Clase 2 ERRORES - ANALISIS NUMERICO Original

ERRORES
DEFINICION: Los errores numéricos se generan con el uso de

aproximaciones para representar las operaciones y cantidades
matemáticas.
Los datos de entrada rara vez son exactos puesto que se basan en
ensayos experimentales o bien son estimados, los métodos numéricos
introducen errores de varios tipos, por ello brindan resultados
aproximados.
Estos errores de datos en los problemas también reciben el nombre de
Incertidumbre.
ERRORES – FACTORES
Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes
factores:
 Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.
 Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del
problema.
FACTORES – PRIMER GRUPO
En el primer grupo, se incluyen aquellos en los que la definición matemática

del problema es sólo una aproximación a la situación física real.
Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se

comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de
mecánica clásica
FACTORES – SEGUNDO GRUPO
El segundo grupo de factores consiste de tres fuentes principales:
1.- Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien
conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora.
2.- El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de
aproximación. Algunos ejemplos son:
El cálculo de una función elemental (Seno x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen
la expansión en serie de Taylor.
Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como la
empleada en la regla del trapezoide.
Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias
finitas).
3.- Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que
los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos
decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario
redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas
operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir
números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden
almacenar).
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Es el número de dígitos, más un dígito estimado que se pueda usar con
confianza. Estas aportan información sobre el resultado de medición. Ellas
representan el uso de una o más escalas de incertidumbre en
determinadas aproximaciones.
Reglas para determinar cuántas cifras significativas
existen en el resultado
REGLA 1: LOS DÍGITOS DIFERENTES DE CERO SON SIEMPRE SIGNIFICATIVOS.

Es así que un número como 26.38 tendría cuatro cifras significativas, mientras que 7.94 tendría
tres. El problema aparece con números tales como 0.009 80 o 28.09. Ahora bien, los ceros a la
izquierda del primer número distinto de cero no son significativos, ya sea 0,03 (que tiene una
sola cifra significativa) o 0,0000000000000395 (este tiene sólo tres)
REGLA 2: CUALESQUIERA CEROS ENTRE DOS CIFRAS SIGNIFICATIVAS SON
SIGNIFICATIVOS.
Supongamos que tienes como resultado de una medición el número 406. Según la
Regla 1, el 4 y el 6 son significativos. Pero ¿Qué sucede con el cero que forma parte
de las decenas en este número? A estos se les llama “ceros apresados” y deben ser
tenidos en cuenta.
En resumen, Los ceros situados en medio de números diferentes de cero son
significativos, ya sea 901 cm (que tiene tres cifras significativas) o 10,609 kg
(teniendo cinco cifras significativas).
Reglas para determinar cuántas cifras significativas
existen en el resultado
 Regla 3: los ceros al final de la parte decimal son significativos.

Veamos dos ejemplos de esta regla, con los ceros significativos en color
0.00500
0.03040
Y aquí otros dos ejemplos con los ceros significativos en color:

2.30×10−5
4.500×1012
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
EJEMPLO CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Ejemplo: Si se leen 25 ml en una bureta, que está graduada en 0,1 ml, se
puede decir que el nivel del líquido es mayor que 25,1 y menor que 25,2 ml
como puede observarse en la Figura 1. Hasta puede estimarse con una
aproximación de ± 0,05 ml, por lo tanto el volumen vertido es 25,15 ml que
tiene 4 cifras significativas. Los primeros tres dígitos son seguros y el último
es una estimación.
Figura 1. Representación de la sección de una

bureta
25
EJEMPLO CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Es importante establecer que los ceros, no son siempre dígitos

significativos, ya que pueden emplearse para ubicar el punto decimal, por
ejemplo:
a) 0.00001845 c) 0.001845
b) 0.0001845 d) 0.0000180
Los incisos a, b y c, tienen cuatro dígitos significativos 1,8,4,5 siendo 1 el

primero y 5 el cuarto.
El inciso d tiene tres dígitos significativos: 1, 8 y 0.
INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS.
Este tipo de error se conoce como ruido y afectará a la
exactitud de cualquier cálculo numérico que se base en
dichos datos.
No se puede mejorar la precisión de los cálculos si realizamos

operaciones con datos afectados por ruido.
Si empezamos con datos que contienen “dʺ cifras

significativas, el resultado de un cálculo con ellos debería
mostrarse con “dʺ cifras significativas.
EJEMPLO INCERTIDUMBRE EN LOS
DATOS
Supongamos que los datos p1 = 4.152 y p2 = 0.07931 tienen
ambos una precisión de cuatro cifras, entonces sería tentador
indicar todas las cifras que aparecen en la pantalla de una
calculadora al hacer, su suma: p1 + p2 = 4.23131.
Esto no es correcto, no deberíamos obtener conclusiones que

tengan más cifras significativas que los datos de partida.
Así, el resultado obtenido de la suma será p1 + p2 = 4.231.

