Racine carrée de deux

La racine carrée de deux, notée ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (ou parfois 2^1/2), est le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10^–9 près est :

√2 ≈ 1,414 213 562.

Le calcul d’une valeur approchée de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire.

Géométriquement, √2 est le rapport de la diagonale d'un carré sur son côté, c'est-à-dire le rapport de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sur l'un des côtés de l'angle droit, ce qui est un cas particulier du théorème de Pythagore.

Le nombre √2 est connu depuis longtemps : en Mésopotamie, les scribes savaient déjà en calculer une valeur approchée très précise, dans le premier tiers du second millénaire avant notre ère. Vraisemblablement vers le V^e siècle av. J.-C., les mathématiciens grecs ont montré que la diagonale d'un carré et son côté étaient incommensurables, ce qui revient à dire que √2 est un irrationnel. L'étude de l'incommensurabilité a joué un rôle important dans le développement des mathématiques grecques. Pour les Grecs, ni les fractions, ni les irrationnels ne sont des nombres. Ce pas est franchi par les mathématiciens arabes à l'origine de l'algèbre.

Ce nombre intervient dans des applications de la vie courante :

• les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur approchée à √2 ;
• en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut √2 ;
• en électricité, la tension maximale du courant alternatif monophasé domestique vaut √2 fois la tension efficace indiquée (généralement 110 ou 230 V) ;
• en photographie, la suite des valeurs d’ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d’une suite géométrique de raison √2.

L’expression « racine carrée » est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation algébrique, et plus particulièrement de l’une des constructions de √2 qui sera présentée à la section consacrée à l'historique ; en effet, les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d’être ramenés à des expressions algébriques.

Le nombre 2 ayant exactement deux racines carrées réelles, √2 et -√2, √2 devrait se prononcer racine carrée positive de 2, ou racine carrée principale de 2. On le prononce simplement racine carrée de 2, voire racine de 2 pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de deux », mais elle est peu courante.

On trouve parfois √2 appelé constante de Pythagore, peut-être à cause d'une légende attribuant la découverte de l'irrationalité de √2 à l'école pythagoricienne^[1].

Le symbole a été vu pour la première fois en version imprimée sans la barre horizontale au-dessus des nombres à l’intérieur de la racine en 1525 dans Die Coss de Christoff Rudolff, un mathématicien allemand.

Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d’emploi courant hors de l’Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles semblables à l’original ; c’est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L’aire étant diminuée d’un facteur 2, ceci n’est possible que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies^[2].

Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de √2.

Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de √2. Dans la pratique, les dimensions sont arrondies.

format	longueur (m)	largeur (m)	aire (m2)
A0	√√2	√√2⁄√2	1
A1	√√2⁄√2	√√2⁄2	1⁄2
A2	√√2⁄2	√√2⁄(2√2)	1⁄4
A3	√√2⁄2√2	√√2⁄4	1⁄8
A4	√√2⁄4	√√2⁄4√2	1⁄16

Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d’un facteur √√2 (~ 1,19) et √√√2 (~ 1,09).

Les facteurs d’agrandissement de 200 %, 141 %, 71 %, 50 % proposés par les photocopieuses sont des approximations de (√2)ⁿ qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de 2ⁿ pages par feuille.

Notons qu'en mathématiques, on note plus volontiers ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {2}}}={\sqrt[{4}]{2}}=2^{1/4}}$ et ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {\sqrt {2}}}}={\sqrt[{8}]{2}}=2^{1/8}}$.

La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l’octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze demi-tons de rapports de fréquence égaux ƒ. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donc ƒ ¹², qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport ƒ = 2^1/12.

Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse.

do

do♯

ré

ré♯

mi

fa

fa♯

sol

sol♯

la

la♯

si

do

1

21/12

21/6

21/4

21/3

25/12

√2

27/12

22/3

23/4

25/6

211/12

2

Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa♯) et la quinte diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de √2. Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen Âge celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « Diabolus in Musica».

En électricité, la tension efficace U_eff d’un courant alternatif sinusoïdal monophasé — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l’amplitude de la tension U_max par

${\displaystyle \mathrm {U} _{\max }=\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}}$, noté aussi ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {U} }}=\mathrm {U} {\sqrt {2}}}$,

soit, dans la plupart des applications courantes :

${\displaystyle \mathrm {U} _{\mathrm {eff} }=0,7\,\mathrm {U} _{\max }{\sqrt {2}}.}$

Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d’une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que

${\displaystyle 20\log(\mathrm {U} /{\sqrt {2}})=20\log \mathrm {U} -20\log {\sqrt {2}}=20\log \mathrm {U} -\log({\sqrt {2}}^{20})=20\log \mathrm {U} -\log(2^{10})=20\log \mathrm {U} -\log(1024)\simeq 20\log \mathrm {U} -3.}$

On parle de bande passante à −3 décibels.

Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée f/1,4, f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de √2, qui a été choisie de sorte que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²). En diminuant d’un « cran » l’ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d’un facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise^[3].

Dans la pratique, l’ouverture indiquée est un arrondi ; l’ouverture réelle peut coller au plus proche de √2^[4]. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}}}$ ou √2^1/3.

Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés.

