Departamento de Fı́sica

Electricidad y magnetismo II FS415

Ejercicios 2: Inducción Magnética

1. Considere una partı́cula de masa m y carga q moviéndose en presencia de un campo electro-

magnético constante y uniforme dado por E ⃗ = E0 ŷ y B ⃗ = B0 ẑ. Suponga que la partı́cula
comienza desde el reposo y en el origen. Además considere que el campo gravitatorio ⃗g = −g⃗z.

a. Encuentre las expresiones para las trayectorias x(t) y y(t) de la partı́cula.

b. Graficar las trayectorias encontradas, es decir, cada coordenada en función del tiempo.
c. Grafique la ecuación de trayectoria del vector de posición generado con estas coordenadas.
Agregue la representación de los campos.

2. Considere una partı́cula de carga q y masa m moviéndose en la vecindad de una alambre filamentoso
recto infinitamente largo que lleva una corriente constante I y se extiende a lo largo del eje z. En
el tiempo t = 0, la partı́cula esta en z = 0 y a una distancia radial del alambre de ρ = ρ0 , y con
una velocidad v = v0 paralela al alambre.

a. Determine la trayectoria de la partı́cula.

b. Suponga que la magnitud de la corriente es tal que qµ0 = m2π, ρ0 = 1 m y v0 = 0.5 m s−1 ,
encuentre la ubicación de la partı́cula en t = 2.
c. Grafique la ecuación de trayectoria del vector de posición generado con estas coordenadas.
Agregue la representación de los campos.

3. Un solenoide ideal de longitud L y N vueltas está enrollado sobre una sección cuadrada, es decir,
que cada vuelta es un cuadrado de lado a. Encontrar la inducción producida en el centro del
solenoide cuando las vueltas conducen una corriente I ′ . ¿Qué ocurre con este valor cuando el
solenoide es infinitamente largo? Grafique el campo vectorial encontrado, mostrando el gráfico en
3D. Utilice el comando Manipulate, para generar un gráfico donde se pueda cambiar, el número
de vueltas, la cantidad de corriente, y las dimensiones del solenoide.
Z
dt 1 a
√ = cos−1 +C
t t2 − a2 a t

4. Una carga q de masa m dentro de un campo gravitacional −gŷ, tiene una velocidad inicial v0 x̂.
Se aplica un campo magnético B0 ẑ. ¿Qué valor de B0 mantendrá a la partı́cula moviéndose con
velocidad constante en dirección x?
 5. Un magnetrón es esencialmente un capacitor de placas paralelas
sometido a un voltaje constante V0 donde los electrones de carga −e
son emitidos en x = 0, y = 0 con velocidad inicial cero. Se aplica
un campo magnético transversal B0 ẑ. Desprecie los campos eléctrico
y magnético debidos a los electrones en comparación con el campo
magnético aplicado.

a. ¿Cuál es la velocidad y el desplazamiento de un electrón, inyec-

tado en t = 0 con velocidad inicial cero?

b. ¿Qué valor del campo magnético impedirá exactamente que

los electrones alcancen al otro electrodo? Este es el campo
magnético de corte.

c. Graficar las trayectorias encontradas, es decir, cada coordenada

en función del tiempo.

d. Grafique la ecuación de trayectoria del vector de posición gen-

erado con estas coordenadas. Agregue la representación de los
campos.

6. Una lı́nea aérea eléctrica trifásica, constituida por tres conductores metálicos, rectilı́neos paralelos,
supuestos indefinidos, que están dispuestos según los vértices de un triángulo equilátero, ACD,
cuyo centro de simetrı́a es O, tal como se muestra en la figura. Su lado AC de longitud L, es
perpendicular al plano horizontal donde está el suelo. La corriente eléctrica que circula por cada
uno de los conductores A y C es I, y la corriente de retorno que circula por el conductor D es 2I.
Calcule:

a. La inducción magnética creada por la lı́nea eléctrica trifásica en O.

b. La inducción magnética, creada por los dos conductores de A y C en el punto D.
c. La fuerza por unidad de longitud que los conductores de A y C ejercen sobre el conductor
situado en D.
d. Grafique en el espacio, el campo vectorial obtenido en el inciso (a) y (b)
 7. Un protón se dispara a una zona de campo magnético
constante tal como se muestra. Si el protón de carga +e
y masa m incide con un ángulo α a la zona de campo, de-
termine el valor de la distancia d que recorre y el ángulo
β con el cual sale de la zona de campo.

