MATEMÁTICA BÁSICA

Ingeniería Industrial

Sesión 2

Profesor: Héctor Ortiz Becerra

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Definición:

Son aquellas ecuaciones que se pueden reducir a la forma:

ax + b = 0

Donde: x es la incógnita.
ax se llama término lineal.
b se le denomina término independiente.

Se debe cumplir que: a ≠ 0 ^ a; b є r

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU TIPO DE SOLUCIÓN:

1.Ecuación Compatible Determinada: Tiene solución única

Ejemplo: 3 x  2  17  x = 5 (solución única)

2. Ecuación Compatible Indeterminada: Tiene infinitas soluciones

Ejemplo: 3x  2 2  Cumple para cualquier valor de x є r

 x
3 3

3. Ecuación Incompatible: No tiene solución

Ejemplo: 5x  3  7  5x  No tiene solución

Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones:

• 5 x x 1
 3x  6  1
3 2
• ( x  5)( x  2)  3(4 x  3)  (5  x) 2

• (3x  1) 2  (5 x  3) 2  (4 x  2) 2

3x  2 x
• 2( x  3)   6
4 2

3x  5 1  2x
• 5  4x 
4 6
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

Considere que:

I. Ingreso total = Precio unitario x Cantidad  It = pq

II. Costo total = Costo fijo + Costo Variable  Ct = Cf + Cv

donde: Cv = Costo unitario x cantidad  Cv = cq

III: Utilidad = Ingreso total  Costo total  U = It  Ct

Si U > 0  Ganancia
Si U < 0  Pérdida
Si U = 0  Equilibrio
Ejercicios

Una compañía de refinación de maíz produce gluten de

maíz para alimento de ganado con un costo variable de
$ 76 por tonelada. Si los costos fijos son $ 110,000 por
mes y el alimento se vende en $ 126 por tonelada.
¿Cuántas toneladas deben venderse para que la
compañía tenga utilidad mensual de $ 540,000?

Suponga que los consumidores comprarán “q” unidades

de un producto al precio de 1000
q
 2 dólares por unidad.

¿Cuántas unidades deberán vender para obtener un

ingreso de $ 5000?
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Definición:

Son aquellas ecuaciones que adquieren la forma general:

ax2 + bx + c = 0

Donde: ax2 se le denomina término cuadrático.

bx se le denomina término lineal.
c se le denomina término independiente.

Se debe cumplir que: a ≠ 0 ^ a; b; c є r

EJEMPLOS:
 x 2  3x  2  0

x 2  x  5  0
Ecuaciones de segundo grado completas:  2
 5x  2x  1  0
 2
 3x  4 x  4  0

 x 2  2x  0

 x 2  3x  0
Ecuaciones de segundo grado incompletas:  2
 4x  9  0
 2
 x  16  0
 Métodos de solución
Toda ecuación de segundo grado tiene dos
soluciones o raíces, las que obtendremos aplicando
los dos métodos siguientes:
 POR FACTORIZACIÓN:
FACTORIZACIÓN
• Consiste en factorizar por el método apropiado (factor común,
aspa simple o diferencia de cuadrados) y luego se iguala cada
factor a cero, despejando en cada caso el valor de la variable.

Ejemplos:
Ejemplos Factorizar

a) x 2
 7 x  18  0 b)12 x 2  25 x  12  0
x 4x -3 = -9x
-9 = -9x
x 2 = 2x 3x -4 = -16x

-7x -25x
(x - 9) (x + 2) = 0 (4x - 3) (3x - 4) = 0
x–9=0 ˅ x+2=0 4x – 3 = 0 ˅ 3x - 4 = 0
⇒ x=9 ˅ x=-2 ⇒ x = 3/4 ˅ x = 4/3

C.S = { 9 ; - 2 } C.S = { 4/3 ; 3/4 }

d ) x 2  8x e) x 2  16  0
x 2  8x  0 (x+4)(x–4)=0
x ( x  8)  0
x+4=0 ˅ x-4=0
x=0 ˅ x-8=0 ⇒ x=-4 ˅ x=4

⇒ x=0 ˅ x=8 C.S = { - 4 ; 4 }

C.S = { 0 ; 8 }
f ) x2  5  0

x2  5
x 5

⇒ x 5 ˅ x 5

C .S   5; 5 
Por fórmula general o cuadrática:
cuadrática
Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden calcularse mediante
la fórmula:
 b  b 2  4ac
x 1; 2 
2a

Resolver: 2x2 + 3x - 7 = 0

De la ecuación obtenemos: a = 2, b = 3, c = -7.

Reemplazamos en la fórmula general:  3  32  4(2)(7)

x
2(2)

 3  65
x1 
4
 3  9  56  3  65
x
4
⇒ x
4 ⇒ X=  3  65
x2 
4
  3  65  3  65 
C.S   ; 
⇒  4 4 
EJEMPLO (2): Resolver: x2 – 7x + 12 = 0

De la ecuación obtenemos: a = 1, b = -7, c = 12.

 (7)  (7) 2  4(1)(12)

Reemplazamos en la fórmula general: x
2(1)

7 1 8
x1   4
2 2
7  49  48 7 1
x
2 ⇒ x
2 ⇒ X= 7 1 6
x2   3
2 2

⇒ C.S ={3;4}
Análisis de las raíces de una ecuación de segundo grado:

Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces cuya naturaleza se

puede obtener sin resolver la ecuación, aplicando la siguiente teoría:

Dada la ecuación general ax2 + bx + c = 0

Denominaremos discriminante de la ecuación a la cantidad:

∆ = b2 – 4 ac

1. Si ∆ > 0, las raices son reales y diferentes.

2. Si ∆ = 0, las raices son reales e iguales.

3. Si ∆ < 0, las raices son complejas conjugadas (imaginarias).
 EJEMPLO:
 Determina la naturaleza de las raíces de la siguiente ecuación:

a )4 x 2  2 x  1  0

ió n :
c
So lu De la ecuación obtenemos: a = 4, b = 2, c = -1.

