée Vérifiée Vérifiée
Nécessité et nature des Les armatures Les armatures Les armatures Les armatures
armatures d’âme ne sont d’âmes sont d’âmes sont d’âme ne sont
pas nécessaires nécessaires et nécessaires et pas
mais des des armatures des armatures nécessaires
armatures d’âme d’âme mais des
transversales verticales ou verticales ou armatures
régulièrement droites sont droites sont transversales
espacés seront suffisantes. suffisantes. régulièrement
mises pour espacés seront
maintenir les mises pour
armatures maintenir les
longitudinales armatures
en place. longitudinales
en place.
IX.V.13. S EC TIO N E T ES P A C EM EN T D E S A R M A TU R ES TR A N S V E R S A LE S
IX.V.13.i. C A LC U L D E S EC T IO N D ’ A R MA TU R E TR A N S V ER S A LE E T
D’AME :
75
Appui @ ëìíî Æ<≤[mm] Choix Æ<[mm] At [cm2]
-
[mm] [mm] [mm]
B 12 20 6.66 6.66 6 4HA6=1.13 cm2
1) Espacement des armatures :
• Pour les espacements réguliers :
ÊË ≤ ÌÍÎÏÐ + ™š; ™ÑÉ^ÌÍÎ; Òš “ÌÓ

Avec a la plus petite dimension de la section
Appui a+10 cm 15Æ bª> [cm] St ≤ [cm]

B 30 9 9
• Pour les armatures d’âmes :
On appliquera la méthode de CAQUOT, la répartition des armatures est établie en 2 parties

délimitées par le point de changement de signe de l’effort tranchant
z‚0 [MN]
Appuis B C
At [cm2]
1.48 1.51
Ô0 [;b/;b2]
1.13 1.13
¬<0 [cm]
18.41 17.79
¬<0 [cm]
20.80 20.11
Sto/2
20 20
Stmax [cm]
10 10
34.02 34.02
lo 2.49
l’o 1.23
St [cm] Sto/2 20 25
Nombre de répétition 2.98 1.23
Nombre cumulé 2.98 4.21
Nombre arrondi 3 4
Nombre pratique 3 4
Abscisse [cm] 10 40 170
76
Il manque pour arriver a lo : 249-170=79 cm=3×13+2×20
10+3×13+5×20+4×25=2.49 m
IX.V.14. P O TEA U X
Un poteau est une poutre droite verticale soumise uniquement à L’effort de compression qui
peut engendrer une flexion et donner lieu à un phénomène de flambement très dangereux.
Du point de vue de la mécanique des structures, les poteaux sont des éléments verticaux
soumis principalement à la compression, une compression centrée dite compression simple
(N>0 et MZ=0).
Le béton résiste bien à la compression, il serait théoriquement inutile de placer des armatures.
Mais les charges transmises au poteau ne sont jamais parfaitement centrées (imperfections
d’exécution, moments transmis par les poutres, dissymétrie du chargement).
Alors pour ces raisons, on introduits des armatures longitudinales calculés de façon forfaitaire
car les moments sont difficiles à estimer).Le risque de flambement des armatures
longitudinales nous permet de placer des armatures transversales (cadres, étriers ou épingles).
Pour la suite, on va étudier le poteau PG4 car c’est le poteau le plus sollicité d’après la
descente des charges.
IX.V.15. D IM EN S IO N D U P O TE A U :
• Section : B= a × b = 20×30 cm2

• Longueur libre lo= 3.00 m
Rappel des charges appliquées sur le poteau
Etage Niveau Section a‚ [ða] a‚ [ða] a¬•: [ða] a¬•: [ða]

majorée majorée
RDC N5 20×30 1159.83 1333.81 827.88 952.07
IX.V.16. C A LC U L D ES A R MA TU R ES :
Les démarches de calcul sont présentées en annexe.
IX.V.16.i. C A LC U L D ES A R MA TU R ES LO N G ITU D IN A LES
1) Longueur de flambement
l„ = 0.7lµ
 l„ = 0.7 × 3 = 2.1 m
2) Elancement ñ:
Il est donné par :
77
}=
»ò
p
Avec ª= óõ ∶ rayon de giration du poteau

ô
B : section du poteau considéré
I : Moment d’Inertie du poteau par rapport à l’axe passant par son centre de gravité
Pour une section rectangulaire :
ba
I=
12
l„ √12
λ=
a
A : petit côté de la section
D’où :
2.1√12
λ=
0.20
 λ = 36.37
 La valeur de ñ∈à ] 35 ;50] donc on a une compression centrée probable.
3) Calcul du coefficient réducteur :
β=1+0,2t v
ú
 β=1+0,2 t v = 1.21
K. 5
4) Section réduite Br
Br est une section obtenue en retirant 1 cm d’épaisseur sur toute la périphérie du poteau.
D’où, Br = (a-0.02)*(b-0.02)= (0,20−0,02)∗(0,30−0,02)=0.0504 m2
5) Aire de la section d’armature :
La relation suivante nous donne cette aire à déterminer :
A≥ tβN× f
- õþ ×„
. „û .2
)
78
t1.21 × 1.333 f v
- . ×- .-5
. × .2
 A≥
 A≥2.41 cm2
6) Section maximale d’acier :
Une section donnée par la relation :
9b=V=
- -
×.= ×0.06=30 cm2
7) Section minimale d’acier :
On a l’inégalité suivante pour trouver Amin :

9min [;b2]=`=V (B(0.2%) ;(4u))
u : périmètre du poteau = 2(a+b)= 1.00 m
B : La section réel du poteau tel que B= 600 cm2
9min [;b2]=`=V (600× 0.2% ;(4×1.00))=4 cm2

