Cours Raisonnement Deductif

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Cours Initiation au raisonnement dductif
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1. Les rgles du dbat mathmatique

En mathmatiques, pour savoir si un nonc est vrai ou faux, on utilise certaines rgles.
En voici quelques-unes :

(1) Un nonc mathmatique est soit vrai, soit faux
(2) Des exemples qui vrifient un nonc ne suffisent pas pour prouver que cet nonc est vrai.
(3) Un exemple qui ne vrifie pas un nonc suffit pour prouver que cet nonc est faux. Cet exemple
est appel un contre exemple .
(4) Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver quun nonc de
gomtrie est vrai.

2. Les rgles du dbat mathmatique

En mathmatiques on utilise souvent des noncs de la forme si . alors ..
Dans ces noncs, lexpression qui est entre Si et alors est appele la condition de lnonc et
lexpression qui suit alors est appele la conclusion.

Exemple : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont scantes.

La condition de lnonc ci-dessus est : deux droites sont perpendiculaires ; sa conclusion est : elles sont
scantes

La rciproque de lnonc ci-dessus est :

Si deux droites sont scantes alors elles sont perpendiculaires. Cet nonc est faux

On trouve la rciproque dun nonc en inversant la condition et la conclusion de cet nonc.

Attention : La rciproque dun nonc vrai nest pas toujours vraie. Par exemple, lnonc ci-dessus est vrai
mais sa rciproque est fausse.

3. Contre-exemple

Pour un nonc de la forme si . Alors . , un contre-exemple est un cas qui vrifie la condition et qui ne
vrifie pas la conclusion.

Exemple : Pour lnonc Si un nombre est divisible par 5 alors il se termine par 5 , 10 est un contre-exemple
car :
Il vrifie la condition : 10 est divisible r 5 ;
Mais il ne vrifie pas la conclusion : 10 ne se termine pas par 5
Lnonc est donc faux.

Condition Conclusion
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4. Proprits de gomtrie connatre

a) Droites :

D1 : Si deux droites sont parallles une mme troisime alors elles sont parallles entre elles.
D2 : Si deux droites sont perpendiculaires une mme troisime alors elles sont parallles entre elles.
D3 : Si deux droites sont parallles et si une troisime est perpendiculaire lune alors elle est perpendiculaire
lautre.

b) Mdiatrice :

M1 : Si une droite est perpendiculaire un segment et passe par son milieu alors cest la mdiatrice de ce
segment.
M2 : Si une droite est la mdiatrice dun segment alors elle est perpendiculaire ce segment et passe par son
milieu.

c) Losange :

L1 : Si un quadrilatre a ses quatre cts de mme longueur alors cest un losange.
L2 : Si un quadrilatre est un losange alors ses cts opposs sont parallles deux deux et

d) Rectangle :

R1 : Si un quadrilatre a quatre angles droits alors cest un rectangle.
R2 : Si un quadrilatre est un rectangle alors il a quatre angles droits..

e) Carr :

C1 : Si un quadrilatre a quatre cts de mme longueur et un angle droit alors cest un carr.
C2 : Si un quadrilatre est un carr alors il a quatre angles droits et quatre cts de mme longueur.

5. Mthodes

a) Prouver quun nonc mathmatique est faux

Il suffit de trouver un contre-exemple.

Exemple : Quel que soit le nombre choisi, sil est divisible par 3 alors il est divisible par 6
Cet nonc est-il vrai ou faux ?

9 est un contre-exemple de cet nonc ; en effet 9 est divisible par 3 ( 9 =3 x 3 ) mais il nest pas divisible par
6, donc cet nonc est faux.

b) Prouver quun nonc de gomtrie est vrai

En gomtrie, faire des observations et prendre des mesures ne permettent pas de prouver quun nonc est
vrai.
Pour prouver quun nonc de gomtrie est vrai, il faut raisonner en utilisant les donnes du problme, des
dfinitions et des proprits.

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Exemple : ABC est un triangle. Tracer la hauteur issue de A,
elle coupe (BC) en H. Tracer la droite (d) perpendiculaire
(BC) passant par C.
Prouver que (AH) et (d) sont parallles.

Rdaction de la dmonstration :

On sait que (AH) est perpendiculaire (BC), par dfinition de la hauteur dun triangle.
On sait que (d) est perpendiculaire (BC) (donnes).
Si deux droites sont perpendiculaires une mme troisime alors elles sont parallles (proprit)
Donc (AH) et (d) sont parallles (conclusion).

c) Prouver quun nonc sur des nombres est vrai

Des exemples ne permettent pas de prouver quun nonc sur des nombres est vrai. Pour prouver quun nonc
sur des nombres est vrai, il faut souvent utiliser des calculs littraux.

Exemple : Voici la recette dun cocktail mathmatique :
Prendre un nombre,
Ajouter 6 ce nombre,
Multiplier le rsultat par 3,
Soustraire le triple du nombre de dpart
(c'est--dire le nombre de dpart multipli par 3).

Prouver que, quel que soit le nombre choisi au dpart, on obtient toujours le mme nombre 18.

Soit x le nombre de dpart.
Appliquons, la recette ce nombre :

Prendre un nombre x
Ajouter 6 ce nombre x +6
Multiplier le rsultat par 3 (x+6) x 3
Soustraire le triple du nombre de dpart (x +6) x 3 3x

Simplifions cette expression laide des proprits de la distributivit :
(x+6) x 3 3x =3x +18 3x =18

On trouvera donc toujours 18, quel que soit le nombre choisi au dpart.

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