CH Matrices
CH Matrices
CH Matrices
Matrices
Les matrices sont des tableaux de nombres. La résolution d’un certain nombre de problèmes
d’algèbre linéaire se ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour
la résolution des systèmes linéaires.
1. Définition
1.1. Définition
Définition 1
Exemple 1
à !
1 −2 5
A=
0 3 7
est une matrice 2 × 3 avec, par exemple, a 1,1 = 1 et a 2,3 = 7.
1
2
Définition 2
– Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients corres-
pondants sont égaux.
– L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté M n,p (K).
Les éléments de M n,p (R) sont appelés matrices réelles.
– De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne ou
vecteur colonne. On la note
a 1,1
a 2,1
A= .
.
..
a n,1
– La matrice (de taille n × p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice
nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue
le rôle du nombre 0 pour les réels.
Soient A et B deux matrices ayant la même taille n × p. Leur somme C = A + B est la matrice
de taille n × p définie par
ci j = ai j + bi j.
Exemple 2
à ! Ã! à !
3 −2 0 5 3 3
Si A= et B= alors A+B = .
1 7 2 −1 3 6
3
à !
−2
Par contre si B0 = alors A + B0 n’est pas définie.
8
formée en multipliant chaque coefficient de A par α. Elle est notée α · A (ou simplement α A).
Exemple 3
à ! à !
1 2 3 2 4 6
Si A= et α=2 alors αA = .
0 1 0 0 2 0
La matrice (−1)A est l’opposée de A et est notée − A. La différence A − B est définie par A + (−B).
Exemple 4
à ! à ! à !
2 −1 0 −1 4 2 3 −5 −2
Si A= et B= alors A−B = .
4 −5 2 7 −5 3 −3 0 −1
Proposition 1
Démonstration
Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de (α + β) A est égal à (α + β)a i j . D’après
les règles de calcul dans K, (α + β)a i j est égal à αa i j + βa i j qui est le terme général de la matrice
α A + β A.
Mini-exercices
³ −7 2 ´ ³1 2 3´ ³ 21 −6 ´ ³1 0 1´ ³ 1 2´
1. Soient A = 0 −1 , B = 2 3 1 , C = 0 3 , D = 12 0 1 0 , E = −3 0 . Calculer toutes les
1 −4 321 −3 12 111 −8 6
sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A + 2C et 5B − 4D. Trouver α tel
que A − αC soit la matrice nulle.
2. Montrer que si A + B = A, alors B est la matrice nulle.
3. Que vaut 0 · A ? et 1 · A ? Justifier l’affirmation : α(β A) = (αβ)A. Idem avec nA =
A + A + · · · + A (n occurrences de A).
4
2. Multiplication de matrices
2.1. Définition du produit
Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A
est égal au nombre de lignes de B.
p
X
ci j = a ik b k j
k=1
c i j = a i1 b 1 j + a i2 b 2 j + · · · + a ik b k j + · · · + a i p b p j .
Avec cette disposition, on considère d’abord la ligne de la matrice A située à gauche du coefficient
que l’on veut calculer (ligne représentée par des × dans A) et aussi la colonne de la matrice B située
au-dessus du coefficient que l’on veut calculer (colonne représentée par des × dans B). On calcule
le produit du premier coefficient de la ligne par le premier coefficient de la colonne (a i1 × b 1 j ), que
l’on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le deuxième coefficient de la colonne
(a i2 × b 2 j ), que l’on ajoute au produit du troisième. . .
2.2. Exemples
Exemple 5
Ã! 1 2
1 2 3
A= B = −1 1
2 3 4
1 1
On dispose d’abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille
2 × 2. Puis on calcule chacun des coefficients, en commençant par le premier coefficient c 11 =
1 × 1 + 2 × (−1) + 3 × 1 = 2 (au milieu), puis les autres (à droite).
5
1 2 1 2 1 2
−1 1 −1 1 −1 1
à ! à 1 1 ! à ! à 1 1 ! à ! Ã1 1!
1 2 3 c 11 c 12 1 2 3 2 c 12 1 2 3 2 7
2 3 4 c 21 c 22 2 3 4 c 21 c 22 2 3 4 3 11
Un exemple intéressant est le produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne :
b1
b2
³ ´
u = a1 a2 ··· an v=
..
