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Ecuaciones Lineales Cuadraticas
Ecuaciones Lineales Cuadraticas
Ecuaciones Lineales Cuadraticas
MATEMÁTICO:
• Ecuación Lineal:
Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.
• Ecuación Trivial:
Ecuación en la cual aparece solo la variable en un lado de la ecuación y
en el otro lado aparece una constante (número).
Definiciones Continuación…
• Solución de una ecuación lineal:
Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación
hacen cierta la misma.
• Resolver la ecuación:
Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación.
Ejemplos de Ecuaciones
Lineales en Una Variable
Ejemplos de Ecuaciones
¿Cuáles son lineales en una variable?
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
Proceso para resolver una
ecuación lineal en una
variable
Para resolver una ecuación lineal…
3x – 7 = 14
Hay que convertir la ecuación anterior a la
ecuación trivial,
o sea,
hay que despejar la variable en uno de los
lados de la ecuación, el izquierdo o el
derecho.
Recordar que...
• Una ecuación es como una balanza
de dos platillos…
Monotonía de la Adición
Monotonía de la Multiplicación
Aplicación de las
Propiedades de la Igualdad
Demostración de proceso para
resolver ecuación
2x + 5 = 11
Se desea despejar la variable que está en el lado
izquierdo.
Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde
está. En este ejemplo la variable x está acompañada de
la suma de 5 y la multiplicación por 2.
Se elimina siempre primero las sumas y restas y
después las multiplicaciones y divisiones.
Continuación de proceso...
2x + 5 = 11
Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad
aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación
o división se aplica la propiedad multiplicativa de la
igualdad.
Se elimina una operación haciendo la operación
contraria:
Se elimina una suma restando
Se elimina una resta sumando
Se elimina una multiplicación dividiendo
Se elimina una división multiplicando.
Demostración de proceso...
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6
2x = 6
2x = 6
2 2
x=3
Otro ejemplo: 6x – 9 = 27
6x – 9 = 27
6x –9 + 9 = 27 + 9
6x = 36
6x = 36
6 6
x=6
Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6
3x – 1 = - 4x + 6
3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1
3x = - 4x + 7
3x + 4x = 4x + - 4x + 7
7x = 7
7x = 7
7 7
x=1
Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10
2(x – 8) = 10
2x – 16 = 10
2x = 10 + 16
2x = 26
2 2
x = 13
Ecuaciones que contienen
fracciones
Ecuaciones que contienen
fracciones
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para
eliminar las fracciones:
Método de Proporciones
Método de No-Proporciones
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de Proporciones
Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.
Ejemplos de proporciones:
x–4 = x+4
3 2 En una proporción si se
multiplica cruzado se
obtiene la misma cantidad.
2x – 4 = x + 8
3 5
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de Proporciones
x–4 = x+4
3 2
Se multiplica
2 (x – 4) = 3 (x + 4) cruzado.
2x – 8 = 3x + 12
-12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de No-Proporciones
Aplica cuando la ecuación no es una proporción.
5 - 2x = 9
3
x + 3 = 2x - 5
4 5 3
Ecuaciones que contienen
fracciones
Método de No-Proporciones
5 - 2x = 9
3
5 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3
3 1
15 – 2x = 27
-2x = 27 – 15
-2x = 12
-2 -2
x = -6
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Solución
x 2 18 x 81 ( x 9) 2 0
La solució n es: x = 9
EJEMPLOS x 2 x 72 0
Solución
( x 9)( x 8) 0
x = -9, x=8
EJEMPLOS
ECUACIONES POLINÓMICAS
EJEMPLOS
1. Resolver: x 3 81x 0
Solución:
x 0 x 9 x 9 0
Los valores de x son: x 0; x 9; x 9
EJEMPLOS
3 2
2. Resolver: x 2 x 5 x 6 0 Método de Ruffini
Solución:
1 2 5 6
D 6 1; 2; 3; 6 1 1 1 6
1 1 6 0
2 2 6
1 3 0
3 3
1 0
x 2 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3
3 2
x 1 x 2 x 3 0
Las soluciones son: x 1; x 2; x 3
EJEMPLOS
EJEMPLOS