EXACTITUD Y PRECISIÓN
 La Precisión se refiere al número de cifras

significativas que representan una cantidad o a la
extensión en las lecturas repetidas de un
instrumento que mide alguna propiedad física.
 LaExactitud se refiere a la aproximación de un

número o de una medida al valor verdadero que se
supone representa.
TIPOS DE ERRORES
Error absoluto y relativo:
El error se aplica para indicar la inexactitud y la imprecisión

de las mediciones.
El error verdadero o absoluto es igual a la diferencia entre el
valor verdadero y el aproximado:
E v = valor verdadero – valor aproximado=
TIPOS DE ERRORES
El error relativo fraccional resulta de normalizar el error respecto al valor

verdadero:
 Error relativo fraccional =
Si se expresa en porcentaje:
TIPOS DE ERRORES
El error relativo porcentual de aproximación está dado por:
Por lo general se toma el valor absoluto del error.

El resultado es correcto en al menos n cifras significativas si se cumple el
siguiente criterio:
= Donde es la tolerancia prefijada
EJEMPLO
Se quiere medir el voltaje de una fuente de alimentación y se obtiene

un valor de 123.4V si se sabe que el valor verdadero es de 125 V, se
tiene:
Error Verdadero =
Error Relativo Porcentual

ERRORES EN LA RESOLUCIÓN NUMÉRICA
Error de truncamiento:
La noción de error de truncamiento se refiere normalmente a los errores que se producen
cuando una expresión matemática complicada se “reemplaza” por una fórmula más simple.
Esta terminología se originó en la sustitución de una función por uno de sus polinomios de
Taylor.
ERRORES EN LA RESOLUCIÓN
NUMÉRICA ERROR DE TRUNCAMIENTO
Residuo:
En donde ξ representa un valor que se encuentra entre y se

define como el incremento
NUMÉRICA ERROR DE TRUNCAMIENTO
Si se considera el primer término de la serie, la aproximación es de orden

cero; con dos términos la aproximación es de 1º orden, tres términos
corresponden a 2º orden y así sucesivamente. Cuanto mayor sea el número de
términos incluidos, menor será el error de truncamiento.
NUMÉRICA ERROR DE REDONDEO
Estos errores se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras
significativas para representar en forma aproximada números exactos.
Dependen de la computadora o de quien realice los cálculos.
Si se realizan las operaciones algebraicas a mano se deben tener en cuenta las

reglas de redondeo.
Reglas de redondeo:
Primera: si se necesita expresar una medida con tres cifras significativas, a la tercera cifra se le
incrementa un número si el que le sigue es mayor que 5 o si es 5 seguido de otras cifras diferentes
de cero.
Ejemplo: 53,6501 consta de 6 cifras y para escribirlo con 3 queda 53,7; aunque al 5 le sigue un
cero, luego sigue un 1 por lo que no se puede considerar que al 5 le siga cero (01 no es igual a 0).
Segunda: siguiendo el mismo ejemplo de tres cifras significativas: si la cuarta cifra es menor de 5,
el tercer dígito se deja igual.
Ejemplo: 53,649 consta de cinco cifras, como se necesitan 3 el 6 queda igual ya que la cifra que le
sigue es menor de 5; por lo que queda 53,6.
Reglas de redondeo:
Tercera: Cuando a la cifra a redondear le sigue un 5, siempre se redondea hacia arriba.
Ejemplo: si el número es 3,7500 se redondearía a 3,8.
Para la multiplicación y la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras del

resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contienen las
cantidades en operación.
En el caso de operaciones combinadas se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el

resultado se redondea antes de proceder con la otra operación.

REGLAS DE REDONDEO PARA
RESULTADOS CON INCERTIDUMBRE
Primera: Si la incertidumbre de que se parte contiene una sola
cifra significativa, se dejará tal y como se obtenga, con una sola
cifra significativa.
Segunda: Las incertidumbres con dos o más cifras significativas se

redondean hasta dejar sólo 2 cifra significativas
Tercera: El resultado se redondea hasta dejar el mismo número

de cifras decimales que tenga la incertidumbre

EJEMPLOS
• X = 5, 43636 ± 0, 32675 → X = 5, 44 ± 0, 33
• X = 5, 99 ± 0, 68 → X = 5, 99 ± 0, 68
• X = 0, 05134 ± 0, 00999 → X = (5, 1 ± 1, 0)10−2
Un caso particular que puede resultar confuso y se presenta con cierta

frecuencia es el de obtener resultados con menos decimales que la
incertidumbre. En estos casos, se necesita añadir ceros significativos que
no estaban en el número original. Por ejemplo:
X = 8 ± 0,0653 → X = 8,000 ± 0,065