.
bn
Calculer le coefficient c i j dans le produit A × B revient donc à calculer le produit scalaire des
vecteurs formés par la i-ème ligne de A et la j-ème colonne de B.
Exemple 6
à !à ! à ! à !à ! à !
5 1 2 0 14 3 2 0 5 1 10 2
= mais = .
3 −2 4 3 −2 −6 4 3 3 −2 29 −2
Exemple 8
à ! à ! à ! à !
0 −1 4 −1 2 5 −5 −4
A= B= C= et AB = AC = .
0 3 5 4 5 4 15 12
6
Proposition 2
Démonstration
Posons A = (a i j ) ∈ M n,p (K), B = ( b i j ) ∈ M p,q (K) et C = ( c i j ) ∈ M q,r (K). Prouvons que A (BC ) = ( AB)C
en montrant que les matrices A (BC ) et ( AB)C ont les mêmes coefficients.
p
X
Le terme d’indice ( i, k) de la matrice AB est x ik = a i` b `k . Le terme d’indice ( i, j ) de la matrice
`=1
( AB)C est donc à !
q
X q
X p
X
x ik c k j = a i` b`k c k j .
k=1 k=1 `=1
q
X
Le terme d’indice (`, j ) de la matrice BC est y` j = b `k c k j . Le terme d’indice ( i, j ) de la matrice
k=1
A (BC ) est donc à !
p
X q
X
a i` b`k c k j .
`=1 k=1
Comme dans K la multiplication est distributive et associative, les coefficients de ( AB)C et A (BC )
coïncident. Les autres démonstrations se font comme celle de l’associativité.
Ses éléments diagonaux sont égaux à 1 et tous ses autres éléments sont égaux à 0. Elle se note
I n ou simplement I. Dans le calcul matriciel, la matrice identité joue un rôle analogue à celui du
nombre 1 pour les réels. C’est l’élément neutre pour la multiplication. En d’autres termes :
Proposition 3
In · A = A et A · I p = A.
7
Démonstration
Nous allons détailler la preuve. Soit A ∈ M n,p (K) de terme général a i j . La matrice unité d’ordre p
est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1, les autres étant tous nuls.
On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker. Si i et j sont deux entiers, on
appelle symbole de Kronecker, et on note δ i, j , le réel qui vaut 0 si i est différent de j , et 1 si i est
égal à j . Donc
(
0 si i 6= j
δ i, j =
1 si i = j.
Alors le terme général de la matrice identité I p est δ i, j avec i et j entiers, compris entre 1 et p.
La matrice produit AI p est une matrice appartenant à M n,p (K) dont le terme général c i j est donné
p
X
par la formule c i j = a ik δk j . Dans cette somme, i et j sont fixés et k prend toutes les valeurs
k=1
comprises entre 1 et p. Si k 6= j alors δk j = 0, et si k = j alors δk j = 1. Donc dans la somme qui
définit c i j , tous les termes correspondant à des valeurs de k différentes de j sont nuls et il reste
donc c i j = a i j δ j j = a i j 1 = a i j . Donc les matrices AI p et A ont le même terme général et sont donc
égales. L’égalité I n A = A se démontre de la même façon.
Définition 6
Exemple 9
1 0 1
On cherche à calculer A p avec A = 0 −1 0. On calcule A 2 , A 3 et A 4 et on obtient :
0 0 2
1 0 3 1 0 7 1 0 15
A 2 = 0 1 0 A 3 = A 2 × A = 0 −1 0 A 4 = A 3 × A = 0 1 0 .
0 0 4 0 0 8 0 0 16
p
p
premières puissances permet de penser que la formule est : A =
L’observation de ces
1 0 2 −1
p
0 (−1) 0 . Démontrons ce résultat par récurrence.
0 0 2p
Il est vrai pour p = 0 (on trouve l’identité). On le suppose vrai pour un entier p et on va le
démontrer pour p + 1. On a, d’après la définition,
2p − 1 2 p+1 − 1
1 0 1 0 1 1 0
A p+1 = A p × A = 0 (−1) p 0 × 0 −1 0 = 0 (−1) p+1 0 .
0 0 2p 0 0 2 0 0 2 p+1
8
(A + B)2 = A 2 + AB + BA + B2 .
