CGE-corrigés TQG BTS 2 2019

ELEMENTS DE CORRIGES DE TQG
I-MATHEMATIQUES GENERALES (5Pts)
¿ −2 −1 , I 2= 1 0
( ) ( )
4 3 0 1
1- A × (ac bd)=I ⇒ (−24 −13 )(ac db)=(10 01 )

2
a−c −2 b−d 1 0
⇒ (−2
4 a+3 c )( )
4 b+3 d
=
0 1
−2a−c=1
{
−2 b−d=0
4 a+3 c=0
4 b+3 d=1
2- On résout séparément deux systèmes :

−2 a−c=1 −2 b−d=0 −3 −1
{
4 a+3 c=0
et
4 b+3 d=1{ qui ont pour solutions : a=
2
; c=2; b=
2
; d=1.
−3 −1
−1
3- A = 2
2 ( 2
1 )
4- En faisant les calculs, on a bien A−1 × A= A × A−1=I 2.
5- Polynôme caractéristique de A.
| |
P ( λ )=det ( A−λ I 2) = −2−λ −1 =λ 2−λ−2.
4 3−λ
6- Valeurs propres et le vecteur propre associé à chacune des valeurs propres de A.
 Valeurs propres :
P ( λ )=0⇒ λ2− λ−2=0
⇒ λ 1=−1 , λ2=2

Vecteurs propres :
x1
Pour λ 1=−1 , X 1=
x2 ()
A X 1= λ1 X 1 ⇒ −2 −1 x 1 =− x 1
( )( ) ( )
4 3 x2 x2
−2 x1 −x2=−x1
⇒
{
4 x 1 +3 x2 =−x 2
−x2 =x1
⇒
{
4 x 1=−4 x 2
⇒ x 1=−x 2
Page 1 sur 5
−1
Si on choisit x 2=1 ⇒ x 1=−1⇒ X 1=
1 ( )
x3
Pour λ 2=2 , X 2=
x4 ()
A X 2= λ2 X 2 ⇒ −2 −1 x 3 =2 x 3
( )( ) ( )
4 3 x4 x4
⇒ −2 x3 −x 4=2 x 3
{
4 x 3 +3 x 4=2 x 4
⇒ −x 4=4 x 3
{
4 x 3 =−x 4
⇒ x 4 =−4 x3
2
Si on choisit x 3=2 ⇒ x 4=−8 ⇒ X 2=
−8 ( )
II- STATISTIQUE ET PROBALITE (5pts)
Exercice 1 : Probabilité
A={ 6 } ; B={ 2 ; 4 ; 6 } et C={ 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
1 3 1 4 2
1- P ( A )= ; P ( B )= = ; P ( C ) = =
6 6 2 6 3
2- P ¿
3- P ¿
1 1 1
4- P ( A ) × P ( B ) = × = ≠ P ( A ∩B ) ⇒ A et B sont dépendants
6 2 12
1 2 1
P ( A ) × P (C )= × = ≠ P ( A ∩C ) ⇒ Aet C sont dépendants
6 3 9
Exercice 2 : Statistique
[0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20[ xi ni, . xi. ni, . xi2. ni, .
X
1 1 2 2 4 8
[0,4[
1 3 5 11 6 20 120 720
[4,8[
2 10 10 28 10 50 500 5000
[8,12[
1 3 9 11 14 24 336 4704
Page 2 sur 5
[12,16[
2 4 2 18 8 144 2592
[16,20[
2 6 10 14 18
yj
4 15 20 52 13
n.,j
8 90 200 728 234
yi. n.,j
yi2. n.,j 16 540 2000 10192 4212
1- MoyenneX, de Y, 'écart-type de X et de Y.
1
µ(X) = (4 + 120 + 500 + 336 + 144) = 10,61
104
1
µ(Y) = (8 + 90 + 200 + 728 + 234) = 12,11
104
1
Var(X) = (8 + 720 + 5000 + 4704 + 2592) – (10,61)2 = 12,66⇒ σ ( X )=3,56
104
1
Var(Y)= (16+540+2000+10192+4212)–(12,11)2=16,42⇒ σ ( Y ) =4,05
104
2- Distribution marginale des effectifs de X et Y.
[0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20[

X 2 20 50 24 8
Y 4 15 20 52 13
3- Covariance de X et de Yet coefficient de corrélation.

