Fisica 3

FISICA 3

Campo Magnético

Profesora Carmen Esteves

Profesor de la Pontificia Universidad Católica del Perú
 INTRODUCCION

Otro campo que entra en el estudio de la electricidad y el magnetismo es el campo

magnético. Los efectos de estos campos son conocidos desde tiempos antiguos. En
la Grecia antigua era conocido que ciertas piedras procedentes de Magnesia (ahora
denominadas magnetitas) atraían trocitos de hierro.
El descubrimiento de la propiedad de orientación de este material en sentido norte-sur,
influyó profundamente en la navegación y exploración.
Aparte de esta aplicación el magnetismo tuvo poco uso y no fue explicado hasta cuando
se inventó la pila voltaica.
La pila proporciona corrientes continuas del orden da amperios, con tales corrientes se
descubrieron nuevos procesos une detrás de otro en rápida sucesión que
relacionaron el magnetismo con la electricidad.
 DEFINICION DE CAMPO MAGNETICO
El campo magnético se define por sus efectos sobre una carga en movimiento .
  
F  q v B
La magnitud de F está dada por F = q v sen 
N N

En el sistema MKS, la unidad de B es m A.m
C.
s
A esta unidad se le conoce como tesla (T)

Weber Wb
Otra denominación de esta unidad es T 2
m2 m

También se usa el Gauss (G) G  10 -4 T

Para tener una idea de la magnitud del Gauss
daremos algunos ejemplos de campos magnéticos.

De la Tierra es del orden de 0,5 G

De un imán pequeño 100 G
De un imán grande 20000 G
De un acelerador de partículas 60000 G
 La ley de Fuerza de Lorentz.

La fuerza electromagnética total sobre la partícula cargada es

la suma vectorial de las fuerzas magnéticas y las fuerzas
eléctricas:


  
F  q E  v  B 
 
Carga eléctrica en un campo magnético
 EL FLUJO MAGNETICO
De la misma manera que en la teoría del campo eléctrico, asociaremos el
campo magnético B a un flujo magnético;

Cuando el campo tiene intensidad

uniforme se representa por líneas
rectas, uniformemente espaciadas, tal
como se muestra.

El flujo neto a través de cualquier superficie es  B   B  nˆ dS

S

El flujo magnético se mide en unidades de campo magnético por

unidad de área o sea Weber (Wb).
MOVIMIENTO DE UNA CARGA PUNTUAL EN UN
CAMPO MAGNETICO
 (El experimento de Thomson)

Ejemplo 1. Medida de la relación q/m para electrones.

Ejemplo 2. El espectrómetro de masas es un aparato que utiliza los principios
anteriores para medir la masa de los isótopos. Mide la razón q/m de los iones,
determinando la velocidad de estos y luego midiendo el radio de su órbita
circular en el interior de un campo magnético uniforme
En la figura se muestran los elementos de un
espectrómetro, la sección entre A y C actúa como se-
lector de velocidades y pasan por la ranura C solo las
partículas con velocidad común v.
Al salir de C estas partículas entran en una región en
la que hay un campo magnético constante B0
perpendicular al plano de la figura, las partículas
forman una trayectoria circular hasta que chocan con
la pantalla o algún instrumento detector. La distancia
a la que se detecta la partícula está dada por
 Ejemplo 3. ¿Es posible diseñar o plantear un campo magnético capaz de
modificar la trayectoria y velocidad de una partícula cargada a nuestra
conveniencia? ¿Cómo? o ¿por qué?
Solución:

Con campos eléctricos y campos magnéticos.

Los campos eléctricos causan una fuerza sobre la partícula cargada
 
F  qE
Los campos magnéticos causan una fuerza sobre la partícula cargada
  
F  q v B
Ejemplo 5. Un haz de electrones acelerado por una diferencia de potencial de 300
V, se introduce en una región donde hay un campo magnético uniforme
perpendicular al plano del papel y hacia el lector de intensidad 1,46 10 -4 T. La
anchura de la región es de 2,5 cm. Si no hubiese campo magnético los electrones
seguirían un camino rectilíneo.
a) ¿Qué camino seguirán cuando se establece el campo magnético?
b) ¿Cuánto se desviarán verticalmente al salir de la región? Razónese las respuestas
Datos: masa del electrón 9,1 10-31 kg, carga 1,6 10-19 C.

