Täisfunktsioon

Täisfunktsioon on kompleksmuutuja funktsioon, mis on holomorfne kogu komplekstasandil. Täisfunktsiooni mõiste on üldistatav ka mitme kompleksmuutuja funktsioonidele.

Täisfunktsiooni Taylori rida koondub kogu komplekstasandil.

Täisfunktsioonil võib olla iseärane punkt (sealhulgas oluliselt iseärane punkt) lõpmatuses.

Nagu järeldub Liouville'i teoreemist, peab funktsioon, millel puuduvad iseärased punktid kogu laiendatud komplekstasandil, olema konstantne (seda omadust saab kasutada algebra põhiteoreemi elegantseks tõestamiseks).

Täisfunktsioon, millel on lõpmatuses poolus, peab olema polünomiaalfunktsioon. Seega on kõigil täisfunktsioonidel, mis ei ole polünomiaalsed (sealhulgas konstantsed), lõpmatuses oluliselt iseärane punkt. Sellised funktsioonid on transtsendentsed täisfunktsioonid.

Picardi väike teoreem tugevdab Liouville'i teoreemi tunduvalt: mittekonstantne täisfunktsioon võtab kõik kompleksarvulised väärtused peale võib-olla ühe. Näiteks on eksponentsiaalfunktsioon, mis võtab väärtusteks kõik kompleksarvud peale nulli.

Nii nagu meromorfseid funktsioone võib vaadelda ratsionaalsete murdfunktsioonide üldistusena, võib täisfunktsioone vaadelda polünomiaalfunktsioonide üldistusena. Kui meromorfsetele funktsioonidele võib üldistada lahutuse lihtsaimateks murdudeks (Mittag-Leffleri teoreem meromorfse funktsiooni lahutusest), siis täisfunktsioonidele üldistub lahutus teguriteks – Weierstrassi teoreem täisfunktsioonidest.

Täisfunktsiooni tüüpilised näited on polünomiaalfunktsioon ja eksponentsiaalfunktsioon, samuti nende funktsioonide summad, korrutised ja superpositsioonid.

John Littlewood nimetab täisfunktsiooni tüüpilise näitena Weierstrassi sigmafunktsiooni.

Logaritmfunktsioon ja ruutjuur ei ole täisfunktsioonid.

Täisfunktsiooni võib vaadelda ruumis ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Olgu ${\displaystyle k}$ multiindeks, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$. Rea

${\displaystyle \sum _{|k|=0}^{\infty }a_{k}z^{k}(*)}$

koonduvuse mõiste sõltub liikmete numeratsiooni viisist, seetõttu peetakse koonduvusest rääkides silmas absoluutset koonduvust: ${\displaystyle \sum _{|k|=0}^{\infty }|a_{k}||z^{k}|<\infty }$

Seega, kui rida (*) koondub ruumis ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, siis selle reaga esitatav funktsioon on täisfunktsioon.

Täisfunktsioonid moodustavad vektorruumi.

Täisfunktsioonide ruumi tähistatakse ${\displaystyle E}$ (sõnast entire), ${\displaystyle C^{n}}$ puhul ${\displaystyle E_{n}}$. Uuemas kirjanduses kasutatakse tähist H^[viide?].