Application identité

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En mathématiques, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie l'argument sur lui-même. Formellement, sur un ensemble ${\displaystyle E}$, c'est l'application :

${\displaystyle {\begin{array}{l|rcl}\mathrm {id} _{E}:&E&\longrightarrow &E\\&x&\longmapsto &x\end{array}}}$

Le graphe de l'application identité de ${\displaystyle E}$ est appelé la diagonale du produit cartésien ${\displaystyle E\times E}$. Pour ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$ l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

L'application identité de ${\displaystyle E}$ est notée ${\displaystyle \mathrm {Id} _{E}}$ ou ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$. Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble ${\displaystyle E}$ sur lequel on travaille, on la note simplement ${\displaystyle \mathrm {Id} }$ ou ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ^{[N 1]}.

Pour toute application ${\displaystyle f}$ d'un ensemble ${\displaystyle E}$ dans un ensemble ${\displaystyle F}$, on a :

${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{E}=f=\mathrm {id} _{F}\circ f}$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de ${\displaystyle E}$ dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de ${\displaystyle E}$ dans lui-même, appelé le groupe symétrique de ${\displaystyle E}$.

Si ${\displaystyle E}$ est un espace vectoriel, alors ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ est une application linéaire et son déterminant vaut ${\displaystyle 1}$.

De plus, si ${\displaystyle E}$ est de dimension finie ${\displaystyle n}$, alors la matrice représentant ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}}$ est la matrice identité ${\displaystyle I_{n}}$ dans n'importe quelle base ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle \mathrm {Mat} _{B}(\mathrm {id} _{E})=I_{n}}$

L'application identité permet de comparer deux topologies : sur ${\displaystyle X}$, une topologie ${\displaystyle \tau _{2}}$ est plus fine qu'une topologie ${\displaystyle \tau _{1}}$ lorsque ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ est continue de ${\displaystyle (X,\tau _{2})}$ dans ${\displaystyle (X,\tau _{1})}$.

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