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    TDs Sur Les Polynomes

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    Université Abdelmalek Essaadi

    Faculté Polydisciplinaire de Larache


    Filière : SMIA
    Module: Algèbre II Professeur : Khalid BOURAS

    TD sur Les polynômes.

    Exercice 1 :
    Résoudre les équations suivantes:

    1. Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ k [X]

    2. P ◦ P = P d’inconnue P ∈ k [X]

    Exercice 2 :
     
    Trouver les P ∈ R [X] tels que P X 2 = X 2 + 1 P (X)
    Exercice 3 :
    Déterminer le pgcd (A, B) puis chercher U et V des coefficients de Bézout dans les cas suivantes:

    1. A = X 4 + 7X 3 + 17X 2 + 17X + 6 et B = X 3 + X 2 − 4X − 4

    2. A = 6X 4 + 8X 3 − 7X 2 − 5X − 2 et B = 6X 3 − 4X 2 − X − 1

    Exercice 4 :
    Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 3 de A = 2 + X par B = 1 + X + X 2
    Exercice 5 :
    Trouver l’ordre de multiplicité de 1 dans le polynôme P = X 4 + 3X 3 − 3X 2 − 7X + 6
    Exercice 6 :
    Décomposer en éléments simples dans R[X] puis dans C[X] les polynômes suivants :X 2 − 1, X 2 + 1,
    X 3 − 1, X 3 + 1, X 4 + 1.
    Exercice 7 :
    n
    1) Soit n ∈ N tel que n ≥ 2, on pose Pn (X) = (X + 1) + X n − 1. Déterminer le reste de la division
    euclidienne de Pn par X 2 − 3X + 2 (Indication: Noter que X 2 − 3X + 2 = (X − 1) (X − 2) et que
    
    Pn (X) = Qn (X) . X 2 − 3X + 2 + Rn (X) avec Rn (X) le reste et Qn (X) le quotient).
    2
    2) Soit P (X) = X 2 − X + 1 + 1.
    a) Vérifier que i est racine de P et déduire que P est divisible par X 2 + 1.
    b) En déduire la décomposition de P en produits des polynomes irréductibles dans R [X].

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