FINANZAS CORPORATIVAS

MSc. DAVID A. ROBALINO CH.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:
VALOR PRESENTE Y FUTURO
MSc. DAVID A. ROBALINO CH.
Correo: davidandres.robalino@alum.upf.edu
 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Analizar el papel del valor del tiempo en las finanzas, el uso de
herramientas computacionales y los patrones básicos del flujo de
efectivo.
• Entender los conceptos de valor futuro y valor presente, su cálculo
para montos únicos y la relación entre ellos.
• Calcular el valor futuro y el valor presente tanto de una anualidad
ordinaria como de una anualidad anticipada, y calcular el valor
presente de una perpetuidad.
• Calcular tanto el valor futuro como el valor presente de un ingreso
mixto de flujos de efectivo.
• Comprender el efecto que produce la capitalización de los intereses,
con una frecuencia mayor que la anual, sobre el valor futuro y sobre
la tasa de interés efectiva anual.
 MATEMÁTICAS FINANCIERAS
La Matemática Financiera es el campo de las matemáticas aplicadas, que
analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados
financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
 El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
• Es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere
recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el
mismo a una fecha futura que quedare igual si se usa o no se usa.
• En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede
obtener interés sobre ese dinero. Adicionalmente, debido al efecto de
inflación, en el futuro esa misma suma de dinero perderá poder de
compra.
• INTERÉS.- El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal
del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.
• Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos
de tiempo y según el capital comprometido.
• La tasa de interés es el rendimiento producido por la unidad de
capital en la unidad de tiempo.
TIPOS DE INTERESES Y FÓRMULAS
Terminología básica
P = valor o suma de dinero en tiempo presente [unidades monetarias]

F = valor o suma de dinero en algún tiempo futuro [unidades monetarias]

A = serie consecutiva de cantidades iguales de dinero al final de cada período

[unidades monetarias por unidad de tiempo]

n ó t = número de períodos [unidades de tiempo]

r ó i= tasa de interés por período [porcentaje por unidad de tiempo]

I = interés producido por el préstamo o la inversión [unidades monetarias]

INTERÉS SIMPLE
Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera
que en un futuro el prestatario se lo devuelva, pero que además le dé una cantidad
adicional en contraprestación, esto es el interés.
Fórmula Interés Simple 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔: 𝑰 = 𝑷 ∗ 𝒓 ∗ 𝒕
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂: 𝑭 ó 𝑨 = 𝑷 𝟏 + 𝒓𝒕
Interés = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo
Interés (I).- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación.
Cantidad (P).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses.
Tipo de interés (r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación dura un año.
Plazo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años.
Cantidad Acumulada (A).- Cantidad acumulada o Futuro (F)
F=?
i%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses

P
 INTERÉS SIMPLE
Otras Fórmulas despejando Interés Simple:
Cantidad (P).- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
𝐼
𝑷=
𝑟𝑡
Tipo de interés (r).- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la
operación dura un año. 𝐼
𝒓=
𝑃𝑡
Plazo (t).- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años
𝐼
𝒕=
𝑃𝑟
NOTA. Para aplicar las fórmulas anteriores, es preciso que los datos de la tasa de
interés y el tiempo se refieran a la misma unidad de medida, es decir, si el interés
es anual, el tiempo se expresará anualmente; si el tiempo se encuentra expresado
mensualmente, habrá que obtener el interés por mes.
 INTERÉS SIMPLE
Fórmula Monto ó Futuro Simple El monto es el valor que adquiere una cantidad
invertida, a lo largo de un tiempo y es denominado como valor futuro o monto.
𝐼 =𝑃 ∗𝑟 ∗𝑡 2.1
𝐹 =𝑃+𝐼 2.2
𝐹 =𝑃+ 𝑃 ∗𝑟 ∗𝑡 Reemplazar 2.1 en 2.2
𝐹 = 𝑃 ( 1 + 𝑟𝑡)
Fórmula Valor Presente Simple Es la cantidad inicial con la que se realiza una
inversión ó préstamo, misma que representa la base sobre la cual se generan los
intereses
𝐹
𝑃=
1 + 𝑟𝑡
Nota.- Monto (M) ó Futuro (F).
 EJERCICIO/ INTERÉS SIMPLE

Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este

capital a una tasa del 36% anual simple y el capital restante al 2.0%
mensual simple. Calcular el valor de los intereses mensuales
simples.
 EJERCICIO/ INTERÉS SIMPLE
Juan David tiene un capital de $ 2.000.000. Invierte el 60% de este capital a una tasa
del 36% anual simple y el capital restante al 2.0% mensual simple. Calcular el valor de
los intereses mensuales simples.
El 60% de $ 2.000.000 = $ 1.200.000
Juan David invierte su capital de la siguiente forma:
• $ 1.200.000 a una tasa del 36% anual simple.
• $ 800.000 a una tasa del 2.0% mensual simple.
0.36
Cálculo del interés mensual simple de $ 1.2000.000. 𝑰 = 1.200.000 ∗ ∗ 1 = $36.000
12
Cálculo del interés mensual simple de $ 800.000. 𝑰 = 800.000 ∗ 0.02 ∗ 1 = $16.000
El interés total recibido cada mes es igual a la suma de los intereses parciales:
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍 = $36.000 + $16.000 = $52.000

El tiempo es 1/12 porque se solicita el cálculo de un mes por intereses simples.