Solución:
 Fuerza magnética sobre un conductor con corriente
Cuando las cargas eléctricas se mueven en un conductor
que esté en un campo magnético, existe una fuerza sobre
el conductor que es la suma de las fuerzas magnéticas
sobre las partículas cargadas en movimiento.

La figura muestra un conductor de sección A por el que pasa una corriente I y se encuentra en un campo
magnético B, producido por fuentes magnéticas diferentes. Tomemos un elemento infinitesimal d del
alambre, consideremos que el flujo de corriente se debe a N portadores de carga por unidad de volumen,
cada uno de los cuales se desplaza con velocidad vd en la dirección de la corriente, por consiguiente la
carga total que participa es Q = qNAd siendo q la carga de cada portador.
 El motor de Faraday

En 1821, un año después de que Hans Christan Oersted

descubriera el electromagnetismo, el gran científico Michael
Faraday buscó la manera de cómo obtener movimiento con lo
descubierto, así creo el primer motor del mundo.
Ejemplo 27. ¿Cuál es la fuerza sobre
el alambre mostrado en la figura
siguiente?

Solución:
Ejemplo 28. Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el
plano xy tal como se muestra en la figura. Se aplica un campo magnético
paralelo al eje z, que varía a lo largo del eje x de la forma B = 0,1 x T
(donde x se expresa en metros).
a) Calcular el flujo del campo magnético que atraviesa la espira.
b) La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre cada uno de los lados de
la espira.
Solución.
Ejemplo 33. ¿Un alambre recto largo que lleva una corriente I tiene un
“doblez semicircular" de radio R. ¿Cuál es el campo magnético en el centro
del semicírculo?

Solución
Ejemplo 36. Un riel electromagnético para lanzamiento puede construirse
de la forma siguiente: Una barra conductora de masa m sobre dos carriles
conductores horizontales paralelos separados una distancia L. Una fuente
de poder hace circular una corriente I por los rieles y la barra. Se
mantiene un campo magnético vertical uniforme B. ¿Si la barra está
inicialmente en reposo, cuál será la velocidad después de que se haya
movido una distancia x? Se ha sugerido que este dispositivo se podría
utilizar para poner cargas útiles en órbita alrededor de la tierra, o
transportar el mineral de la superficie de la luna a una fábrica en el
espacio, o inducir reacciones de fusión nuclear con choques de alta
velocidad.
Solución.
Ejemplo 38. Un lazo cuadrado de lado L y de n vueltas lleva una corriente I.
Un lado del cuadrado está a lo largo del eje de z, y la corriente fluye hacia
abajo en este lado. El resto del lazo está en el cuadrante xy positivo, y el plano
del lazo hace un ángulo  < 90º con el eje x. Un campo magnético B se dirige
a lo largo del eje positivo de x. ¿Qué torque experimenta el lazo? ¿Cuándo es
visto de arriba, en qué dirección el lazo tenderá para rotar?
Solución.
 FUERZA Y TORQUE SOBRE UNA ESPIRA CON
CORRIENTE
Consideremos una espira rectangular de lados a y b, situada en un campo
magnético uniforme tal como se muestra en la figura.
F3  F4  IaB
Estas fuerzas son iguales en
magnitud y opuestas en sentido,
formando así un par de fuerzas de
valor
  F3 bsen  IaBbsen
A = ab (área de lo espira)

  IABsen
 
  IAnˆ  B
Ejemplo 42. Un lazo rectangular rígido, que mide 0,30 m por 0,40 m,
lleva una corriente de 2,0 A, como se muestra. Un campo magnético
externo uniforme de la magnitud 1,2 T en la dirección negativa de x
está presente. El segmento CD está en el plano xz y forma un ángulo
25° con el eje de z.
a) ¿Cuál es el valor de la componente y de la fuerza magnética en el
segmento AB?
b) Un torque externo se aplica al lazo y lo mantiene en equilibrio estático. ¿Cuál es la
magnitud del torque externo?
c) ¿Cuál es el flujo magnético a través del lazo debido al campo externo?
Solución:
 EFECTO HALL

Un caso de efecto que produce un campo magnético sobre una corriente es el

fenómeno descubierto por E.H. Hall en 1879, conocido como Efecto Hall. Este efecto
nos permite determinar el signo de la carga situada en el portador y el número de
portadores de carga por unidad de volumen (n) del conductor.