8. El efecto Zeeman observado en el espectro de manchas solares revela la existencia de campos

magnéticos intensos de 0.4 T. Estos campos están asociados con distribuciones de corrientes en
forma de disco del plasma cerca de la superficie del Sol. El disco de electrones tiene un radio
aproximado de 107 m, rotando a una velocidad angular del orden de 3 × 10−2 radianes/segundo.
El grosor del disco es muy pequeño comparado con el radio del mismo.

a. Calcula la densidad superficial de electrones que se necesita para alcanzar 0.4 T en el centro
del disco.
b. Calcula la corriente
c. Grafique la densidad de corriente respectiva en el espacio.
d. Grafique la magnitud de la inducción magnética en función del radio.

⃗ = B0 ẑ, un
9. En un espacio de campo magnético constante B
fotón γ experimenta un decaimiento γ → e− + e+ donde
e− representa al electrón y e+ a un positrón. La carga del
positrón es +e; ambos tiene igual masa m. Como resultado
del decaimiento, ambas partı́culas adquieren trayectorias es-
pirales como se muestra en la figura. El radio de los mantos
cilı́ndricos por los cuales transita cada partı́cula es R, y el
paso axial en una vuelta es S.
Determine la rapidez con la que se mueve cada partı́cula.

10. En 1896 Zeeman observó que un átomo en un campo magnético tenı́a una separación fina de sus lı́neas
espectrales. Una teorı́a clásica del efecto Zeeman, desarrollada por Lorentz, tomó como modelo del
electrón de masa m una partı́cula ligada al núcleo por una fuerza de tipo elástica con constante
p de
elasticidad k, de modo que en ausencia de un campo magnético su frecuencia natural era ωk = k/m.

a. Se aplica un campo magnético B0 ẑ. Escriba la ley de Newton para los desplazamientos x,y y z del
electrón incluyendo las fuerzas elásticas y de Lorentz.
b. Debido a que estas ecuaciones son lineales, suponga soluciones exponenciales de la forma est . ¿Cuáles
son las frecuencias naturales?
11. Considere una espira de corriente circular plana de radio R que lleva una corriente I. Haga que el eje de
x quede a lo largo del eje de la espira, con el origen en el centro de ella. Trace una gráfica de la relación
de la magnitud de la inducción magnética en la coordenada x con la del origen, para x=0 hasta x=5R.

12. Tres largos conductores paralelos portan corrientes de I=2.00 A. La figura es la vista de un extremo de
los conductores, donde cada corriente sale de la página. Si considera a= 10.0 cm, determine la magnitud
y la dirección de la inducción magnética en los puntos A, B y C.

13. Un alambre recto, infinitamente largo, que lleva una corriente I1 se en-
cuentra rodeado en forma parcial por una espira, como se muestra en la
figura. La espira tiene una longitud L, un radio R y lleva una corrientes
I2 . El eje de la espira coincide con el del alambre. Calcule la fuerza
ejercida sobre la espira.

14. ¿Qué ocurre con la magnitud de la inducción magnética adentro de un largo solenoide si la corriente se
duplica? ¿Qué ocurre con el campo si se duplica la longitud del solenoide, mientras el número de vueltas
se mantiene igual? ¿Qué ocurre con el campo si el número de vueltas se duplica y la longitud se mantiene
constante? ¿Qué ocurre con el campo si el radio se duplica?

15. Un conductor metálico recorrido por una corriente eléctrica I, situado en el vacı́o, se compone de cinco
tramos, dos de ellos son rectilı́neos indefinidamente largos, otros dos son segmentos de longitud a y el
otro tramo es un cuadrante de circunferencia de radio a, tal como se representa en la figura.

a. Calcule la densidad de flujo magnético en el origen producido por cada tramo.

b. Calcule la inducción magnética en el origen, producido por el conductor completo.
 c. Grafique en el espacio, cada vector obtenido en los incisos anteriores.