Soient A et B deux éléments de M n (K) qui commutent, c’est-à-dire tels que AB = BA. Alors,
pour tout entier p Ê 0, on a la formule
à !
p
p
X p p− k k
(A + B) = A B
k=0 k
¡ p¢
où k
désigne le coefficient du binôme.
Exemple 10
1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 2 1 0 0 2 1
Soit A =
0 0
. On pose N = A − I = . La matrice N est nilpotente (c’est-
1 3
0
0 0 3
0 0 0 1 0 0 0 0
à-dire il existe k ∈ N tel que N k = 0) comme le montrent les calculs suivants :
0 0 2 4 0 0 0 6
0 0 0 6 3 0 0 0 0
N2 = N 4 = 0.
0 0
N = et
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
D’où
1 p p2 p(p2 − p + 1)
0 1 2p p(3p − 2)
Ap =
0
.
0 1 3p
0 0 0 1
9
Mini-exercices
³2 1 0 ´ ³ 8 2´ ³5´ ³ ´
1. Soient A = 60 −24 −02 , B = 0 1 0 , C = −3 2 , D = 2 , E = x y z . Quels produits
¡ ¢
2 −2 −3 −5 5 −1
sont possibles ? Les calculer !
³0 0 1´ ³1 0 0´
2. Soient A = 0 1 0 et B = 0 0 2 . Calculer A 2 , B2 , AB et BA.
112 1 −1 0
³2 0 0´ ³0 0 0´
3. Soient A = 0 2 0 et B = 2 0 0 . Calculer A p et B p pour tout p Ê 0. Montrer que AB =
002 310
BA. Calculer (A + B) p .
Soit A une matrice carrée de taille n × n. S’il existe une matrice carrée B de taille n × n telle
que
AB = I et BA = I,
On verra plus tard qu’il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB = I ou bien BA = I.
A − p = (A −1 ) p = |A −1 A −{z
1
· · · A −1} .
p facteurs
3.2. Exemples
Exemple 11
à !
1 − 23
.
0 31
Exemple 12
à !
¡3 0¢ a b
La matrice A = 50 n’est pas inversible. En effet, soit B = une matrice quelconque.
c d
Alors le produit à !à ! à !
a b 3 0 3a + 5b 0
BA = =
c d 5 0 3c + 5d 0
ne peut jamais être égal à la matrice identité.
Exemple 13
– Soit I n la matrice carrée identité de taille n × n. C’est une matrice inversible, et son
inverse est elle-même par l’égalité I n I n = I n .
– La matrice nulle 0n de taille n × n n’est pas inversible. En effet on sait que, pour toute
matrice B de M n (K), on a B0n = 0n , qui ne peut jamais être la matrice identité.
3.3. Propriétés
Unicité
Proposition 5
Démonstration
La méthode classique pour mener à bien une telle démonstration est de supposer l’existence de
deux matrices B1 et B2 satisfaisant aux conditions imposées et de démontrer que B1 = B2 .
Soient donc B1 telle que AB1 = B1 A = I n et B2 telle que AB2 = B2 A = I n . Calculons B2 ( AB1 ).
D’une part, comme AB1 = I n , on a B2 ( AB1 ) = B2 . D’autre part, comme le produit des matrices est
associatif, on a B2 ( AB1 ) = (B2 A )B1 = I n B1 = B1 . Donc B1 = B2 .
Inverse de l’inverse
Proposition 6
(A −1 )−1 = A
Proposition 7
(AB)−1 = B−1 A −1
(A 1 A 2 · · · A m )−1 = A −1 −1 −1
m A m−1 · · · A 1 .
Si C est une matrice quelconque de M n (K), nous avons vu que la relation AC = BC où A et B sont
des éléments de M n (K) n’entraîne pas forcément l’égalité A = B. En revanche, si C est une matrice
inversible, on a la proposition suivante :
Proposition 8
Soient A et B deux matrices de M n (K) et C une matrice inversible de M n (K). Alors l’égalité
AC = BC implique l’égalité A = B.
Démonstration
Mini-exercices
4.1. Matrices 2 × 2
à !
a b
Considérons la matrice 2 × 2 : A = .
c d
Proposition 9
Démonstration
1
¡1 0¢
d −b
¡ ¢
On vérifie que si B = ad − bc − c a alors AB = 0 1 . Idem pour BA .
En pratique, on fait les deux opérations en même temps en adoptant la disposition suivante : à
côté de la matrice A que l’on veut inverser, on rajoute la matrice identité pour former un tableau
(A | I). Sur les lignes de cette matrice augmentée, on effectue des opérations élémentaires jusqu’à
obtenir le tableau (I | B). Et alors B = A −1 .
N’oubliez pas : tout ce que vous faites sur la partie gauche de la matrice augmentée, vous devez
aussi le faire sur la partie droite.
4.3. Un exemple
1 2 1
Calculons l’inverse de A = 4 0 −1 .
−1 2 2
Voici la matrice augmentée, avec les lignes numérotées :
1 2 1 1 0 0 L1
(A | I) = 4 0 −1 0 1 0
L2
−1 2 2 0 0 1 L3
13
On applique la méthode de Gauss pour faire apparaître des 0 sur la première colonne, d’abord sur
la deuxième ligne par l’opération élémentaire L 2 ← L 2 − 4L 1 qui conduit à la matrice augmentée :
1 2 1 1 0 0
0 −8 −5 −4 1 0
L 2 ←L 2 −4L 1
−1 2 2 0 0 1
0 4 3 1 0 1 L 3 ←L 3 +L 1
On continue afin de faire apparaître des 0 partout sous la diagonale, et on multiplie la ligne L 3 .
Ce qui termine la première partie de la méthode de Gauss :
1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0
5 1
0 1 − 18 0 puis 0 1 5 1
− 18 0
8 2 8 2
1 1
0 0 2 −1 2 1 L 3 ←L 3 −4L 2 0 0 1 −2 1 2 L 3 ←2L 3
Il ne reste plus qu’à « remonter » pour faire apparaître des zéros au-dessus de la diagonale :
1 0 0 − 12 1 1
1 2 1 1 0 0 2 2 L 1 ←L 1 −2L 2 −L 3
7
0 1 0 4 − 34 − 45 L 2 ←L 2 − 58 L 3 puis 0 1 0 74 − 34 − 45
0 0 1 −2 1 2 0 0 1 −2 1 2
Ainsi l’inverse de A est la matrice obtenue à droite et après avoir factorisé tous les coefficients par
1
4 , on a obtenu :
−2 2 2
1
A −1 = 7 −3 −5
4
−8 4 8
Pour se rassurer sur ses calculs, on n’oublie pas de vérifier rapidement que A × A −1 = I.
Mini-exercices
¡ 3 1 ¢ ¡ 2 −3 ¢ ¡ 0 2 ¢ ¡ α+1 1 ¢
1. Si possible calculer l’inverse des matrices : 7 2 , −5 4 , 3 0 , 2 α .
¡ θ − sin θ ¢ −1
2. Soit A(θ ) = cos
sin θ cos θ . Calculer A(θ ) .
´ ³ 2 −2 1 ´ µ 1 0 1 0 ¶ µ 2 1 1 1 ¶
à 1 1 1 0 0!
1 3 0 0 1 2 0 0
³
3. Calculer l’inverse des matrices : 2 1 −1 , 3 0 5 , −01 22 −02 01 , 10 01 −01 21 , −1 1 2 0 0 .
−2 1 1 1 1 2 0 2 1 3 01 1 0 0 0 0 2 1
0 0 0 5 3
14
On appelle A ∈ M n,p (K) la matrice des coefficients du système. B ∈ M n,1 (K) est le vecteur du second
membre. Le vecteur X ∈ M p,1 (K) est une solution du système si et seulement si
A X = B.
Théorème 1
Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule solution, soit une
infinité de solutions.
Proposition 10
X = A −1 B.
Exemple 14
1.
1 0 0 x1 x2 x3 x1 x2 x3
1
E L 2 ← 1 L 2 × A = 0 0 × y1 y2 y3 = 13 y1 1
3 y2
1
3 y3
3 3
0 0 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3
2.
1 0 −7 x1 x2 x3 x1 − 7z1 x2 − 7z2 x3 − 7z3
E L 1 ←L 1 −7L 3 × A = 0 1 0 × y1 y2 y3 = y1 y2 y3
0 0 1 z1 z2 z3 z1 z2 z3
3.
1 0 0 x1 x2 x3 x1 x2 x3
E L 2 ↔L 3 × A = 0 0 1 × y1 y2 y3 = z1 z2 z3
0 1 0 z1 z2 z3 y1 y2 y3
Définition 8
Deux matrices A et B sont dites équivalentes par lignes si l’une peut être obtenue à partir
de l’autre par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes. On note A ∼ B.
Définition 9
Exemple d’une matrice échelonnée (à gauche) et échelonnée réduite (à droite) ; les ∗ désignent des
coefficients quelconques, les + des coefficients non nuls :
+ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1 ∗ 0 0 ∗ ∗ 0
0 0 + ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 1 0 ∗ ∗ 0
0 0 0 + ∗ ∗ ∗ 0 0 0 1 ∗ ∗ 0
0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
17
Théorème 2
Étant donnée une matrice A ∈ M n,p (K), il existe une unique matrice échelonnée réduite U
obtenue à partir de A par des opérations élémentaires sur les lignes.
Ce théorème permet donc de se ramener par des opérations élémentaires à des matrices dont la
structure est beaucoup plus simple : les matrices échelonnées réduites.
Démonstration
Au début de l’étape A.3, on a obtenu dans tous les cas de figure une matrice de la forme
dont la première colonne est bien celle d’une matrice échelonnée. On va donc conserver cette pre-
mière colonne. Si a111 6= 0, on conserve aussi la première ligne, et l’on repart avec l’étape A.1 en
l’appliquant cette fois à la sous-matrice ( n − 1) × ( p − 1) (ci-dessous à gauche : on « oublie » la pre-
mière ligne et la première colonne de A ) ; si a111 = 0, on repart avec l’étape A.1 en l’appliquant à la
sous-matrice n × ( p − 1) (à droite, on « oublie » la première colonne) :
Au terme de cette deuxième itération de la boucle, on aura obtenu une matrice de la forme
et ainsi de suite.
Comme chaque itération de la boucle travaille sur une matrice qui a une colonne de moins que
la précédente, alors au bout d’au plus p − 1 itérations de la boucle, on aura obtenu une matrice
échelonnée.
Exemple 15
Soit
1 2 3 4
A = 0 2 4 6 .
−1 0 1 0
A. Passage à une forme échelonnée.
Première itération de la boucle, étape A.1. Le choix du pivot est tout fait, on garde a111 = 1.
Première itération de la boucle, étape A.2. On ne fait rien sur la ligne 2 qui contient déjà un
zéro en bonne position et on remplace la ligne 3 par L 3 ← L 3 + L 1 . On obtient
1 2 3 4
A ∼ 0 2 4 6 .
0 2 4 4
Deuxième itération de la boucle, étape A.1. Le choix du pivot est tout fait, on garde a222 = 2.
Deuxième itération de la boucle, étape A.2. On remplace la ligne 3 avec l’opération L 3 ←
L 3 − L 2 . On obtient
1 2 3 4
A ∼ 0 2 4 6 .
0 0 0 −2
Cette matrice est échelonnée.
0 0 0 1
Étape B.2, première itération. On ne touche plus à la ligne 3 et on remplace la ligne 2 par
L 2 ← L 2 − 3L 3 et L 1 ← L 1 − 4L 3 . On obtient
1 2 3 0
A ∼ 0 1 2 0 .
0 0 0 1
Étape B.2, deuxième itération. On ne touche plus à la ligne 2 et on remplace la ligne 1 par
L 1 ← L 1 − 2L 2 . On obtient
1 0 −1 0
A ∼ 0 1 2 0
0 0 0 1
qui est bien échelonnée et réduite.
Théorème 3
Démonstration
Remarque
Corollaire 1
Démonstration
Alors X n’est pas le vecteur nul, mais U X est le vecteur nul. Comme A = E −1U , alors A X est le
vecteur nul. Nous avons donc trouvé un vecteur non nul X tel que A X = 0.
Mini-exercices
i < j =⇒ a i j = 0.
a n1 a n2 ··· ··· a nn
On dit que A est triangulaire supérieure si ses éléments en-dessous de la diagonale sont nuls,
autrement dit :
i > j =⇒ a i j = 0.
