Interés Compuesto

 Definición del Interés Compuesto,

capitalización y Formula Básica.
 Comparativo entre interés Simple y

compuesto.
 Desarrollo de formulas del Interés

Compuesto. Valor Futuro, Valor Presente,

 Calculo de la Tasa de Interés, Calculo del

tiempo de Negociación
 Equivalencias financieras a Ecuaciones de

Valor con I interés Compuesto

Ing. E R R
Definición del Interés Compuesto
 Es la operación financiera en la que los
intereses que genera el capital inicial, ellos
mismos van generando nuevos intereses.
 Es el que se calcula a una tasa constante

durante un tiempo determinado, pero el

capital es aumentado a intervalos regulares al
agregarle el interés de cada periodo.
 Es la tasa de interés que se recibe o se paga

sobre el capital como sobre los intereses

generados en periodos anteriores.

Ing. E R R
 Capitalización
 En el Interés Compuesto se suman
periódicamente los intereses más el capital.
Este proceso de sumar los intereses al capital
cada vez que se liquidan se llama
capitalización, y el periodo utilizado para
liquidar los intereses se llama periodo de
capitalización.

Ing. E R R
 Valor Futuro
 El interés Compuesto se refiere al interés
pagado sobre interés; si una cantidad de
dinero p se invierte en la fecha de hoy = 0, el
monto de dinero F que puede ser acumulado
en un año será:

 F1 = P + Pi

Ing. E R R
F1 = P(1 + i )
F2 = F1 + F1 i reemplazando
F2 = P(1 +i ) + P(1 + i )i
F2 = P(1 + i)^2 y así se hace con el tercer año
F3 = F2 + F2 i reemplazando
F3 = [P(1 + i) + P(1 + i)i] + [P(1 + i) + P(1 + i)i]i
F3 = P (1 + i )^3 por inducción matemática la
formula se generaliza para n.
F = P ( 1 + i )^n

Ing. E R R
 Valor Futuro
 A la expresión ( 1 + i )^n, se le conoce como
factor de cantidad compuesta de pago único
y da como resultado la cantidad futura F, de
una inversión P después de n periodos a una
tasa de interés i.

Expresión • F = P ( 1 + i )^n
Matemática

Expresión •F/P,i,n
Simbólica

Ing. E R R
 Interés Compuesto
 El señor Pérez deposita $ 100 en el Banco
Cafetero, el cual le reconoce una tasa de
interés del 36 % anual con capitalización
trimestral. ¿ Cuál será el valor ahorrado al
finalizar el primer año?
 Como la taza de interés dada es anual y la

capitalización es trimestral, aquella debe

expresarse en términos trimestrales.
 Luego, i = 36% con capitalización trimestral

1 año = 4 trimestres ; 36 / 4 = 9% = 0,09

Ing. E R R
Para ver el comportamiento de los intereses
periodo a periodo hacemos la siguiente tabla.

Periodo Valor Presente Interés Valor Futuro

o 100

1 100 9 109

2 109 9,81 118,81

3 118,81 10,6929 129,50

4 129,50 11,6552 141,1552

Ing. E R R
 Grafico de Flujo de caja

• F = 100 ( 1 + 0,09 ) ^4 = 141,15

F=P(1+i)^n
 Comparativo entre el Interés
Simple y el Interés compuesto
 Se depositan US$100.000 durante 4 años a una tasa de interés
del10% anual.
Datos:
C = US$100.000
I = 10%
N = 4 años
Periodos Interés Simple Interés Interés Compuest Interés
Simple o Compuesto
Interés Monto Interés Monto Acumulado
Acumulado

o 100.000
1 10.000 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000
2 10.000 120.000 20.000 11.000 121.000 21.000
 Tasas de Interés
 Tasas Nominales
 Tasas Efectivas
 Tasas Equivalentes
 Tasas Anticipada
 Tasas Vencidas
 Equivalencias entre Tasas

Ing. E R R
 Tasa Nominal
 Es una tasa de interés de referencia y se
denomina como r, por ser de referencia;
también puede ser llamada J , no mide el valor
real del dinero.