16. Un alambre que lleva una corriente I es doblado para formar una espira exponencial, r = eθ , desde θ = 0
hasta θ = 2π, como se muestra en al figura. Para cerrar la espira, los extremos se conectan mediante un
alambre recto a lo largo del eje x. Determine la magnitud y dirección de B̃ en el origen.
El ángulo β entre una lı́nea radial y su tangente en cualquier punto de la curva r = f (θ) está relacionado
con la función de la siguiente manera:
r
tanβ =
dr/dθ
Por lo tanto, en este caso r = eθ , tanβ = 1 y β = π/4. Ası́ el ángulo entre ds̃ y r̂ es π − β = 3π/4.
Además,
dr √
ds = = 2dr
sen(π/4)

17. Sobre un elipsoide de semiejes a = c ̸= b y permeabilidad µ0 se enrollan espiras cuyo plano es perpendicular
al eje Y. El número de espiras por unidad de longitud en la dirección del eje y es n y por ellas circula la
corriente I.

a. Calcular la densidad de flujo magnético sobre el eje y.

b. Grafique la inducción magnética en el espacio, y muestre con el comando Manipulate, las variaciones
de la intensidad de este, con el cambio de los semiejes.
c. Calcule la fuerza magnética que genera este campo a una partı́cula cargada que viaja en dirección
al eje negativo de x.

Ecuación de un elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2 b c
18. Dos lı́neas de corrientes largas y parale-
las de masa por unidad de longitud m en
un campo gravitacional ⃗g, conducen una
corriente I en direcciones opuestas. Las
lı́neas están suspendidas por cuerdas de
longitud l. ¿Cuál es el ángulo θ entre las
cuerdas? Grafique el ángulo en función
de la corriente y versus la longitud de la
cuerda.

Recuerde:
′ Z ∞
⃗ C ′ →C = − µ0 II ρ̂
F dz Fuerza entre dos corrientes paralelas infinitamente largas
2πρ −∞

19. En cierto tipo de espectrómetro de masa produce en reposo una partı́cula de carga q que después se acelera
bajo una diferencia de potencial ∆ϕ. Luego entra en una región de B ⃗ uniforme, el cual es perpendicular
a la velocidad. Después de recorrer un semicı́rculo, la partı́cula toca un detector a una distancia D de su
punto de entrada.

a. Encuentre una expresión de la cual se pueda obtener la masa m0 en términos de las cantidades
dadas.
b. Grafique la masa en términos del campo magnético, la distancia, y la velocidad. Utilice el comando
Manipulate, para mostrar las variaciones de esta cantidad en función de los cambios de las otras.

20. En el circuito que se muestra, las lı́neas curvas son semicı́rculos con centro común C. Las porciones rectas
son horizontales. En cierto instante, una carga puntual q situada en C tiene una velocidad v en dirección
vertical abajo.

a. Encontrar la fuerza magnética sobre q.

b. Grafique en el espacio la inducción magnética de este sistema.
c. Grafique la fuerza que percibe esta carga.
21. Una circunferencia de radio a se encuentra sobre el plano xy con su centro en el origen. Conduce una
corriente I ′ que circula en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando es vista desde los valores
positivos de z hacia el origen. Una haz de portadores de carga q se mueve en el sentido positivo de x, con
una velocidad constante, intersectando el eje z positivo a una distancia d del origen.

a. Encuentre la fuerza total sobre el haz de portadores de carga.

b. Grafique en el espacio la inducción magnética que genera esta circunferencia en el eje z.
c. Grafique la fuerza encontrada en función de la distancia de separación del haz y el circuito.

