Espace compactement engendré

En mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff^[1]. Cette notion intervient en théorie de l'homotopie, dans l'étude des CW-complexes^[2]. Un espace X est :

• un k-espace si toute partie « compactement fermée » de X est fermée (une partie F de X est dite compactement fermée si pour toute application continue f d'un compact K dans X, f⁻¹(F) est fermé dans K) ;
• faiblement Hausdorff^[3] si toute application continue d'un compact dans X est fermée.

Se restreindre aux k-espaces sert principalement à obtenir une sous-catégorie de celle des espaces topologiques qui soit cartésienne fermée^[4],[5],[6].

On démontre que X est faiblement Hausdorff, ou t₂, si et seulement si sa diagonale est compactement fermée dans X×X, ce qui est une condition plus faible que la séparation usuelle de Hausdorff, ou T₂, pour laquelle la diagonale doit être fermée. Plus précisément, la propriété t₂ est située, dans la hiérarchie des axiomes de séparation^[7], entre la séparation T₁ et la séparation KC, ou T’₂. Un espace KC est un espace dans lequel tout quasi-compact est fermé. Dans un espace faiblement Hausdorff, on demande seulement que les images continues de compacts soient fermées. Mais elles sont alors automatiquement séparées^[8] donc compactes, et il en résulte que

On en déduit facilement que X est KC. Ainsi, pour un k-espace, ces deux notions très proches de séparation (faiblement Hausdorff et KC) sont en fait équivalentes.

Un avantage^[6] de cette hypothèse de séparation est de permettre une reformulation plus simple de la définition des k-espaces : on vient de voir qu'un espace faiblement Hausdorff est un k-espace si et seulement si sa topologie est cohérente avec la famille de ses parties compactes. On peut remplacer fermé par ouvert dans cette caractérisation : un espace faiblement Hausdorff X est un k-espace si et seulement si une partie de X est ouverte dès que son intersection avec tout compact K de X est ouverte dans K. On peut aussi remplacer la famille de tous les compacts de X par n'importe quel recouvrement par des quasi-compacts^[9].

L'un des intérêts^[6] de ne pas imposer une condition de séparation plus forte, comme la séparation usuelle, est de préserver la stabilité par colimites : le quotient d'un k-espace séparé par un fermé peut ne pas être séparé.

Les k-espaces sont exactement les quotients d'espaces localement compacts^[10], en particulier tout espace localement compact (séparé par définition) est compactement engendré.

Tout espace métrisable est compactement engendré. Plus généralement, tout espace séquentiel est un k-espace^[8] et s'il est de plus à unique limite séquentielle alors il est faiblement Hausdorff.

Tout CW complexe est compactement engendré et séparé^[2].

Tout espace X peut être muni d'une nouvelle topologie définie comme suit^[8] : les fermés de ce nouvel espace, noté kX, sont par définition les parties compactement fermées de X. La topologie de kX est donc plus fine que celle de X mais les applications continues d'un compact dans X ou kX sont les mêmes, si bien que kX est un k-espace. Plus généralement, toute application continue d'un k-espace Y dans X est continue de Y dans kX. Autrement dit : le foncteur de « k-ification^[11] » est adjoint à droite de l'inclusion de la sous-catégorie des k-espaces dans celle des espaces topologiques ; de plus, si X est faiblement Hausdorff alors kX aussi.

L'inclusion de la sous-catégorie des espaces faiblement Hausdorff, quant à elle, admet un adjoint à gauche, qui associe à tout espace son quotient faiblement Hausdorff maximal^[11].

Tout quotient et toute union disjointe de k-espaces est un k-espace, ainsi que tout produit par un localement compact.

Le produit existe dans la catégorie des k-espaces : c'est la k-ification du produit d'espaces topologiques, parfois notée ×_k, qui en fait une catégorie monoïdale. Comme tout produit d'espaces faiblement Hausdorff est faiblement Hausdorff, la sous-catégorie des espaces compactement engendrés est également monoïdale.

X est un k-espace (si^[12] et) seulement si^[8] toute application de X dans un espace quelconque continue sur chaque compact de X est continue sur X.

Tout fermé d'un k-espace est un k-espace, mais l'espace d'Arens-Fort, bien que sous-espace d'un compact, n'est pas un k-espace.

Si X et Y sont des k-espaces et si CO(X, Y) désigne l'espace des applications continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte, l'application suivante est continue :

${\displaystyle k(CO(X,Y))\times _{k}X\to Y,~(f,x)\mapsto f(x).}$

• Espace dénombrablement engendré
• Espace finiment engendré
• Groupe compactement engendré (en)

• (en) Ronald Brown, Topology and Groupoids, BookSurge, 2006, 3^e éd., 512 p. (ISBN 978-1-4196-2722-4)
• (en) Stephen Willard, General Topology, Dover, 2012 (1^re éd. 1970), 384 p. (ISBN 978-0-486-13178-8, lire en ligne)

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