 Amin=4 cm2
Comme Amax > Amin> A, donc As = Amin = 4 cm².
On prend 2HA16 égale à 4.02 cm² comme section d’acier pour le poteau PF4.
8) L’effort ultime :
a) Condition de sécurité :
Il faut que :
a‚≤a‚, ªb
Tel que : a‚lim=α [ + v

õþ „ „û
.2ϒ
.
Avec α=
a‚, ªb=-. + ]
. . × . ×
- .2×-. -.-
[
 a‚lim= 0.75 MN
79
Poteau ∅l max ∅l min 15 ∅l min a+10
PG4 2.5 0.8 12 30
Donc : ˃ Nulim : La condition de sécurité n’est pas vérifiée, il faut augmenter la

section de l’acier.
Prenons A= 27.8 cm2

 a‚lim= 1.334
Et a‚ ˂au ªb
Conclusion
On prend 3HA12+5HA25 égale à 27.93 cm² comme section d’acier pour le poteau PF4.
IX.V.16.ii. CALCUL DES A R MA TU R ES TR A N S V ER S A L ES
1) Diamètre ∅< des armatures transversales
En pratique: ∅<=0,3 ∅ max

Alors ∅t=7.5 mm
-
A condition que : ∅lmax ≤∅t≤12 mm
Comme ∅l max=25 mm : × 25 = 8.3 mm

-
Soit ∅t=9 mm
2) Espacement des armatures transversales
Il faut espacer les armatures tant dans la zone courante que dans la zone de recouvrement
L’espacement des armatures dans la zone courante est obtenu par la relation :
St ≤ Min (15 ∅l min ; a+10 ; 40)
 St = 12 cm
3) Zone de recouvrement
Celui dans la zone de recouvrement est défini par la relation :
O<:=
»¢þ Ø ∅» mno
oØ-
80
Avec :
′: : La longueur de recouvrement telle que l′r=0,6 ls ;
¬ : La longueur de scellement telle que ls=

∅ ×„û
×Ö
: La contrainte ultime d′adhérence telle que
z¬‚=0,6×ψs×ft28 ;
Ψs : Le coefficient de scellement tel que Ψs = 1,5 pour HA;
x : Le nombre de nappes d’armatures de couture, prenons x= 3
Poteau ∅»mno ¬ [cm] ′: [cm] [cm]

PG4 25 132 79 34.5
Le plan de ferraillage est présenté à l’annexe
IX.V.17. PLANCHER EN DALLE P LEINE
Le plancher est un ouvrage horizontal capable de supporter des charges et de les transmettre
aux éléments porteurs de l’ossature. Sa caractéristique principale est qu’une dimension
(hauteur) est petite devant ses deux autres dimensions (largeur et longueur).
IX.V.17.i. HYPOTHESES D E C A LC U L
- La fissuration est peu préjudiciable ;

- Pour ce calcul, on va considérer les dalles de la toiture –terrasse (dalle B2C2-C4D4)
• La plus petite portée V=4.66 m
• La plus grande portée Ÿ=4.99 m
• L’épaisseur, d’après le prédimensionnement, est égale à •=15 ;b.

• Enrobage 2 cm
• Les armatures de la dalle sont déterminés à partir des moments isostatiques au centre
de la dalle ` V et ` Ÿ, correspondants respectivement aux sens V et Ÿ et évalués
pour des bandes de 1 m de largeur.
81
Figure : Choix de la dalle à étudier
IX.V.17.ii. E V A LU A T IO N D ES C H A R G ES
1) Charge permanente
Cette charge correspond au poids propre de la dalle et du revêtement.

Tels que :
 L’épaisseur de la dalle est de 15 cm et celle de son revêtement (2 cm).
 Le poids volumique du béton armé est 25 kN/m3.
Désignation Totale Charges permanentes G [daN/m2]

Poids propre de la dalle + Enduits 752.5
Désignation Totale Charges d’exploitation [daN/m2]
Combinaisons de charges Unités [daN/m2]
p-ELS 1252.5 0.013
p-ELU 1765.875 0.018
• Vérification du sens de la dalle :
82
Le coefficient : 8=» =0,93
»
α = 0,93> 0,40 ; on admet donc que la dalle porte dans deux sens (dans le sens de Vet Ÿ)
2) Moment au centre de la dalle
La méthode forfaitaire est la méthode pratique de calcul des sollicitations pour les planchers
de bâtiment : dans les sens longitudinal et transversal, on assimilera à une poutre continue
d’une bande de 1m de largeur du panneau de dalle. L’encastrement partiel du panneau sur le
contour sera tenu compte par des coefficients appropriés à multiplier sur le moment
isostatique M0.
Nous commencerons par déterminer les moments Mox suivant lx et Moy suivant ly, en
supposant que la dalle repose librement sur son pourtour.
Pour une dalle de dimensions lx et ly reposant librement sur son pourtour et soumise à une
charge uniformément repartie couvrant tout le panneau, les moments au centre de la dalle,
pour une bande de largeur unité ont pour valeurs :
Dans le sens de la petite portée : Mox= V∗h∗ V2
Pour les valeurs de V et y , on se reporte au tableau de l’annexe

Dans le sens de la grande portée : Moy= Mox* y
Comme α = 0,93 :
V=0.043 et Ÿ=0.843 (d’après le tableau selon les abaques de Pigeaud)
lx ly µx µy A l’ELU (MN.m/m) A l’ELS(MN.m/m)
Mox Moy Mox Moy

