Mini-Projet : Béton Précontraint

Données :
Les passages des crues provoquent des coupures de circulation intolérables au niveau d’un radier
submersible sur une route nationale. Pour résoudre ce problème, la construction d’un pont sur ce point est
nécessaire. Une étude d’avant-projet a proposé un pont à poutres en béton précontraint de plusieurs travées
de 35m. Dans ce projet, on s’intéresse au dimensionnement de la précontrainte d’une poutre selon la classe
II. La figure 1 montre la section de la poutre préfabriquée en travée et la variation de l’épaisseur de son âme
suivant son axe longitudinal.

1. Mode de construction:
Les poutres et une partie des entretoises (amorces) sont coulées sur une aire de préfabrication. Après
durcissement (à 18 jours), on met en tension une première famille de câbles dont les ancrages sont situés
dans les abouts verticaux (figure 2). Les poutres sont mises en place par levage, puis un hourdis de 20cm
d’épaisseur et le complément des entretoises sont coulés pour assurer une continuité transversale à
l’ensemble et augmenter son inertie. Après durcissement du béton de la deuxième phase, on met alors en
tension une deuxième famille de câbles ancrés à l’extrados du tablier par suite du manque de place en
extrémité des poutres. On procède ensuite à la réalisation des superstructures.

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Nous adoptons le calendrier suivant :

2. Matériaux et charges:
Le béton utilisé est de 𝑓𝑐28 =35 MPa. Les aciers actifs sont des câbles à base de torons Super « T15S, classe
1770 ». Les aciers passifs sont des aciers courants à haute adhérence de béton armé de classe FeE500. On
utilisera les données suivantes pour l’évaluation des pertes : le coefficient de frottement angulaire𝑓 =
0.20 𝑟𝑑 −1, le coefficient de frottement linéaire φ = 0.002 m, le glissement par recul à l’ancrage g = 6 mm et
le paramètre de relaxation ρ1000 = 2.5 %.

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Dans ce projet, on mènera une étude à l’état limite de service en traitant la section médiane. On rappelle que
pour la situation d’exécution à l’ELS, seules les combinaisons rares sont à considérer.

Introduction :

Partie 1 : Les caractéristiques géométriques :

Au niveau de cette première étape on va déterminer les caractéristiques géométriques de la section de poutre
avant et après réalisation de l’hourdis, le tableau suivant résume les résultats trouvé :

Tableau 1: caractéristiques géométriques

𝑰 𝑰 𝑰
𝒗′(m) 𝒗 (m) (m3) (m3) 𝝆=
B (m2) I (m4) 𝒗′ 𝒗 𝑩𝒗𝒗′ 𝝆𝒗 (m) 𝝆𝒗′ (m)

section 0,821 1,030 0,890 0,910 1,158 1,131 1,548 1,410 1,377
préfabriqué
Section totale
1,121 1,366 1,160 0,840 1,177 1,626 1,250 1,050 1,450
(Poutre +
Hourdis)

Partie 2 : Contraintes admissible :

L’intérêt de cette étape est de calculer les contraintes admissibles de compression et de traction du béton
aux phases 2 et 4 d’exécution et en service, pour les différentes situations et combinaisons.

La phase 2 : mise en tension des câbles de la 1ère famille, à T = 18 jours.

La phase 4 : mise en tension des câbles de la 2ème famille, à T = 30 jours.

En service : Réalisation des superstructures et exploitation, à T tend vers l’infini.

̅̅̅𝒕
1. Contrainte admissible de traction :𝝈
̅̅̅̅La
𝜎 𝑐𝑖 contrainte admissible de traction dépend de la classe. Pour notre cas on ait dans la classe II, donc le
calcul des contraintes normales et toujours effectué sur la section non fissurée, et il doit être vérifié que les
contraintes de traction sont limitées aux valeurs suivantes :

- En situation d’exploitation, sous l’effet des combinaisons rares, aussi bien qu’en situation de
construction : 𝑓𝑡𝑗 dans la section d’enrobage et 1,5. 𝑓𝑡𝑗 ailleurs.
- En situation d’exploitation, sous l’effet des combinaisons fréquentes et quasi-permanente : 0 dans la
section d’enrobage.

2. Contrainte admissible de compression

𝜎̅𝑐 = 0,5 . 𝑓𝑐28 Sous l’effet de la combinaison quasi-permanente.

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𝜎̅𝑐 = 0,6 . 𝑓𝑐28 Sous l’effet de la combinaison fréquente.

𝜎̅𝑐 = 0,6 . 𝑓𝑐28 Sous l’effet des combinaisons rares.

2
𝜎̅𝑐 = 3 . 𝑓𝑐𝑗 En cours de la construction pour les pièces fabriquées en usine.

Remarque :

On rappelle que pour la situation d’exécution à l’ELS, seules les combinaisons rares sont à considérer.