Ouverture	f/1,4	f/2	f/2,8	f/4	f/5,6	f/8	f/11	f/16	f/22	f/32
Diamètre	d	d/√2	d/2	d/2√2	d/4	d/4√2	d/8	d/8√2	d/16	d/16√2
Flux	I	I/2	I/4	I/8	I/16	I/32	I/64	I/128	I/256	I/512

La question de la duplication d'un carré correspond à la construction d'un carré d'aire double de celle d'un carré donné. On suppose que l'on dispose d'un carré d'aire 1 et l'on cherche à construire un carré d'aire 2. Par définition, le carré d'aire 1 possède un côté de longueur 1 et le carré d'aire 2 possède la même aire que celle de deux carrés d'aire 1.

Il existe deux méthodes simples pour s'en persuader. La plus directe consiste à étudier la figure de gauche^[5]. Le carré de côté 1 est composé de deux triangles, celui de côté noté √2 est formé d'exactement quatre triangles du même type, il est donc d'aire double. Une autre manière de se rendre compte du rapport deux entre les aires des carrés de la figure est l'usage du théorème de Pythagore. Un triangle isocèle rectangle de petit côté de longueur 1 possède une hypoténuse de carré égal à 1 + 1 = 2. Cette hypoténuse est la diagonale d'un carré de côté de longueur 1.

L'aire d'un carré s'obtient par multiplication de la longueur du côté par lui-même. La longueur du côté du carré d'aire 2 multiplié par lui-même est donc égal à 2. Par définition de √2, la longueur de ce côté est √2.

Il est en outre possible, à l'aide d'un cercle, de dupliquer le carré sans en changer l'orientation. Dans la figure ci-contre le grand carré a une surface double du petit carré. Il suffit pour s'en convaincre de faire pivoter le petit carré d'un huitième de tour. Le rapport des côtés des deux carrés est donc de √2. La figure de gauche illustrera, pour les mathématiciens futurs la présence de la racine carrée de deux dans le sinus et le cosinus du huitième de tour.

${\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ })={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

Plus tard, ce tracé séduit de nombreux architectes comme Andrea Palladio dans sa Villa Rotonda ou dans l’Église ronde de Preslav. On le retrouve dans le cloître de la cathédrale de Cahors où la surface de la cour intérieure est égale à la surface de la galerie qui l'entoure^[6] ou dans les carnets de Villard de Honnecourt^[7].

Il existe de nombreuses démonstrations^[8] du fait que √2 est irrationnel. Plusieurs d'entre elles n'utilisent que des connaissances arithmétiques très minimales, d'autres se généralisent en remplaçant √2 par √n où l'entier naturel n n'est pas un carré parfait (voir l'article « Irrationnel quadratique »). Certaines sont des reformulations, avec les concepts et le langage mathématiques actuels, de preuves antiques ou supposées telles (cf. § Histoire).

Elles procèdent souvent en utilisant simplement la définition de la négation^[9], en supposant que √2 est, au contraire, rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme p/q pour certains entiers q > 0 et p, puis en déduisant une contradiction de cette hypothèse √2 = p/q, qui s'écrit aussi p² = 2q².

Soit p le plus petit entier strictement positif tel que p² soit le double d'un carré, et soit q l'entier positif tel que p² = 2q². Alors, p > q (puisque p² > q²) et p est pair (puisque son carré l'est). En notant p = 2r et en simplifiant par 2, l'équation se réécrit q² = 2r², avec 0 < q < p, ce qui contredit la minimalité dans le choix de p.

Une variante consiste à pratiquer une descente infinie à partir d'une (hypothétique) solution p² = 2q² : on construit r comme ci-dessus, puis s, t, etc. tels que p² = 2q², q² = 2r², r² = 2s²… et p > q > r > s > … , ce qui est absurde puisqu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs.

Autre formulation basée sur la parité : si la fraction p/q est irréductible, p et q ne sont pas pairs simultanément. Comme p/q = √2 donne p² = 2q², on en déduit que p est pair puisque son carré l’est (et q est impair) ; p étant pair, on pose p = 2r d’où (2r)² = 2q² d’où 4r² = 2q² d’où q² = 2r² d’où il suit que q serait pair, ce qui contredit soit le fait que q a été signalé impair précédemment, soit que p et q ne sont pas pairs simultanément.

Soient à nouveau p et q entiers > 0 tels que p/q = √2 avec pq le plus petit possible ou, ce qui revient au même, q le plus petit possible. On déduit de p² = 2q² que p(p – q) = p² – pq = 2q² – pq = (2q – p)q, d'où en posant^[10]

r = p – q et s = 2q – p :

p/q = s/r, ce qui contredit la minimalité de q, puisque 0 < r < q.

En résumé : soit q le plus petit entier > 0 tel que q√2 est entier, alors q√2 – q est encore un tel entier qui est strictement inférieur à q, d'où une contradiction^[11].

(On peut, comme précédemment, transformer ce raisonnement en une descente infinie.)

Démontrer l'irrationalité de √2 revient à démontrer que, pour une unité donnée, il n'existe pas de triangle isocèle rectangle dont les côtés sont chacun de longueur un nombre entier d'unité.