22. Cuatro cables rectos muy largos conducen cada uno de ellos la misma corriente I. Todos son paralelos al
eje x e intersectan el plano yz en los puntos (0,0), (a,0), (a,a) y (0,a). El primero y el tercero tienen sus
corrientes en la dirección x positiva; los otros dos tienen sus corrientes en la dirección negativa de x.

a. Encontrar la fuerza total por unidad de longitud sobre la corriente que corresponde al punto (a,a).
b. Graficar en el espacio la fuerza encontrada.
c. Grafique la magnitud de la fuerza encontrada en función de a, y explique el resultado.

23. Un gran número N de vueltas muy próximas unas con otras, de un alambre fino, se enrollan en una sola
capa sobre la superficie de una esfera de madera de radio a, con los planos de las vueltas perpendiculares
al eje de la esfera y cubriendo completamente su superficie. Si la corriente en el hilo enrollado es de
intensidad I, determine el campo de inducción magnética en el centro de la esfera. Conocemos el campo
⃗ para una espira de radio a:
B
′
⃗ = µ0 I a 2
B ẑ
2(a2 + z 2 )3/2
Grafique en el espacio, el campo vectorial encontrado.

24. Una corriente constante K0 φ̂ fluye sobre la superficie de una esfera de radio R.

a. ¿Cuál es la inducción magnética en el centro de la esfera?

b. Usando los resultados de (a) encuentre la inducción magnética en el centro de un cascarón esférico de
radio interior R1 y radio exterior R2 que lleva una densidad de corriente volumétrica uniformemente
distribuida J0 φ̂?

25. Un magnetrón es construido con electro- (a) Muestre que:

dos coaxiales donde los electrones se in-
dρ̂ dφ vφ
yectan desde ρ = a, φ = 0 con velocidad = φ̂ = φ̂
dt dt ρ
dφ̂ dφ vφ
= − ρ̂ = − ρ̂
dt dt ρ

(b) ¿Cuál es la aceleración de la carga con velocidad

⃗v = vρ ρ̂ + vφ φ̂?

(c) Encuentre la velocidad de los electrones como función de la

posición radial. Hint:
dvρ dvρ dρ dvφ dvφ dρ
= =
cero. dt dρ dt dt dρ dt
 26. Un conductor cilı́ndrico largo de radio a tiene dos cavidades
cilı́ndricas de diámetro a en toda su longitud. Se dirige
una corriente I hacia afuera de la página y tiene un valor
uniforme en toda la sección transversal del conductor. De-
termine la magnitud y dirección del campo magnético en el
punto P1 y P2 .

27. Tres alambres infinitos están ubicados mutuamente paralelos

orientados perpendicularmente al plano de la hoja y ubica-
dos en los vértices de un cuadrado de lado d. Uno de ellos
lleva corriente 2I que entra al plano, mientras que los otros
llevan corriente I que emerge del plano de la hoja. Calcule
la densidad de flujo magnético en los puntos P1 y P2 .

28. Considere un disco de radio R que posee una densidad de carga superficial σ, uniformemente distribuida.
Partiendo del reposo, el disco comienza a girar, hasta alcanzar una velocidad angular constante ω en
torno a su eje de simetrı́a. Encuentre una expresión para la densidad de flujo magnético en z = R.

29. Encuentre la fuerza que ejerce el cable infinito cerca de ambos loops, transportando en ambas la misma
corriente I.
30. Un alambre semicircular lleva una corri-
ente constante I (debe estar conectado
a algunos otros cables para completar
el circuito, pero no estamos preocupa-
dos con ellos aquı́). Encontrar la in-
ducción magnética en el punto P en el otro
semicı́rculo.

31. Melissa, Luis y Alejandro, equipo docente de laboratorio de

electromagnetismo de la UNAH-VS, tienen una discusión
sobre la inducción magnética generado por un alambre en
un mismo punto P . Melissa tiene un alambre infinito por el
cual fluye una corriente 2I, Luis, al ver el alambre lo toma
y lo dobla, formando un cuarto de circunferencia de radio R
más otros dos tramos semi-infinitos.
Luis le asegura a Melissa que si la corriente disminuye a
la mitad, la inducción magnética producida por esta nueva
geometrı́a tendrá una mayor magnitud en el punto P (por
lo cual Melissa se muestra muy en desacuerdo). Alejandro,
asombrado por la discusión de sus compañeros, les dice a
ambos están equivocados ya que falta información suficiente
para aseverar en cual de los dos casos la inducción magnética
es mayor. Determine quién tiene la razón. Fundamente su
respuesta.