Si se conecta un voltímetro Ahora pongamos un campo magnético

transversalmente a la lámina, dirigido perpendicularmente hacia afuera,
dará una lectura cero, ya que la fuerza magnética sobre estas partículas
el campo eléctrico no tiene estará en la dirección q v  B
componente a lo largo de la d

dirección vertical. Los electrones se moverán hacia abajo con

trayectoria curva.
Como consecuencia de este movimiento las
cargas negativas se apilan en el fondo y en
compensación aparecen cargas positivas en la
parte superior. Como se muestra en la figura.

La apilación de cargas continuará hasta que la fuerza producida   

por el campo eléctrico transversal cancele la fuerza magnética, q Et  q v d  B  0

Tomando en cuenta los sentidos y cancelando q, obtenemos Et  v d B

V
El valor de Et está dado por Et 
a
I
Como la corriente está dada por la expresión I  nqAv d vd 
nqA
 1  IB
Reemplazando vd en Et Et   
 nq  A
 Bz Ix

(+) (-)

L
Ejemplo 46. Una cinta de metal de 2 cm. de ancho y 0,1 cm. de espesor lleva una
corriente de 20A y está situada en un campo magnético perpendicular al plano de la
cinta de 2,0 T. La fuerza electromotriz Hall se mide y resulta 4,27 V. Calcular:
a) La velocidad de desplazamiento de los electrones en la cinta.
b) El número de portadores de carga por unidad de volumen de la cinta.
Solución.
Ejemplo 47. Los semiconductores tales como el silicio se pueden dopar con
impurezas de modo que los portadores de la carga sean negativos (los electrones)
o positivos (agujeros). Esta es una característica importante en la construcción de
dispositivos como los transistores. En la figura se bosqueja una disposición para
medir el efecto Hall. Tal medida puede determinar el signo y la densidad de los
portadores y, cuando está calibrado, se puede utilizar para medir la fuerza de un
campo magnético.

Determine una expresión en términos de los parámetros dados para el voltaje

Hall medido entre los puntos X e Y en el arreglo mostrado.
Solución.
Ejemplo 48. En un experimento de efecto Hall una muestra de 12 mm de espesor se
utiliza con un campo magnético de 1,6 T. Cuando pasa una corriente de 10 A a través
de la muestra, se observa un voltaje Hall de 0,080 V. ¿Cuál es la densidad del
portador, asumiendo q = e?
Solución.
Ejemplo 49. Determinar la fuerza electromotriz Hall que se produce en una cinta
de cobre (suponiendo para éste metal un electrón libre por átomo) de 0,2 cm de
espesor, por la que circula una intensidad de corriente de 5 A, cuando se aplica un
campo magnético uniforme de 1,5 T, perpendicular a la cinta. Densidad del cobre
8,95 g/cm3, masa atómica 63,5 g.
Solución:
LEY DE AMPERE, LEY DE BIOT Y SAVART
Después de los experimentos de Oersted en 1820 que
describen el movimiento de les agujas de una brújula por la
acción de un alambre por el que circula corriente eléctrica,
muchos científicos trabajaron sobre este fenómeno. Jean
Baptiste Biot y Félix Savart anunciaron los resultados de las
mediciones de la fuerza que actúa la aguja magnética en la
cercanía del alambre con corriente.
André Marie Ampere amplió estos experimentos y
demostró que los propios elementos de corriente
experimentan una fuerza en presencia de un campo
magnético, demostró que dos corrientes ejercen fuerzas
entre sí.
 Ley de Gauss en el magnetismo.
Por analogía con la definición del flujo eléctrico, definimos el flujo magnético a
través de una superficie S mediante

 B   B  nˆdS en donde dS es un elemento de área normal a S,
S
B es el valor del campo magnético en ese punto y la integral es sobre la
superficie de S. En función de esta cantidad, la ley de Gauss para el magnetismo
establece que el flujo magnético de todas las superficies cerradas desaparece.
Por ende 
S
B  nˆdS  0 , en donde dS es un elemento vectorial de área dirigido
hacia el exterior a partir de la superficie cerrada S.