Si un tel triangle existe, alors il en existe nécessairement un plus petit dont les côtés sont aussi de longueur entière (sa construction est donnée sur le dessin ci-contre et détaillée ci-dessous). Or si un tel triangle existe, il en existe nécessairement un minimal ayant cette propriété (celui dont le côté de l'angle droit, par exemple, est minimal) d'où une contradiction.

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en B et de côtés entiers. Alors, le cercle centré en A de rayon la longueur du petit côté AB coupe l'hypoténuse [AC] en un point B' tel que B'C soit encore de longueur entière, puisque AC et AB' le sont. La perpendiculaire menée en B' à l'hypoténuse [AC] coupe le côté [BC] en A'. Le triangle A'B'C est isocèle rectangle en B', puisque l'angle en B est droit et l'angle en C est celui du triangle d'origine. Les droites (A'B) et (A'B') sont les tangentes issues de A' au cercle de centre A et de rayon AB = AB', et donc A'B = A'B', donc A'B = A'B' = B'C, et A'C est de longueur entière^[12]. On peut aussi interpréter la construction comme le pliage du triangle ABC dans lequel on ramène le côté [AB] sur l'hypoténuse^[13].

On peut, en explicitant les calculs des côtés du triangle, donner une version purement arithmétique de cette preuve qui est alors celle du paragraphe précédent (prendre p = AC et q = AB = BC).

Soit q le plus petit entier > 0 tel que le nombre p := q√2 soit entier, alors q est premier avec p, or il divise p². Il est donc égal à 1, et p² = 2, ce qui est impossible. C'est, particularisé à 2, un argument général qui montre que la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait est irrationnelle.

Le couple (p, q) tel que p² = 2q² étant cette fois arbitraire (i.e. q non nécessairement minimum), la contradiction vient de ce que dans la décomposition en produit de facteurs premiers, p² a un nombre pair de facteurs et 2q² un nombre impair. Une variante est de compter seulement les facteurs égaux à 2. Cet argument, là encore, s'adapte immédiatement à la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait.

Avec p et q premiers entre eux comme plus haut, donc non tous deux divisibles par 3, p² – 2q² ne peut pas être nul puisque^[14] modulo 3, il est congru à 0² – 2 × (±1)² ou (±1)² – 2 × 0² ou (±1)² – 2 × (±1)², c'est-à-dire à ±1. (En utilisant la notion d'inverse modulaire, on peut, dans cette méthode, remplacer^[14] 3 par n'importe quel nombre premier P tel que 2 n'est pas un carré modulo P, c.-à-d. P congru à 3 ou 5 modulo 8).

Comme toute racine carrée de nombre entier, √2 est constructible à la règle et au compas ; a contrario, ce n’est pas le cas de la racine cubique de 2 (c'est le problème de la duplication du cube.

Étant donné un segment AB de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur √2 avec une règle non graduée et un compas :

1. Tracer le symétrique B′ de B par rapport à A
   • Tracer le cercle C₁ de centre A et de rayon AB, il coupe la demi-droite [BA) en B′
2. Tracer la médiatrice (AH) de [BB′]
   • Tracer le cercle C₂ de centre B et de rayon r > AB
   • Tracer le cercle C₃ de centre B′ et de rayon r, il coupe C₂ en deux points, H et H′
   • Tracer le segment [AH] il intersecte C₁ en un point C.

À cette étape le segment [BC] de longueur √2 est construit.

Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, √2 est constructible au compas seul. Les étapes d’une construction possible sont :

1. Tracer quatre sommets consécutifs B, G, H, I de l’hexagone régulier de centre A et de sommet B ; ceci permet de construire √3, l’unité étant la longueur AB.
   • Tracer le cercle C₁ de centre A et de rayon AB ;
   • Tracer le cercle C₂ de centre B et de rayon AB, il coupe C₁ en deux points, soit G l’un d’entre eux ;
   • Tracer le cercle C₃ de centre G et de rayon AB, il coupe C₁ en B et H ;
   • Tracer le cercle C₄ de centre H et de rayon AB, il coupe C₁ en G et I ;
2. Construire un triangle rectangle ABC d’hypoténuse BC = √3 (AB = 1) ; C est l’un des deux points tel qu'IC = IG et BC = BH (sachant que IG = BH = √3 > IB/2 = 1).
   • Tracer le cercle C₅ de centre I et de rayon IG ;
   • Tracer le cercle C₆ de centre B et de rayon BH (= IG), il coupe C₅ en C.

À cette étape le segment [AC] de longueur √2 est construit.

Éléments de démonstration : IC = IG = √3, car d’après le théorème de Pythagore, les hauteurs en I et G des triangles équilatéraux de côté 1, IHA et HAG, qui sont portées par la médiatrice de (H, A), ont pour longueur √3/2. Par construction (A et C sur la médiatrice de BI) (AC) est perpendiculaire à (AI) et le théorème de Pythagore dans IAC donne AC² = 2..