32. Para un medio homogéneo isotrópico no magnético, de conductividad σ, en el que hay corrientes con-
⃗ satisface la ecuación vectorial de Laplace: ∇2 B
stantes, demuestre que B ⃗ = 0.

33. Una esfera de radio a contiene una carga total Q, distribuida uniformemente en todo su volumen. Se le
hace girar alrededor de uno de sus diámetros a velocidad constante ω. Suponer que la distribución de
⃗ en el centro de la esfera.
carga no se altera con la rotación y encontrar B

34. Se tienen dos cables rectilı́neos infinitamente largos con den-

sidad de carga λ, separados por una distancia d, moviéndose
a velocidad v constante. Encuentre el valor de v para que la
atracción magnética se compense con la repulsión eléctrica.
¿Es razonable este resultado?

35. Un electrón choca en forma elástica con un segundo electrón que está inicialmente en reposo. Después de
la colisión, los radios de sus trayectorias son 1.00 cm y 2.40 cm. Las trayectorias son perpendiculares a un
campo magnético uniforme de magnitud 0.440 T. Determine la energı́a (en keV) del electrón incidente.
36. Un protón de rayo cósmico en el espacio interestelar tiene una energı́a de 10.0 MeV y ejecuta una órbita
circular de radio igual a la de la órbita de Mercurio alrededor del Sol (5.80 × 1010 m. ¿Cuál es el campo
magnético existente en esta región del espacio?

37. Una varilla de masa m y de radio R descansa sobre dos rieles paralelos que están separados por una
distancia d y que tienen una longitud L. La varilla conduce una corriente I en la dirección que se
muestra y rueda a lo largo de los rieles sin resbalar. Un campo magnético uniforme B está dirigido
perpendicularmente a la varilla y a los rieles. Si parte del reposo, ¿cuál será la rapidez de la varilla
cuando se salga de los rieles? Hint: Considere el teorema trabajo-energı́a cinética.

38. Dos bobinas circulares de radio R, cada una con N vueltas, son perpendiculares a un eje común. Los
centros de las bobinas están separados una distancia R. Cada bobina lleva una corriente estable I en la
misma dirección, como se muestra en la figura.

a. Demuestre que el campo magnético sobre el eje a una distancia x del centro de la bobina es
N µ0 IR2
 
1 1
B= +
2 (R2 + x2 )3/2 (2R2 + x2 − 2Rx)3/2

b. Demuestre que dB/dx y d2 B/dx2 son ambos iguales a cero en el punto medio entre las bobinas.
Esto significa que el campo magnético a la mitad del camino entre las bobinas es uniforme. En esta
configuración las bobinas se llaman bobinas de Helmholtz.

39. Una partı́cula neutra se encuentra sometida a un campo magnético con-

⃗ = B0 ẑ. En t = 0 la partı́cula se rompe (decae) en dos cargas
stante B
+q y −q con igual masa m, las cuales salen disparadas con velocidades
en direcciones contrarias. Determine el tiempo en que ambas partı́culas
vuelven a chocar. Exprese su resultado en función de q, m, B e ignore la
interacción eléctrica entre ellas.
40. ¿Es válida la ley de Ampère para todas las trayectorias cerradas que rodean un conductor? ¿Por qué no
⃗ en todas las trayectorias?
resulta útil para el cálculo de B

41. Encuentre el campo de inducción magnética en el punto P que se muestra para las siguientes corrientes
lineales:

42. Una lı́nea de corriente I de longitud 2L fluye a lo largo del eje z.

a. ¿Cuál es la inducción magnética en cualquier parte del plano z = 0?

b. Use los resultados de (a) para encontrar la inducción magnética en el plano z = 0, debido a una
lámina de corriente infinitamente larga de altura 2L y densidad uniforme de corriente K0 ẑ.
Hint: Haga u = x2 + y 2
Z  
du 1 −1 bu + 2a
= √ Sen √
u(u2 + bu − a)1/2 a u b2 + 4a