4.66 4.99 0.043 0.843 0.016 0.014 0.012 0.010
3) Moment réellement appliqué dans la dalle

Les moments dans les panneaux réels sont égaux aux moments isostatiques multipliés par des
coefficients forfaitaires.
Soient : `=V,: Les moments aux appuis ;

`<V, : Les moments en travée.
Tels que :
- Suivant la petite portée V

`=V=−0.75 ` V et `<V=0.60 ` V
- Suivant la grande portée Ÿ

`=Ÿ=−0.75 ` Ÿ et `<Ÿ=0.60 ` Ÿ
D’où :
ELU
83
`=V `<V
Portée Suivant lx Suivant ly
Moment (MN.m/m) May Mty
-0.012 0.0096 -0.0105 0.0084
ELS
`=V `<V
Portée Suivant lx Suivant ly
Moment (MN.m/m) May Mty
-0.009 0.0072 -0.0075 0.006
IX.V.17.iii. A R M A TU R ES P R IN C IP A LES S U R LA D A LLE
La fissuration est peu préjudiciable donc le calcul sera mené à l’ELU.

La section des armatures est déterminée par la même méthode de calcul que celle d’une
poutre, de base b=1m et d’une épaisseur égale à sa hauteur e =0.15m .
1) Dimensionnement des armatures

1) Choix des aciers
• Dispositions constructive:
ho
Φ≤
10
Où :
ho : épaisseur de la dalle
 Φ≤
-
= 15 mm donc il faut prendre au plus Φ15
-
 Bande suivant ly :
12ho: ronds lisses

8ho: Fe E400
6ho: Fe E 500
Aymin=
Fe E400 donc Aymin= 8*0.15=1.2 cm2/m
 Bande suivant lx :
3fα
Aompq = × Aymin
2
84
× 1.2 = 1.42 cm2/m
Ø .2
Axmin=
• Type de section :
 Si •‚≤ ‚ : SSA ;
 Si •‚> : SDA.
Avec :
„
µ lu= 10-4( 3440.θϒ+49 † – 3050)
”
” ûþ
ϒ=
μˆ× =
”
ˆ „
: Moment réduit
d : hauteur utile = 15-2=13 cm
Dalle Suivant la petite portée lx Suivant la grande portée ly

Appui à Travée Appui à Appui à Travée Appui à
`‚
gauche droite gauche droite
0.012 0.0096 0.012 0.0105 0.0084 0.0105
(MN.m/m)
Mser(MN. 0.009 0.0072 0.009 0.0075 0.0060 0.0075
m/m)
‚
ϒ 1.333 1.333 1.333 1.400 1.400 1.400
0.164 0.164 0.164 0.187 0.187 0.187
bu 0.050 0.040 0.050 0.044 0.035 0.044
Conclusion SSA SSA SSA SSA SSA SSA
Donc les calculs seront menés de manière simplifiée :
Les sections sont calculées comme telles :
M×
A× =
Zˆ f–
Comme bu ˂ ‚;
zˆ = d (1-0.6 bu)
zb 0.131 0.132 0.131 0.131 0.132 0.131

Atx,Aty[cm2] 2.63 2.09 2.63 2.29 1.83 2.29
Amin[cm2] 1.4 1.42 1.42 1.20 1.2 1.20
85
A[cm2] 2.63 2.09 2.63 2.29 1.83 2.29
Armatures/ml 6HA8 8HA6 6HA8 3HA10 4HA8 3HA10
Ax,Ay réels 3.02 2.26 3.02 2.36 2.01 2.36
cm2/ml
2) Espacement des armatures
Dans le cas d’une fissuration peu préjudiciable, l’espacement doit satisfaire les conditions
suivantes :
• Suivant la petite portée :
O• ≤ bª>Ï3ℎ; 33;bÓ
O• ≤ bª>Ï3t15v; 33;bÓ
 O• ≤ 33;b
• Suivant la petite portée :
O• ≤ bª>Ï4ℎ; 45;bÓ
O• ≤ bª>Ï4t15v; 45;bÓ
 O• ≤ 45;b
 Suivant l’axe (ox):

En travée: 8HA6 pm, e = 13 cm ;
Aux appuis : 6HA8 pm, e = 18 cm ;
 Suivant l’axe (oy) :
En travée: 4HA8 pm, e = 20 cm ;

Aux appuis : 3HA10 pm, e = 33.3 cm ;
3) Arrêt des barres
Voici les distances à respecter :
86
Figure : Arrêt des barres
4) Vérifications
I. I.1.i. V ER I F IC A TIO N R A P ID E A L ’ELS
Il faut vérifier à l’ELS la section des aciers calculés à l’ELU, la condition suivante doit-etre
vérifiée :
M•–— ≤ M•–— »pm avec M•–— »pm = μ C¦ NŒ bQ €E
µser lim est fonction de μ = μ’è = ’\• œè