La culture mathématique de la période paléo-babylonienne est avant tout algorithmique. Elle dispose d'un système de numération en notation positionnelle^[15]. Certaines tablettes, comme celle notée BM 13901, montrent une bonne connaissance des questions du second degré, probablement traitées à partir de méthodes géométriques simples, par copié-collé d'aires rectangulaires^[16]. En plus de disposer de méthodes de résolution, les Babyloniens savent calculer des approximations de racines carrées. La tablette YBC 7289, rédigée dans le premier tiers du second millénaire avant notre ère, donne une approximation de √2, interprétée comme le rapport de la diagonale du carré au côté, sous la forme suivante^[17] :

      

Cette écriture correspond à la meilleure approximation possible de √2 avec quatre chiffres significatifs en numération babylonienne (base 60). L'approximation est précise au millionième. Elle dénote la connaissance d'un algorithme d'approximation de racine carrée, mais on ignore lequel. Il pourrait être de type méthode de Héron^[17], encore aujourd'hui l'une des plus efficaces^[18].

Les Śulba-Sūtras, des textes rituels indiens de l'époque védique énoncent des règles géométriques pour la construction d'autels sacrificiels. La date de leur composition est difficile à déterminer, les plus anciens pourraient avoir été composés entre 800 et 500 av. J.-C.^[19]. Ils donnent un énoncé de ce que nous appelons maintenant le théorème de Pythagore, y compris le cas particulier de la diagonale du carré, qui permet de doubler son aire^[20]. Ils fournissent également une règle pour le calcul de la longueur de cette diagonale en fonction du côté, qui équivaut à une approximation rationnelle de √2 remarquablement précise :

${\displaystyle {\sqrt {2}}\simeq 1+{\dfrac {1}{3}}+{\dfrac {1}{3\times 4}}-{\dfrac {1}{3\times 4\times 34}}}$^[20],

soit environ 1,4142157, une valeur précise à un peu plus de 2 millionièmes près. L'un des Śulba-Sūtras, celui de Kātyāyana, précise qu'il ne s'agit que d'une valeur approchée^[21]. Les traités ne donnent aucune indication sur la façon dont a été dérivée cette formule^[22], même si plusieurs méthodes ont été proposées par les historiens^[23].

Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de √2 à une époque qu'il est difficile de déterminer, au plus tard dans les premières décennies du IV^e siècle av. J.-C., et vraisemblablement pas avant le V^e siècle av. J.-C.^[24]. Ils ne l'exprimaient pas de cette façon : pour eux il n'est pas question d'un nombre √2, mais de rapport (au sens d'une relation) entre la diagonale et le côté du carré, et ils montrent que ceux-ci sont incommensurables, c'est-à-dire que l'on ne peut trouver de segment unité, aussi petit soit-il avec lequel mesurer de façon exacte ces deux longueurs.

La découverte de l'irrationalité, sa date, les circonstances qui ont amené à celle-ci, ses conséquences, la nature des premières démonstrations… tout ceci a suscité beaucoup de travaux chez les historiens^[24], sans pour autant que ceux-ci arrivent à un consensus^[25].

On ne possède pas de témoignages archéologiques analogues aux tablettes d'argile des Babyloniens, pour les mathématiques de la Grèce antique, mais de textes transmis par la tradition, par copie et recopie. Les premiers à nous être parvenus datent du IV^e siècle av. J.-C., dans des œuvres dont les mathématiques ne sont pas l'objectif premier, les écrits de Platon, puis ceux d'Aristote.

Dans un passage très connu du Ménon, Platon met en scène Socrate faisant découvrir à un jeune esclave la duplication du carré, par la construction d'un carré sur la diagonale. Socrate veut convaincre Ménon que le jeune esclave retrouve une connaissance qui est déjà en lui. Mais, pour David Fowler qui date le texte de 385 av. J.-C., c'est aussi le premier témoignage substantiel direct de la pratique des mathématiques grecques^[26].

La première mention connue de l'incommensurabilité est également due à Platon, dans une œuvre plus tardive, le Théétète^[27], où il décrit Théodore de Cyrène exposant ce qui correspond à l'irrationalité des racines carrées des nombres de 3 à 17 qui ne sont pas des carrés parfaits^[28],[29]. On déduit de ce passage que l'irrationalité de √2 est bien connue à l'époque où Platon écrit, voire à celle où Théodore est censé enseigner^[30], soit les premières décennies du IV^e siècle av. J.-C..

Dans l'Organon, Aristote prend pour exemple de raisonnement par contradiction celui qui conduit à l'incommensurabilité de la diagonale^[31], et précise (à deux endroits) que l'hypothèse de la commensurabilité conduit à ce qu'un nombre pair soit égal à un nombre impair^[32]. L'indication est imprécise, mais c'est la plus ancienne que l'on ait d'une démonstration. Aristote prend par ailleurs régulièrement pour exemple dans ses œuvres l'incommensurabilité de la diagonale au côté^[31],[33].

