Cristallographie I1

I. CRISTALLOGRAPHIE
Introduction et Objectifs :
- familiarisation avec les différents états de la matière
- description de l’état cristallin
- les structures des métaux, céramiques et polymères
Préparation au TP :
« Introduction à la science des matériaux », eds. W. Kurz, J.-P. Mercier, G. Zambelli, 3e édition,
Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999.
La connaissance des chapitres suivants est demandée :
Chap. 3 Structure et organisation des solides
en particulier : 3.1, 3.2, 3.3 (savoir utiliser les indices de Miller)
Chap. 4 Structure des principaux matériaux
en particulier : 4.1, 4.2, 4.3, 4.4

Manipulations :
1. Construire des modèles de sphères de diverses structures des matériaux
2. Identifier les particularités des modèles étudiés
3. Chaque équipe d’étudiants réalise et analyse un modèle et présente ses résultats et
observations aux autres groupes
4. Chaque étudiant répond à des questions spécifiques en relation avec le modèle étudié par
le groupe

Matériel à disposition :
- sphères (polystyrène expansé, PS, épingles, pâte à modeler)
- assemblage de sphères par collage (toluène diluant le PS) ou cure-dents

Rapport
Il est souhaitable que le rapport soit organisé de façon suivante :
- Introduction (présentation du sujet, définir les objectifs)
- Description du modèle construit pendant le TP
- Description des modèles des autres groupes selon la démonstration faite devant tout le
monde (moins détaillé que la présentation du modèle de votre groupe)
- Réponse aux questions en cristallographie en rapport avec la structure étudiée (les
questions se trouvent sur une feuille à part)
- Conclusions
I2 Cristallographie

Crystallography: Miller Indices

Source: Klein and Hurlbut (21st Ed) p. 41-45
Source: http://www.gly.uga.edu/schroeder/geol6550/zoneaxis.gif
Miller Indices are a symbolic vector representation for the orientation of an atomic plane in a
crystal lattice and are defined as the reciprocals of the fractional intercepts which the plane makes
with the crystallographic axes.

The method by which indices are determined is best shown by example. Recall, that there are
three axes in crystallographic systems (*except sometimes in the hexagonal system adopts a
convention where there are four axes). Miller indices are represented by a set of 3 integer
numbers.
(111) plane :
If you want to describe the orientation of a
crystal face or a plane of atoms within a
crystal lattice, then there are series of steps
that will lead you to its notation using
Miller indices.

1. The first thing that must be ascertained

are the fractional intercepts that the
plane/face makes with the crystallographic
axes. In other words, how far along the
unit cell lengths does the plane intersect
the axis. In the figure above, the plane
intercepts each axis at exact one unit
length.
2. Step two involves taking the reciprocal
of the fractional intercept of each unit
length for each axis. In the figure above,
the values are all 1/1.

3. Finally the fractions are cleared (i.e.,

make 1 as the common denominator).
4. These integer numbers are then
parenthetically enclosed and designate that
specific crystallographic plane within the lattice. Since the unit cell repeats in space, the notation
actually represents a family of planes, all with the same orientation. In the figure above, the
Miller indice for the plane is (111)
 Cristallographie I3

Why go through all of these operations?

(101) plane:
This becomes immediately apparent when we
consider the case of the (101). In this case the plane
intercepts the a axis at one unit length and also the c
axis at one unit length. The plane however, never
intersects the b axis. In other words, it can be said that
the intercept to the b axis is infinity. The intercepts
are then designated as 1,infinity,1. The reciprocals are
then 1/2, 1/infinity, 1/1. Knowing 1/infinity = 0 then
the indices become (101).

(102) plane (-102) plane

I4 Cristallographie

(102) and (201) planes

Closures for crystallographic indices

(hkl) = parentheses designate a crystal face or a family of planes throughout a crystal lattice.
[hkl] = square brackets designate a direction in the lattice from the origin to a point. Used to
collectively include all the faces of a crystals whose intersects (i.e., edges) parallel each other.
These are referred to as crystallographic zones and they represent a direction in the crystal lattice.

