Análisis de

Fourier
Paulino Eduardo Barajas Suarez
18120351
Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con
una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan.

Los números se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es es un criterio que nos permite determinar cualquier término de

la sucesión.

Una sucesión se suele expresar entre llaves: o entre paréntesis .

[3] y [1]
Como ya se menciono las sucesiones se denotan como los conjuntos, enumerando cada
término separa por una coma y encerrados entre llaves {} o paréntesis ( ).

Por ejemplo; se tiene la sucesión:

Se observa que la sucesión sigue un patrón. Al primer término se le suman 3 dígitos y se

obtiene, a este se le suman nuevamente 3 dígitos y se obtiene y así sucesivamente.

Los tres puntos significan que la sucesión es indefinida y continúa manteniendo el mismo
esquema para hallar el siguiente término.

[2]
Características de las sucesiones numéricas

Las principales características de las sucesiones numéricas son:

• Los números que se encuentran ordenados de manera secuencial.
• Una sucesión queda determinada mediante una regla de dependencia entre los términos de la
sucesión y el conjunto de los números reales.
• Cada uno de los números que conforma la sucesión numérica se conoce como término.
• Se puede ordenar de forma creciente si los términos se disponen de forma ascendentes
Por ejemplo; 4, 7, 10, 13, …
• Una sucesión que tiene un número de términos limitados se llama sucesión finita.
• Si los términos de la sucesión que tiene un número incontable de términos se llama sucesión
infinita.
• Si los términos se ordenan de manera descendente, se trata de una secuencia de orden decreciente
[2]
Tipos de sucesiones numéricas
Hay diferentes tipos de sucesiones especiales, las cuales se definen a continuación.

Sucesión aritmética
Es denominada de esta manera porque la diferencia entre un término resulta de sumar o restar un número
constante al término anterior. Este número fijo es denominado diferencia común.
Los términos son de la forma: {a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\ \ldots}. . El primer término se representa como
«a», la diferencia común se denota como «d».
El n-ésimo término: a_n=a+\left(n-1\righ . De esta manera se puede calcular cualquier término de la
sucesión.
Para calcular la diferencia se utiliza: d=a_{n+1}-a_n, , es decir; se obtiene restando los términos
consecutivos.
Si la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante en toda la sucesión, entonces la sucesión
no es aritmética.
[2]
Sucesión geométrica
Para este tipo de sucesión, cada término resulta de multiplicar el término anterior por una cantidad fija.
La relación se le conoce como razón común.

Una sucesión geométrica de «n» términos, donde el primer término es «a» y la razón común es la
constante «r», tiene la forma:

El término general es:

La razón común se calcula dividiendo los términos consecutivos:

[2]
Sucesión fibonacci

Esta sucesión toma su nombre de su descubridor, el matemático Fibonacci.

En la secuencia cada término es la suma de los dos elementos anteriores.

Esta tiene la particularidad que los dos primeros términos son 1, donde el término general es:

[2]
Sucesión cuadrada
En este tipo de sucesión, la diferencia de los términos no es constante, sin embargo; si se vuelven a calcular las
diferencias de las primeras diferencias, se notará que ahora sí serán constantes.

De tal manera, que se dice que la sucesión es de 2° grado o cuadrática y su regla tiene la forma:

Donde «x» es el término general, a, b, c son valores fijos.

Sucesión cúbica
En este caso, el cálculo de las dos primeras diferencias serán diferentes. Al repetir el proceso por una tercera
vez, se observará que las diferencias serán fijas.

La forma general para encontrar el enésimo término de una secuencia cúbica es:

Tanto la sucesión cuadrática como la cúbica siguen una serie de pasos sencillos para encontrar los valores fijos.

[2]
Sucesión oscilante
Una sucesión es oscilante si sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. Por ejemplo; {2, 1, 4, 2, 3, 2,
5, …}

Por ejemplo, al comparar sus términos se observa que el segundo término es menor que el primero, pero el
tercero es mayor que el segundo.

Sucesión alternada
Una sucesión es alternada cuando se alternan los signos de sus términos. Por ejemplo; {-1, 2, -3, 4, …}.

Para alternar los signos es necesario utilizar como factor el término .

Las sucesiones definidas anteriormente son de las más conocidas, de esto es necesario mencionar que:
Se pueden hallar los números que faltan o algunos términos específicos utilizando las fórmulas de las
secuencias definidas.
Si una sucesión no pertenece a ninguna de las secuencias conocidas, entonces, es necesario observar su patrón
para definir el término general.
[2]
Bibliografía.
• [1] https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sucesiones/sucesiones.html
• [2] https://enciclopediadematematica.com/sucesiones-numericas/
• [3] https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
1.2 Series Numéricas.
Las series numéricas son un grupo de números ordenados, que guardan relación consecutiva entre si,
y de ese modo una serie numérica puede ir de un número hasta otro de 1 en uno, de dos en dos, o de
acuerdo a la serie que se elija. Los elementos de una serie numérica son los Términos y el patrón.