Dans les Éléments d'Euclide — le premier traité mathématique qui nous soit parvenu, écrit vers -300 — le traitement de l'incommensurabilité est déjà très élaboré. L'incommensurabilité est définie et traitée au livre X, et la proposition 2 en donne une caractérisation par un procédé de soustractions alternées, l'anthyphérèse, analogue à ce que nous appelons aujourd'hui algorithme d'Euclide en arithmétique (une division peut être vue comme une suite de soustractions) et fraction continue pour les nombres réels^[34] (les grandeurs sont incommensurables s'il y a toujours un reste, le procédé continue indéfiniment). La proposition 9 permet le rapport avec les propriétés arithmétiques traitées aux livre VII et livre VIII^[35]. Certaines éditions anciennes du livre X donnent bien en appendice une proposition (parfois numérotée 117) qui traite directement l'irrationalité de √2 (l'incommensurabilité de la diagonale du carré et de son côté) par un argument de parité et une descente infinie. Mais celle-ci ne s'intègre pas au reste du texte, elle a pu être ajoutée pour son intérêt historique, et très possiblement après Euclide^[36]. Elle semble être postérieure^[37] d'une autre démonstration, toujours reposant sur un argument de parité, donnée en commentaire de l'un des passages d'Aristote cité ci-dessus par Alexandre d'Aphrodise au II^e siècle (apr. J.-C.)^[38], la plus ancienne complète et vraiment datable qui nous soit parvenue (pour l'incommensurabilité de la diagonale du carré et de son côté)^[39].

Ce que l'on peut savoir au sujet de la découverte de l'irrationalité dépend, en plus de ces éléments, de fragments de textes anciens chez des auteurs plus tardifs, en particulier ceux d'une histoire (perdue) d'un élève d'Aristote, Eudème de Rhodes, et plus généralement de textes historiques tardifs, dont la fiabilité n'est pas évidente.

Aussi existe-t-il plusieurs thèses tant pour, le contexte, et les causes de la découverte de l'incommensurabilité, que pour sa ou ses premières démonstrations, les historiens en étant réduits à reconstituer celles-ci, de façon cohérente avec les connaissances (supposées) de l'époque. Ces reconstructions spéculatives développées à la fin du XIX^e siècle et au XX^e siècle^[40], sont loin d'être convergentes et font toujours l'objet de débats^[41].

Le plus souvent, √2 (la diagonale du carré) tient le premier rôle, en particulier car une démonstration par parité (le principe en est celui de la première démonstration d'irrationalité ci-dessus) demande pour seule connaissance arithmétique la dichotomie entre nombres pairs et impairs, et peut se reconstituer à partir des connaissances arithmétiques que les historiens jugent pouvoir être celles des mathématiciens grecs du V^e siècle av. J.-C.^[42]. Ce serait alors à celle-ci que fait allusion Aristote.

Une autre possibilité est de s'appuyer sur la proposition X,2 d'Euclide (citée ci-dessus) qui pourrait témoigner d'anciennes démonstrations particulières d'irrationalité par anthyphérèse^[43] (soustractions alternées à la façon de l'algorithme d'Euclide). Cependant de telles démonstrations n'apparaissent pas dans Euclide, ni dans aucun texte grec ancien qui nous soit parvenu^[44]. Mathématiquement le principe en est celui exposé ci-dessus à la seconde (version arithmétique) et la troisième démonstration (version géométrique)^[45]. Le fait de retrouver la même figure dans la version géométrique, montre que le procédé de soustractions réciproques continue indéfiniment donc de conclure par la proposition X,2. Il faut cependant admettre qu'un segment est divisible à l'infini, et pour cela Euclide appuie sa proposition X,2 sur la proposition X,1 (qui traite de la dichotomie), et utilise l'« axiome d'Archimède », attribué à Eudoxe et présent dans les Éléments^[46]. Une telle répétition se produit pour tout irrationnel quadratique, elle correspond au développement périodique de sa fraction continue. Cette périodicité rend la caractérisation d'Euclide opératoire pour les rapports correspondant à ces nombres^[47]. Dans le cas de √2, elle est immédiate, en une étape, et s'illustre facilement géométriquement. C'est le cas aussi pour la proportion en extrême et moyenne raison (notre nombre d'or), qui est le rapport entre une diagonale et le côté du pentagone, ce qui a conduit certains historiens à envisager que ce rapport, plutôt que √2, ait conduit à la découverte de l'irrationalité^[48].

Ces possibilités ne sont pas nécessairement contradictoires, la découverte de l'irrationalité ayant pu se faire à propos de la diagonale du carré et/ou de celle du pentagone par un procédé semblable à l'anthyphérèse et la ou les premières démonstrations procéder par le pair et l'impair^[49].

L'histoire de la racine de deux se confond alors avec celle de la racine carrée et plus généralement des irrationnels, en quelques lignes :

• les Grecs, avec le livre V des Éléments, conçoivent ce que nous appelons les rationnels ou les réels comme des proportions, et non pas des nombres^[50], théorie « subtile mais non directement opératoire »^[51] ;
• alors que la tradition arithmético-algébrique, de Diophante à Al-Khawarizmi, au début du IX^e siècle, est restreinte aux nombres rationnels positifs, les mathématiciens du monde arabo-musulman comme Abu Kamil dès le X^e siècle, puis Al-Karaji et Al-Samaw'al, développent une algèbre et un calcul qui comprend les nombres irrationnels, ce dernier et Al-Kashi utilisent des approximations décimales dans le cas des irrationnels^[52] ;
• Omar Khayyam développe au XI^e siècle une théorie des proportions où celles-ci sont des nombres, même si les incommensurables sont encore appelées impropres, travail que prolonge Nasir al-Din al-Tusi au XIII^e siècle^[53] ;
• L'Europe n'assimile ces notions que tardivement, les travaux des mathématiciens du monde arabo-musulman, en particulier ceux d'Al-Tusi, sont connus en Europe au XVI^e siècle, qui est une période de polémique pour savoir si les irrationnels méritent le statut de nombre^[54], c'est à cette époque que l'usage du symbole √ se répand^[55] ;
• même si le débat se poursuit au XVII^e siècle, il finit par se régler avec le développement du calcul algébrique et du calcul infinitésimal, le cadre théorique ne sera cependant défini que dans la seconde moitié du XIX^e siècle, concurremment par plusieurs mathématiciens, Dedekind, Weierstrass, Cantor et Méray (voir construction des nombres réels)^[56].

Dedekind pourra ainsi affirmer en 1872 quand il publiera son traité sur la construction des réels, que jusqu'alors, jamais l'égalité √2 × √3 = √6 n'avait été démontrée rigoureusement^[57].

La normalité est un concept se basant sur la distribution des chiffres du développement décimal d’un nombre irrationnel, à savoir si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En ce qui concerne √2, on ignore s’il est normal dans le système décimal ou dans toute autre base de numération.

√2 est un nombre algébrique de degré 2, dit entier quadratique, car solution de l’équation polynomiale du second degré à coefficients entiers x² − 2 = 0 et de monôme dominant de coefficient égal à 1, mais d’aucune de degré 1 de par son irrationalité. On sait ainsi qu’il est difficilement approchable par une suite rationnelle p_n/q_n ; l’erreur est au mieux en

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|\sim {\frac {1}{{q_{n}}^{2}}}}$

Comme pour tout nombre algébrique irrationnel, sa mesure d'irrationalité est 2.

La partie entière de √2 est 1 et sa partie décimale est donc √2 – 1, soit encore 1/1 + √2. On peut écrire ce résultat sous la forme :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}$

En remplaçant √2 dans le membre de droite par 1 + 1/1 + √2, on obtient successivement

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}=1+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}}}=1+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}}}}}=\cdots }$

Ceci fournit le développement en fraction continue périodique de √2

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2\ldots ],}$

ainsi que quelques valeurs approchées de ce nombre : 3/2, 7/5, 17/12

√2 est relié à un certain nombre de développements en fractions continues périodiques, par propriété des entiers quadratiques.

Pour a, b entiers strictement positifs tels que a² − 2b² = –1, on a le développement suivant

${\displaystyle b{\sqrt {2}}-a={\cfrac {1}{2a+{\cfrac {1}{2a+{\cfrac {1}{2a+\cdots }}}}}}\,}$

Ce développement se note couramment de manière plus concise :

b√2 = [a ; 2a, 2a, 2a…].

On en tire les valeurs suivantes de √2 :

√2 = 1/5 × [7 ; 14, 14, 14…],

√2 = 1/29 × [41 ; 82, 82, 82…].

Plus généralement, pour a, b entiers strictement positifs tels que a² − 2b² = k, on a la fraction continue généralisée suivante :

${\displaystyle b{\sqrt {2}}-a={\cfrac {-k}{2a+{\cfrac {-k}{2a+{\cfrac {-k}{2a+\cdots }}}}}}\,}$

que l'on note sous forme plus concise

b√2 = [a ; −k, 2a ; −k, 2a ; −k, 2a ;…]

On en déduit les quelques développements de √2 suivants :

√2 = 1/2 × [3 ; −1, 6 ; −1, 6 ; −1, 6 ;…]

√2 = 1/12 × [17 ; −1, 34 ; −1, 34 ; −1, 34;…]

√2 = 1/70 × [90 ; −1, 180 ; −1, 180 ; −1, 180;…]

Éléments de démonstration : soit la suite (u_n) définie par la relation de récurrence u_n+1 = –k/(2a + u_n) et soit ε_n = |u_n − (b√2 − a)|. Alors on peut montrer que ε_n+1 < Kε_n, avec 1/|1 + 2a/(b√2 − a)| < K < 1 si u_n est suffisamment proche de b√2 − a.

L’identité cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 et la représentation en produit infini du sinus et du cosinus mènent aux développements suivants

${\displaystyle {\sqrt {2}}=2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+1)(4k+3)}{(4k+2)^{2}}}=2\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

Le dernier produit peut s’écrire de manière équivalente :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

Le nombre peut aussi être évalué sous forme de série en utilisant le développement de Taylor d’une fonction trigonométrique en ${\displaystyle \left({\pi }/{4}\right)}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}}.}$

On peut aussi utiliser la fonction √1 + x en 1 :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\prod _{0<n<k}(2n-1)}{\prod _{n=1}^{n=k}(2n)}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .}$

La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d’une transformation d’Euler pour donner :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

Le développement en série de Engel est :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 5}}+{\frac {1}{3\times 5\times 5}}+\cdots }$, voir la suite A028254 de l'OEIS.

Le développement en cotangente continue de Lehmer est :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\cot(\operatorname {arccot}(1)-\operatorname {arccot}(5)+\operatorname {arccot}(36)-\operatorname {arccot}(3406)+\operatorname {arccot}(14694817)-\dots )}$, voir la suite A002666 de l'OEIS.

√2 vaut approximativement 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. Pour plus de décimales, voir la suite A002193 de l'OEIS.

Le calcul d’une valeur approchée de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire^[58].

À l'exclusion de l'algorithme de la potence, les méthodes numériques d’approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d’un nombre important de décimales. Elles se basent généralement sur une suite convergente de nombres rationnels ; ainsi l’itération s’affranchit du coût de calcul sur des nombres à virgule flottante — dont il faudrait en plus connaître la précision a priori. Les meilleures approximations par une suite rationnelle p_n/q_n donnent une erreur en 1/q_n², une propriété de l’approximation diophantienne des entiers quadratiques.

Cette méthode ancienne (on la trouve en Chine dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique^[59] au III^e siècle et en Inde dans l'Āryabhaṭīya^[60] au V^e siècle) permet de déterminer à la main les décimales successives d'une racine carrée, mais les divisions à effectuer augmentent rapidement de taille. Ci-dessous, l'algorithme de la potence pour le calcul des 5 premières décimales de √2.

	2											1,41421
–	1											1×1=1
	1	0	0
	–	9	6									24×4=96
			4	0	0
		–	2	8	1							281×1=281
			1	1	9	0	0
		–	1	1	2	9	6					2824×4=11296
					6	0	4	0	0
				–	5	6	5	6	4			28282×2=56564
						3	8	3	6	0	0
					–	2	8	2	8	4	1	282841×1=282841
						1	0	0	7	5	9

On doit à Théon de Smyrne ces deux suites (p_n) et (q_n) définies par récurrence :

p_{n + 1} = p_n + 2q_n, p₀ = 1 ;

q_{n + 1} = p_n + q_n, q₀ = 1.

Ces suites sont à valeur entière strictement positive, donc strictement croissantes par récurrence, et vérifient

p_n² − 2q_n² = (−1)ⁿ(p₀² − 2q₀²)

de sorte que p_n/q_n tend vers √2.

On ne sait pas si l’intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de √2.

Les solutions entières de l’équation a² − 2b² = k sont engendrées par récurrence

a_{m + 1} = 3a_m + 4b_m

b_{m + 1} = 2a_m + 3b_m

à partir des valeurs initiales (a₀, b₀) = (1, 1) pour k = −1 et (3, 2) pour k = 1.

Cette méthode se déduit de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là. Ainsi, a_n/b_n tend linéairement vers √2.

Les premières solutions sont :

• k = −1 : (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), (1393,985),
• k = 1 : (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378).

On se donne (a, b), obtenu par la méthode de Théon, qui est donc solution de l’une des deux équations diophantiennes précédentes 2b² = a² – k = K, avec k = ±1 et K > 1. On peut alors écrire

√2 = (a/b)√K/(K + k)

Les suites p_n et q_n définies par

p_{n + 1} = (2K + k)p_n + 2Kq_n, p₀ = 1 ;

q_{n + 1} = (2K + 2k)p_n + (2K + k)q_n, q₀ = 1.

vérifient

(K + k)p_{n + 1}² – Kq_{n + 1}² = (K + k)p_n² – Kq_n² =… = k,

et donc, de la même façon que ci-dessus, la suite p_n/q_n converge vers √K/(K + k) = (b/a)√2. De plus, si k = 1, cette suite est croissante donc approche cette valeur par défaut, et si k = –1, elle est décroissante donc approche cette valeur par excès.

On peut utiliser cette relation pour estimer l’erreur :

ε_{n + 1} ≃ ε_n (4K + 3k)⁻²

et c’est une majoration si k = 1. La convergence est donc linéaire : elle fait gagner un nombre à peu près constant de décimales à chaque itération.

Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical √K/(K + k). Pour K plus grand, la suite (q_n) croit plus rapidement, donc la convergence est accélérée.

Premières approximations de √2 = 17/12 √(288/289) par approximation linéaire de √(288/289). Les paramètres sont a = 17, b = 12, K = 288, k = 1. On a
ε_{n + 1} < 7,5 × 10^-7ε_n (avant approximation décimale des quotients).

itération	valeur fractionnaire	décimales exactes
0	1	1
1	19 601/13 860	1,414 213 56
2	22 619 537/15 994 428	1,414 213 562 373 09
3	26 102 926 097/18 457 556 052	1,414 213 562 373 095 048 80
4	30 122 754 096 401/21 300 003 689 580	1,414 213 562 373 095 048 801 688 72

Une autre méthode consiste à approcher b√2 − a par sa fraction continue généralisée pour (a, b) solution de l’équation diophantienne 2b² = a² – k, avec k = ± 1 :

b√2 − a = [0; –k, 2a; –k, 2a; –k, 2a…] est approximé à l’aide de la suite (p_n/q_n) déterminée par la relation de récurrence

p_{n + 1} = q_n

q_{n + 1} = 2aq_n + kp_n

L’erreur vérifie asymptotiquement

ε_{n + 1} < |b√2 − a|/(2a − 1) ε_n

Premières approximations de √2 par approximation linéaire de 169√2 − 239. Les paramètres sont b = 169, a = 239, k = 1, ε_{n + 1} ~ 4 × 10⁻⁶ ε_n.

itération	valeur fractionnaire	décimales exactes
0	1	1
1	114 243/80 782	1,414 213 562
2	54 608 393/38 613 965	1,414 213 562 373 09
3	26 102 926 097/18 457 556 052	1,414 213 562 373 095 048 80
4	12 477 253 282 759/8 822 750 406 821	1,414 213 562 373 095 048 801 688 7

On se donne (a, b) solution de l’équation diophantienne 2b² = a² – k = K, avec k = ±1. On peut alors écrire √K/(K + k) comme somme d'une série via le développement en série entière de (1+z)^-½ (ou la formule du binôme généralisée, simple variante d'exposition).