Una de las consecuencias más importantes de la ecuación
 B  nˆdS  0
S
es la de que todas las líneas de campo B tienen que ser continuas.
 Ley de Ampere
Hans Oersted en 1820 descubrió experimentalmente que una corriente que circula en un
alambre produce efectos magnéticos sobre una brújula situada a su alrededor

En la práctica se adopta la regla de la mano

derecha orientando el pulgar con la corriente
y la punta de los dedos con el campo
magnético como muestra la figura siguiente.
0
B I
2 r
Tesla.m
 0  4 10 7
Ampere
 

Bd    0 I

  

 B  d     J  nˆdS
0
S
Ejemplo 50. Se tiene un conductor cilíndrico largo y recto de radio R que
lleva una corriente I uniformemente distribuida. Calcular el campo
magnético. para puntos dentro y fuera del alambre.
Solución:
Ejemplo 51. Un hilo rectilíneo conduce una corriente de 4 A, un cable
cilíndrico de 3 cm de radio conduce la misma corriente, uniformemente
distribuida, pero en sentido contrario.
a) Determínese, aplicando la ley de Ampere, la expresión de campo
magnético producido por cada una de las corrientes rectilíneas infinitas a una
distancia r, de forma separada.
b) Hallar el campo magnético (módulo, dirección y sentido), en los puntos
(13 cm, 0), y en el punto (0 cm, 4 cm) producido por las dos corrientes.
c) Por último, hallar la fuerza, (módulo, dirección y sentido) que ejerce el
cable sobre la unidad de longitud del hilo rectilíneo.
Solución.
Ejemplo 52. La figura muestra dos alambres llevando corriente. La
corriente en el anillo tiene un valor y dirección conocidos I1. Halle el
valor y dirección de la corriente Ix en el alambre recto e infinito de
manera que el campo en el centro del anillo sea nulo.

Solución.
Ejemplo 53. Se tiene un cable coaxial, tal como se
muestra en la figura. Calcular el campo magnético
para todo punto.
Solución
Ejemplo 55. En el conductor cilíndrico hueco
mostrado en la figura circula una corriente I
uniforme hacia afuera. Calcular el campo
magnético en la parte hueca.

Solución.
Ejemplo 56. Un estudiante en un lugar donde la componente horizontal del
campo magnético de la tierra es 1,7 x l0-7 Wb/m2, está realizando un
experimento usando una brújula en un laboratorio que también tiene un
experimento con un alambre vertical largo que lleva una corriente de 50 A.
¿Qué distancia los experimentos deben estar separados para que la aguja de
la brújula sea afectada insignificante por el campo del alambre?
Solución.
La componente horizontal del campo magnético de la tierra es 1,7 x l0 -5 Wb/m2.
El efecto magnético debido al alambre vertical debe ser menor que 1/100 que
esto para que su efecto sea insignificante a la exactitud de una aguja de brújula.
Así si r es la distancia mínima por la cual los dos experimentos deben estar
separados,
Ejemplo 57. Encontrar el campo magnético de un solenoide. Solenoide es un
conductor enrollado en forma de hélice y se utiliza para producir un campo
magnético interno y uniforme en una pequeña región.
Solución.
Ejemplo 58. El toroide. Determine el campo
dentro de un toroide de N vueltas que llevan
la corriente I. Un toroide es como un
solenoide doblado en una forma de
circunferencia.
Solución

Aplique la ley del amperio a una trayectoria circular dentro del toroide. Por
simetría, B es tangencial a esta trayectoria y constante en magnitud a lo largo de la
trayectoria, tal que

Si la trayectoria integral está fuera del toroide, la corriente que atraviesa el plano
encerrado por la trayectoria es cero, así el campo fuera de un toroide ideal es
cero.
Ejemplo 59. Una hoja conductora
infinita en el plano del xz lleva una
densidad de corriente uniforme
(por unidad de ancho)

J
en la dirección x. Determine el
campo magnético fuera de la hoja.