 EJERCICIO/ INTERÉS SIMPLE
Si usted desea invertir sus ahorros de $10.000 a 10 meses, a una tasa de
interés simple del 5%, a cuánto ascendería el monto de interés ganado y
cuánto sería el monto que recibiría al término de la inversión?
 EJERCICIO/ INTERÉS SIMPLE
Si usted desea invertir sus ahorros de $10.000 a 10 meses, a una tasa de
interés simple del 5%, a cuánto ascendería el monto de interés ganado y
cuánto sería el monto que recibiría al término de la inversión?

P = $10.000 I = $416,67
i = (5%/12)*10 M = P + I = $10.416,67
n = 10 meses
 EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE Y APLICACIÓN DEL VALOR
PRESENTE
Qué oferta es más conveniente para el comprador de un activo fijo:
$4.000 iniciales y $6.000 después de seis meses ó $6.000 iniciales y
$4.000 después de un año? Suponer un interés simple del 6%.
 EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE Y APLICACIÓN DEL VALOR
PRESENTE
Qué oferta es más conveniente para el comprador de un activo fijo:
$4.000 iniciales y $6.000 después de seis meses ó $6.000 iniciales y
$4.000 después de un año? Suponer un interés simple del 6%.
Trabajo en Clase
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
Una recién graduada de la universidad trabaja en Boeing Aerospace.
Tiene planes de solicitar un préstamo de $10 000 ahora para adquirir
un automóvil. Decide que reembolsará todo el principal más 8% de
intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos de
ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como
los valores que tienen para el adeudo total después de 5 años.
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
Una recién graduada de la universidad trabaja en Boeing
Aerospace. Tiene planes de solicitar un préstamo de $10 000 ahora
para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará todo el
principal más 8% de intereses anuales después de 5 años.
Identifique los símbolos de ingeniería económica necesarios para
resolver el problema, así como los valores que tienen para el
adeudo total después de 5 años.
Solución
En este caso, están involucradas P y F, ya que todas las cantidades
son pagos únicos, así como i y n. El tiempo está expresado en años.
P = $10 000 i = 8% anual n = 5 años I = $4000
Se desconoce la cantidad futura F=? F(ó M)=14 000
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en
una cuenta de ahorros que generará $1 000 este año para ayudar a Jane
con los gastos de la universidad. Calcule la cantidad que se depositó
hace exactamente un año para ganar $1 000 de intereses ahora, si la
tasa de retorno es de 6% anual.
EJERCICIO / INTERÉS SIMPLE
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero
en una cuenta de ahorros que generará $1 000 este año para
ayudar a Jane con los gastos de la universidad. Calcule la cantidad
que se depositó hace exactamente un año para ganar $1 000 de
intereses ahora, si la tasa de retorno es de 6% anual.
Remitiéndose a las ecuaciones F = monto total hoy y P = cantidad
original.
Sabemos que F – P = $1 000 es el interés acumulado.
Ahora se determina P para Jane y su abuela.
F = P + P(tasa de interés)
Los $1 000 de interés pueden expresarse de la siguiente manera:
Interés = F – P = [P + P(tasa de interés)] – P
= P(tasa de interés)
$1 000 = P(0.06) P = $1000/0.06 = 16,666.67
INTERÉS COMPUESTO
 INTERÉS COMPUESTO
El interés compuesto (llamado también interés sobre intereses), es aquel que al
final del período capitaliza los intereses causados en el período
inmediatamente anterior.

En el interés compuesto el capital cambia al final de cada periodo, debido a que

los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual
se calculan los intereses.

Es el monto Intereses
sobre la base acumulados en
inicial periodos anteriores

Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses,

esto es la capitalización del dinero en el tiempo.
CAPITALIZACIÓN

Es el proceso de ir del
valor actual

Al Valor Futuro
 CAPITALIZACIÓN
La capitalización proceso mediante el cual los intereses que se van causando
periódicamente se suman al capital anterior.

Periodo de Capitalización (n).- Período pactado para convertir el interés en capital;

puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.

Frecuencia de Capitalización ó conversión (fc).- Número de veces que, en un

año, el interés se suma al capital.

Tasa de interés por periodo (r).-

 CAPITALIZACIÓN
Periodo de Conversión de Tasa Nominal.

Fórmula Interés Compuesto

 CAPITALIZACIÓN
EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión y la tasa interés por periodo (r) al 60% anual
capitalizable mensualmente, de una operación cualesquiera?

EJEMPLO: ¿Cuál es la frecuencia de conversión (fc) para un depósito bancario que paga el 5%
de interés capitalizable trimestralmente?

EJEMPLO: Si un documento ofrece pagos semestrales y tiene una duración de 3 años.