Zone axis concept

 Cristallographie I5

{hkl} = "squiggly" brackets designate a set of face planes that are equivalent by the symmetry of
the crystal. The set of face planes results in the crystal form. {100} in the isometric class
includes (100), (010), (001), (-100), (0-10) and (00-1), while for the triclinic {100} only the (100)
is included.
d-spacing is defined as the distance between adjacent planes. When X-rays diffract due to
interference amongst a family of similar atomic planes, then each diffraction plane may be
reference by its index dhkl

Miller Bravais Indices for hexagonal crystals

Since the hexagonal system has three "a" axes perpendicular to

the "c" axis, both the parameters of a face and the Miller Index
notation must be modified. The modified parameters and Miller
Indices must reflect the presence of an additional axis. This
modified notation is referred to as Miller-Bravais Indices, with
the general notation (hkil)

To see how this works, let's look at the dark shaded face in the
hexagonal crystal shown here. This face intersects the positive
a1 axis at 1 unit length, the negative a3 axis at 1 unit length, and
does not intersect the a2 or c axes. This face thus has the
parameters: 1 a1,
a2, -1 a3,
c

Inverting and clearing fractions gives the Miller-Bravais Index:

(1 0 1 0)
For the hexagonal system, is that whatever indices are
determined for h, k, and i,
h+k+i=0
For a similar hexagonal crystal, this time with the shaded face
cutting all three axes, we would find for the shaded face in the
diagram that the parameters are 1 a1, 1 a2, -1/2 a3,
c.

Inverting these intercepts gives: 1/1, 1/1, -2/1, 1/

resulting in a Miller-Bravais Index of (1 1 2 0)

Note how the "h + k + i = 0" rule applies here!

I6 Cristallographie

Miller-Bravais indices for planes in hexagonal lattices:

 Cristallographie I7

Planes in the same family are identified by permutations of the first three indices,
as with Miller indices for the other systems:
I8 Cristallographie
hc-cfc : systèmes compacts

1.1. Systèmes cristallins compacts (hc/cfc)

Travail de groupe : construire les modèles des systèmes cristallins cfc et hc.

1.1.1 Calculez le rapport entre le rayon maximum r de la sphère inscrite dans l’interstice
octaédrique et le rayon R de l’atome de la maille cfc.

1.1.2 Montrer la structure hexagonale dans le système cristallin cfc.

hc-cfc

1.2. Systèmes cristallins compacts (hc/cfc)

Travail de groupe : construire les modèles des systèmes cristallins cfc et hc.

1.2.1 Quel est le plan ayant la plus forte densité de sphères pour les systèmes cristallins
étudiés ?

1.2.2 Quelle est la densité linéaire d’atomes dans la direction (111) pour le système
cristallin de l’aluminium : système cfc, paramètre de maille a = 0,404 nm ?

hc-cfc

1.3. Systèmes cristallins compacts (hc/cfc)

Travail de groupe : construire les modèles des systèmes cristallins cfc et hc.

1.3.1 Décrire schématiquement quels sont les atomes du système cristallin cfc qui
appartiennent aux couches A,B,C de l’empilement compact.

1.3.2. Etablir la relation entre le paramètre de maille a et le rayon des atomes R du système
cfc.

hc-cfc

1.4 Systèmes cristallins compacts (hc/cfc)

Travail de groupe : construire les modèles des systèmes cristallins cfc et hc.

1.4.1. Calculez la distance entre les plans adjacents (111) de l’or ayant un système cristallin
cfc avec un paramètre a = 0,4079 nm.

1.4.2 Quelles sont les coordonnées de tous les sites interstitiels tétraédriques de la structure
cristalline cfc ?
 Cristallographie I9
Cc : système cubique centré

2.1 Système cristallin cubique centré cc

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin cc

2.1.1. Calculez le changement théorique de volume qui accompagne une transformation

allotropique d’un métal passant du système cc au système cfc.

2.1.2. Calculez la densité linéaire d’atomes dans la direction (111) pour le fer a (cc) ayant
un paramètre de maille a = 0,287 nm.

Cc

2.2 Système cristallin cubique centré cc

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin cc

2.2.1 Calculez le rapport entre le rayon maximum r de la sphère inscrite dans l’interstice
octaédrique et le rayon de l’atome R.