 El diccionario define la palabra nominal como

“pretendida, llamada, ostensible o profesada”.
Estos sinónimos implican que una tasa de
interés nominal no es una tasa correcta, real,
genuina o efectiva.
 
 Tasa Nominal
 El periodo de referencia mientras no se diga lo
contrario, siempre será el año, y se dice que está
implícito y por tanto, no es necesario señalarlo.

 El periodo de composición puede recibir el

nombre de: periodo de capitalización, periodo de
liquidación o periodo de conversión.

 El interés nominal, también puede ser anticipado,

pero en este caso el período de aplicación se
señala de manera anticipada.
Tasas de Interés Nominales

4% bimestral
compuesto
mensualmente

18% semestral
32% Tasa capitalizable
convertible Nominal trimestralment
mensualmente
e

26% anual
capitalizable
semestralmente

Ing. E R R
 Tasa Periódica
 La tasa de interés periódica se simboliza
como i, ip y se aplica siempre al final de cada
periodo. Es aquella tasa en la cual se indican
dos elementos básicos: la tasa y el periodo
de aplicación,

La tasa periódica , mientras; no se indique

lo contrario se maneja como vencida, lo cual
indica que también habrá tasa de interés
anticipada.

Ing. E R R
 Tasa Periódica

2%
mensual

30% 4%
anual bimestral

Tasa
Periódic
a

18% 6%
semestral trimestral

Ing. E R R
Relación Tasa de Interés Periódica
y Nominal
i, ip = tasa de interés periódico
r , j = tasa nominal
m = frecuencia de conversión o numero de
capitalizaciones en el periodo de referencia.
n = exponente que convierte la tasa efectiva o
periódica en una equivalente en el tiempo

Tasa Nominal • r = ip x m
Tasa Periódica • ip = r / m
 Cálculo Tasa Nominal
a) Dado el 3% mensual, encontrar la tasa nominal.
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos
mensuales hay en un año?. La respuesta seria 12
meses hay en un año, por lo tanto:

i = 3% mensual
m = 12 r = i x m
r, j = ? r = 0,03 x 12
r = 0,36 = 36% NM

R/ r es igual al 36% nominal mensual

Ing. E R R
 Cálculo Tasa Nominal
b) Dado el 5% bimestral, encontrar la tasa nominal.
Nos preguntamos ¿ Cuántos períodos bimestrales hay en
un año?. La respuesta seria 6 bimestres, por lo tanto:

i = 5% bimestral
m = 6 bimestres r = i x m
r, j = ? r = 0,05 x 6
r = 0,30 = 30% NB

R/ La tasa nominal r o j, es igual al 30% nominal

capitalizado bimestral.

Ing. E R R
 Cálculo Tasa Periódica
a) Dado el 4% bimestral CM.
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos mensuales hay
en un bimestre?. La respuesta seria 2 meses hay en un
bimestre, por lo tanto:
r = 4%
m = 2 meses ip = r / m
ip = 4% / 2 = 2% = 0,02
R/ La tasa periódica es del 2% mensual

Ing. E R R
 Cálculo Tasa Periódica
b) Dado el 24% anual CB
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos bimestrales hay
en un período anual?. La respuesta seria 6 períodos
bimestrales hay en un año, por lo tanto, m = 6. Un
periodo bimestral corresponde a un período de 2 meses.
r = 24%
m = 6 bimestres ip = r / m
ip = 24% / 6 = 4% = 0,04

R/ La tasa periódica es del 4% bimestral

Ing. E R R
 Tasa de Interés Efectiva
Se denomina por ie. Es un interés periódico especial, debido a
que es un interés para un período especifico, es el interés efectivo
para ese período, por ejemplo: el interés del 3% mensual, es el
interés periódico para el mes y al mismo tiempo, es su interés
efectivo. Lo que indica que para denotar el interés efectivo, sólo
se necesita indicar la tasa y el periodo de aplicación.

El interés efectivo, mide el costo o la rentabilidad real del dinero.

La tasa efectiva se define como la verdadera tasa de interés que se

incurre por un préstamo o se obtiene de una inversión.