43. Un deuterón es una partı́cula nuclear formada por un protón y un neutrón unidos entre sı́ por fuerzas
nucleares. La masa del deuterón es de 3.347 × 10−27 kg, y su carga es de +1e. Se ha observado que
un deuterón proyectado dentro de un campo magnético cuya densidad de flujo es de 1.2 T viaja en una
trayectoria circular de 300 mm de radio. ¿Cuál es la velocidad del deuterón?
44. En el acelerador AGS de Brookhaven se hace que unos protones describan un cı́rculo de m de radio
mediante la fuerza magnética ejercida por un campo magnético vertical. El campo máximo que pueden
generar los electroimanes de ese acelerador es 1.3 T.

a. ¿Cuál es la cantidad de movimiento máxima permisible de los protones?

b. ¿Cuál es la frecuencia orbital de esos protones?

45. Unos iones de sodio (N a+ ) se desplazan a 0.851 m/s en un torrente sanguı́neo del brazo de una persona
que esta de pie cerca de un imán grande. El campo magnético tiene una intensidad de 0.254 T y forma
un ángulo de 51.0 ◦ con el movimiento de los iones. El brazo contiene 100 cm3 de sangre con 3.0×20 iones
por centı́metro cúbico. Si no hay más que esos iones en el brazo. ¿Cuál es la fuerza magnética que se
ejerce sobre el brazo?

46. Un método para determinar la cantidad de maı́z en las dietas de los antiguos indı́genas es la técnica
del análisis de la razón del isótopo estable (ARIE). Cuando el maı́z efectúa la fotosı́ntesis, concentra el
isótopo 13 C, mientras que la mayorı́a de las demás plantas concentran el 12 C.
El consumo excesivo del maı́z se puede relacionar con ciertas enfermedades, porque el maı́z carece del
aminoácido esencial lisina. Suponga que usa un selector de velocidad para obtener átomos monoionizados
con rapidez de 8.50 km/s, y requiere desviarlos dentro de un campo magnético uniforme en un semicı́rculo
con diámetro de 25.0 cm para el 12 C. Las masas medidas de estos isótopos son 1.99 × 10−26 kg (12 C) y
2.16 × 10−26 kg (13 C).

a. ¿Qué intensidad de campo magnético se requiere?

b. ¿Cuál es el diámetro del semicı́rculo para el 13 C?

c. ¿Cuál es la separación de los iones en el detector al final del semicı́rculo?

47. Un ciclotrón, concebido para acelerar protones, tiene un radio exterior de 0.350 m. Los protones son
emitidos, prácticamente desde el reposo, por una fuente ubicada en el centro y son acelerados por una
diferencia de potencial de 600 V cada vez atraviesan el espacio existente entre las ”des”. Éstas están
instaladas entre los polos de un electroimán de campo 0.800 T.

a. Determine la frecuencia del ciclotrón para los protones en este ciclotrón.

b. Determine la rapidez a la cual los protones salen del ciclotrón y su energı́a cinética máxima
c. ¿Cuántas revoluciones efectúa un protón en el ciclotrón?
d. ¿Durante qué intervalo de tiempo se acelera un protón?

48. Un ion con una sola carga de masa m es acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial ∆V .
Después es desviado por un campo magnético uniforme (perpendicular a la velocidad del ion) en una
trayectoria semicircular de radio R. Ahora un ion con doble de carga de masa m′ es acelerado por medio
de la misma diferencia de potencial y desviado por el mismo campo magnético en un semicı́rculo de radio
R′ = 2R. ¿Cuál es la relación de las masas de estos iones?

49. Un protón de rayo cósmico en el espacio interestelar tiene una energı́a de 10.0 MeV y ejecuta una órbita
circular de radio igual a la de la órbita de Mercurio alrededor del Sol (5.80 × 1010 m). ¿Cuál es el campo
magnético existente en esa región del espacio?
50. En el modelo de Niels Bohr de 1913 del átomo de hidrógeno, un electrón gira alrededor del protón a una
distancia de 5.29 × 10−11 m con una rapidez de 2.19 × 106 m/s. Calcule la magnitud del campo magnético
que produce su movimiento en el sitio ocupado por el protón.

