Erorketa aske

Fisikan, erorketa askea deritzo gorputz batek espazio hutsean eta soilik grabitate-eremuaren eraginez duen higidurari.

Lehenengo hurbilketa batean, horrelaxe esaten zaio halaber objektuek atmosferan duten higidurari ere, zeren bertan pisuaz gain eragiten ari diren bestelako indarrek (Arkimedesen bultzada, airearen marruskadura edo Coriolisen indarra) erlatiboki arbuiagarriak baitira kasu askotan. Dena den, airearen erresistentzia kontuan hartzen denean, airearen erresistentziaren eraginpeko erorketa dela adierazten da.

Galileo-k (1564-1642) bere garaian emandako erorketa askeari buruzko legea fisika modernoaren lehenengo legetzat hartu ohi da. Hain zuzen, Galileok aurkitu eta enuntziatu zuen lege hori lehen aldiz 1604an.

Lurrean goranzko higidura bertikala duten eta grabitatearen eraginez dezeleratzen diren objektuei ere aplika dakieke kontzeptua hurbilketa modura; edota argizagi (edo zeruko astro) baten inguruan orbitatzen ari den edozein objekturi ere (kasurako, satelite natural edo satelite artifizial, planeta...).

Historian zehar, bi unetan ulertu zen erorketa askearen izaera: lehenik, Lurraren gainazaletik grabitate-eremu uniformean gertatzen zena, Galileok 1604an azaldua, eta geroago, planetek Eguzkiaren inguruan zutena (Kepler-en legeak)  eta horiei buruz Isaac Newton-ek 1687an eginiko sintesia.

Hona hemen mota desberdinetako erorketa askeen adibideak:

• Legendak dioenez, 1602an Galileok Pisako dorrean esperimentu berezia egin zuen diametro bereko bi ontzi esferikoren ―bata barnehutsa, bestea urez betea― erorketa askea aztertzeko, eta horrela lurzorura biak aldi berean iristen zirela frogatu omen zuen.
• Era berean, Newtonen sagar ospetsuaren erorketa ezustekoa ere aipatu behar da. Legendak dioenez, erorketa hark grabitazio unibertsalaren legea iradoki omen zion Newtoni. Sagarra arbolatik lurrera jaustean erorketa askearen adibidetzat har daiteke.

• Newtonen hodia deritzon tresna erorketa askearen adibide bat egiaztatzeko erabiltzen da, helburu pedagogikoekin. Hodi hori horma gardeneko ontzi zilindriko bat da, zeinaren barruan hutsa eginda dagoen huts-ponpa baten bidez, bertan forma eta tamaina desberdineko gorputzen erorketa behatzeko, airearen marruskadura minimizatuz, eta horrela Galileoren legearen egiaztapena egiteko.

• Bestalde, Ilargia erorketa askean ari da higitzen Lurraren inguruan. Horixe izan zen Newtonek bere garaikoen harridurarako azaldu zuen grabitazioaren ondorio zuzena.

• Eta Ilargiaren antzera, gure inguruan orbitatzen ari diren satelite artifizial guztiak ere ari dira erorketa askean Lurraren grabitazioaren eraginpean.

• Ilargira astronautak eginiko bidaien artean, ezin ahaztu Apollo 15 bidaian bertara iristean David Scott-ek hango gainazalean eginiko esperimentu sinplea. Esku banatan hartutako mailu bat eta luma bat batera askatu zituen, eta biak aldi berean iritsi ziren lurzorura. Horra hor atmosferarik ezean grabitateak gorputz guztietan berdin eragiten duen erorketa askearen froga esperimentala.

Galileok eginiko ekarpen handienetako bat gorputzen erorketarekin lorturiko aurkikuntzak dira. Berak adierazitako teoriaren arabera, erorketa askean dauden objektuek hutsean duten abiadurak (eta azelerazioak) ez dute objektuaren masaren menpekotasunik.