Ing. E R R
 Cálculo Tasa Efectiva
Un $1.000.000 de pesos colocados al 2,5% mensual durante un
año lo podemos plantear de la siguiente manera en la
siguiente igualdad.

F = P ( 1 + i )^ n 1000000* (1,025)^12 = 1.344.889

1.344.889 = 1.000.000(1+ 0,025)^12 la cual la podemos

descomponer

1.000.000 + 344.889 = 1.000.000 (1 + (.30 / 12))^12

Ing. E R R
 Tasa Efectiva
P + pi = p (1 + i / n )^n
Sacando factor común P se obtiene:

P(1 + ie) = P (1 + (r / n )) ^n
Dividiendo por p ambos lados de la ecuación tenemos:

( 1 + ie ) = ( 1 + (r / n))^n luego

ie = (1 + (r/n))^n - 1 o ie = (1 + ip )^n - 1

Ing. E R R
 Cálculo Tasa Efectiva
Hallar el interés efectivo anual a partir del 36% anual nominal, si la capitalización es
mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.

1) base mensual ie = (1 + 0,36/12)^12 – 1

(1 + 0,03)^12 – 1
1,4257600887 - 1
0,42576 = 42,57% efectivo anual

2) Base bimensual ie = (1 + 0,36/6 )^6 -1

(1,06)^6 -1
1,418519 -1
0,41,85 = 41,85% efectivo anual

Ing. E R R
 Tasa Efectiva
3) Base Trimestral ie = ( 1 + 0,36/4 )^4 -1
(1,09)^4 – 1
1,4115 -1
0,4115 = 41,15% efectivo anual

4) Base semestral ie = (1 + 0,36/2 )^2 - 1

(1,18)^2 – 1
(1,3924 - 1
0,3924 = 39,24% efectivo anual

Ing. E R R
 Tasa Efectiva
5) Base anual ie = ( 1 + 0,36/1)^1 - 1
1,36^1 - 1
1,36 -1
0,36 = 36%

De lo anterior se puede concluir que r es la tasa nominal y r/n o,

r/m es la tasa periódica y a la vez efectiva de cada subperiodo
de capitalización.

Ej 0,36/2 = 0,18 es la tasa periódica y efectiva para el semestre

cuando la capitalización es semestral.
Ing. E R R
Situación planteada en el Ejercicio
De una tasa menor se va a encontrar una mayor.

ie
Mensual

Ie i ie
Semestral
Anual Bimestral

Ie
Trimestral

Ing. E R R
 Equivalencia
Hallar el interés efectivo mensual, bimestral, trimestral, semestral
y anual equivalente al 30% anual capitalizado mensualmente.
j = 30% CM ip = 0,30 / 12
m = 12 meses ip = 0,025 mensual
ip = ?
ie = (1 + (r/n))^n - 1 o ie = (1 + ip )^n - 1

1) Bimestral ie = (1 + 0,025)^2 – 1

1,050625 – 1
0,050625
5,0625% efectivo bimestral

Ing. E R R
Trimestral ie = ( 1 + 0,025 )^3 - 1
1,076891 – 1
0,076891
7,6891 = efectivo trimestral

 Semestral ie = (1 + 0,025 )^6 - 1

1,1596934 - 1
0,1596934
15,96934% efectivo semestral

Ing. E R R
 anual ie = ( 1 + 0,025)^12 - 1
1,344889 - 1
0,344889
34,4889% efectivo anual

Las conversiones que estamos viendo son las que mas

se utilizan, pero hay que tener en cuenta lo siguiente:

Si la conversión se hace de menor a mayor unidad de

tiempo el exponente es un entero (n), pero si la conversión
se hace de mayor a menor unidad de tiempo el exponente
es un fraccionario (1/n).
Situación Planteada en el Ejercicio
De una tasa menor, en este caso la mensual se va a
encontrar las diferentes tasas equivalentes.
ie
anual

ie ie Ie
semestral mensual bimestral

ie
Trimestral

Ing. E R R
 Comprobación Equivalencia
$1.000.000 depositados un año al 34,4889 efectivo anual
P = $1.000.000
i = 34,4889 EA
n = 1 año
F =?
F = 1.000.000(1 + 0,344889)
F = 1.344.889

Ing. E R R
$1.000.000 depositados un año al 15,9693 efectivo
semestral

P = $1.000.000
i = 15,9693 ES
n = 1 año
F =?