X
’“
Travée
Sens Mser μserlim Mserlim Mser<Mser lim
lx 0.0072 0.04825 0.02038 Vérifiée
ly 0.0060 0.04512 0.01906 Vérifiée
Appuis
lx 0.090 0.03636 0.02197 Vérifiée
ly 0.075 0.048 0.02028 Vérifiée
a) Vérification à l’état limite de déformation
Dans les dalles rectangulaires sur quatre côtés et d’élancement, la flèche au centre se calcule
de la façon suivante :
• Calcul la flèche comme dans une poutre de portée lx (petite dimension) de largeur b=
1m et soumise aux moments de flexion déterminés dans le sens x ;
• On multiplie le résultat par (1-0.1α).
87
Vérifions d’abord les conditions suivantes qui nous dispensent du calcul de la flèche :
ℎ 3 `• C¦
≥ b=Vt ; v
V 80 20`F
9 2
≤
•Q €C
h/lx 0.03218
Max(3/80 ;Mtser/(20×Mox)) Max(0.0375 ;0.03)
h/lx≤ Max(3/80 ;Mtser/(20×Mox)) Vérifiée
A/bd 0.0017
2/fe 0.005
A/bd≤2/fe Vérifiée
Les deux conditions sont vérifiées, alors il n’est pas nécessaire de calculer les flèches.
I. I.1.ii. A R M A TU R ES D’AME
Comme on a déjà vu précédemment :
• -Si z‚< 1 : les armatures d’âme ne sont pas nécessaires ;
• Si z‚≥ 1 : les armatures d’âme sont nécessaires.
. 5∗
ϒ
Tel que : 1=`ª> { ;1.5}=1.167 MPa
z‚=
¾
FŠ
: Contrainte tangente conventionnelle
½‚ : Effort tranchant par unité de longueur
Où :
- Au milieu de V : ½‚ =
- Au milieu de Ÿ : ½‚ = J
Comme : V=4.66b, Ÿ=4.99 b, • =1.0 b, Q =0.135b

: Charge totale uniformément repartie sur la plaque
D’où :
88
Suivant lx Suivant ly
P[MN] 0.018
z‚ [Mpa]
Vu[MN/m] 0.012 0.0125
z‚< 1 : donc les armatures d’âme ne sont pas nécessaires pour la dalle
0.092 0.096
Conclusion
I. I.2. E S C A L IE R
L’escalier est un ouvrage constitué d’une suite de marches et paliers permettant de passer à
pied d’un niveau à un autre. Le bâtiment en comporte deux identique, nous allons étudier
l’escalier du rez-de-chaussée. Conférant au prédimensionnement, les dimensions des éléments
de l’escalier du RDC sont les suivantes :
Caractéristiques Valeurs
h (hauteur des marches) 20 cm
g (giron) 22.5 cm
α (inclinaison de l’escalier sur 41.63°
l’horizontale)
ep (épaisseur de la paillasse) 25 cm
I. I.2.i. M O D E L IS A TIO N D E L ’ ES C A LIE R
Figure : Modélisation de l’escalier
89
Le poids du béton armé sur la partie en pente est égal à :
+ +
CD @ . .
EF G EF -.K
p = 2500 × ( )= 25 × ( ) = 10.86 kN/m2
Le chape et revêtement est 1 KN/m²
L’emmarchement de l’escalier étant de 1.20 m
D’où q1= 1.2*(10.86+1) 14.23 KN/m
Et q2= 25*0.25*1.2 +1 = 8.5 KN/m²
Les Charges sur l’escalier
G Q ELS ELU
q1[kN] 14.23 2.5 16.73 22.96
q2 kN] 8.5 2.5 11 15.22
I. I.2.ii. C A LC U L D ES S O L LIC I TA T IO N S
Les escaliers peuvent être assimilés à des poutres reposant sur deux appuis simples sollicitées
par des différentes charges uniformément réparties. Ainsi, pour déterminer les moments et
efforts, nous pouvons appliquer la méthode forfaitaire et/ou la méthode classique de la RDM.
En appliquant la méthode classique de la RDM, on a :
Figure : Modélisation de l’escalier
1er cas : si [• ’• ˂[™ Ð•
° ½ = d = + d • f d- =
® x -
2e
¯ d • f d- =
®½s = fd- = +
- 2e
• Valeur de xo ou le moment est maximal :
90
½x
VF =
d-
• Moment maximal en travée :

½x
`Œ, =
2d-
• Moment aux appuis :

`x = `s = 0.15`Œ,
2ème cas : si [™ Ð• ˂[• ’•
° ½ = d = + d • f d- =
® x -
2e
¯ q b f q- a
®½õ = fq b +
- 2L
• Valeur de xo ou le moment est maximal :