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {K} +k}}}=1-{\frac {1}{2}}{\frac {k}{\mathrm {K} }}+{\frac {1\times 3}{2\times 4}}\left({\frac {k}{\mathrm {K} }}\right)^{2}-{\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\left({\frac {k}{\mathrm {K} }}\right)^{3}+\dots }$

et utiliser √2 = (a/b)√K/(K + k).

Avec a = 7, b = 5 (soit K = 50, k = -1) et donc √2 = (7/5)√50/49, les premiers termes de la série sont particulièrement simples, comme l’a fait remarquer Leonhard Euler en 1755^[61] :

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {7}{5}}\left(1+{\frac {1}{100}}+{\frac {1\times 3}{1\times 2}}10^{-4}+{\frac {1\times 3\times 5}{1\times 2\times 3}}10^{-6}+\dots \right)=1,4+0,014+0,00021+0,0000035+\dots }$

Approximation √2 = (239/169)√57122/57121 par le développement en série entière du radical fractionnaire. Les paramètres sont b = 239, a = 169, K = 57122, k = –1.

itération	valeur fractionnaire	décimales exactes
0	1	1
1	239/169	1,414 2
2	6 238 763 163 557/4 411 471 739 168	1,414 213 562 373 09
3	712 741 258 857 407 100/503 984 177 369 509 000	1,414 213 562 373 095 048
4	325 705 649 507 622 468 308 893/230 308 673 437 608 741 128 192	1,414 213 562 373 095 048 801 688

Il est possible d’approcher √2 par bissection. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois décimales à chaque dizaine d’itérations.

La méthode de Newton appliquée à la fonction racine carrée permet de calculer une valeur approchée de √2 de manière itérative avec une convergence quadratique, c’est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération. La récurrence a la forme

u_{n + 1} = u_n/2 + 1/u_n

Cet algorithme s’appelle méthode de Héron ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les Babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées.

Si l’on s’intéresse aux fractions successives à partir d’une valeur initiale p₀ et q₀, la récurrence sur le numérateur et le dénominateur sont

p_{n + 1} = p_n² + 2q_n²

q_{n + 1} = 2p_nq_n

Premières approximations de √2 données par la méthode de Newton.

itération	valeur fractionnaire	décimales exactes
0	1	1
1	3/2	1
2	17/12	1,41
3	577/408	1,414 21
4	665 857/470 832	1,414 213 562 37
5	886 731 088 897/627 013 566 048	1,414 213 562 373 095 048 801 68

La méthode de Halley est un exemple de méthode cubique. Elle cherche le zéro de ƒ(x) = x² − 2 en utilisant les deux premières dérivées. La solution itérative est

x_{n + 1} = x_n × (x_n² + 6)/(3x_n² + 2)

soit en posant x_n = p_n/q_n :

p_{n + 1} = p_n(p_n² + 6q_n²)

q_{n + 1} = q_n(3p_n² + 2q_n²)

Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération.

Premières approximations de √2 données par la méthode cubique.

itération	valeur fractionnaire	décimales exactes
0	1	1
1	7/5	1,4
2	1 393/985	1,414 213
3	10 812 186 007/7 645 370 045	1,414 213 562 373 095 048
4	—	1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 7

L’itération de Householder appliquée à ƒ(x) = 1/x ² − 1/√2 donne une suite convergeant vers 1/√2 :

x_{n + 1} = x_n + x_n/8 × (2x_n² − 1)(6x_n² − 7)

On utilise une méthode de Newton modifiée^[62] pour trouver le zéro de ƒ(x) = 1/x ² − 1/2. Cela donne la suite récurrente :

x_{n + 1} = x_n + x_n/16 × (8h_n + 6h_n² + 5h_n³)

avec

h_n = 1 − x_n²/2

Cette méthode est de convergence quartique, c’est-à-dire d’ordre 4 : le nombre de chiffres significatifs corrects quadruple (asymptotiquement) à chaque itération.

Premières approximations de √2 données par la méthode quartique.

itération	valeur fractionnaire	décimales exactes
0	3/2	1
1	23 169/214	1,414
2	57 367 317 478 181 000 000 000 000 000 000/2105	1,414 213 562 373 09
3	—	1,414 213 562 373 09 5 048 801 688 724 209 6 980 785 696 718 753 76 948 073 176 679 740

Il existe des méthodes d’ordre supérieur^[63], notamment parmi les méthodes de Householder.

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• Livre X des Éléments d’Euclide
• Duplication du cube, racine cubique de deux
• Proportion d'argent (${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$)
• Racine douzième de deux
• Racine carrée d'un entier naturel

• Notices d'autorité :

  • BnF (données)
  • IdRef
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• Ludmila Duchêne et Agnès Leblanc, Rationnel mon Q, Paris, Hermann, 2009 (présentation en ligne) (démonstrations de l'irrationalité de √2)

• Arithmétique et théorie des nombres