Pregrado

SESIÓN 04:
INECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO Y GRADO SUPERIOR
CASO APLICATIVO:

La ecuación del ingreso total mensual, “I”, de cierta

compañía es: I = 4p2 –180p; donde “p” es el precio
en dólares del producto que fabrica esa compañía.
Determine: ¿Cuál deberá será el precio de aquel
producto para que el ingreso total mensual sea de
por lo menos $3 600?
 LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el

estudiante resuelve ejercicios y problemas
aplicados a ingeniería y a gestión
empresarial haciendo uso de las
inecuaciones cuadráticas con una sola
variable y de grado superior; para lo cual
sigue una secuencia lógica e interpreta sus
resultados.
 SABERES PREVIOS

Números reales.
Reducir expresiones algebraicas.

Ecuaciones lineales
Inecuaciones lineales
Intervalos
 ECUACIÓN CUADRÁTICA CON UNA INCÓGNITA

Son aquellas ecuaciones en donde la variable tiene

exponente dos y tienen la siguiente forma:

ax 2  bx  c  0 ; a,b,c  
Donde :
* ax 2 : Tér minocuadrático
* bx : Tér minolineal
* c : Tér minoindependiente
TÉCNICAS DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

PRIMERA FORMA: ASPA SIMPLE

EJEMPLO Resuelva la siguiente ecuación: x 2  2x  8  0

SOLUCIÓN x 2  2x  8  0
x 4
x 2
 x  4x  2   0
 x  4;2
C.S  4;2
SEGUNDA FORMA: FÓRMULA GENERAL

 b  b 2  4ac
x
2a

EJEMPLO x2  2 x  4  0
 2   4(1)(4)
2
(2) 
SOLUCIÓN x
2(1)
22 5
x
2
 x1  1  5  x2  1  5


C.S  1  5;1  5 
TIPOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones; según

sea el resultado de la discriminante:
2
  b  4ac

 Dosraicesreales dist int as, si  > 0

 Dosraicesrealesiguales, si   0
 Dosraicescomplejas dist int as, si  < 0
 EJEMPLO 1

x 2  1 x 2  2x  1
Resuelva la siguiente ecuación: 
3 2
SOLUCIÓN x 2  1 x 2  2x  1
3

2
  
 2 x 2  1  3 x 2  2x  1 
 2x 2  2  3x 2  6x  3
 0  x 2  6x  5
x 5
x 1
 0   x  5  x  1
 x  5;1
C.S  1;5
 ECUACIÓN DE ORDEN SUPERIOR

Forma general:
n n 1
anx  an  1 x  ...  a1 x  a 0  0 an  0
Las ecuaciones de grado superior a dos, son
ecuaciones de la forma: P(x) = 0, donde P(x) es un
polinomio de grado superior a dos.

Ejemplos:  

 
MÉTODO DE SOLUCIÓN
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMICOS
(RUFFINI)
Consiste en descomponer un polinomio P(x) en el
producto de factores de la forma (x-a), donde “a” es
un divisor del término independiente de P(x), para lo
cual se aplica la algoritmo de RUFFINI.
 EJEMPLOS

01 Hallar el conjunto solución para la siguiente ecuación de orden 3.

x3  2 x 2  4 x  8  0

Solución:

1 2 -4 -8
X = 2 2 8 8
1 4 4 0
X =-2 -2 -4
1 2 0
Una vez factorizada la expresión, tenemos:

( x  2)( x  2)( x  2)
Por lo tanto cada factor se iguala a cero:

( x  2)  0 ( x  2)  0 ( x  2)  0
x2 x  2 x  2
c.s. = { - 2 ; 2 }
 TRABAJO COLABORATIVO

01 Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

a 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0 b x 4  12 x 3  64 x 2  0

Solución Solución
 Inecuación

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen

una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la
desigualdad es del tipo mayor o menor se denomina inecuación en
sentido estricto y si es del tipo mayor igual o menor igual se
denomina inecuación en sentido amplio.

Ejemplos
2
a ) 2  2 b) x  3  8 c ) x  3  8
x 3 2
 Inecuación lineal

Una inecuación lineal es de la forma

ax  b  0 ; a  0
ax  b  0 ; a  0
ax  b  0 ; a  0
ax  b  0 ; a  0
Pasos a seguir para resolver una inecuación lineal:

1 Simplifique cada lado de la desigualdad , tanto como sea posible,

utilizando la propiedad distributiva para eliminar los signos de
agrupación y mediante la combinación de términos semejantes.

2 Utilice la propiedad de la adición de la desigualdad para

expresarla convenientemente; los términos que tengan variables
queden a un lado y los términos independientes estén al otro
lado.

3 Use la propiedad de la multiplicación para llegar a la desigualdad

de la forma x < k.