Teoria hori ezartzeko, prozesu zail eta luzea gauzatu behar izan zuen, zeren Grezia zaharreko filosofo handiena kontsideratzen zen Aristotelesen ideiak irauli behar izan baitzituen. Izan ere, Aristotelesen arabera, objektu astunek objektu arinek baino bizkorrago erortzen ziren naturan. Galileok zalantzan jarri zuen ideia hori, «in naturo veritas» ―alegia, «naturak esango du egia»― esanez, eta ez argumentazio logiko hutsak.

Printzipio horretan oinarriturik, esperimentu bat egiteko ideia izan zuen. Gauzak horrela, bi objekturen erorketa aztertuko zuen esperimentu batean; gorputz astun bat eta, bestetik, bi gorputzen multzo bat (gorputz astun horren gorputz berdin bat eta gorputz arin bat elkarturik osatutakoa). Aristotelesen teoriaren arabera, batetik, bi gorputzen multzoa gorputz astun bakarra baino bizkorrago erori behar zatekeen, multzoa astunagoa zelako; baina, bestetik, teoria ondo balego, objektu-multzoa astiroago jausiko zatekeen, gorputz arinak frenatu egingo bailuke higidura. Bestela esanda, Aristolelesen teoriak aldi berean aurresango lituzke ondorio bat eta ondorio horren aurkakoa. Kontraesan nabarmena.^[1]

Gauzak horrela, Galileo esperimentuak egiten abiatu zen 1597. urtearen inguruan. Legendaren arabera, Pisako dorrean egin zituen esperimentu horiek, baina legenda hori ez dago erabat egiaztaturik; aitzitik, badirudi objektuen erorketa haiek Paduako eliza batetik esperimentatu zituela. Nolanahi ere, arazoak izan zituen abiadura handiekin, eta goitik beherako erorketak aztertu ordez, plano inklinatuetako esperimentuak egiten hasi zen, abiadura txikiagoekin lan egiteko eta denbora-tartean klepsidrak erabiliz neurtuz.

Ez dugu xehetasun gehiagorik emango Galileoren esperimentuei buruz, baina, laburbilduz, hark ateratako ondorio nagusiak azpimarratuko ditugu: batetik, naturan egindako esperimentuak jarri zituen teoriaren zuzentasunaren epaile; bestetik, fisikako legeetarako metodo zientifikoa proposatu zuen; eta, horrekin batera, emaitza modura, gorputzen erorketaren teoria ezarri zuen.  

Erorketa askean dagoen gorputz bati lotutako erreferentzia-sistema inertzialtzat edo ez-inertzialtzat har daiteke, inguru teorikoaren arabera.

Fisika klasikoan, eremu grabitatorioak gorputz batean egiten duen indarraren balioa tokiko eremu grabitatorioaren intentsitatearen proportzionala da, proportzionaltasun-konstantea gorputzaren masa izanik: ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {g}}}$. Beraz, fisika klasikoaren ikuspegitik, erorketa askean dagoen gorputzarekin batera doan erreferentzia-sistema grabitate-indarraren ondorioz azeleratzen ari den sistema bat da, hots, sistema ez-inertziala.

Erlatibitatearen teorian, ostera, grabitatea espazio-denboraren kurbadurak gorputzen ibilbidean duen efektua da; bestela esanda, grabitatea ez da “indar” bat, espazio-denborako lerro geodesiko bat baizik. Gauzak horrela, erlatibitatearen teoriaren arabera, erreferentzia-sistema bera “inertziala” da, espazio-denboran ez baitago azeleraturik, espazioan azeleraturik badago ere. Teoria horretan, funtsezkoa da baliokidetasun-printzipioa. Erlatibitate orokorraren arabera, masa grabitazionalaren eta masa inertzialaren arteko baliokidetasun-printzipioa postulatzen da. Printzipio horren arabera, bi sistema hauek baliokideak dira: a) grabitazio-indar uniforme baten eraginpean geldirik dagoen sistema; eta b) grabitaziorik ezean uniformeki azeleratua den sistema. Hau da, eremu grabitatorio uniformeen eta azelerazioaren eraginak guztiz baliokideak dira.