⇒ ∆ = b2 – 4 ac
∆ = 22 – 4 (4)(-1)
∆ = 4 + 16
∆ = 20
∆ >0

• Por lo tanto, las raíces de la ecuación son reales y diferentes.

INECUACIONES
DESIGUALDADES ENTRE NÚMEROS REALES

Sean a y b dos números reales cualquiera, entonces:

Símbolo Se lee: También se lee:

a<b a menor que b b mayor que a
a>b a mayor que b b menor que a
a<b a menor o igual a b b es mayor o igual a a
a>b a mayor o igual a b b menor o igual a a
 INTERVALOS

Desigualdad Notación Gráfica

axb x  [ a ; b]  
a b

axb x [a ; b 
 
a b

axb x a ; b ] 

a b

a < x <b x a ; b 
a

b
Desigualdad Notación Gráfica
xa x [ a ;  
a

xa x  -  ; a] 
a

xa x a ;  
a

xa x  -  ; a 
a
INECUACIÓN LINEAL
Es aquella que puede reducirse a la forma:
ax + b < 0; a ≠ 0
<
>
>

Ejemplos: 1. 7x - 3 < 0
2. 2 - 5x > 0
x
3. 20
3

Nota: El conjunto de todos los números reales que satisfacen dicha

inecuación, se llama Conjunto Solución (C.S).
Principios de las desigualdades que se aplican a
las inecuaciones:

1. En toda desigualdad, si a ambos miembros se les suma o resta

una misma cantidad, la desigualdad no se altera.

Si: a > b, entonces:

a >b ⇒ a + c >b + c

a >b ⇒ a - c >b - c
2. En toda desigualdad, si a ambos miembros se les multiplica o
divide por una misma cantidad POSITIVA, la desigualdad no
se altera.

Si: a > b y c > 0 (c positivo), entonces:

a >b ⇒ a . c >b . c

a >b ⇒ a ÷ c >b ÷ c
3. En cambio, si a ambos miembros se les multiplica o divide
por una misma cantidad NEGATIVA, entonces, el sentido
de la desigualdad se invierte.

Si: a > b y c < 0 (c negativo), entonces:

a >b ⇒ a . c <b . c

a >b ⇒ a ÷ c <b ÷ c
Ejemplo1 Resuelva: 2(3 – x) > 14
Aplique la propiedad 6  2 x  14
distributiva de la multiplicación
Reste 6 a ambos lados 6  2 x  6  14  6
 2x  8
Divida entre -2 para despejar la  2x 8
incógnita <
2 2
x<4
Represente gráficamente la

solución. -4
Exprese el C.S en forma de
intervalo C.S. = -  ; 4
Ejercicios
1. Determinar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones
a) 5 x  3  0
b) 5  2(4  x)  3 x  8(3  x)
x 3 5 x 2x  9
c)   
3 4 12 15
6x  3 x 3
d)  (2 x  6) 
2 4
2x  3 x  6 x 1 2  x
e)   
5 2 2 4
f ) ( x  1)( x  3)  ( x  2)( x  3)  1
2. Resolver las siguientes inecuaciones simultáneas:

2 x  15 5 2
a)   2  x   8  5 x 
2 3 3

3 1 9
b) 11  x  (5 x  14)  (2  x)
2 3 5
APLICACIONES

Para obtener ganancia: U 0

Para no obtener pérdidas: U 0

Para obtener ganancias de al menos “k”: U k

Si los costos son como máximo “k” : C  k

Ricardo, se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio

de venta al público es de cada uno. Tiene un costo unitario
de y costo fijo de determine el número de sándwich de pollo
que deben venderse para que Ricardo no tenga pérdidas.
 INECUACIONES CUADRÁTICAS
Es aquella que puede
reducirse a la forma:
<
>
>
MÉTODO DE SOLUCIÓN
Dada la inecuación ax2 + bx + c = 0, con a > 0, se procede de la siguiente
manera:
1. Se calculan las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, y se ubican en la recta numérica
( estas raíces son llamadas valores críticos de la inecuación )

-∞
+  + +∞
x1 x2

2. Si la inecuación utiliza los símbolos < o   C.S. = Intervalo central

3. Si la inecuación utiliza los símbolos > o   C.S. = Unión de Intervalos laterales

 INECUACION CUADRATICA

( x  a )( x  b)  0 ( x  a )( x  b)  0

Unión de intervalos señalados Intervalos con signo

con signo positivo positivo
Ejemplo 1 Resolver: x 2  x  12  0

Solución:

Paso 1: Hallar los valores críticos: x 2  x  12  0

x 4
x 3
( x  4)( x  3)  0
x  4  x  3 Son los valores críticos

-∞ +  + +∞
-4 3

Paso 2: Se determina el conjunto solución

Como la desigualdad es < : C.S.= - 4 ; 3

Ejemplo 2

Resolver la siguiente inecuación x2  5x  4  0

Factorizando tenemos:

( x  4)( x  1)  0

Los puntos críticos son x  1, x4

Luego:
-∞
+  + +∞
1 4

Por lo tanto C.S. =   ; 1]  4 ; +

Ejercicios

Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas

1. x 2  4 x  5  0

x3 x  2   x  2 
2
2.

3. x 2  6x  9  0

APLICACIONES

Para obtener ganancia: U 0

Para no obtener pérdidas: U 0

Para obtener ganancias de al menos “k”: U k

Si los costos son como máximo “k” : C  k

APLICACIONES