V
xµ = a + b +
q
• Moment maximal en travée :
Võ
Mmno =
2q
• Moment aux appuis :
M = Mõ = 0.15Mmno
On a : d1=2 = 16.73*1.582=41.76
d2b2 = 11*1.432 =22.49
 d1=2˃ d2b2 donc le calcul se fera suivant le 1er cas :
ELS ELU
a [m] 1.58
b[m] 1.43
Q1 [KN/m] 16.73 22.96
91
q2 [KN/m] 11 15.22
VA [KN] 23.23 31.76
VB [KN] -18.93 -26.11
x0 [m] 1.38 1.38
Mmax [KN.m] 16.12 21.96
MA=MB [KN.m] 2.41 3.29
I. I.2.iii. C A LC U L D ES A R MA TU R ES
1) Hypothèses de calcul
Le calcul des sections d’armatures se ramène à une poutre rectangulaire soumise à une flexion
simple. La largeur de la base est égale à l’emmarchement et la hauteur égale à la hauteur de la
paillasse (b = 1,2m ; h = 0,25m). La fissuration est peu préjudiciable et l’enrobage des aciers
sera 3 cm.
2) Condition de non fragilité :
L’armature choisie doit être au moins égale à la section minimale imposée par la condition de
non fragilité telle que :
bµ h f´
Ampq = Maxt ; 0.23bµ d v
1000 f–
Amin= Max (120*25/1000 ; 0.23*120*22*2.1/400)= Max (3; 3.18)
 Amin=3.18cm2
3) Armatures longitudinales
Appuis A B AB
Mu [MN.m] 0.00329 0.00329 0.02196
Mser[ MN.m] 0.00241 0.00241 0.01612
ϒ 1.365 1.365 1.362
μbu 0.004 0.004 0.027
μlu 0.175 0.175 0.174
μbu ≤ μlu)? OUI OUI OUI
Conclusion SSA SSA SSA
92
Section Simplement Armée (SSA)
α - -
Zb [m] 0.219 0.219 0.216
Au [cm²] 0.430 0.430 2.915
A th [cm²] 3.18 3.18 3.18
Choix A 3HA12 3HA12 3HA12
Section A [cm²] 3.39 3.39 3.39
L’espacement des barres longitudinales doit vérifier e ≤ min (3h ; 33cm)= 33cm .Les
armatures longitudinales sont réparties sur une largeur de 1,20m.
I. I.2.iv. V ER I F IC A TIO N R A P ID E A L ’ELS
Cette vérification consiste à s’assurer qu’avec les armatures adoptées les contraintes du
béton et de l’acier restent admissibles à l’ELS. Nous allons déterminer la valeur M•–—,»pm du
moment de service en dessous de laquelle l’ELS est vérifié avec les sections d’acier calculées
à l’ELU.
M•–—,»pm = μ•–—,»pm bd f…
Si M•–—,»pm ˃M•–— l’ELS est vérifié sinon la condition la plus défavorable est la condition
de fissuration.
A[cm2] μ•–—,»pm M•–— [daN.m] M•–—,»pm Condition
Appui 3.39 0.055 0.0241 0.080 Vérifiée
Travée 3.38 0.055 0.01612 0.080 Vérifiée
Nous pouvons constater que toutes les conditions sont vérifiées.
4) Armatures de répartition
Puisqu’il existe une poussée au vide au croisement du volet et du palier, il est nécessaire de
mettre en place des armatures de répartition Ar telles que :
A— ≥
L’espacement des barres de répartition est limité à : e ≤ Min (4h ; 45cm)=45cm
93
Escalier Ar[cm2/ml] A choisie e[cm]
Travée 0.84 0.85=3HA6 pm 33
Appui 0.84 0.85=3HA6 pm 33
94
Chapitre II. ETUDE DE L’INFRASTRUCTURE
II.I. G E N E R A L ITE S
Il existe deux modes courants de transmission des charges de construction au sol : par
fondation superficielle et par fondation profonde.
Les fondations superficielles sont faiblement encastrées dans le sol. Ce sont les semelles,
radiers,… elles travaillent essentiellement grâce à la résistance du sol sous la base.
Selon l’importance des charges de l’ouvrage, il se peut que les propriétés mécaniques du sol
en surface ne soient pas suffisantes pour supporter les charges par l’intermédiaire des
fondations superficielles, là on recours à des fondations profondes ou semi-profondes qui
nécessitent beaucoup plus de matériaux.
La connaissance de la portance du sol conduit au choix du type de fondation, intervenant
directement sur le coût du projet.
II.II. M E TH O D E D ’ E TU D E :
La méthode d’étude comprend :
Evaluation de la capacité portante du sol par la reconnaissance du terrain

il existe plusieurs méthodes de reconnaissance :
• Méthodes géotechniques:
Ce sont des méthodes qui utilisent la conductivité de la terre en matière de courant électrique,
magnétique ou d'ondes sonores (méthode sismique). Elles permettent de reconnaître depuis la
surface les différentes couches contenues dans le sous-sol.
• Essais en laboratoire:
Des échantillons de sol en place sont prélevés (carottes) et analysés en laboratoire. Les essais
de cisaillement, triaxial, de masses volumiques, de granulométrie, d’Atterberg, d'oedomètre,
.permettent de dégager un certain nombre d'informations sur le sol.
• Essais in-situ (sur le site):
Ces essais assez rapides permettent de dégager un certain nombre de paramètres en testant
directement le sol sur place, à partir de la surface ou dans un forage; Ce sont :
le pénétromètre statique ou dynamique,
le pressiomètre MENARD,
les essais de chargement direct,
95
d’admettre une valeur de σsol,lim selon la nature du terrain où est implanté le projet.
Mais en l’absence de données géotechniques, le DTU 13 – 2 Mars 1988 nous permet
Le tableau suivant nous montre le critère du choix de la valeur du contrainte du sol en

fonction de la nature du sol selon le DTU 13 – 2 Mars 1988 :
NATURE DU SOL σsol,lim (MPa)

Roches peu fissurées saine non désagrégées et de 0,75 à 4,5
stratification favorable
Terrains non cohérents à bonne compacité 0,35 à 0,75
Terrains non cohérents à compacité moyenne 0,20 à 0,40
Argiles 0,10 à 0,30
II.III. C H O IX D E LA FO N D A T IO N :
Pour assurer la rapidité et l’économie d’exécution et avoir une bonne stabilité de notre
structure, il faut donc bien choisir le type de fondation.
Généralement, on a 3 types de fondation qui sont classé selon la relation entre l’ancrage D et
la largeur B de la semelle :
• Fondation superficielle:
$
s
≤6
• Fondation semi-profonde:
$
s
6< ≤10
5) Fondation profonde:
$
s
>10
Dans notre cas, une fondation superficielle est conforme à notre type de sol. Pour faciliter la
mise en œuvre nous choisirons une semelle isolée avec une forme rectangulaire dont elle
constituée par des aciers formant un quadrillage régulier.
II.IV. D IM EN S IO N N E M EN T DE L’OUVRAGE
Le terrain est non cohérent et à compacité moyenne car le projet est implanté sur une zone de
remblai donc :
96
σsol,lim= 0,30 MPa
Pour ce projet, on a choisi une fondation superficielle dont les semelles sont isolées et sous
poteaux. La semelle à étudier, de section rectangulaire, est la semelle SE4 supportant la
descente des charges du poteau PE4 qui est le plus sollicité.
Figure : Semelle isolée sous poteau
Nser =n6=1.48465MN : descente des charges au pied du poteau à l’ELS
II. IV.1. D E TE R M IN A T IO N D E L A S EC TIO N S ( A*B) DE H4 :
= ≤ σsol,lim
0 ¨
F %
≤S
0 ¨
& 6ì
≤O
-.-5 K
.

 3.90 ≤ O
On prendra, par mesure de sécurité, comme valeur de S :
S=4 m2
II. IV.2. D E TE R M IN A T IO N D ES C O TE A ET B D E LA S EM E L LE :
Les dimensions de la semelle est en fonction des dimensions du poteau qu’elle supporte.
Elles sont choisies de manière à ce que la semelle et le poteau aient des sections
homothétiques, c’est-à-dire:
97
9 =
=
. •
Figure : Schéma de calcul de la section de la semelle
D’après la relation précédente, on a :
O×• O×=
.=' •< 9 = '
= •
 A = 1.63m
 B = 2.44m
A × B = 1.63×2.44 m2
II. IV.3. D E TE R M IN A T IO N D E L A H A U TE U R TO TA LE H DE SE4 :
H ≥ d+0.05
Avec 0.05m : enrobage
Les autres dimensions peuvent être fixées par la condition de rigidité de la semelle :
La section du fut est : a×b=0.20*0.30 et la semelle est supposée rigide donc :
.f• 9f=
Q ≥ `=V • , •
4 4
Q ≥ `=Vt0.535; 0.35v
Q = 0.54
98
II. IV.3.i. C A LC U L DE H
ht ≥ 0.54+0.05
ht=0.59
II. IV.3.ii. C O N TR O LE D E LA C O N TR A IN TE D E TR A V A I L Σ S O L S U R LE
SOL :
= ≤ σsol,lim
0
F %
1) Section S de S4
S=4 m2
2) Poids propre P de S4
P=S*ht*ρbéton
P=5*0.59*2500
 P=7375 daN= 0.07375MN

3) Calcul de N :
N=Nser+P
N=1.17286 + 0.07375
 N=1.24661
4) Calcul de σsol :
a
=
F
O
1.246611
=
F
4
 F = 0.3079 `‰=˃ σsol, lim = 0.30 MPa
Il faut augmenter la section de la semelle
99
En prenant S=5.3 m2
Section (m2) A (m) B(m) d (m) ht(m) N (MN) F (MPA)

4.2 1.67 2.51 0.55 0.60 1.2362 0.2943
Donc la section S = A×B= 1.67×2.51=4.20 m2 est retenue pour assurer la tenue et la stabilité
de semelle S4 vis-à-vis de la descente des charges du Poteau PF4 et de la réaction du sol par
rapport à celui-ci.
II. IV.3.iii. D E TE R M IN A T IO N D ES A R M A TU R ES P R IN C IP A LE S :
Pour le calcul des armatures, on utilise la méthode des bielles qui consiste à admettre que les
efforts provenant du poteau soient transmis au sol par des bielles de béton obliques et
équilibrées deux à deux par les armatures.
Figure : Méthode de la bielle de compression
Nu=n6= 162439.21daN=1.62439 MN d’après la descente de charges au pied du Poteau PF4
La section d’armature parallèle au côté A est :
a¾ t9 f =v
9) =
Øx
8×Q×
1.62439t1.67 f 0.20v
9) =
Øx
8 × 0.55 × 348
9) Øx = 0.00155946 b2
 AFA-A= 15.59 m2
 5HA20=15.71 cm2
100
La section d’armature parallèle au côté B est :
1.62439t2.51 f 0.30v
9) =
Øs
8×Q×
1.62439t2.51 f 0.30v
9) =
Øs
8 × 0.55 × 348
 AF4-B = 0.00234450m2
 AF4-B = 23.44 cm2
 2HA16+4HA25=23.65 cm2
1) Ancrage des barres :
Il faut comparer ls à A/4 et B/4 :
Æ × €C
=
4×z ¾
τsu= 2.8MPa : Contrainte admissible d’adhérence.
• Suivant le côté A : Æ = 0,020 m
0.020 × 400
=
4 × 2.8
 ls=0.71 m
x
ls=0.71˃ = 0.417 : Toutes les barres sont prolongées aux extrémités et comportent des
crochets.
• Suivant le côté B: Æ = 0,025 m
0.025 × 400
=
4 × 2.8
 ls=0.89m
s
ls=0.89m˃ = 0.6275m : Toutes les barres sont prolongées aux extrémités et comportent des
crochets.
2) Espacement :
101
Pour un enrobage de 5cm l’écartement des barres est de 7cm
3) Hauteur de rive
hr= max(6Φ+6cm ;15 cm)
Où :φ = le diamètre des aciers principaux de traction

 hr= max(18 ;15)
 hr=18 cm
102
6,10 5 8,37 6,04
0,60
3,465
2,865
0,60
3,46 5
0,20
0,20
0,60
7,59 5
1,65
0,60 0,60 3,40 0,60 7,52 0,60
7,99 5
5,71 5
0,20 0,20 3,80 0,20 7,92 0,20
3,925
4,325
0,60
7,99
4,065
2,61 0,60 4,385 0,60 3,40 0,60 4,34 0,60 2,585
0,20
1,79 0,60
0,20 7,99 5 0,20 3,80 0,20 4,74 0,20 2,98 5 0,20
11,345
2,19
10,38
19,86 5
13,81
0,20
1,785 0,60
0,60
5
12,76
4,03
0,60
6,50
0,60
15,01
3,715
0,20
1,47
17,08
0,20
0,60
0,60
2,19
5
19,86
0,60
3,21 8,195 12,19 17,13 20,315
5
8,19 4,20 8,12
ANDRIANARIJAONA MICHAEL CEDRICK
PLAN FONDATION ECHELLE: 1/200
ESPA
20,51 5
0,31 5 0,34 5 0,115 0,425

