Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont des nombres hypercomplexes introduits et étudiés par James Cockle en 1848 et les années suivantes^{[1],[2],[3],[4],[5],[6]}. C’est une algèbre qui combine les nombres complexes usuels et les nombres complexes déployés introduits par Cockle dans le même article initial^[1].

Les tessarines constituent une algèbre hypercomplexe associative et commutative de dimension 4, de base (1,i,j,k) telle que i² = −1, j² = 1 et k = ij. Les unités i et j sont simplement les unités imaginaires respectives des complexes et des complexes déployés.

Les propriétés d’associativité et de commutativité permettent de déduire le reste de la table de multiplication de cette algèbre, à savoir :

• Les tessarines constituant une algèbre hypercomplexe associative, elles constituent donc un anneau unitaire.
• L’algèbre étant de plus commutative, les tessarines constituent plus précisément un anneau commutatif (à la différence des quaternions, qui constituent un anneau unitaire non commutatif).
• Les tessarines permettent les puissances, les racines et les logarithmes de j, racine non réelle de 1.
• À l’image des complexes déployés, l’anneau des tessarines contient des diviseurs de zéro, donc ne constitue pas un corps commutatif (à la différence des quaternions qui, constituant un anneau sans diviseur de zéro, constituent un corps gauche) : (1+j)(1−j) = 1−j² = 0.
• À l’image des complexes déployés, l’anneau des tessarines contient deux éléments idempotents non triviaux : [(1+j)/2]² = (1+j)/2 et [(1−j)/2]² = (1−j)/2.

Une tessarine t peut être représentée par une matrice symétrique 2 × 2 à coefficients complexes :

${\displaystyle t={\begin{pmatrix}w&z\\z&w\end{pmatrix}}\ .}$

Sous cette représentation, la base des tessarines peut s’écrire :

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {i} ={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}\qquad \mathrm {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {k} ={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\ .}$

Soit une tessarine t = a + bi + cj + dk, avec (a, b, c, d) ∈ ℝ⁴. En fixant certains de ces coefficients réels, on peut obtenir plusieurs sous-algèbres.

Lorsque c = d = 0, la sous-algèbre obtenue est celle des nombres complexes, de base {1,i}.

Lorsque b = d = 0, la sous-algèbre obtenue est celle des nombres complexes déployés, de base {1,j}.

L’unité j vérifiant j² = 1 tout en étant non réelle, cette propriété a conduit Cockle à appeler cette unité un « nouvel imaginaire en algèbre »^[1],[2]. Bien qu’apparaissant dans les articles de Cockle comme une simple sous-algèbre des tessarines, les complexes déployés et le plan qu’ils créent au-delà de la ligne réelle semblent avoir eu plus d’importance dans l’histoire des mathématiques que les tessarines.

L’algèbre des tessarines est isomorphe à l’algèbre des nombres bicomplexes ℂ₂ (cas particulier de nombres multicomplexes ℂ_n), de base {1,i₁,i₂,j} avec i₁ = i, i₂ = k et j_bicomplexes = −j_tessarines.

Les termes « tessarine » et « bicomplexe » sont donc souvent utilisés comme synonymes l’un de l’autre, bien qu’ayant historiquement été découverts selon des considérations différentes.

• (en) James Cockle, « On certain Functions resembling Quaternions, and on a new Imaginary in Algebra », London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3^e série, vol. 33, n^o 224,‎ décembre 1848, p. 435-439 (ISSN 1941-5966, DOI 10.1080/14786444808646139, lire en ligne [html], consulté le 25 février 2016)
• (en) James Cockle, « On a new Imaginary in Algebra », London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3^e série, vol. 34, n^o 226,‎ janvier 1849, p. 37-47 (ISSN 1941-5966, DOI 10.1080/14786444908646169, lire en ligne [html], consulté le 25 février 2016)
• (en) James Cockle, « On the Symbols of Algebra, and on the Theory of Tessarines », London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3^e série, vol. 34, n^o 231,‎ juin 1849, p. 406-410 (ISSN 1941-5966, DOI 10.1080/14786444908646257, lire en ligne [html], consulté le 25 février 2016)
• (en) James Cockle, « On Systems of Algebra involvong more than one Imaginary », London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3^e série, vol. 35, n^o 231,‎ décembre 1849, p. 434-437 (ISSN 1941-5966, DOI 10.1080/14786444908646384, lire en ligne [html], consulté le 25 février 2016)
• (en) James Cockle, « On the True Amplitude of a Tessarine », London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3^e série, vol. 36, n^o 243,‎ avril 1850, p. 290-292 (ISSN 1941-5966, DOI 10.1080/14786445008646476, lire en ligne [html], consulté le 25 février 2016)
• (en) James Cockle, « On Impossible Equations, on Impossible Quantities, and on Tessarines », London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3^e série, vol. 37, n^o 250,‎ octobre 1850, p. 281-283 (ISSN 1941-5966, DOI 10.1080/14786445008646598, lire en ligne [html], consulté le 25 février 2016)

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley-Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

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