Une matrice triangulaire supérieure a la forme suivante :
a 11 a 12 . . . . . . . . . a 1n
0 a 22 . . . . . . . . . a 2n
.. ..
.. ..
.
. . .
. .. .. ..
.. . . .
. .. .. .
. . . .
. .
0 . . . . . . . . . 0 a nn
22
Exemple 16
Une matrice qui est triangulaire inférieure et triangulaire supérieure est dite diagonale. Autre-
ment dit : i 6= j =⇒ a i j = 0.
Exemple 17
Si D est une matrice diagonale, il est très facile de calculer ses puissances D p (par récurrence
sur p) :
p
α1 0 . . . ... 0 α1 0 ... ... 0
0 α2 0 ... 0 0 α2p 0 ... 0
. .. .. ..
D = .. . . . . . . ..
. . =⇒ D p
= ..
.
..
.
..
.
. .
p
0 . . . 0 αn−1 0 0 . . . 0 αn−1 0
p
0 ... ... 0 αn 0 ... ... 0 αn
Théorème 4
Démonstration
Il est alors clair que la colonne numéro ` de la forme échelonnée réduite ne contiendra pas de
1 comme pivot. La forme échelonnée réduite de A ne peut donc pas être I n et par le théorème
3, A n’est pas inversible.
Dans le cas d’une matrice triangulaire inférieure, on utilise la transposition (qui fait l’objet de la sec-
tion suivante) et on obtient une matrice triangulaire supérieure. On applique alors la démonstration
ci-dessus.
6.2. La transposition
Soit A la matrice de taille n × p
a 11 a 12 ... a1 p
a 21 a 22 ... a2 p
A= .. .. .. .
. . .
a n1 a n2 ... a np
Définition 10
Autrement dit : le coefficient à la place (i, j) de A T est a ji . Ou encore la i-ème ligne de A devient
la i-ème colonne de A T (et réciproquement la j-ème colonne de A T est la j-ème ligne de A).
Exemple 19
T T
1 2 3 1 4 −7 0 3 Ã ! 1
0 1 −1
4 5 −6 = 2 5 8 1 −5 = (1 −2 5)T = −2
3 −5 2
−7 8 9 3 −6 9 −1 2 5
Théorème 5
1. (A + B)T = A T + B T
2. (α A)T = α A T
3. (A T )T = A
4. (AB)T = B T A T
6.3. La trace
Dans le cas d’une matrice carrée de taille n × n, les éléments a 11 , a 22 , . . . , a nn sont appelés les
éléments diagonaux.
Sa diagonale principale est la diagonale (a 11 , a 22 , . . . , a nn ).
a 11 a 12 ... a 1n
a 21 a 22 ... a 2n
. .. ..
. ..
. . . .
a n1 a n2 ... a nn
Définition 11
tr A = a 11 + a 22 + · · · + a nn .
Exemple 20
¡2 1¢
– Si A = 0³5 , alors ´tr A = 2 + 5 = 7.
1 1 2
– Pour B = 5 2 8 , tr B = 1 + 2 − 10 = −7.
11 0 −10
Théorème 6
Démonstration
c ii = a i1 b 1 i + a i2 b 2 i + · · · + a in b ni .
Ainsi,
tr( AB) = a 11 b 11 +a 12 b 21 +··· + a 1 n b n1
+a 21 b 12 +a 22 b 22 +··· + a 2 n b n2
..
.
+ a n1 b 1 n + a n2 b 2 n +··· +a nn b nn .
b 11 a 11 + b 12 a 21 + · · · + b 1n a n1
Définition 12
Une matrice A de taille n × n est symétrique si elle est égale à sa transposée, c’est-à-dire si
A = AT ,
ou encore si a i j = a ji pour tout i, j = 1, . . . , n. Les coefficients sont donc symétriques par rapport
à la diagonale.
Exemple 21
Exemple 22
Définition 13
A T = − A,
Exemple 23
à ! 0 4 2
0 −1
−4 0 −5
1 0
−2 5 0
Remarquons que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours tous nuls.
Exemple 24
Toute matrice est la somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
Mini-exercices
5. Soit A une matrice de taille 2 × 2 inversible. Montrer que si A est symétrique, alors A −1
aussi. Et si A est antisymétrique ?
6. Montrer que la décomposition d’une matrice sous la forme « symétrique + antisymé-
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