51. Una partı́cula con masa de 0.195 g lleva una carga de −2.50 × 10−8 C. Se da a la partı́cula una velocidad
horizontal inicial hacia el norte y con una magnitud de 4.00 × 104 m/s. ¿Cuáles son la magnitud y la di-
rección del campo magnético mı́nimo que mantendrá la partı́cula en movimiento en el campo gravitacional
terrestre, en la misma dirección horizontal hacia el norte?

52. Un deuterón (núcleo de un isótopo de hidrógeno) tiene una masa de 3.34 × 10−27 kg y una carga de +e.
El deuterón se mueve en una trayectoria circular con un radio de 6.96 mm en un campo magnético de
2.50 T.

a. Calcule la rapidez del deuterón.

b. Calcule el tiempo requerido para que recorra media revolución.
c. ¿A través de cuál diferencia de potencial tendrı́a que ser acelerado el deuterón para alcanzar tal
rapidez?

53. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, en el estado de menor energı́a, el electrón circunda al
protón a una rapidez de 2.2 × 106 m/s en una órbita circular de radio 5.3 × 10−11 m.

a. ¿Cuál es el periodo orbital del electrón?

b. Si el electrón que orbita se considera una espira de corriente, ¿cuál es la corriente I?
c. ¿Cuál es el momento magnético del átomo debido al movimiento del electrón?

54. Un ciclotrón debe acelerar protones hasta una energı́a de 5.4 MeV. El electroimán del superconductor del
ciclotrón produce un campo magnético de 2.9 T perpendicular a las órbitas de los protones.

a. Cuando estos han alcanzado una energı́a cinética de 2.7 MeV, ¿cuál es el radio de su órbita circular
y qué rapidez angular tienen?
b. Repita el inciso (a) cuando los protones hayan alcanzado su energı́a cinética final de 5.4 MeV.

55. El ciclotrón más grande de Estados Unidos es el tevatrón del laboratorio Fermilab en Chicago, Illinois. Se
conoce como tevatrón porque puede acelerar partı́culas a energı́as en un rango de TeV: 1 Tera-eV = 1012
eV. Su circunferencia es de 6.4 km, y su corriente puede producir una energı́a máxima de 2.0 TeV. En
cierto experimento médico, los protones serán acelerados a energı́as de 1.25 MeV apuntando a un tumor
para destruir sus células.

a. ¿Con qué rapidez se mueven estos protones cuando golpean el tumor?

b. ¿Qué intensidad debe tener el campo magnético para desviar los protones en el cı́rculo especificado?

56. El cuerpo contiene muchas corrientes pequeñas provocadas por el movimiento de iones en los órganos y las
células. Mediciones del campo magnético alrededor del pecho, provocado por las corrientes del corazón,
dan valores de aproximadamente 10 µG. Aun cuando las corrientes reales son bastante complicadas,
podemos tener una comprensión aproximada de su magnitud si las modelamos como un alambre largo
 y recto. Si la superficie del pecho está a 5.0 cm de esta corriente, ¿qué tan grande es la corriente en el
corazón?

57. Cierta bacteria (Aquaspirillum magnetotacticum) tiende a nadar hacia el polor norte geográfico terrestre
porque contiene partı́culas diminutas, llamadas magnetosomas, que son sensibles a un campo magnético.
Si se tiende bajo el agua una lı́nea de transmisión que transporta 100 A, ¿en qué intervalo de distancias
el campo magnético de esta lı́nea serı́a lo suficientemente grande para interferir con la migración de esta
bacteria? (Suponga que un campo menor del 5% del campo terrestre tendrı́a poco efecto sobre la bacteria.
Considere que el campo de la Tierra es de 5.0 × 10−5 T e ignore los efectos del agua de mar).