¿Cuánto vale m y n?

fc= 12/6 n= m x t
fc= 2 semestres en 1 año n= 2 * 3 Años = 6 periodos
 CAPITALIZACIÓN

NOTA:

Es muy importante que para la solución de problemas de interés compuesto, el interés anual sea
convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo de capitalización que se establezca.

Al realizar un cálculo de interés compuesto es necesario que la tasa de interés esté expresada en la
misma unidad de tiempo que el periodo de capitalización; Si no se especifica el periodo de referencia,
éste se debe entender en forma anual.
VALOR PRESENTE (VP)

El valor presente del dinero es el valor actual neto de una cantidad que
recibiremos en el futuro y está dado por:
 VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO

EJERCICIO

El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6

meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece
el 3.5% mensual, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?
 VALOR PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO
EJERCICIO
El señor Pedro Picapiedra necesita disponer de $ 300.000 dentro de 6 meses para
el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 3.5% mensual,
¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

Aplicando la fórmula:
 EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO

EJERCICIO

Cuánto recibirá luego de 6 meses si se depositó $ 1000 en una cuenta

de ahorros con una tasa de 1.35% capitalizable mensualmente.
 EJERCICIO VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO

EJERCICIO

Cuánto recibirá luego de 6 meses si se depositó $ 1000 en una cuenta

de ahorros con una tasa de 1.35% capitalizable mensualmente.

F = 1,083.78
 VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO
EJERCICIO

Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que

reconoce una tasa de interés del 3% mensual. Se desea saber, ¿cuánto
dinero se tendrá acumulado al final del sexto mes?
 VALOR FUTURO A INTERÉS COMPUESTO
EJERCICIO
Se invierten $ 1.000.000 durante 6 meses en una corporación que reconoce una tasa de
interés del 3% mensual. Se desea saber, ¿cuánto dinero se tendrá acumulado al final del
sexto mes?

El valor acumulado al final del sexto mes también se lo puede calcular con la siguiente
fórmula de valor Futuro:
INTERÉS DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS DE UN CAPITAL A INTERÉS COMPUESTO
 FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS

VALOR DEL DINERO
EN EL TIEMPO:

ANUALIDADES
Anualidades o series uniformes
DEFINICIÓN
Las anualidades son una serie de pagos iguales, realizados en
forma periódica, es decir, a intervalos de tiempo iguales.

TÉRMINOS:
• Renta o pago.- Es el pago periódico y de igual valor.
• Período de Renta.- Es el tiempo que transcurre entre dos
pagos.
Anualidades o series uniformes

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA

ANUALIDAD
Para que un conjunto de pagos se considere una anualidad
debe cumplir con las siguientes condiciones:

• Todos los pagos (rentas) deben ser iguales.

• Todos los pagos deben ser periódicos.
• A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés
• El número de pagos debe ser igual al número de períodos.
Anualidades o series uniformes
es aquella en que los pagos se hacen al final del período.

es la suma de los valores presentes de todos los pagos.

EJEMPLO
EJEMPLO

Se calcula el valor presente de las 12 cuotas iguales, que quedará ubicado

al principio del período en el que se hace el primer pago.

El valor del vehículo será igual al valor presente de los 12 pagos iguales más la cuota
inicial.
Es un valor ubicado en la fecha del último pago, equivalente a toda la serie de pagos
EJEMPLO
Otras Fórmulas de anualidades vencidas:

Es el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación. Dependiendo de

que valores durante la operación se conozca, ya sea valor presente ó futuro se utiliza
las siguientes fórmulas:
 Es aquella en la cual los pagos se hacen al principio de cada período.

El valor presente de una serie de pagos iguales anticipados será el valor, que en el momento de
realizada la operación financiera sea equivalente a toda la serie.
EJEMPLO
Ejercicios
1. Un bono hipotecario con valor nominal de $10 000 tiene una tasa de
interés de 6% anual que se paga en forma trimestral. ¿Cuáles son el
monto y la frecuencia de los pagos del interés?
2. ¿Cuál es el valor nominal de un bono municipal que tiene una tasa de
interés de 4% anual, con el pago de intereses por $800
semestralmente?
3. ¿Cuál es la tasa de interés de un bono de $20 000 que tiene pagos de
los intereses de $1 500 semestrales y una fecha de vencimiento de 20
años?
4. ¿Cuál es el valor presente de un bono de $50 000 cuyo interés es de
10% anual, pagadero en forma trimestral? El bono vence en 20 años.
La tasa de interés en el mercado es de 10% anual, compuesto
trimestralmente.
Ejercicios
5. ¿Qué valor presente tiene un bono municipal de $50 000, con
una tasa de interés de 4% anual, con pagos trimestrales? El
bono vence en 15 años y la tasa de interés en el mercado es de
8% anual, compuesta trimestralmente.
6. General Electric emitió 100 bonos certificados hace tres años
con valor nominal de $5 000 cada uno e intereses de 8% anual
pagaderos en forma semestral. Los bonos tienen una fecha de
vencimiento de 20 años a partir de la fecha en que se emitieron.
Si la tasa de interés en el mercado es de 10% anual, compuesta
semestralmente, ¿cuál sería el valor presente de un bono para
un inversionista que quisiera comprarlo hoy?