Redondeo en Ordenador:
La representación de los números reales en un ordenador está limitada
por el número de cifras de la mantisa, de manera que algunos números
no coinciden exactamente con su representación en la máquina. El
número que, de hecho, se guarda en la memoria del ordenador puede
haber sufrido el redondeo de su última cifra; en consecuencia, y puesto
que el ordenador trabaja con números que tienen una cantidad limitada
de dígitos, los errores de redondeo se introducen y propagan a través de
operaciones sucesivas.
NUMÉRICA Redondeo en Ordenador
El redondeo se puede hacer de dos formas distintas.
 a) Truncado: Cuando no se modifica o altera el último dígito que no

se descarta.
 b) Redondeo (simétrico): Si el primer dígito que se va a descartar es

menor que 5 no se modifica el anterior, mientras que si es mayor o
igual que 5, el último dígito no descartado aumenta en una unidad.
NUMÉRICA PUNTO FLOTANTE
La representación de coma o punto flotante es una forma de notación

científica usada en los computadores con la cual se pueden representar
números reales extremadamente grandes y pequeños de una manera muy
eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones
aritméticas.
RRORES EN LA RESOLUCIÓN NUMÉRICA PUNTO FLOTANTE
La representación en punto flotante de un número real p, denotada por fl(p), es la

escritura:
fl(p) = ±0:d1d2 : : : dk ×
donde 1 ≤ ≤ 9, 0 ≤ ≤ 9; ∀i∈ {2; 3; : : : ; k} y n ∈ ℤ .
De la representación de punto flotante anterior se define:
a) ± : Signo del número p. Específicamente + si es positivo y − si es negativo

(generalmente omitiremos el signo +).
b) k: Mantisa o cantidad de dígitos (desde hasta )
c) n: Exponente (incluido su signo)
EJEMPLO DE PUNTO FLOTANTE
Consideremos el número real :
p = = 3.14285714285142857…
La representación en coma flotante normalizada con redondeo a seis cifras significativas,

tiene los dos resultados siguientes:
= 0.314285 x ; = 0.314286x
En las aplicaciones de ingeniería, en general, se utiliza el redondeo simétrico ya que el

redondeo por truncamiento supone una pérdida de información.
Overflow y Underflow
Overflow: Cuando se intenta almacenar un número cuyo
exponente positivo es mayor que el máximo representable, se
produce un error llamado desbordamiento u overflow. En tal caso
la máquina interpreta que el número en cuestión es infinito.
Underflow: Por otro lado, cuando se intenta almacenar un número

cuyo exponente negativo es menor que el mínimo representable,
se produce un error llamado subdesbordamiento o underflow. En
tal caso la máquina interpreta que el número en cuestión es 0.

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ERRORES

DEFINICION: Los errores numéricos se generan con el uso de

 Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.

En el primer grupo, se incluyen aquellos en los que la definición matemática

Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se

REGLA 1: LOS DÍGITOS DIFERENTES DE CERO SON SIEMPRE SIGNIFICATIVOS.

 Regla 3: los ceros al final de la parte decimal son significativos.

Y aquí otros dos ejemplos con los ceros significativos en color:

Figura 1. Representación de la sección de una

Es importante establecer que los ceros, no son siempre dígitos

Los incisos a, b y c, tienen cuatro dígitos significativos 1,8,4,5 siendo 1 el

No se puede mejorar la precisión de los cálculos si realizamos

Si empezamos con datos que contienen “dʺ cifras

Esto no es correcto, no deberíamos obtener conclusiones que

Así, el resultado obtenido de la suma será p1 + p2 = 4.231.

 La Precisión se refiere al número de cifras

 LaExactitud se refiere a la aproximación de un

Error absoluto y relativo:

El error se aplica para indicar la inexactitud y la imprecisión

El error relativo fraccional resulta de normalizar el error respecto al valor

Por lo general se toma el valor absoluto del error.

Se quiere medir el voltaje de una fuente de alimentación y se obtiene

Error Relativo Porcentual

En donde ξ representa un valor que se encuentra entre y se

Si se considera el primer término de la serie, la aproximación es de orden

Dependen de la computadora o de quien realice los cálculos.

Si se realizan las operaciones algebraicas a mano se deben tener en cuenta las

Para la multiplicación y la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras del

En el caso de operaciones combinadas se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el

Segunda: Las incertidumbres con dos o más cifras significativas se

Tercera: El resultado se redondea hasta dejar el mismo número

Un caso particular que puede resultar confuso y se presenta con cierta

X = 8 ± 0,0653 → X = 8,000 ± 0,065

El redondeo se puede hacer de dos formas distintas.

 a) Truncado: Cuando no se modifica o altera el último dígito que no

 b) Redondeo (simétrico): Si el primer dígito que se va a descartar es

La representación de coma o punto flotante es una forma de notación

La representación en punto flotante de un número real p, denotada por fl(p), es la

De la representación de punto flotante anterior se define:

a) ± : Signo del número p. Específicamente + si es positivo y − si es negativo

La representación en coma flotante normalizada con redondeo a seis cifras significativas,

En las aplicaciones de ingeniería, en general, se utiliza el redondeo simétrico ya que el

Underflow: Por otro lado, cuando se intenta almacenar un número

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