Solución
FUERZA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS
FUERZA ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS
Ejemplo 60. Sean dos alambres rectos, muy largos, y paralelos entre sí,
por los que pasa una corriente I1 e I2 en el mismo sentido. Suponga que el
alambre coincide con el eje z, el alambre pasa por el punto x = 2a, y que
las corrientes tienen el sentido positivo de z. La figura anexa muestra un
corte transversal de los alambres.
a) Halle el vector de campo magnético en el punto P1 = (x; y; 0) debido a
los dos alambres.
b) Se coloca un alambre recto de longitud L, paralelo a los alambres
anteriores, cuyo centro coincide con el punto P2 = (a; a; 0), y por el que
pasa una corriente I3 en el mismo sentido de I1.
Suponga que I1 = I2 = I.
Halle el vector de fuerza sobre el alambre
c) Suponga que cambia el sentido de I2; es decir, I2 = I1.
¿Cómo cambia el vector de fuerza sobre el alambre I3?
Justifique su respuesta.
Solución.

 
B  B1  B2

0


 I  yiˆ  xˆj
1

 
I 2  xiˆ  yˆj  


2 x 2  y 2  
12 2
 x  y 
2 12

x  2a 2  y 2  12


 0   yI  xI 2    
iˆ  xI 1 yI 2
B   

1





   ˆj 
  x  2a  
1 2 1 2 1 2
2 x 2  y 2  x 2  y 2 x  2a 2  y 2   x 2  y 2 12 2 1 2
 y 2  

Ejemplo 61. Tres alambres paralelos e infinitos
se colocan de manera que pasan por los vértices
de un triángulo equilátero. ¿Es posible que los tres
se repelan o los tres se atraigan simultáneamente?
¿Por qué?

Solución:
Corrientes en la misma dirección se atraen y
corrientes en direcciones opuestas se repelen. Si No hay forma de tener
los tres alambres llevan corrientes en la misma todos los pares con
dirección ellos se atraen uno a otro. corriente opuestas, de tal
Si los tres tienen corriente de igual magnitud y manera no es posible tener
del mismo sentido a los tres alambres
Las fuerzas son como se indica en la figura repeliéndose uno a otro

Se atraen hacia el
centro.
DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE CORRIENTE
ELÉCTRICA (AMPERE)

Anteriormente dejamos pendiente la definición de Ampere, la

cual podemos hacerla ya en esta parte:
Si por dos conductores paralelos muy largos situados a la
distancia de 1 metro entre sí, se hacen circular corrientes
iguales que causen una fuerza por unidad de longitud sobre
cada conductor de 2x10-7 N/m. La corriente en cada uno de
ellos es igual a un Ampere.
En la práctica se escogen separaciones muy próximas y no es
necesario que los conductores sean tan largos, la fuerza
resultante es lo suficientemente grande como para medirse con
exactitud.
 LEY DE BIOT Y SAVART
Hasta aquí solo hemos tratado con casos simétricos. Pero en general no es así y
se presenta el problema de los casos carentes de simetría y esto lo veremos a
continuación.
En la figura siguiente se muestran dos circuitos completos
Ejemplo 62. Campo magnético
producido por un segmento de recta.

Solución
Conductor rectilíneo infinito. El campo magnético
debido a un conductor rectilíneo muy largo es
tangente a una circunferencia concéntrica con él
mismo. El sentido de B esta relacionado con el
sentido de la corriente I por la regla de la mano
derecha, como se muestra en la figura a continuación.
Ejemplo 63. La figura muestra un alambre recto de corriente I que
atraviesa un material no magnético en forma de un cubo de lado . Una
sección d situada en el centro del cubo produce un campo dB . Hallar
cuando lo calculamos en los puntos a, b , c, d
y e. Los puntos a, b y c están en el centro de las caras que forma el cubo,
el punto d en el punto medio de una arista y el punto e en el vértice.
Solución
Ejemplo 64. Campo magnético en el
eje de una espira circular de
corriente

Solución.
Ejemplo 66. Un alambre recto largo que
lleva una corriente I1 se coloca en el plano
de un lazo rectangular que lleva una
corriente I2, ¿cuál es la fuerza neta en el
lazo? ¿Es atraída o rechazada por el
alambre?

Solución.
Ejemplo 68. Encontrar B en el
punto central del dispositivo de la
figura.

Solución.
Los segmentos rectos no hacen ninguna contribución al campo en el
centro; los segmentos curvos dan, por la Ley de Biot y Savart,
Ejemplo 69. Un disco fonográfico de radio R, con una carga uniformemente
distribuida Q, está rotando con velocidad angular . Demostrar que el campo
magnético en el centro del disco está dado por  0 Q
B
2R
Solución.
Ejemplo 70. La corriente de una fuente de corriente
continua es conducida a un instrumento por medio de
dos alambres paralelos largos, separados 10 cm.
¿Cuál es el campo magnético entre los alambres
cuando la corriente es 100 A?