2,75 2,69 5 8,37 5,50
1,69 3,07 12,58 3,175
1,33
1,83
0,20 7,97 0,20
3,46 5
3,47
1,00
SEJOUR OUVERT
1,13
0,76
0,76
7,02
0,20 8,01 0,20 3,78 0,20 7,92 0,20
3,93
0,20
0,20
0,20
0,845
0,425
2,05
BUANDERIE
2,68
2,05
DEBARRAS 7,92 0,20
0,845
3,75
DEGAGEMENT
4,325
0,845
0,97
0,97
0,20
0,20
0,97
0,97
1,75
CHAMBRE D'AMI 1
0,64
3,01 0,20 4,78 SALLE DE JEUX
4,46 5
2,265
4,465
0,20
CHAMBRE GARDIEN
6,51
1,50
2,52
11,34 5
2,19
8
+1.6
20,115
5
20,11
0,20 7,99 0,20 3,80 0,20 4,74 0,20 2,985 0,20
0,81 5
2,315
5,50
9,25
5
9,09
0,845
3,00
0,20
15 x 0,20 = 3,00
0,20
7 9
6 10
5 11
1,50
4 12
0,15
3 13
CHAMBRE D'AMI 2
2 14
1 15 2,98 5
0,92 0,15
2,415
4,43
1,20 1,20
GARAGE
1,00
0.00
0,10
1,75 0,79
0,15
ASCENCEUR
6,50
1,29
HALL
0,20
0,76
0,76
0,20
0,20
1,745
2,39
2,07
6,97 5
6,10
ENTREE
5,10
0,315
0,20
0.00
2,84
0,495 0,44
3,515 4,60 3,88 4,50 0,585 2,50
5,815 4,42 4,50 5 4,08 5 1,69
20,51 5
PLAN RDC ECHELLE: 1/200
ESPA
21,57
10,79 10,78
0,50 0,555
6,33 7,92 6,26 5
0,845
+3,00 +3,00
1,33 5
0,20
3,56 5
1,00
LOGGIA
0,20 7,97 0,20
2,42
0,92 5
1,23
0,10
0,20
9,28 5
0,10 5 8,09 0,20 3,80 0,20 8,02 5 0,10
9,47 5
TERRASSE 2
2,05
0,885
0,88 5
TERRASSE 1
4,40
5
4,75
4,30
3,11 5 0,20 13,72 0,20 2,985 0,20
0,20
0,20
COIN REPAS
0,57
CUISINE
SALLE DE SEJOUR
4,46 5
0,20
2,50
SALLE DE BAIN ET WC
0,885
1,50
2,00
+1.6
8
20,30
20,30
0,815
2,315
4,605
9,10
3,00
0,20
15 x 0,20 = 3,00
7 9
6 10 SOLARIUM
2,45
5 11
1,50
4 12
0,15
0,845 3 13
2 14
5,79 5
1 15
0,20 3,06 0,15 4,78 5 0,20 1,20 4,71 5
1,20 0,15 3,87 0,20 3,54 0,20
4,43 5
1,00
CHAMBRE A COUCHER 1 ASCENCEUR
0,10
0,20
0,61 5
5
1,74
COMPTOIR-LUNCH
0,15
HALL
TERRASSE
5
4,74
0,84
1,20
0,20
2,98 5 0,20
0,20
0,20 3,51 0,20 13,72 0,20 2,985 0,20
8,70
0,86 0,86
13,72
+3,00
1,56
+3,00
7,33 5
4,88 5
0,20
5,03
TERRASSE
3,02
0,20
0,670,300,590,30 0,55 5 0,555
0,4650,30
1,515 1,20 0,995 14,12
0,97 0,89 1,26

2,11 5 16,33
21,57
PLAN R+1 ECHELLE: 1/200
ESPA
21,57
5 5
6,29 4,50 4,49 4,03 5 2,24
0,50 0,325 0,425 0,45 0,42 0,53 5 0,43 5 0,55 5

2,80 2,555 7,50 2,57 2,50
0,845
1,33
1,83
0,20
3,665
1,00
LOGGIA
+6,00
2,42
0,20 7,97 0,20
1,33
0,20
9,285
2,05
2,05
7,45
DEGAGEMENT
0,20
0,20
0,20 4,78 5 0,20 3,80 0,20 4,74 0,20 2,98 5 0,20
2,25
2,50
DRESSING 2
2,10
0,57
CHAMBRE A COUCHER 1
CHAMBRE A COUCHER 2
4,465
0,20
0,15
0,845 0,845
1,50
2,14
2,21 5
BUREAU
SALLE D'EAU 2
8
2,50
0,20
20,30
20,30
0,84 5 +4.6
0,915
2,415
4,60
4,60
3,00
15 x 0,20 = 3,00
0,20
7 9
0,15 1,84
6 10
5 11
1,50
4 12 SALLE D'EAU 3
2,18 5
3 13
5,83
2 14
0,20 0,72
4,16
1 15
0,20 3,01 0,20 2,265 0,10 2,42 0,20 1,20 1,20 1,30 0,15 3,87 0,20 3,54 0,20
4,44
0,10
1,00
DRESSING 1 ASCENSEUR CHAMBRE A COUCHER 3
0,15
0,20
0,51 5
0,20
SALLE D'EAU 1
HALL +6,00
0,15
DRESSING 3
1,295
BIBLIOTHEQUE
4,315
1,20
4,16 5
4,11
4,11
0,20
8,60
0,20 3,51 0,20 13,72 0,20 2,98 5 0,20
TERRASSE
1,56
+6.00
4,885
5,185
0,20
0,20
3,02
3,02
0,20
0,46 5 0,30 0,67 0,300,59 0,30 0,555 0,555
1,51 5 1,20 0,995 14,12
0,97 0,89 1,26