 F = 1.000.000 ( 1 + 0,159693)^2
F = 100.000 (1,1596934)^2
F = 1.344.889

Ing. E R R
Comprobando la Equivalencia
$1.000.000 depositados un año al 7,6891 efectivo trimestral
P = $100.000
i = 7,6891 ET
n = 1 año
F =?
 F = 1.000.000 ( 1 + 0,076891)^4
F = 1.000.000 (1,076891)^4
F = 1.344.889
Como podemos observar vemos que el valor futuro es igual en
las diferentes situaciones, luego esas tasas son equivalentes.

Ing. E R R
 Cálculo de la Tasa Nominal a Partir de una
Tasa Efectiva
Para encontrar una tasa nominal a partir de una efectiva lo hacemos
mediante la siguiente formula:

j = (( 1 + ie )^ (1/n) – 1) x m

r , j = tasa nominal
ie = tasa efectiva
m = periodo de capitalización
n = exponente que convierte la tasa efectiva o periódica en una efectiva
equivalente a otra expresión de tiempo
Si la conversión se hace de menor a mayor unidad de tiempo el exponente
es un entero (n), pero si la conversión se hace de mayor a menor unidad
de tiempo el exponente es un fraccionario (1/n).
Ing. E R R
 Tasa Nominal y Tasa Efectiva
Hallar la tasa nominal trimestral equivalente al 12%
semestral?
jT =?
ie = 12% S Como la conversión es de mayor a menor el
exponente es un quebrado (1/n).
Nos preguntamos cuantos trimestres hay en un semestre?
= 2 trimestres.
m = 4 periodos de capitalización
j = (( 1 + ie )^ (1/n) – 1) x m
J = ((1 + .12)^1/2 - 1) x 4 = 23,3202% NT
Ing. E R R
 Hallar la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente al 2% M.
Datos j = (( 1 + ie )^ (n) – 1) x m
j o r = ? CM
ip= 2% M j = ((1 +0,02)^1 - 1 ) x 12
j = 24% NM

Como la conversión se hace de menor a mayor unidad de tiempo el

exponente es un entero.

 Hallar la tasa NT equivalente al 17% NS

Datos j = (( 1 + ie )^ (1/n) – 1) x m
j o r = ? NT j = ((1 +(0,17/2)^(1/2) - 1) x 4
i = 17%NS j = 0,16653333 = 16,65 % NT

Como la conversión se hace de mayor a menor unidad de tiempo, el

exponente es un quebrado (1/n).

Ing. E R R
 Hallar la tasa NB, equivalente al 16% CM
Datos
j o r = NB ? j = (( 1 + ie )^ (n) – 1) x m
r = 16% CM j = ((1 + (0,16/12)^2 - 1 ) x 6
j = 0,161067 = 16,1067 NB
Como la conversión se hace de menor a mayor unidad de tiempo el
exponente es un entero.

 Hallar la tasa NT, equivalente al 9% semestral.

Datos
j o r = NT ? j = (( 1 + ie )^ (1/n) – 1) x m
ie = 9% S j = (( 1 + 0,09)^(1/2) - 1 ) x 4
j = 0,1761226 = 17,6122%
Como la conversión se hace de mayor a menor unidad de tiempo, el
exponente es un quebrado (1/n).

Ing. E R R
 Tasas de Interés Vencida
Se llama vencida cuando la liquidación se hace al final
del periodo. Se debe tener en cuenta que cuando no se
especifica el término vencido, se debe sobrentender
que la tasa es vencida.

Hasta el momento todos los ejercicios que se han

trabajado han sido con una tasa de interés vencida

Ing. E R R
 Tasa de Interés Anticipada
El interés anticipado es el que se cobra o se paga al
inicio del periodo y se denomina por ia, y se expresa
mediante la tasa y el periodo de aplicación, éste será de
carácter anticipado.

El interés anticipado, es el más caro, debido a que se

cobra de manera inmediata, perdiéndose un costo de
oportunidad, por no disponer de todo el dinero que se
recibe en préstamo.

