Las Proposiciones

LAS
PROPOSICIONES
LÓGICA
PROPOSICIONAL
Lógica proposicional
• La lógica proposicional o lógica de proposiciones está muy
relacionada con el uso de conectivos lógicos y con los
valores de verdad (verdadero o falso).
• La lógica proposicional no trata con variables de ningún tipo,
solo con proposiciones (afirmaciones).
• Por ejemplo:
• Ahora está lloviendo.
• x+3=5
Simbolización de proposiciones
PRIMERO:
• Toda proposición simple debe simbolizarse ya sea con las letras
mayúsculas P, Q, R,… del abecedario o con p0, p1, p2, p3.
• Cuando se sabe que el número de proposiciones es finito, se sugiere
utilizar las letras mayúsculas del alfabeto P, Q, R, S, etc.
• Si no se sabe cuántas proposiciones se usarán y será un número
grande, entonces se sugiere utilizar la notación p1, p2, p3,.. Pn.
Ejemplo 1: Simbolización de proposición
simple.
• P: Hoy voy al cine.

• Q: Hoy voy al teatro.
• R: Hoy salgo de mi casa.
SEGUNDO:
• Las proposiciones compuestas que utilizan conectivos lógicos:
conjunción, disyunción, implicación o doble implicación, se
componen de la primera proposición simple, el conectivo lógico y la
segunda proposición simple, así sucesivamente hasta completar la
proposición compuesta con cuantos conectivos y proposiciones
simples contenga.
Ejemplo 2: Simbolización de proposición
compuesta.
• Si hoy voy al cine o al teatro, entonces hoy salgo de mi casa.

(P∨Q)→R
TERCERO:
• Las proposiciones compuestas que utilizan el conectivo
lógico de la negación se escriben de la siguiente manera: la
negación y después la proposición simple.
Ejemplo 3: Simbolización de la negación.

• Hoy no voy al cine.
¬P
CUARTO:
• El conectivo lógico de la negación es el único que puede utilizarse uno
tras otro sin la necesidad de colocar una premisa simple.
Ejemplo 4: Simbolización doble negación.
¬¬P
QUINTO:
• En una proposición compuesta, el uso de los paréntesis indica la
operación que es prioritaria en la proposición.
Ejemplo 5: Uso de paréntesis.

(P∨Q)→R
• Los paréntesis indican que la operación predominante es la implicación y
después la disyunción. (Nota: para resolver los ejercicios es necesario iniciar
por las operaciones más débiles y llegar hasta la operación predominante).
• El uso de paréntesis puede modificar profundamente una proposición; por
ejemplo, no es lo mismo escribir:
(¬P→¬R)
• Que en este caso se lee como: Si no voy al cine entonces no salgo de mi
casa. A escribir:
¬(P→¬R)
• Que en este caso se lee como: No es verdad que si voy al cine, entonces no
salgo de mi casa.
Simbolización de los conectivos lógicos
Ejercicio:
Determinar si las siguientes proposiciones están permitidas en
la gramática formal de la lógica de proposiciones.
1. ⌐Q→⌐R 6. Q→⌐R
2. P ∨R 7. Q→∨R
3. P⌐Q 8. Q→R
4. ⌐⌐⌐Q 9. P∨∨R
5. ∨R 10. P∨R→⌐R
FORMALIZACIÓN DEL LENGUAJE
NATURAL AL LEGUAJE DE LA LÓGICA
PROPOSICIONAL
Formalización del lenguaje natural al leguaje
de la lógica proposicional
• Las proposiciones son oraciones afirmativas construidas todo el
tiempo.
• Se dividen en simples (una única oración afirmativa) y compuestas
(una o más proposiciones simples, unidas por un conectivo lógico).
• De manera constante hablamos construyendo proposiciones simples y
compuestas, sin saber formalmente que así se llaman.
• Para propósitos de la lógica proposicional es necesario utilizar un
lenguaje matemático que ayude a un entendimiento universal de las
proposiciones que se construyen.
• Así, cualquier proposición puede ser “traducida” a un lenguaje formal
matemático.
• Para hacer esta traducción se requiere llevar a cabo los siguientes
pasos:
1. Identificar si lo que queremos formalizar es una proposición
simple o compuesta.
2. Si es una proposición simple, asignarle una letra mayúscula del
abecedario.
3. Si es una proposición compuesta:
• Identificar cuáles son las proposiciones simples que la componen y
asignar a cada proposición simple una letra del abecedario.
• Identificar los conectivos lógicos.
• Identificar el conectivo lógico que predomina en la proposición.
Ejemplo 1: Simbolización de proposiciones.
a) Mi coche avanza.
b) Enciendo mi coche y oprimo el acelerador.
c) Si enciendo mi coche y oprimo el acelerador, entonces mi coche
avanza.
• Se formaliza de la siguiente manera:
El primer enunciado es una premisa simple y se le asigna la letra P.

P: Mi coche avanza.
• El segundo enunciado es una proposición compuesta que utiliza
dos proposiciones simples y el conectivo lógico conjunción (“y”).
Así que a las proposiciones se les asignan letras del abecedario y a la P

ya no se le puede ocupar porque ya se le asignó una oración.
Q: Enciendo mi coche.
R: Oprimo el acelerador.
El conectivo lógico “y” se simboliza como ∧, entonces mi segundo
enunciado se simboliza de la siguiente manera:
Q∧R
• El tercer enunciado es una proposición compuesta que utiliza tres
proposiciones simples y dos conectivos lógicos:
A la primera proposición simple ya se le asignó la letra Q.

Q: Enciendo mi coche.
• A la segunda proposición ya se le asignó la letra R.
R: Oprimo el acelerador.
• A la tercera proposición ya se le asignó la letra P.
P: Mi coche avanza.
Ejemplo de proposiciones simples y
compuestas.
1. Designe una variable para identificar cada oración con LPROP.
• Está lloviendo
• El sol está brillando
• Hay nubes en el cielo.
P Está lloviendo
Q El sol está brillando
R Hay nubes en el cielo.
Ejemplo de proposiciones simples y
compuestas.
2. Construya las proposiciones siguientes que a continuación se
presentan.
a) Está lloviendo y el sol está P∧Q
P Está lloviendo
brillando. Q El sol está brillando
R Hay nubes en el cielo.
b) Si está lloviendo, entonces hay
nubes en el cielo P->R
c) Si no está lloviendo, entonces el sol

no está brillando y hay nubes en el ¬P(¬Q∧R)
cielo.
d) El sol está brillando si, y solo sí, no
está lloviendo. Q⇒¬P
Ejercicios: Traducir las siguientes proposiciones de un
lenguaje formal matemático a un lenguaje natural.

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• P: Hoy voy al cine.

• Si hoy voy al cine o al teatro, entonces hoy salgo de mi casa.

Ejemplo 3: Simbolización de la negación.

Ejemplo 4: Simbolización doble negación.

Ejemplo 5: Uso de paréntesis.

El primer enunciado es una premisa simple y se le asigna la letra P.

Así que a las proposiciones se les asignan letras del abecedario y a la P

A la primera proposición simple ya se le asignó la letra Q.

c) Si no está lloviendo, entonces el sol

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