Lois de De Morgan

Les lois de De Morgan ou plus simplement lois de Morgan, sont des identités entre propositions logiques. Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).

En logique classique, la négation de la disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A ou B) » est identique à « (non A) et (non B) ».

Toujours en logique classique, la négation de la conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A et B) » est identique à « (non A) ou (non B) ».

Sachant que la conjonction s'exprime par le signe : ${\displaystyle \land }$, la disjonction s'exprime par le signe : ${\displaystyle \lor }$ et la négation d'une formule ${\displaystyle F}$ s'écrit ${\displaystyle {\overline {F}}}$.

• ${\displaystyle {\overline {(A\land B)}}\leftrightarrow ({\overline {A}})\lor ({\overline {B}})}$
• ${\displaystyle {\overline {(A\lor B)}}\leftrightarrow ({\overline {A}})\land ({\overline {B}})}$.

De ces quatre implications valides en logique classique, trois sont valides en logique intuitionniste, mais pas : ${\displaystyle {\overline {(A\land B)}}\rightarrow ({\overline {A}})\lor ({\overline {B}})}$.

Pour justifier ces formules, on peut par exemple, utiliser la méthode sémantique des tables de vérité. On rappelle que deux formules sont équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.

${\displaystyle {\overline {(A\land B)}}\leftrightarrow ({\overline {A}})\lor ({\overline {B}})}$
${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle {\overline {(A\land B)}}}$	${\displaystyle {\overline {A}}}$	${\displaystyle {\overline {B}}}$	${\displaystyle ({\overline {A}})\lor ({\overline {B}})}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

${\displaystyle {\overline {(A\lor B)}}\leftrightarrow ({\overline {A}})\land ({\overline {B}})}$
${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\lor B}$	${\displaystyle {\overline {(A\lor B)}}}$	${\displaystyle {\overline {A}}}$	${\displaystyle {\overline {B}}}$	${\displaystyle ({\overline {A}})\land ({\overline {B}})}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Les énoncés de De Morgan se généralisent à ${\displaystyle n}$ propositions par récurrence, en utilisant l'associativité des lois ${\displaystyle \land }$ et ${\displaystyle \lor }$ ainsi que leur double distributivité. Comme les deux preuves sont symétriques (il suffit de remplacer une loi par l'autre), on ne donne ici que celle pour la première loi.

• Vrai au rang ${\displaystyle n=2}$
• Si vrai au rang ${\displaystyle n}$ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {(A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n}\land A_{n+1})}}&\leftrightarrow &{\overline {((A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n})\land A_{n+1})}}\\&\leftrightarrow &({\overline {(A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n})}})\lor ({\overline {A_{n+1}}})\\&\leftrightarrow &(({\overline {A_{1}}})\lor ({\overline {A_{2}}})\lor \ldots \lor ({\overline {A_{n}}}))\lor ({\overline {A_{n+1}}})\end{aligned}}}$$

• La généralisation de ces règles au-delà du fini donne les règles d'interdéfinissabilité des quantificateurs universel et existentiel du calcul des prédicats classique. Le quantificateur universel pouvant être vu comme une généralisation de la conjonction et le quantificateur existentiel pouvant être vu comme une généralisation de la disjonction (non exclusive).

$${\displaystyle \forall x({\overline {Ax}})\leftrightarrow {\overline {\exists x(Ax)}}}$$ $${\displaystyle \exists x({\overline {Ax}})\leftrightarrow {\overline {\forall x(Ax)}}}$$

Et de ces quatre implications classiques, seule ${\displaystyle {\overline {\forall x(Ax)}}\rightarrow \exists x({\overline {Ax}})}$ n'est pas valide en logique intuitionniste.

En logique intuitionniste, on n'a qu'une forme affaiblie des lois de De Morgan. Il n'y a que les implications

• ${\displaystyle \lnot (A\lor B)\to (\lnot A\land \lnot B)}$
• ${\displaystyle (\lnot A\land \lnot B)\to \lnot (A\lor B)}$
• ${\displaystyle (\lnot A\lor \lnot B)\to \lnot (A\land B)}$

Démontrons la première implication. Il nous faut pour cela démontrer qu'en admettant ${\displaystyle \lnot (A\lor B)}$ on a ${\displaystyle \lnot A\land \lnot B}$. Il faut donc montrer que de ${\displaystyle \lnot (A\lor B)}$ on tire ${\displaystyle A\to \bot }$ et que de ${\displaystyle \lnot (A\lor B)}$ on tire ${\displaystyle B\to \bot }$. Démontrons le premier. Cela revient à démontrer que de ${\displaystyle (A\lor B)\to \bot }$ et de ${\displaystyle A}$, on a ${\displaystyle \bot }$. Or ${\displaystyle A\to (A\lor B)}$. Il suffit donc d'appliquer deux fois le modus ponens (élimination de l'implication).

• Traduction des lois de De Morgan en théorie des ensembles

(en) Eric W. Weisstein, « de Morgan's Laws », sur MathWorld

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