Fisika klasikoan, lehenengo hurbilketa batean, Lurrean geldi dagoen erreferentzia-sistema inertzialtzat hartuz, hutsean gertatzen den erorketa aske bertikalean, gorputz orok eremu grabitatorioaren eraginez duen indarra masaren proportzionala da, ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}}$ baliokoa, ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ hori grabitatearen azelerazioa izanik. Hain zuzen ere, Lurrazaleko sistema inertzialean dagoen behatzaileak interpretatzen du ezen gorputzak pisuaren eraginez erortzen direla lurrazalerantz.

Baina zer gertatzen da erorketa askean dagoen gorputzarekin batera doan erreferentzia-sistema ez-inertzialetik gauzak aztertuz gero? Sistema hori ez-inertziala denez, hango behatzaileak kontuan hartu beharko du sistemaren azelerazioagatik gorputzak jasaten duen inertzia-indarra, ${\displaystyle -m{\boldsymbol {g}}}$ balioa izango duena. Ondorioz, behatzaile ez-inertzialak interpretatuko du gorputzak ez duela indar netorik jasaten, zeren ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}-m{\boldsymbol {g}}=0}$ baita, eta horregatik, bere sistematik partikula geldi ikusiko du, pisurik ez balu bezala: sistema horretatik ingrabitate-sentsazioa sortuko da behatzailearengan.

Ingrabitatea deritzo egoera berezi bati, zeinean m masadun gorputz bat indar grabitatoriorik ez balego bezala higitzen den. Batzuetan “grabitaterik ezeko egoera” ere esaten zaio, baina izendapen horren ordez, egokiagoa da ingrabitate terminoa erabiltzea. Izan ere, ingrabitateak ez du esan nahi gorputzak eremu grabitatorioaren eraginik jasaten ez duenik ("pisuarena", alegia), baizik eta gorputzean eragiten ari den indar grabitatorioa anulaturik dagoela berarekin batera erorketa askean higitzen ari den sistema ez-inertzialari dagokion inertzia-indarraz. Hortaz, sistema horretako behatzailearen ikuspuntutik, gorputzak "pisu nulua" du.

• Lurraren inguruan biraka dabiltzan satelite artifizialetan doazen astronautek ingrabitate-egoera hori sentitzen dute.
• Grabitate murriztuko aireontziaren hegaldian ere esperimentatzen da.

Erorketa aske ideala hurbilketa teoriko bat da, atmosferan higitzen diren gorputzek jasaten duten airearen erresistentzia arbuiatuz proposatzen dena. Lur planetaren inguruko atmosferako erorketa aske idealean, gorputzaren higidurari aurka egiten dion airearen erresistentzia nulutzat hartzen da; alegia, airerik gabeko atmosfera batean gertatuko litzatekeen erorketa da.

Egoera horretan, gorputzak jasaten duen azelerazioa grabitate-indarrak soilik eragindakoa da. Zer esanik ez, azelerazio horrek ez du gorputzaren masaren menpekotasunik; kasurako, kanoi-bala bat eta luma bat erorketa aske idealean eroriz gero, biak ala biak azelerazio berberaz higituko lirateke, hots, ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ grabitatearen azelerazioaz. Gainera, azelerazio hori konstantea dela kontsideratuko dugu. Bestela esanda, “erorketa aske ideala” hurbilketa teoriko bat da, erorketa askearen ezaugarriak ulertzeko oso egokia dena.

Erorketa aske idealaren azterketa matematikoa egiteko, alboko irudiko erreferentzia-sistemaz baliatuko gara, zeinean ${\displaystyle B}$ behatzailea geldi dagoen lurrazalean, eta ${\displaystyle Oy}$ ardatza bertikala den, noranzko positiboa goranzkoa izanik.