4 Se sugiere representar gráficamente la solución y escribir el

intervalo correspondiente, como conjunto solución.
Resolver
 2 1  x
2 x    3  2  
 3 2  2
Solución
4 3 x
2x   6 4x  x 19
3 2 2 
2 6
 8  9  36 x 3x 19
2x   
6 2 2 6
19 x 19
2x   x
6 2 9
x 19
2x    x
2 6 -19/9
  
C.S .   19 ;
9

 INECUACIONES CUADRÁTICAS

Son inecuaciones que se reducen a cualquiera de las formas:

2
 ax  bx  c  0
2
 ax  bx  c  0
2
 ax  bx  c  0
2
 ax  bx  c  0
Observación : a; b; c 
  pero a  0
CASO 1. a x 2
 bx  c : Factorizable    0 

 Factorizar por el método del aspa simple e igualar a cero cada

factor
para obtener los puntos críticos o utilizar la fórmula general.

 Ubicar en la recta real los puntos críticos, dividiéndose así la recta

real en varios subintervalos y asignar en cada subintervalo el signo
positivo y negativo de derecha a izquierda en forma alternada.(*)

 En el gráfico del paso anterior, elegir aquel o aquellos intervalos

con el mismo signo de acuerdo a la desigualdad dada ya que estos
formarán el conjunto solución de la inecuación cuadrática.

(*)Si el punto crítico se repite un número par de

veces, se repite el signo anterior.
Ejemplo 1
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
x 2  x  72  0

Solución:

2
x  x  72  0 + - +
 x  9  x  8   0
-9 8
P.C.  9;8
C.S .  9;8 
Ejemplo 2
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:

x  18 x  81  0
2

Solución:

x 2  18 x  81  0
 x  9  x  9   0 + +

 x  9  0
2
9

P.C.  9
 
CASO 2.
ax 2  bx  c : No Factorizable   < 0 
CASO 2.1.

ax 2  bx  c 20 > 0    < 0

ax  bx  c  0 >
 C.S .  
  C .S .  
CASO 2.2.

ax 2  bx  c  0 < 0    < 0
 C.S .  
Ejemplo 3
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
 

Solución:

Por el caso 2.1 C.S.= ℝ

Ejemplo 4
Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
x 2  x  11  0
Solución:

Por el caso 2.2 C.S.= ф

 INECUACIONES POLINÓMICAS

Son aquellas inecuaciones que son cualquiera de las siguientes

formas:

1) P  x   a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2    an  0
2) P  x   a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2    an  0
3) P  x   a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2    an  0
4) P  x   a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2    an 0

Donde: a0 ; a1 ; a2 ;...; an    a0  0
Método para resolver una inecuación polinomial
Método de los Valores Críticos Pasos:
1. Tener presente que a0  R 
2. Se usará el método (u otro método) de los divisores binómicos (Ruffini) para
factorizar todo el polinomio y tener presente que cada factor deberá ser
lineal.
3. Si algún factor quedara de segundo grado, entonces se usará la
discriminante. Este último deberá ser mayor o igual a cero para así
descomponer en factores lineales; caso contrario tal factor se eliminará.
4. Se iguala a cero cada factor lineal; los valores obtenidos son llamados
valores críticos.
5. En la recta numérica se ubican los valores críticos en forma ordenada.
6. Cada zona determinada por los valores críticos, se señalan alternadamente
de derecha a izquierda con los signos (+) y ( - ) y siempre empezando con
(+).
7. La solución de la inecuación polinómica es:
 la unión de los intervalos (+) , si P(x)>0  P(x) ≥ 0
 la unión de los intervalos ( - ) , si P(x)<0  P(x) ≤ 0

OBSERVACIÓN
 Si algún factor lineal tiene exponente par, entonces alrededor de
aquel valor crítico se duplicará el signo.

 Si algún factor lineal tiene exponente impar, entonces se deberá

considerar como un factor lineal sin exponente y la secuencia de los
signos se mantendrá.
EJEMPLOS

1. Resolver:  x 3  81x  0

Solución:
3
Se multiplica por -1: x  81x  0
Factorizando: x3  81x  x  x 2  81   x  0  x  9  x  9 

 x  0  x  9  x  9   0
Los valores críticos son: x  0; x  9; x  9
Graficando:
- + - +

-9 0 9

C.S : 9; 0  9; 
EJEMPLOS
3 2
2. Resolver: x  2 x  5 x  6  0 Método de Ruffini

Solución:
1 2 5 6
D  6   1; 2; 3; 6 1 1 1 6
1 1 6 0
2 2 6
1 3 0
3 3
1 0
x 3  2 x 2  5 x  6   x  1 x  2  x  3
 x  1 x  2  x  3  0
Los valores críticos son: x  1; x  2; x  3
Graficando:

C.S :  ; 2 1;3

EJEMPLOS

3. Resolver:  x  1  x  2   x  5   0
2 3
Caso especial
Solución:
 x  1  x  2   x  5   0
2 3

Los valores críticos son: x  1* ; x  2; x  5

* alrededor de ese punto, el signo se repite
Graficando:

C.S   ;2 5;   1 