Cov(X,Y) = µ(XY) − µ(X)µ(Y)
µ(XY)=
1
( 4+12+ 40+12+108+600+84 +300+1000+ 420+ 360+924+ 3920+ 1764+1008+792+648 ) =115,
104
Cov(X,Y) =115,69−10,61× 12,11=−12,80
La valeur du coefficient de corrélation linéaire entre X et Y est alors :
Cov (X , Y ) −12,80
r ( X , Y )= = =−0,89
σ X ×σ Y
( ) ( ) 3,56 × 4,05
III-MATHEMATIQUES FINANCIERES (5pts)
1-Calcul de l’annuité
0,09
a=20 000 000 (1,09)-2
1−( 1,09 )−10
a= 1 564 016F
2-Calcul du taux de l’emprunt
Page 3 sur 5
1794980(1+i)2 = 2055070
1+i=1,07 i=0,07 t=7%
1er amortissement
1794980
A1= A1=1 677 550
0,07
3- calcul du montant de l’emprunt
1er intérêt = 2517 550-1 677 550 I1= 84000
840000
VO= VO= 12 000 000F
0,07
4- Calcul de la durée
1 677 550 (1+i)n-1= 2352850
(1+i)n-1= 2352850 /1 677 550
(1+i)n-1= 1 ,40255134
n-1log1,07= log 1 ,40255134 n-1 =5 n=6
5- calcul de la durée et de l’annuité théorique
 Taux réel
Coupon = 12 000x0,1025 = 1230
Tr=1230 /12300 tr= 10%
1er amort (A1)= 48 671 000
24 600 000
Dernier amort (An)=
0,1
An= 246 000 000
 Calcul de la durée
48 671 000 (1+i)n-1= 246 000 000 n=18ans
IV- RECHERCHE OPERATIONNELLE
1- Quel nom donne-t-on à ce tableau ? Ce tableau prend le nom de l’échéancier.
Page 4 sur 5
2- Tracer le réseau PERT relatif à ce tableau .
3- Déterminer le chemin critique.

Le chemin critique est : B+E+G+I+J = 20+10+12+15+3= 60 Jours
4- Complétons le tableau :
Tâches A B C D E F G H I J
Marges libres (ML) 0 0 0 7 0 20 0 0 0 0
Marges totales (MT) 7 0 15 7 0 20 0 0 0 0
Page 5 sur 5

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I-MATHEMATIQUES GENERALES (5Pts)

1- A × (ac bd)=I ⇒ (−24 −13 )(ac db)=(10 01 )

2- On résout séparément deux systèmes :

II- STATISTIQUE ET PROBALITE (5pts)

Exercice 1 : Probabilité

A={ 6 } ; B={ 2 ; 4 ; 6 } et C={ 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

Exercice 2 : Statistique

[0,4[ [4,8[ [8,12[ [12,16[ [16,20[

3- Covariance de X et de Yet coefficient de corrélation.

2-Calcul du taux de l’emprunt

1+i=1,07 i=0,07 t=7%

3- calcul du montant de l’emprunt

1er intérêt = 2517 550-1 677 550 I1= 84000

1 677 550 (1+i)n-1= 2352850

n-1log1,07= log 1 ,40255134 n-1 =5 n=6

5- calcul de la durée et de l’annuité théorique

1er amort (A1)= 48 671 000

48 671 000 (1+i)n-1= 246 000 000 n=18ans

IV- RECHERCHE OPERATIONNELLE

1- Quel nom donne-t-on à ce tableau ? Ce tableau prend le nom de l’échéancier.

3- Déterminer le chemin critique.

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