Solución. El campo magnético debido a cada alambre en el

diagrama en el punto situado entre ellos son perpendiculares e
ingresando al papel. Los efectos debido a los alambres por lo tanto
se suman en ese punto y el efecto total es dos veces el efecto de
cualquiera de ellos. Por lo tanto, en el punto medio entre los
alambres,

0 I 100
B2  22  10 7  = 8 x 10-4Wb/m2.
2 r 0,05
Ejemplo 71. Determine el campo magnético una distancia R de un alambre recto
largo que lleva una corriente I.

Solución
Ejemplo 72. Determine el campo magnético en el centro de un lazo
circular de radio R que lleva la corriente I.
Solución
El campo magnético de un lazo pequeño con
corriente es como el de un imán de barra
pequeño, con las líneas de B que brotan fuera de
un Polo Norte imaginario y que van al otro
extremo a un polo sur imaginario. Así el campo
de un lazo pequeño con corriente es el de un
dipolo magnético, con el mismo aspecto que el
campo de un dipolo eléctrico.
Ejemplo 73. ¿Un alambre recto largo
que lleva una corriente I está doblado
90º en un arco circular del radio R. ¿Cuál
es el campo magnético en el centro del
arco?

Solución. Cada sección recta es como una mitad de un alambre recto

infinitamente largo, así que la contribución de estas dos secciones es
 Ejemplo 74. ¿Un alambre largo, horizontal, rígido apoyado lleva una corriente de
50 A. Directamente sobre él y paralelo hay un alambre fino, cuyo peso es 0,075
N por metro, que llevar uno corriente de 25 A. ¿A qué distancia sobre el primer
alambre debe estar el segundo alambre para ser sostenido por la repulsión
magnética?
Solución.
Si el alambre superior va a ser soportado por la repulsión magnética, la fuerza
magnética por longitud de unidad debe igualar el peso de una longitud de unidad
del alambre. Además, las corrientes en los dos alambres deben estar en
direcciones opuestas para que la fuerza entre los alambres sea de repulsión.

Por lo tanto los alambres deben ser muy finos para permitir que sus centros
estén muy cercanos.
Ejemplo 76. ¿Dado un alambre que lleva una corriente, ¿Cuándo el campo
magnético producido en el centro será mayor, doblando el alambre en un
círculo o en un cuadrado?
Solución
Ejemplo 77. Campo magnético en el eje de un
solenoide.
Solución.
Ejemplo 79. Dos bobinas circulares de Helmholtz de 250 vueltas son paralelas
una a otra y separadas por una distancia igual a su radio común. Encuentre el
valor del campo magnético en un punto en el eje entre ellas cuando la corriente
atraviesa ambas bobinas en el mismo sentido, y demuestre que el campo es casi
uniforme sobre el punto medio.
Solución.
Por lo tanto de B difícilmente es cero alrededor de ese punto, dando una región
grande de campo uniforme en la región central entre las bobinas.
Con este espaciamiento particular de las bobinas, al bajar el valor de B debido a
una bobina cuando nos alejamos de ella es compensado por el aumento de B
debido a la otra bobina para buena parte de la región entre ellas.

La situación se ilustra en el diagrama. Las líneas llenas dan la

magnitud de B debido a cada bobina por separado a lo largo
del eje. La línea discontinua muestra el efecto combinado de
las dos bobinas, y la región del campo uniforme alrededor del
punto medio del sistema se ve claramente.
Ejemplo 80. Sobre la superficie de una esfera de
madera de radio R se enrolla en una sola capa un
número N de vueltas muy próximos entre si con un
alambre muy fino, cubriendo completamente la
superficie de le esfera. Como se muestra en la figura.
Si se hace circular una corriente I ¿cuál es el campo
magnético en el centro de la esfera?
Solución. El campo magnético formado en el centro de la esfera es la suma de los
campos magnéticos de todas las espiras, como no es posible calcular una por una y
sumar, encontraremos un elemento diferencial e integraremos.
FIN