Ing. E R R
Tasa de Interés Anticipada
2%
2%
mensual
mensual
anticipado
anticipado

4,2%
4,2%
28%
28% anual
anual bimestre
bimestre
anticipado
anticipado anticipado
anticipado
Tasa
Tasa
Anticipada
Anticipada
ia
ia

18%
18% 7%
7%
semestre
semestre trimestre
trimestre
anticipado
anticipado anticipado
anticipado

Ing. E R R
Interés Vencido, Interés Anticipado
Debido a que las formulas de Ingeniería Económica
están expresadas para interés efectivo, se debe tener en
cuenta las equivalencias entre interés anticipado (ia) e
interés vencido (iv):

Interés • iv = ia / 1 - ia
Vencido
Interés • ia = iv / 1 + iv
Anticipado

Ing. E R R
 Relación Tasa de Interés Periódica y
Nominal Anticipada
Al igual que en las tasas vencidas, en las anticipadas
también se puede obtener las tasas de interés periódicos
anticipados, lo que quiere decir que se pueden presentar en
forma Nominal.

Defina el valor de m e ia en las siguientes tasas de intereses

nominales anticipadas:

a) 36% Convertible Bimestralmente anticipado,

b) 8% Bimestral Mes anticipado,
c) 32% anual cuatrimestre anticipado,

Ing. E R R
a) Dado el 36% A B A, encontrar ip
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos bimestrales hay
en un período anual?. La respuesta seria 6 períodos
bimestrales hay en un año, por lo tanto, m = 6. Un
periodo bimestral corresponde a un período de 2
meses.
r = 36% ABA
m = 6 bimestres ip = r / m
ip = ? ip = 0,36 / 6 = 0,06 = 6% BA

R/ La tasa periódica es del 6% bimestral anticipado

Ing. E R R
b) Dado el 8% Bimestral Mes Anticipado, encontrar ip
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos mensuales hay
en un período bimestral?. La respuesta seria 2 períodos
mensuales hay en un bimestre, por lo tanto, m = 2. Un
periodo bimestral corresponde a un período de 2
meses.
r = 8% BMA
m = 2 meses ip = r / m
Ip =? ip = 0,08 / 2 = 0,04 = 4% BA

R/ La tasa periódica es del 4% bimestral anticipado

Ing. E R R
c) Dado el 32% Anual Cuatrimestre Anticipado
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos cuatrimestrales
hay en un año?. La respuesta seria 3 períodos
cuatrimestrales hay en un año, por lo tanto, m = 3. Un
periodo cuatrimestral corresponde a un período de 4
meses.
r = 32% BMA
m = 3 meses ip = r / m
ip =? ip = 0,32 / 3 = 0,1067 = 10,67% CA

R/ La tasa periódica es del 10,67% Cuatrimestral

anticipado

Ing. E R R
 Conversión de Tasas Anticipadas y Tasas
Vencidas
Que tasa mensual anticipada equivale al 4% M?
Datos iv
ia =
i = 4% M 1 + iv
Ia= ?
0, 04
ia = = 0, 038
1 + 0, 04

ia = 3, 8 % M A
R/ La tasa periódica es del 3,8%
Mensual anticipado

Ing. E R R
Que tasa mensual equivale al 3,846153846% MA?
Datos
i = 3,846153846% MA ia
iv =
1 - ia
Iv= ?

0,03846153846
iv = = 0,04
1- 0,03846153846

iv = 4% M

R/ La tasa del 3,846153846% Mensual anticipado,

equivale al 4% MV

ng. E R R
Que tasa M A equivale al 18% SMV.
Nos preguntaríamos ¿ Cuántos períodos mensuales hay en
un semestre?. La respuesta seria 6 períodos mensuales hay
en un semestre, por lo tanto, m = 6.
r = 18% SMV
m = 6 meses ip = r / m
ip =? ip = 0,18 / 6 = 0,03 = 3% M

ia = iv / (1 + iv)
ia = 0,03 / (1 + 0,03)
ia = 0,029126

R/ La tasa periódica es del 2,9127% M anticipado

Ing. E R R