Debido a que los números son infinitos la cantidad de series numéricas que pueden crearse también
son infinitas, es decir, que si alguien desea detallar una serie numérica de números pares, esta serie
nunca tendrá final.

Por ejemplo, en el caso de una serie numérica de números impares cuyo número menor es 3 y su
número mayor es 9, esta serie numérica estará formada por 3, 5, 7 y 9. En el caso de una serie
numérica de 5 en 5 que comience en 5 y llegue hasta 40 estará compuesta por los números 5, 10, 15,
20, 25, 30, 35 y 40.

Las series numéricas pueden ser ascendentes o descendentes, los ejemplos anteriores fueron de series
ascendentes, en el caso de una serie descendente de números reales pares y positivos que comience en
10 sería así: 10, 8, 6, 4 y 2. [4]
Los tipos de series numéricas

• Progresiva es cuando la serie va de menor a mayor y la característica principal es que el patrón es

sumando números de la serie según el patrón
• Regresiva: es cuando la serie numérica está organizada de mayor a menor y el patrón siempre consiste en
restar.

Los términos y el patrón de una serie

Los términos son cada uno de los números que están presentes en la serie numérica y el patrón es la cantidad
que deberás ser fija al sumar o restar, por lo tanto, a los niños en la construcción de la serie numérica hay que
darles un término de inicio uno límite y el patrón con el que va a realizar la serie, y se planteará de la
siguiente manera,
[4]
Por ejemplo:

Construye la serie numérica del 2 al 10 con el patrón +2

El ejemplo sería:

2 -4 –6 -8 -10

Patrón +2

Esta serie numérica se realiza sumando, también hay serie numéricas que se realizan restando, como en el
ejemplo

Construye la serie numérica del 50 al 10 patrón – 10

50- 40- 30-20-10

[4]
1.2.1 Convergencia.
En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la
sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se
denomina serie divergente.
Una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita).
Determinar el carácter de una serie es hallar si la serie es convergente o divergente. Una tercera posibilidad es
que este límite no exista, como en el caso de las series oscilantes (formadas por términos positivos y
negativos), como por ejemplo la serie:

Todo depende de cómo agrupemos sus términos para que la suma de uno u otro valor, si los agrupamos de dos
en dos:

Entonces se puede decir:

[5] [10] [11]

1.1.2 Principales criterios de convergencia
Criterio de divergencia.
Este criterio nos dice que si el limite del término general de una serie no tiende a cero, la serie es divergente.

Ejemplo: Determina si la serie es convergente o divergente

Por lo tanto viendo el teorema podemos entender que la serie es divergente.

[10]
Criterio de comparación.
Para determinar la convergencia o divergencia de una serie analizando el carácter de la sucesión de sumas
parciales resulta imposible para muchas series. Por este motivo veremos seguidamente criterios de
convergencia de series de términos positivos en los que el estudio se realiza a partir del término general de
la serie.

Si ∑ n=[1, ∞)   y ∑ n=[1, ∞)   son dos series de términos positivos verificando

≤ ∀n∈ℕ salvo un número finito, entonces

a) Si ∑ n=[1, ∞)   es convergente, entonces ∑ n=[1, ∞)   también es convergente.

b) Si ∑ n=[1, ∞)   es divergente, entonces ∑ n=[1, ∞)   también es divergente.

[6]
Criterio de D´Alembert
Se considera la serie de términos positivos ∑ n=[1, ∞)   cumpliendo lim n→∞ +1, =L , entonces verifica:

a) Si L < 1 la serie ∑ n=[1, ∞)   es convergente.

b) Si L > 1 la serie ∑ n=[1, ∞)   es divergente.

c) Si L = 1 CASO DUDOSO. En esta situación sólo se puede asegurar que la serie diverge si existe
N0 tal que
+1 >1          ∀n> N 0

[7]
Criterio de la integral:
Sea f una función continua, positiva y decreciente en [1, ∞) y sea
una sucesión tal que
entonces:

Demostrado: Supongamos que converge.

De esta figura vemos que el área del rectángulo con altura

f(n) es mayor que el área bajo la curva entre n y n +1, en
donde se interpretan a estos rectángulos como el área del
valor n-esimo de la sucesión .
.