Erorketa bertikala aztertzeko, abiadurak osagai bakarra duela kontsideratuko dugu, ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {j}}}$, eta grabitatearen azelerazioa konstantetzat hartuko dugu, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {g}}=-g{\boldsymbol {j}}}$ baliokoa (${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ hori ${\displaystyle Oy}$ norabideari dagokion bektore unitarioa da, eta ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}}$ grabitatearen azelerazioa). Hortaz, abiadurari dagokion ekuazio bektoriala honakoa izango da:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=-g{\boldsymbol {j}}.}$$Azelerazioak osagai bakarra duenez (${\displaystyle Oy}$ norabidean), honelaxe adieraz daiteke abiaduraren osagairen ekuazioa:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=-g.}$$Ekuazio hori ebatziz, abiaduraren ekuazioa lor daiteke:

$${\displaystyle {\text{d}}v=-g{\text{d}}t\rightarrow \int _{v_{0}}^{v}{\text{d}}v=-g\int _{t_{0}}^{t}{\text{d}}t.}$$Integrazioa eginez, abiaduraren balioa lortzen da edozein ${\displaystyle t}$ aldiunetan:

$${\displaystyle v=v_{0}-g(t-t_{0}).}$$

Erorketa askea hasierako abiadura nuluz hasten den kasuan ―alegia, ${\displaystyle v_{0}=0}$  denean― hauxe izango da abiaduraren balioa t  aldiunean:

$${\displaystyle v=-gt.}$$

Espero bezala, partikularen abiadura handituz doa denborarekin grabitatearen azelerazioaz.

Erorketa aske bertikalean higitzen ari den partikularen posizioa kalkulatzeko, aurrerago kalkulaturiko abiaduraren abiaduraren ekuaziotik abiatuko gara (kasu honetan ${\displaystyle t_{0}=0}$ eginez), aldi berean kontuan izanik abiaduraren definizioa:

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}y}}\equiv v=v_{0}-gt,}$$$${\displaystyle {\text{d}}y=v_{0}{\text{d}}t-gt{\text{d}}t,}$$$${\displaystyle \int _{y_{0}}^{y}{\text{d}}y=v_{0}\int _{0}^{t}{\text{d}}t-g\int _{0}^{t}t{\text{d}}t,}$$$${\displaystyle y=y_{0}+v_{0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$

Kasu honetan ${\displaystyle y_{0}=h}$ eta ${\displaystyle v_{0}=0}$ eginez, hauxe da ${\displaystyle t}$ aldiuneko posizioa:

$${\displaystyle y=h-{\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$

Ekuazio horretatik, partikulak lurrazalera iristeko behar duen denbora ere kalkula daiteke. Horretarako, y = 0  egin behar dugu:

$${\displaystyle 0=h-{\frac {1}{2}}gt^{2},}$$$${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}.}$$

Emaitza hori lehenago lorturiko abiaduraren ekuaziora eramanik, erorketa askean ${\displaystyle h}$ altueratik jausi den partikulak lurrazalera iristean izango duen abiadura bertikala kalkula dezakegu:

$${\displaystyle v=-gt=-g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}=-{\sqrt {2gh}}.}$$Zeinu negatiboak abiadura hori beheranzkoa dela adierazten du, noski.

Erorketa aske ideal eta bertikalean, abiaduraren osagai horizontala nulua da. Baina zer gertatzen da hasierako abiaduraren osagai hori nulua ez denean, baizik eta ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0x}=v{\boldsymbol {i}}}$ balio duenean?