58. Las lı́neas de transmisión de corriente puede ser de 100 A o más. Algunas personas han expresado su
preocupación porque los campos electromagnéticos (CEM) de estas lı́neas cerca de sus casas podrı́an ser
peligrosos para la salud. En una lı́nea con una corriente de 150 A y a una altura de 8 m arriba del suelo,
¿qué campo magnético produce la lı́nea en el nivel del suelo? Exprese su respuestas en teslas y como un
porcentaje el campo magnético terrestre, el cual es de 0.500 G. ¿Esto deberı́a ser motivo de preocupación?

59. Según las mediciones, el campo magnético alrededor de la cabeza es de 3.0 × 10−8 G. Si bien las corri-
entes que generan este campo son bastantes complicadas, podemos estimar aproximadamente su tamaño
modelándolas como una sola espira circular de corriente de 16 cm de diámetro (el ancho de una cabeza
normal). ¿Cuál es la corriente necesaria para producir este campo en el centro de la espira?

60. Los relámpagos conducen corrientes de hasta 20 kA, aproximadamente. Esta corriente se puede modelar
como la equivalente de la que conduce un alambre muy largo y recto.

a. Si una persona es tan desafortunada para estar a 5.0 m del relámpago, ¿qué tan grande serı́a el
campo magnético que experimentarı́a?
b. ¿Cómo se compara este campo con el que experimentarı́a esa persona si estuviera a 5.0 cm de una
corriente doméstica de 10 A transportada por un conductor largo y recto?

61. Un pato que en dirección horizontalmente hacia el norte a 15 m/s pasa sobre la ciudad de Atlanta, donde
el campo magnético de la Tierra es 5.0 × 10−5 T en una dirección 60◦ por debajo de una lı́nea horizontal
que corre de norte a sur. El pato tiene una carga positiva de 4.0 × 10−8 C. ¿Cuál es la fuerza magnética
que actúa sobre el pato?

62. Unos iones de sodio (N a+ ) se desplazan a 0.851 m/s en el torre sanguı́neo del brazo de una persona
que está de pie cerca de un imán grande. El campo magnético tiene una intensidad de 0.254 T y forma
un ángulo de 51.0 ◦ con el movimiento de los iones de sodio. El brazo contiene 100 cm3 de sangre con
3.00 × 1020 iones Na+ por centı́metro cúbico. Si no hubiese más que esos iones en el brazo, ¿cuál serı́a la
fuerza magnética que se ejerce sobre el brazo?

63. Se dispara una partı́cula cargada de +2.0 µC con una energı́a cinética de 0.090 J en un campo magnético
uniforme cuya magnitud es de 0.10 T. Si la partı́cula se mueve en una trayectoria circular de 3.0 m de
radio, determine su masa.
64. Un electrón se mueve a una velocidad de 5 × 105 m/s formando un ángulo de 60◦ de un campo B ⃗ dirigido
al este. El electrón experimenta una fuerza de 3.2 × 10 −18 N dirigido hacia dentro de la página. ¿Cuáles
son la magnitud de B ⃗ y la dirección de la velocidad?

65. Iones de litio con una sola carga de 1.6 × 10−19 C y masas de 10.05 × 10−27 kg y 11.72 × 10−27 kg
son acelerados mediante una diferencia de potencial de 5000 V. Una vez acelerados penetran en un
espectrómetro de masa, en el cual hay un campo magnético perpendicular a la dirección de la velocidad,
de 0.05T .

a. Calcular la velocidad de entrada de los iones en el campo magnético.

b. Dentro del campo magnético, los iones describen una semicircunferencia, antes de impresionar una
placa fotográfica. Encontrar la separación entre las marcas producidas por los dos isótopos.

66. En el espectrómetro de masas de Bainbridge, la magnitud del campo magnético en el selector de veloci-
dades es de 0.650 T, y los iones cuya rapidez es de 1.82 × 106 m/s lo atraviesan sin desviarse.

a. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el selector de velocidad?

b. Si la separación de las placas es de 5.20 mm, ¿cuál es la diferencia de potencial entre las placas?

”La imaginación es más importante que el conocimiento”