[8]
Ejemplo:

[8]
Criterio de Leibniz
Una serie alternante puede tener la forma siguiente:

En análisis matemático el criterio de Leibniz es un método, debido a Gottfried Leibniz, utilizado para
demostrar la convergencia de series alternadas.

Una serie alternada es aquella de la forma:

Entonces, la serie convergerá si la sucesión es monótona decreciente y

(han de cumplirse ambas condiciones). Además, si

y [9]
Bibliografía.

• [4] https://www.educapeques.com/recursos-para-el-aula/fichas-de-matematicas-y-numeros/serie-
numerica.html
• [5] https://es.wikipedia.org/wiki/Criterios_de_convergencia
• [6] https://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/sucesiones/nivel3/teoria/sucesiones9.htm
• [7] https://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/sucesiones/nivel3/teoria/sucesiones10.htm
• [8] https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-prueba-de-la-integral/
• [9] https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_Leibniz
• [10] http://mat.uson.mx/~jldiaz/NotasCD-1/Series/Criterio_de_Divergencia.htm
• [11]http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/
libro5/342_criterios_de_series_convergentes_y_divergentes.html#:~:text=En%20matem
%C3%A1ticas%2C%20una%20serie%20(suma,que%20se%20denomina%20serie
%20divergente.&text=Una%20serie%20se%20dice%20divergente%20si%20su%20l%C3%ADmite
%20es%20infinito.
1.3 Series de potencia

Las series de potencia, como su nombre dice, son series polinómicas, donde una serie de potencia es la
serie de la siguiente forma:

A la serie anterior, se le dice que es una serie de potencias alrededor de x = 0, mientras que, la series de
potencias alrededor de x = a se le conoce como series de potencias centradas en a, y es de la siguiente
forma:

Donde son coeficientes en ambos casos.

La definición de series de potencias se puede expresar de la siguiente expresión:

Observa que para cada valor x= real, la serie antes vista es una serie numérica. Así, una serie de
potencias es una función de x definida en el conjunto de valores de x que hagan que las correspondientes
series numéricas sean convergentes.
Si la escribimos de la siguiente manera:

el dominio de esta función f(x) es el conjunto de valores de x donde la serie converge y el valor de f(x) es
precisamente la suma de la serie.
Entonces se puede ver que la serie de potencias converge en el punto a y se puede expresar de la siguiente
manera:

TEOREMA DE ABEL
a) La serie converge sólo en el punto a.

b) Existe un número R>0 tal que la serie converge en |x−a|<R y no converge en |x−a|>R

c) La serie converge para todo x real.

Este teorema afirma que la serie converge siempre en un intervalo de la forma (a−R, a+R), considerando que
en el caso a) el valor de R es cero y en el caso c) el valor de R es infinito.
En el campo de convergencia se dice que es el conjunto de valores reales donde la serie de potencias
converge. A consecuencia del teorema anterior, el campo de convergencia es o bien únicamente el punto a
(si R=0), o bien toda la recta real (si R=∞) o bien un intervalo finito centrado en a (si R≠0 y R≠∞).
1.3.1 Series de Taylor y series de Maclaurin
Serie de Taylor.
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una
solución aproximada a una función. La serie proporciona una buena forma de aproximar el valor de
una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por
supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie,
por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la
serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más
operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la
siguiente:
Se puede expresar de la siguiente manera:

Donde n! es el factorial de n.
es la enésima derivada de f en el punto a.

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden h a la n+1. El error es proporcional al tamaño del paso h
elevado a la (n+1)-ésima potencia.
Serie de Maclaurin.

La serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo
abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con
polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La formula para la serie mencionada seria la siguiente:

Se usa esta fórmula de la misma manera que usamos la fórmula de la serie de Taylor. Encontramos las
derivadas de la función original y usamos esas derivadas en nuestra serie cuando lo requiere. La única
diferencia es que ahora estamos usando estrictamente el punto 0. Todas nuestras derivadas se evalúan en el
punto 0.
Ejemplos:

Para la siguiente función cual seriea de Maclaurin para la función f (x) = sinx

Para encontrar la serie de Maclaurin para esta función, comenzamos de la misma manera. Encontramos las
diversas derivadas de esta función y luego las evaluamos en el punto 0. Obtenemos estas para nuestras
derivadas:
Vemos nuestras derivadas siguiendo un
patrón de 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,
etc. Los números 0, 1, 0 y -1 siguen
repitiéndose .

Al conectarlos a nuestra fórmula de la

serie Maclaurin, obtenemos esto:
Las dos últimas líneas son la respuesta, la última
línea es nuestra respuesta escrita en forma de suma,
y ​la línea anterior es nuestra serie expandida.
Como tenemos los ceros, cuando escribimos
nuestra respuesta, saltamos los ceros.