18,44 5
21,57
PLAN R+2 ECHELLE: 1/200
ESPA
3,18 3,42 8,37 6,565
TOITURE NON ACCESSIBLE
+10,04
3,925
3,925
2,055
2,05
0,20 3,805 0,20
1,705
17,91 5
TOITURE ACCESSIBLE
11,855
21,08 5
11,115
11,51 5
9,805
9,405
0,70
0,20 12,445 0,12 0,12 7,705 0,25
+9,00
0,20
8,65 5 4,20 8,68
PLAN TOITURE ECHELLE: 1/200
ESPA

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Partie II.

-Etat Limite Ultime de Résistance (ELUR)

• Etat Limite de Service (ELS) : relatif à la question de déformation ou fissuration

-Etat Limite de Service d’ouverture des fissures

• La fissuration est considérée comme Peu Préjudiciable lorsque :

IV. I.2.i. R ES IS TA N C E C A R A C T ER IS TIQ U E A LA C O M P R ES S IO N

fc28 : Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours.

IV. II.1. C A R A C TE R IS TIQ U E D U B E TO N

IV. II.1.i. R ES IS TA N C E C A R A C T ER IS TIQ U E A LA C O M P R ES S IO N

IV. II.1.ii. R ES IS TA N C E DE CALCUL DU B E TO N EN C O M P R E S S IO N

Elle est donnée par la formule :

fbu : Résistance de calcul en compression à l’ELU

On va prendre dans notre étude celle de la combinaison fondamentale = 1.5

IV. II.1.iii. R ES IS TA N C E C A R A C T ER IS TIQ U E A LA TR A C TIO N

La résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours d’âges est conventionnellement

ft28 = 0.6 + 0.06fc28

ft28 : Résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours d’âges.

IV. II.2. C A R A C TE R IS TIQ U E D E S A C IE R S

Pour le calcul, on utilise des aciers hauts adhérences Fe E 400.

• 1 pour combinaison accidentelle

On admet que seule la combinaison fondamentale est autorisée dans ce calcul.

Le prédimensionnement consiste à déterminer les sections des différents

La toiture en terrasse est composée par les différents éléments suivants :

• Dalle en béton armé

La dalle est une dalle pleine.

• Pour α ≥ 0.4 c’est-à-dire une dalle sur 4 appuis avec: ≤ℎ ≤ avec L= ×

Le panneau de dalle le plus large a été pris pour le calcul :

Nous avons donc le pré-dimensionnement suivant :

Afin de réduire la quantité et le coût du béton, on fixe : h=42cm

La base b’ des poutres doit vérifier la condition suivante :

La base b’ est souvent choisie de façon à pouvoir loger les aciers.

Comme précédemment, le calcul de l’épaisseur du plancher doit satisfaire les conditions

• Pour α ≥ 0.4 c’est-à-dire une dalle sur 4 appuis avec: ≤ℎ ≤ avec L= ×

Le panneau de dalle le plus large a été pris pour le calcul :

 L= × = √4.66 × 4.99= 4.82

 0.12 ≤ ho≤ 0.16

Les poteaux sont considérés soumis en compression simple ou centrée en raison de la

Leur section sera déterminée à partir de la relation suivante :

B : section du poteau [cm²] ;

Avec lf : longueur de flambement du poteau[m] telle que :

Nous avons donc :

l0=3,00 m pour tous les niveaux, a ≥ 14.58cm.

Donc Pour tous les poteaux : B ≥

Tableau 5 : Section des poteaux et vérification au flambement

Etage n S(m2) N(MN) B(m2) b=B/a(m) b(approx) Section(cm2) Lf/a

Dans ce prédimensionnement, nous allons déterminer la hauteur des marches, le giron et le

Selon la loi de Blondel :

60cm ≤ 2h+g ≤ 65cm

Calcul des marches entre les étages courants

La hauteur à franchir est de 3m.

Pour h=20cm, nous avons :

En prenant la moyenne, nous avons g=22.5cm.

L’emmarchement E doit respecter les règles suivantes :

• E ≥ 0.80m pour les étages courants alors on fixe E = 1.20m

Ainsi, la largeur du jour est de 0.10 m

La largeur du palier de repos doit vérifier cette condition :

lp = 1.2E ⟹ lp = 1.2× 1.10 = 1.34m

Prenons l’épaisseur de la paillasse e= 0.25 cm et l’inclinaison de la paillasse est donnée par :

Vue en plan Vue en élévation

Niveau G Q w ELU 0.9ELU ELS 0.9ELS

Niveau G Q w ELU 1.15ELU ELS 1.15ELS

Niveau G Q w ELU 1.15ELU ELS 1.15ELS

Niveau G Q w ELU 1.15ELU ELS 1.15ELS

Niveau G Q w ELU 0.9ELU ELS 0.9ELS