2.2.2 Quelle est la relation entre le paramètre de la maille a et le rayon des atomes R du
système cristallin cc ?

Cc

2.3 Système cristallin cubique centré cc

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin cc

2.3.1 Quelle est la fraction volumique occupée par les atomes de la maille cc ?

2.3.2 Calculez le paramètre a de la maille du chrome (système cc) ayant un rayon d’atome
R = 0,125 nm.

Cc

2.4 Système cristallin cubique centré cc

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin cc

2.4.1. Quel est le plan ayant la plus forte densité d’atomes dans le système cristallin cc ?
Calculez cette densité planaire.

2.4.2 Un métal a une maille cristalline cubique de paramètre a = 0,5025 nm de rayon

d’atome R = 0,2176 nm. Quel est le type de structure cristalline cubique de ce métal ?
I 10 Cristallographie

NaCl : structure ionique

3.1. Structure cristalline des céramiques

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin NaCl

3.1.1 Calculez la densité linéaire des ions de Sodium (Na) dans la direction (111) du
système cristallin NaCl.

3.1.2 Dessinez schématiquement la structure du Chlorure de Césium CsCl sachant que

l’anion de Chlore Cl- est au centre d’un cube
(Interstice cubique).

NaCl

3.2. Structure cristalline des céramiques

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin NaCl.

3.2.1. Calculez la densité du chlorure de Sodium NaCl.

3.2.2 Quel est le nombre d’atomes en contact direct avec un ion de Cl- et un ion Na+ ?

NaCl

3.3 Structure cristalline des céramiques

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin NaCl.

3.3.1 Calculez la densité planaire des ions de Sodium Na dans le plan (111) du système
cristallin NaCl.

3.3.2 Dans quel type d’interstice se place l’atome de Sodium (Na) dans la maille cristalline
de Chlorure de Sodium NaCl ?

NaCl

3.4 Structure cristalline des céramiques

Travail du groupe : construire le modèle du système cristallin NaCl.

3.4.1 Calculez le facteur de compaction du Chlorure de Sodium NaCl.

3.4.2 Quelles sont les conditions nécessaires pour obtenir un cristal ionique tel que le
Chlorure de Sodium ?
 Cristallographie I 11
P : Polymères

4.1. Structure des polymères

Travail du groupe : construire le modèle des structures moléculaires d’un
thermoplastique, thermodurci et d’un élastomère.

4.1.1 Dessiner schématiquement :

a) une molécule d’éthylène
b) une chaîne moléculaire de polyéthylène (PE).

4.1.2 Calculez le degré de polymérisation (poids moléculaire du polymère sur poids

moléculaire du monomère) d’un polyéthylène (PE) ayant un poids moléculaire de
100000g/g.mole.
P

4.2 Structure des polymères

Travail du groupe : construire le modèle des structures moléculaires d’un
thermoplastique, thermodurci et d’un élastomère.

4.2.1 Dessiner schématiquement une chaîne moléculaire du polypropylène (PP).

4.2.2 Le polyéthylène (PE) a un taux de polymérisation d’environ 420 atomes de carbone

par chaîne moléculaire. Calculez la longueur maximale de la chaîne si les atomes de
carbone font un angle de 109o entre eux

4.3 Structure des polymères

Travail du groupe : construire le modèle des structures moléculaires d’un
thermoplastique, thermodurci et d’un élastomère.

4.3.1 Décrivez schématiquement une zone partiellement cristallisée du polyéthylène (PE).

4.3.2 Quel est le degré de cristallinité d’un polyéthylène (PE) ayant une densité de 0,985
g/cm3 ?
Densité du PE amorphe : 0,9 g/cm3, densité PE cristallin : 1,03 g/cm3.
P

4.4 Structure des polymères

Travail du groupe : construire le modèle des structures moléculaires d’un
thermoplastique, thermodurci et d’un élastomère.

4.4.1 Dessinez schématiquement une chaîne moléculaire du polychlorure de vinyle (PVC).

4.4.2 Quels sont les types de liaisons dans ce polymère ?