Erorketa askean partikulak jasaten duen azelerazioa ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {g}}=-g{\boldsymbol {j}}}$ denez, eta horrek norabide bertikalean duen osagaia nulua denez, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{x}=0}$ da, osagai horizontalak balio berbera izango du denbora guztian eta ibilbide osoan zehar:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {i}}.}$$

Bestalde, norabide bertikaleko azelerazioa grabitatearena izanik, ${\displaystyle t}$ aldiuneko abiaduraren osagai bertikala higidura bertikaleko berbera izango da, hots:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{y}=-gt{\boldsymbol {j}}}$$

Hortaz, abiaduraren ekuazioa honako hau izango da:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v{\boldsymbol {i}}-gt{\boldsymbol {j}}.}$$

Abiaduraren ekuazioa integratuz, partikularen posizioa kalkula daiteke edozein aldiunetan. Alboko irudiko eskema arabera, ${\displaystyle t=0}$ denean hasierako puntua ${\displaystyle P_{0}(0,h_{0})}$ eta hasierako abiadura horizontala ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{0}=v{\boldsymbol {i}}}$ izanik (ikus alboko irudia), honelaxe egiten da integrazioa:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}=v{\boldsymbol {i}}-gt{\boldsymbol {j}}\rightarrow {\begin{cases}{\text{d}}x=v{\text{d}}t\\{\text{d}}y=-gt{\text{d}}t\end{cases}}}$$Bi ekuazio horiek integratuz, ${\displaystyle t}$ aldiuneko ${\displaystyle P(x,y)}$ posizioaren koordenatuk lor ditzakegu:

$${\displaystyle \int _{0}^{x}{\text{d}}x=v\int _{0}^{t}{\text{d}}t\rightarrow x=vt,}$$$${\displaystyle \int _{h_{0}}^{y}{\text{d}}y=-g\int _{0}^{t}t{\text{d}}t\rightarrow y-h_{0}=-{\frac {1}{2}}gt^{2}.}$$Hortaz, hauexek dira partikularen bi osagai kartesiarren ekuazioak:

$${\displaystyle {\begin{cases}x=vt\\y=h_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}}$$

Ibilbidearen ekuazioa lortzeko, denbora eliminatu behar da aurreko bi ekuazioak konbinatuz. Horretarako, lehenengo ekuaziotik denbora askatuz,

$${\displaystyle t={\frac {x}{v}}}$$

lortzen da, eta bigarrenean ordezkatuz:

$${\displaystyle y=h_{0}-{\frac {g}{2v^{2}}}x^{2}.}$$

Hain zuzen ere, hori parabola baten ekuazio kartesiarra da. Hortaz, erorketa askeak ibilbide parabolikoa du.

Erorketa aske erreala Lurreko atmosferan gertatzean, kontuan hartu behar da airearen marruskaduragatik sortzen den abiaduraren noranzkoaren aurkako indarra, ${\displaystyle m{\boldsymbol {g}}}$ pisuaren eraginaz gain.  Marruskadura-indar hori partikularen abiaduraren menpekoa da: abiaduraren balio txikietarako indar horren modulua abiaduraren proportzionala dela kontsideratzen da, eta proportzionaltasun-konstantearen balioa ―${\displaystyle k}$― erlazionaturik dago objektuaren forma aerodinamikoarekin. Bektorialki idatzita, hause da airearen marruskadura-indarra:

$${\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{r}=-{\frac {k}{v}}{\boldsymbol {v}}.}$$

Aipaturiko bi indarrak kontuan harturik, honelaxe idatz dezakegu atmosferako erorketa askean partikulan eragiten duen indarra:

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {g}}-k{\frac {\boldsymbol {v}}{v}}.}$$

Newtonen bigarren legea aplikatuz:

$${\displaystyle m{\boldsymbol {a}}=m{\boldsymbol {g}}-k{\frac {\boldsymbol {v}}{v}},}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=-g{\boldsymbol {i}}-{\frac {k}{mv}}{\boldsymbol {v}},}$$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}{^{2}}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {j}}=-g{\boldsymbol {i}}-{\frac {k}{mv}}{\Bigl (}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}{\Bigr )}.}$$Horixe da higiduraren ekuazio diferentziala. Ekuazio bektorial hori bi osagai kartesiarretan bana daiteke:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}=-g-{\frac {k}{mv}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}\\{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}=-{\frac {k}{mv}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\end{cases}}}$$

Bi ekuazio horietatik erorketa errealaren ibilbidea lor daiteke. Alboko irudi eskematikoan ikus daitekeenez, ibilbide erreala ia-parabolikoa da, ibilbide ideal parabolikotik pixka bat desbideraturik baitago, airearen marruskaduraren kausaz.

