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5 Notas - Desplazamiento - Plano
5 Notas - Desplazamiento - Plano
5 Notas - Desplazamiento - Plano
Autores
UNIVERSIDAD DE SONORA
Departamento de Física
DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO
Sea r1 el vector de posición inicial que ubica a la partícula
en el plano cartesiano, cuando éste está en el punto de
coordenadas ( x1 , y1 ) en el instante de tiempo t1.
(x2 , y2) en t2
y2
y = y2 – y1
A
(x1 , y1) en t1
r2
y1
r1
x1 x = x2 – x1 x2 x+
Donde:
x = x2 – x1 es la componente del vector A en el eje x
y = y2 – y1 es la componente del vector A en el eje y
A = |A|= √ (x)2 + (y)2 = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
es la magnitud del vector A, la cual representa la distancia
entre la posición inicial y la final, más no la distancia
recorrida por el cuerpo, puesto que la trayectoria que siguió
la partícula es diferente.
Analizando a los vectores que tenemos en la figura,
observamos que el vector r2 es la resultante de sumar los
vectores r1 y A; esto es:
r1 + A = r2
Despejando al vector A (siguiendo las reglas del álgebra)
tenemos que:
A = r2 - r1
definiendo a A como r , tenemos que:
r = r2 - r1
lo cual en expresiones verbales representa:
r ∕ t
cuyas unidades son m/s
Este concepto así definido recibe el nombre de velocidad media. Para ver
que tipo de cantidad física es (escalar o vectorial) analicemos el cociente:
r1
2
c tori a
3
tr aye
1 r 13
r2 r3
r1
x+
Velocidad media …
La magnitud del vector v12 es:
v12 = | v12 | = (1 ∕ t 12) | r12 |
Con misma dirección y sentido que r12
(x10 , y10)
(x0 , y0) r 1→ 10
t o r ia
a ye c
tr
r 10
r1
x+
velocidad media entre t 0 y t10
v10 = | v10 | = (1 ∕ t10 - t 0) | r1→10 |
misma dirección que
r1→10
Velocidad instantánea …
y+
(x9 , y9)
r 1→ 9
(x0 , y0)
tor ia
ay e c
tr
r9
r1
x+
velocidad media entre t 0 y t 9
v9 = | v9 | = (1 ∕ t 9 - t 0) | r 1→ 9 |
misma dirección que
r1→ 9
Velocidad instantánea …
y+
(x8 , y8)
8
1→
r
(x0 , y0)
tor ia
r8 ay e c
tr
r1
x+
velocidad media entre t 0 y t 8
v8 = | v8 | = (1 ∕ t 8 - t 0) | r 1→ 8 |
misma dirección que
r1→ 8
Velocidad instantánea …
y+ (x7 , y7)
7
1→
r
(x0 , y0) r7 tor ia
ay e c
tr
r1
x+
velocidad media entre t 0 y t 7
v7 = | v7 | = (1 ∕ t 7 - t 0) | r 1→ 7 |
misma dirección que
r1→ 7
Velocidad instantánea …
Analizando lo anterior, podemos decir que:
Nos estamos moviendo sobre la trayectoria de la
partícula.
Encontramos vectores velocidades medias
diferentes (aunque puedan ser igual en magnitud).
v10 ≠ v9 ≠ v9 ≠ v7
El intervalo de tiempo es cada vez menor
(t 7 - t 0 ) < (t 8 - t 0 ) < (t 9 - t 0 ) < (t 10 - t 0 )
Nos estamos acercando al punto de coordenadas (
x 0 , y 0 ) en el instante de tiempo t 0.
Velocidad instantánea …
Seguimos desarrollando el mismo procedimiento de
acercarnos mas al instante de tiempo t 0 eligiendo
otro instante de tiempo menor ( t 6 ).
Elegir el mismo punto de coordenadas (x 0 , y 0 ) en
t 0 y otro punto que también esté sobre la
trayectoria pero en un instante de tiempo t 6
anterior a t 7.
Calcular la velocidad media entre este nuevo par
de posiciones para ver su dirección y sentido.
Comparar las velocidades medias obtenidas, así
como los respectivos intervalos de tiempo.
Velocidad instantánea …
y+
(x6 , y6)
r 1→6
(x0 , y0)
t o r ia
a ye c
tr
r1 r6
x+
velocidad media entre t 0 y t6
v6 = | v6 | = (1 ∕ t6 - t 0) | r1→6 |
misma dirección que
r1→6
Velocidad instantánea …
Para abreviar, se sigue repitiendo el mismo procedimiento una infinidad de
veces, de tal manera que las parejas de puntos (x0 ,y0) y (x , y ) estén tan
cerca uno del otro que prácticamente estaremos trabajando con la sección
recta de una curva.
En dichos puntos, los vectores velocidades medias variarán muy poco en
magnitud, dirección y en sentido, siendo el intervalo de tiempo tan
pequeño como nosotros queramos (próximo a cero).
Cuando ocurre esto, la dirección del vector velocidad media es tangente a
la trayectoria y el intervalo de tiempo se dice que tiende a cero (pero sin
hacerse cero) y prácticamente estamos trabajando alrededor del instante
de tiempo t 0 por lo que la velocidad media recibe el nombre de velocidad
instantánea.