Les résistances à j jours peuvent être calculées par les relations suivantes :

𝑓𝑐𝑗 = 𝑓𝑐28 × 0,685 × log(1 + 𝑗) ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑗 ≤ 28

Et 𝑓𝑡𝑗 = 0,06 × 𝑓𝑐𝑗 + 0,6

3. Résultats
Le tableau suivant résume les résultats trouvés :

Tableau 2: contraintes admissibles en service et en construction

Compression Traction
Section d’enrobage 2,7
Combinaison rares (MPa) 21
Ailleurs 4,05
En situation de Phase 2 : Section d’enrobage 2,439
18.39
construction ≡ t = 18 jours Ailleurs 3.659
en exécution Phase 4 : Section d’enrobage 2,7
(MPa) 21
t = 30 jours Ailleurs 4,05

4. Schématisation des résultats :

a. En service :
𝑓𝑐28 = 35 𝑀𝑃𝑎 𝑒𝑡 𝑓𝑡28 = 2,7 𝑀𝑃𝑎

Figure 1 : schématisation des contraintes admissibles en service

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b. En construction :
Phase 2 : j = 18 jours
𝑓𝑐𝑗 = 30,658 𝑀𝑃𝑎 𝑒𝑡 𝑓𝑡𝑗 = 2,439 𝑀𝑃𝑎

Figure 2 : schématisation des contraintes admissible en construction "Phase 2"

Phase 4 : j = 30 jours > 28 jours

𝑓𝑐𝑗 = 35 𝑀𝑃𝑎 𝑒𝑡 𝑓𝑡𝑗 = 2,7 𝑀𝑃𝑎

Figure 3 : schématisation des contraintes admissible en construction "Phase 4"

Remarque : Dans ce qui suit, on s’intéresse principalement aux câbles de la première famille. Pour ces
câbles, les deux phases les plus défavorables se situent à la situation d’exécution et sont:

 Leur mise en tension (phase 2).

 Juste avant la mise en tension de la 2ème famille et après bétonnage du hourdis et des entretoises
complémentaires (juste avant phase 4).

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Partie 3 : câbles de la première famille

1. Préparation des données
a. Actions :
Selon l’énoncé du projet toutes les actions sont déjà définies avec leurs charges, le tableau suivant résume
toutes les actions du projet :

Tableau 3: valeurs des actions

L’action Charges (t/ml)

𝑨𝟏 : Poutre et amorces des entretoises 2,19
𝑨𝟐 : Hourdis et complément des entretoises 1,42
𝑨𝟑 : Superstructures 0,9
𝑨𝟒 : Charges d’exploitation 2,82

b. Moments de calcul en ELS

Le tableau suivant résume les moments du projet qui correspond respectivement à l’action du au poids de la
poutre et de l’amorces des entretoises, l’action du au poids de l’hourdis et au complément des entretoises,
l’action du aux superstructures, et l’action du aux charges d’exploitation :

Tableau 4 : valeurs des moments de calcul en ELS

L’action Moment (MN.m)

Poutre et amorces des entretoises 3,3534
Hourdis et complément des entretoises 2,1744
Superstructures 1,3781
Charges d’exploitation 4,3181

c. Contrainte initiale des câbles

On a la valeur probable de la tension 𝜎𝑝0 = min(0,80 𝑓𝑝𝑟𝑔 ; 0,90 𝑓𝑝𝑒𝑔 )or dans ce projet les aciers actifs sont
des câbles à base de torons Super « T15S, classe 1770 », donc 𝑓𝑝𝑟𝑔 = 1770 𝑀𝑃𝑎 et 𝑓𝑝𝑒𝑔 = 1560 𝑀𝑃𝑎

Donc = min(0,80 × 1770; 0,90 × 1560) = min(1416; 1404) = 1404 𝑀𝑃𝑎

d. Excentricité
Nous supposerons, compte tenu de la portée et du rapport (charges permanentes, charges variables) élevé,
que la section est sur-critique.

L’excentricité vaudra donc :

Première famille de câbles : 𝑒0 = −(𝑣 − 𝑑) = −(0,910 − 0,114) = −0,796 𝑚

Deuxième famille de câbles : 𝑒0 = −(𝑣 − 𝑑) = −(0,840 − 0,152) = −0,688 𝑚

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2. Diagramme des contraintes et les conditions que doit satisfaire la

valeur de précontrainte 𝑷𝟏
a. A la mise en tension de la première famille

Figure 4 : diagramme de contraintes à la Phase 2

Avec 𝑀𝑔𝑎 est le moment correspondant au poids propre de la poutre et des amorces des entretoises :

𝐿2
𝑀𝑔𝑎 = 𝐴1 × = 3,3534 𝑀𝑁. 𝑚, avec 𝐴1 : la charge de l’action de la poutre et amorces des entretoises.
8

Et L : portée de la travée.
1,2𝑃1 1,2𝑃1 ×0,796 3,3534
D’où : − + ≥ −3,659 → 𝑃1 ≤ 12,025 𝑀𝑁
0.821 0,383 0,383

1,2𝑃 1,2𝑃1 ×0,796 3,3534

Et 0.8211 + − ≤ 18.39 → 𝑃1 ≤ 6,912 𝑀𝑁
0,392 0,392

D’où 𝑃1 ≤ 6,912 𝑀𝑁

b. Juste avant la mise en tension de la deuxième famille et après bétonnage du

hourdis et des entretoises complémentaires (juste avant la phase 4)

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Figure 5 : diagramme de contrainte juste avant la Phase 4

Avec 𝑀𝑔𝑑 est le moment correspondant au poids propre de la poutre, des amorces des entretoises, des
hourdis, et du complément entretoises :

𝐿2 𝐿2
𝑀𝑔𝑑 = 𝐴1 × + 𝐴2 × = 5,5278 𝑀𝑁. 𝑚,
8 8

Avec :

𝐴1 : La charge de l’action de la poutre et amorces des entretoises.

𝐴2 : La charge de l’action de l’hourdis et complément entretoises.

Et L : portée de la travée.

1,1.𝑃1 1,1𝑃1 ×0,796 5,5278

D’où − + ≤ 21 → 𝑃1 ≥ −6,939 𝑀𝑁
0.821 0,383 0,383

1,1.𝑃 1,1.𝑃1 ×0,796 5,5278

Et 0.8211 + − ≥ −4.05 → 𝑃1 ≥ 2.813 𝑀𝑁
0,392 0,392

D’où 𝑃1 ≥ 2,813 𝑀𝑁

On devra alors avoir : 𝟐, 𝟖𝟏𝟑 𝑴𝑵 ≤ 𝑷𝟏 ≤ 𝟔, 𝟗𝟏𝟐 𝑴𝑵

3. La valeur satisfaisante de 𝑷𝟎𝟏 et la section d’armatures actives

correspondante
On a d’après l’énoncé du projet la précontrainte à l’ancrage vaut : 𝑃01 = 1,1 × 1,2 × 𝑃1

Or on a trouvé que : 2,813 MN ≤ P1 ≤ 6,912 MN

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𝟑, 𝟕𝟏𝟑 𝑴𝑵 ≤ 𝑷𝟎𝟏 = 𝑨𝒑𝟏 . 𝝈𝒑𝒐 ≤ 𝟗, 𝟏𝟐𝟒 𝑴𝑵

Donc

𝟐𝟔𝟒𝟒 𝒎𝒎𝟐 ≤ 𝑨𝒑𝟏 ≤ 𝟔𝟒𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟐

Or comme𝜎𝑝𝑜 = 1404 𝑀𝑃𝑎, on trouve

Partie 4 : calcul du nombre

1. Le nombre de torons nécessaires
On a 𝐴𝑝1 = 𝑛 × 𝑆′

Avec :

n : est le nombre de torons T 15 S

𝑆′ : est la section pour 1 T 15 S qui égale à 150 mm2

𝑨𝒑𝟏
Donc le nombre de torons T 15 S va être : 𝟏𝟕 ≤ 𝒏 = ≤ 𝟒𝟒
𝑺′
On peut opter pour 𝒏 = 𝟐𝟏

2. Le nombre de câbles 7T15S de la première famille

On a trouvé que le nombre de torons T 15 S et entre 17 et 44, et on a choisi 𝒏 = 𝟐𝟏

Donc on va prendre 3 câbles 7T15S pour la première famille

3. Le diagramme de contraintes résultant.

On a choisi d’utiliser 3 câbles 7T15S pour la première famille.

Donc P1 = 3 × 7 × 150 × 10−6 × 1404 × 1,1 × 1,2 = 5.88 𝑀𝑃𝑎 ∈ [2,813; 6,912]

Et par la suite le diagramme de contraintes résultant va être comme suit :

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2,68 ≥ ̅̅̅̅=
𝜎𝑡𝑠 - 3,659 MPa

𝑃1 1,2.𝑃1 .𝑒0 𝑀𝑔𝑎

1,2. = 8,59 MN = 14,66 MN 14,5 ≤ ̅̅̅̅=18,39
𝜎𝑐𝑖 MPa
𝑆 𝐼 𝐼 = 8.75 MN
𝑣 𝑣

2,68 ≥ ̅̅̅̅=
𝜎𝑡𝑠 - 3,659 MPa

𝑃1 1,1.𝑃1 .𝑒0 𝑀𝑔𝑎

1,1. = 7,88 MN = 13,13 MN 14,5 ≤ ̅̅̅̅=18,39
𝜎𝑐𝑖 MPa
𝑆 𝐼 𝐼 = 8.75 MN
𝑣 𝑣

Partie 5 : Câbles de la deuxième famille

A ce stade, on étudiera les câbles de la deuxième famille. On considère pour chaque valeur caractéristique
de P les trois combinaisons rare, fréquente et quasi-permanente, et on distinguera les deux cas possibles en
service : à vide et en charge.

1. Le diagramme de contraintes dues aux pertes entre la phase 4 et 5 et

le diagramme de contraintes résultant.
a. Le diagramme de contraintes dues aux pertes entre la phase 4 et 5 :

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