Distantzia handietara, Lurraren eremu grabitatorioa esferikoa da eta altuera handietan grabitatearen modulua eta norabidea ez dira konstanteak. Oro har, atmosferaz kanpoko distantzietan ―satelite artifizialen kasuan adibidez―, ibilbidea eliptikoa da, Keplerren legeak adierazten duten moduan.

Bestalde, hasierako abiadura nulua izan duen erorketa aske ideal baten kasuan, ibilbidea lerro zuzen da eta erortzen ari den gorputzaren abiaduraren balioa, masak eragindako eremu grabitatorioaren zentrora dagoen distantziaren araberakoa:

$${\displaystyle v={\sqrt {2GM{\Bigl (}{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r_{0}}}{\Bigr )}}},}$$non ${\displaystyle G}$ grabitazioaren konstante unibertsala den, ${\displaystyle M}$ Lurraren masa, eta ${\displaystyle r}$ eta ${\displaystyle r_{0}}$ ibilbideko edozein aldiuneko posiziotik eta hasierako posiziotik Lurraren zentroarekiko distantziak diren hurrenez hurren. ^[2]

Erorketa askea fisikaren arloan aztertzeaz gain, merezi du aipatzea zenbait paraxutistak praktikatzen duten “erorketa askea” izeneko kirola. Kirol horretan, hegazkinetik salto egin ondoren, paraxutistek ez dute paraxuta irekitzen denbora batez, eta atmosferaren barneko erorketa askea praktikatzen dute, harik eta paraxuta irekitzen duten arte.  

Ibilbidean garrantzi handia du gorputzaren erabilera aerodinamikoak. Erorketa aske erreal horretan, airearen marruskadura gorputzaren formaren araberakoa da, eta besoak zabalduz edo gorputza uzkurtuz, paraxutistek abiadura eta norabidea kontrola baitezakete. Horrela, hegazkin beretik jauzi egindako zenbait paraxutistak elkartu egin daitezke atmosferan, eta bertan koreografiak osatu. Zer esanik ez, lurrazaletik segurtasun-distantzia batera paraxuta irekiz, behar den baldintzetan lurreratzen udira.

Erorketa-dorre deritze altuera handiko dorre bertikal batzuei, zeinetan behera abiadura handiz jaits daitekeen kutxa moduko txalupa baten barruan eserita. Horrelako dorreak oso ohikoak dira munduko jolas-parke ospetsuetan, eta, oro har, sentsazio indartsukoak izaten dira.

Dorrearen inguruan finkaturik dagoen eta bertikalki mugitzen den txalupa batek osatzen du jolas-atrakzio hau. Lehenik, txalupa dorrean gora igotzen da ia dorrearen gailurreraino; ondoren, bat-batean askatzen da, eta segundo batzuetan era askean uzten da erortzen. Dorrearen goiko aldean makineria egokia dago prozesua kontrolatzeko, eta balazta magnetikoen sistema batek frenatu egiten du erorketa, azken unean bidaiariak leunki irits daitezen dorrearen behealderaino.

• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-
• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.

• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.
• Fishbane, Paul (2008) Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak) Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308 PMC932800438.
• Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) Fisika orokorra (2. argitalpena) UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-

1. ↑ (Frantsesez) https://www.youtube.com/watch?v=85ppckeT_Mk[Les équations, Clefs de la Physique] La loi de la chute des corps, #2. (2020)..
2. ↑ (Gaztelaniaz) Joe W Kittinger y el escalón más alto del mundo, http://www.stratocat.com.ar/artics/excelsior-s.htm.+Ethan Varlet-en artikulua 1960an Kittingerrek egindako jauziari buruzkoa, Excelsior proiektuaren barruan.. .

• Grabitazioa
• Zinematika
• Higidura parabolikoa