Presentacion Ejemplos 5-3

Ejemplos sobre la
Representación matricial de
transformaciones lineales
LiFTA
Espacios Vectoriales II
Diego Ramírez Islas
Erick Daniel Sumano Pérez
Erick Pantaleón Mendoza Martinez
Ejemplo 1: Representación matricial de una
transformación de proyección.
Hallar la matriz de transformación que corresponde a la proyección de un vector de en el plano xy.
Solución: Se tiene que
Ejemplo 2: Matriz que representa una transformación de
Si esta definida por
Hallar
Solución:
Adviértase (a manera de comprobación) que
A continuación se calcula el núcleo y el recorrido de A. Reduciendo por renglones se obtiene
Los primeros tres renglones de la última matriz son linealmente independientes (porque su determinante es -2), de tal modo
que
𝑅 4 → 𝑅 4 +𝑅3
Esto significa que un T={0}, recorrido T =
Ejemplo 3: Matriz que representa una transformación de
Sea la transformación definida por . Hallar , nuT, recorrido T, .
Solución: Como , se tiene
Del ejemplo referenciado anteriormente podemos ver que
A fin de encontrar , se reduce por renglones para resolver el sistema Ax=0

Esto significa que Haciendo primero x=1, z=0 y luego z=1, se obtiene una base :
Ejemplo 4: Representación matricial de la
transformación cero
Para comprobar que si T es la transformación cero de entonces debe de ser la matriz cero de m x n. En forma
similar, si T es la transformación identidad de , entonces =
Ejemplo 5:Representación matricial de una
transformación de rotación.
 Si T es la función que rota a todo vector en un ángulo θ, entonces:
 , Ahora se generalizará el concepto de representación matricial a espacios arbitrarios de
dimensión finita.
Ejemplo 6: Matriz que representa una
transformación de a .
 Suponga que se define como . Encuentre y haga uso de ella para determinar el núcleo y el
recorrido de .
 Solución: Empleando la base estándar de y de , se tiene y Por tanto, . Es evidente que , y
una base de es En consecuencia, . Como se ve que
Ejemplo 7: Representación matricial de una transformación de en
 Defina T: –› por calcule y utilícela para encontrar el núcleo y la imagen de T.

 Utilizando las bases estándar en , de inmediato se ve
 que , , ,
 Por lo que , así que ρ(A)=2 , y una base para , de manera que la imagen de T es , entonces υ(A)=4-2=2 , y si , entonces
 =0 , por lo tanto y son arbitrarios y ,es una base para , de manera que {1, } es una base para nu
Ejemplo 8: Cálculo de una representación matricial con
respecto a dos bases diferentes de la estándar en .
 Suponga que se define como . Calcule empleando las bases

 Solución: Se tienen . En virtud de que , se tiene . En forma similar, de tal modo que .
Por tanto, Para calcular , por ejemplo, en el primer término se escribe de donde .
 Entonces . En consecuencia, . Nótese que , lo cual
confirma los cálculos.
Ej.9 La representación matricial de una transformación lineal
respecto a dos bases no estándar en R2 puede ser diagonal
 Sea la transformación lineal T definida porcalcule con respecto a las bases

 Solución: Utilizando el procedimiento del problema anterior, encontramos la imagen de la base bajo T y la expresamos en
términos de la base para construir la representación matricial con respecto a las bases y .
 ,
 Por lo tanto , Una forma alternativa de resolver este problema consiste en encontrar la representación de T con respecto de
la base estándar y encontrar las matrices de transición de y a S
 Esquemáticamente se puede ver que partiendo de la base y utilizando la matriz de transición A, se llega a
la prepresentación de la base S, se aplica la transformación lineal utilizando C y, finalmente, en este caso
como , la matriz de transición de S a es . Es decir, = CA.
 Encontrando las matrices involucradas:
 , ,
Ejemplo 10: Como descomponer una transformación lineal en en
una sucesión de expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.
 Considere la transformación cuya representación matricial es . La matriz anterior se puede

escribir como el producto de tres matrices elementales, mismas que explican cada
modificación que provoca la transformación:
 Pero representa un corte a lo largo del eje y (con c=3)

 representa un corte a lo largo del eje x (con c=2)
 representa una expansión a lo largo del eje y (con c=2) seguida por una reflexión con
respecto al eje x.
Así, al aplicar a un vector de :
i. Se efectúa un corte a lo largo del eje x con c=2
ii. Se lleva a cabo una expansión a lo largo del eje y con c=2
iii. Se lleva a cabo una reflexión con respecto al eje x
iv. Se efectúa un corte a lo largo del eje y con c=3
Obsérvese que estas operaciones se llevan a cabo en el orden inverso con el que se han escrito
las matrices en la ecuación de la diapositiva anterior.
A fin de ilustrar esto, supóngase que . Entonces:
En las figuras de la siguiente diapositiva, se muestra la descomposición de la transformación

lineal en una sucesión de cortes, expansiones y reflexiones.
 Utilizando las operaciones de la i) a la iv), se tiene:
Corte Expansión
Reflexión
Corte
Estos pasos se detallan en las figuras anteriores.

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Ejemplos sobre la

Si esta definida por

A continuación se calcula el núcleo y el recorrido de A. Reduciendo por renglones se obtiene

A fin de encontrar , se reduce por renglones para resolver el sistema Ax=0

 Defina T: –› por calcule y utilícela para encontrar el núcleo y la imagen de T.

 Suponga que se define como . Calcule empleando las bases

 Sea la transformación lineal T definida porcalcule con respecto a las bases

 Considere la transformación cuya representación matricial es . La matriz anterior se puede

 Pero representa un corte a lo largo del eje y (con c=3)

En las figuras de la siguiente diapositiva, se muestra la descomposición de la transformación

Estos pasos se detallan en las figuras anteriores.

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