Veámoslo en una última gráfica:
Velocidad instantánea …
y+ Prolongación de r
r ia
e cto
y
tra Tangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0
r
(x0 , y0) (x , y)
r0 r
r r - r0x+ d r
v lim v m lim
Velocidad instantánea = lim
t 0 t 0 t t 0 t t dt
0
y+ v4 v5
ria v3 v6
ct o
y e v7
t ra v2
Vectores v8
v1 v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7
v1 = v8
Magnitudes
v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8
x+
Aceleración media
En la gráfica anterior, el vector velocidad cambia de dirección (aunque
su magnitud sea la misma). Como los vectores no son iguales implica
que existe un cambio en el vector velocidad.
Dicho cambio viene dado por:
v = vf – vi
que viene siendo un nuevo vector que surge de la diferencia de dos
vectores. Como se vio anteriormente, también se puede expresar como:
v = vf +(– vi)
es decir, como la suma del vector velocidad final mas el negativo del
vector velocidad inicial.
Veámoslo gráficamente
Aceleración media …
y+ v5
v4
v56
-v3 -v4
v3 v6
-v2
-v1 -v5 -v7
v7 v78
v12 v2 -v6
v8
v1
v = v f +( – v i )
x+
Aceleración media …
y+ y+
x+ x+
Sin resistencia del aire Con resistencia del aire
Movimiento de Proyectiles
Que el lanzamiento no sea muy elevado, de tal manera que la
aceleración pueda considerarse constante. En estos casos, la
aceleración es la aceleración de la gravedad, y g varía con la altura.
Se lanza una pelota con una velocidad inicial sobre una mesa alta y sin
rozamiento (no hay resistencia al objeto lanzado), si consideramos
que dicha mesa es infinitamente larga, entonces la pelota se movería
en movimiento rectilíneo uniforme, es decir, siempre tendrá la
misma velocidad recorriendo distancias iguales en iguales intervalos
sucesivos de tiempo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:
y t
y t
y t
y t
y t
Ver simulación
Ecuaciones de movimiento de Proyectiles
V0
v0y = │V0│sen θ0
θ0
v0x = │V0│cos θ0
y = y0 + x tan θ0 – g x 2 ⁄ ( v0 cos θ0 ) 2
Ésta ecuación se encuentra despejando el tiempo de la primera
ecuación de mov. horizontal, sustituyéndolo en la primera del mov.
vertical y realizando operaciones algebraicas.
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
Tiro Horizontal
Este caso se da cuando se dispara un objeto horizontalmente desde
una cierta altura. Debido a esto:
El ángulo inicial de salida es de cero grados.
θ0 = 0
La magnitud del Vector velocidad inicial es igual a la componente
horizontal de la velocidad inicial y como el movimiento horizontal es
uniforme, también es igual a la velocidad horizontal en cualquier
instante de tiempo.
V0 =│V0│= v0x = vx
La componente del Vector velocidad inicial en el eje vertical es cero.
v0y = 0
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
y<0
y = ½ ( vy ) t
vy = – g t
y-
v = –2 g y
y
2
BLANCOS Y ALCANCES
Este caso se refiere exclusivamente cuando el proyectil sale
disparado con un ángulo de inclinación desde un nivel y llega
nuevamente a ese mismo nivel. (por ejemplo, sale de tierra y llega a
tierra). vx = v0x
Debido a lo anterior, tenemos que: vy = 0
v0y = │V0│sen θ0 θ0
Xmax = R
y = y0 = 0
Los aspectos principales a considerar son:
Tiempo total de vuelo.
BLANCOS Y ALCANCES
TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T )
Se encuentra a partir de la condición y = y0 = 0 y de la
primera ecuación general para el movimiento vertical:
y = y0 + v0y t - ½ g t2
0 = 0 + v0y t - ½ g t2
Despejando el tiempo
t = 2 v0y ⁄ g
O bien
t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES:
ALCANCE HORIZONTAL ( x = x
max. = R )
vy2 - v0y2 = –2 g ( y – y0 )
v0y2 = 2 g ( ymax )
ymax = v0y2 ⁄ 2 g
ymax = (v0 sen θ0)2 ⁄ 2 g
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
BLANCOS Y ALCANCES:
Analizando las expresiones de blancos y alcances, observamos que todas ellas
dependen de:
La velocidad inicial V0
El ángulo de disparo θ0
El valor de la gravedad g
En el caso del tiempo total, si mantenemos constante a la velocidad inicial
V0 y variamos el ángulo de disparo θ0 tendremos que para mayor ángulo
mayor será el tiempo que tarda el objeto en caer.
y+
t```> t``> t`
t```
``` ``` `
t``
misma
V0
```
`` t`
`
x+
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
x = (V02 sen 2 θ0 ) ⁄ g
0 ≤ sen θ0 ≤ 1
sen 2 θ0 = 1
resolviendo para el ángulo:
2 θ0 = sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ (900 )
θ0 = 450
Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
sen 2 θ0 = 1
resolviendo para el ángulo:
2 θ0 = sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ sen-1 ( 1 )
θ0 = ½ (900 )
θ0 = 450
Para ejemplificar lo anterior veamos la siguiente ilustración:
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:
250 450
650
50
x+
Misma V0
Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles: