Ingeniería de Minas

RECIPIENTES SOMETIDOS A
PRESIÓN:
ECUACIÓN DE LAPLACE
CURSO:
RESISTENCIA DE MATERIALES
 QUE ES UN RECIPIENTE SOMETIDO A PRESIÓN

Un recipiente a presión es un recipiente cerrado, diseñado para soportar gases o líquidos a una presión
sustancialmente diferente de la presión ambiental, ya sea por presión interna o presión externa,
independientemente de su forma y dimensiones.

RECIPIENTE CILINDRICO RECIPIENTE ESFERICO

CLASIFICACION DE LOS RECIPIENTES PRESIÓN
 RECIPIENTES CILINDRICOS
ALMACENAMIENO DE GAS
HORIZONTALES RECIPIENTES CILINDRICOS
VERTICALES

RECIPIENTES ESFERICOS
TORRES DE DESTILACION
RECIPIENTES DE PROCESOS
POR SU SERVICIO (USO). Estas se dividen en dos tipos:
 Almacenamiento:
ALMACENAMIENO DE GAS
Se usan como depósitos para
contener una reserva suficiente
de algún producto para su uso
posterior y/o comercialización.

 De proceso:

TORRES DE DESTILACION
RECIPIENTES DE
PROCESOS
Se utilizan como
intercambiadores de
calor, reactores, torres
fraccionadoras, torres
de destilación, entre
otros.
POR SU FORMA (USO). Estas se dividen en dos tipos:
 CILINDRICOS: Se encuentran recipientes cilíndricos horizontales y verticales

RECIPIENTES CILINDRICOS
HORIZONTALES
Son aquellos recipientes montados en
silletas en posición horizontal,
conocidos comúnmente como
salchichas, se utilizan como
acumuladores ya sea de flujo de
vapor y/o sustancias que provengan
de equipos especiales.
RECIPIENTES CILINDRICOS
VERTICALES

Los más usados son los reactores, las

torres, etc. Normalmente los recipientes
verticales están soportados por medio de la
patas de ángulo o tubo, faldones cónicos o
rectos y por soportes integrados en el
cuerpo del recipiente.
 ESFERICOS:

Se usan para almacenamiento de grandes volúmenes de

fluidos principalmente, gas natural, butano, isobutileno,
hidrógeno, amoníaco y otros productos petroquímicos.
Se utilizan generalmente como tanques de
almacenamiento. Puesto que la forma esférica es la
forma natural que toman los cuerpos al ser sometidos a
presión interna, ésta sería la forma más económica para
almacenar fluidos a presión.
 VENTAJAS DEL USO DE RECIPIENTES ESFÉRICOS
Normalmente los recipientes esféricos se usan para el almacenamiento de grandes volúmenes de fluidos
bajo presiones moderadas, entre 2.1 kg/cm2 y 17 kg/cm2, principalmente gases a temperaturas y
presiones normales.
El uso de esferas para almacenamiento de líquidos volátiles y gases tienen un gran número de ventajas
prácticas, incluyendo el almacenamiento económico, partes fijas, pocas probabilidades de fuego, bajos
costos de mantenimiento, corrosión mínima y flexibilidad
CÁLCULO Y DISEÑO DE LAS PARTES DE UN RECIPIENTE
POR PRESIÓN
Cascarón. El cascarón de los recipientes muchas veces es cilíndrico ya que se tiene un área
transversal más grande para un perímetro dado y por lo tanto mayor resistencia que con otras
formas exceptuando la esférica y con ello mayor economía y mejor facilidad de fabricación. Para
el diseño se debe tener en cuenta: Los esfuerzos y las tapas

1. Esfuerzos Longitudinales: Causados por la presión del fluido

contenido.
𝜎  = 𝑝𝑟
1
𝑡

2. Esfuerzos Tangenciales: Causados por la misma presión

anterior
  = 𝑝𝑟
𝜎 2
2𝑡
 CABEZAS O TAPAS.
Los recipientes sometidos a presión pueden estar construidos por diferentes tipos de tapas o
cabezas. Cada una de estas es más recomendable a ciertas condiciones de operación y costo
monetario.
 RECIPIENTES SOMETIDOS A PRESIÓN INTERNA.
Sucede cuando un recipiente es sometido a una presión interna, se genera un esfuerzo circunferencial y un
esfuerzo longitudinal, por lo que, para el diseño del equipo, ambos esfuerzos deben ser determinados. De esta
manera los distintos Códigos utilizados para el diseño de recipientes a presión, se basan en lo anterior para
reglamentar el diseño de estos equipos y únicamente difieren unos Códigos de otros, en el factor de seguridad
empleado por cada Código. Otros factores que intervienen en el cálculo del espesor de recipientes, son el esfuerzo
máximo permisible (S) del material que como se ha mencionado se encuentra en Tablas de esfuerzos en base a la
temperatura de diseño y especificación del material seleccionado.
 RECIPIENTES CILÍNDRICOS.
 Considere que el recipiente cilíndrico de la figura tiene un grosor de pared , un radio interior y está sometido a una
presión manométrica que se genera en el recipiente por el gas que contiene. Debido a esta carga, un pequeño elemento
del recipiente que está suficientemente alejado de los extremos y orientado como se muestra en la figura , se encuentra
sometido a esfuerzos normales en la dirección circunferencial o anular, y en la dirección longitudinal o axial.

(a) (b) (c)

 ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL O ANULAR
 El esfuerzo anular puede determinarse considerando que el recipiente está seccionado por los planos . En la figura se
muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento posterior junto con el gas contenido. Aquí sólo se muestran las cargas
en la dirección . Estas cargas se desarrollan por el esfuerzo anular uniforme , que actúa sobre la pared del recipiente y la
presión que actúa sobre la cara vertical del gas. Para el equilibrio en la dirección , se requiere.
𝑃
𝜎  = → 𝑃=𝐹
𝐴
  =
 

(b)
 ESFUERZO LONGITUDINAL O AXIAL
 El esfuerzo longitudinal puede determinarse considerando la porción izquierda de la sección del
cilindro, figura . Como se muestra en la figura , actúa de manera uniforme en toda la pared y actúa
en la sección del gas contenido. Como el radio medio es aproximadamente igual al del radio
interior del recipiente, el equilibrio en la dirección y requiere.

(c)
EN LAS ECUACIONES ANTERIORES

  = el esfuerzo normal en las direcciones anular y longitudinal, respectivamente. Se supone que cada uno es
constante en toda la pared del cilindro, y cada uno somete al material a tensión
= la presión manométrica interna generada por el gas contenido
= el radio interior del cilindro
= el grosor de la pared
 ESFUERZOS EN LA SUPERFICIE EXTERIOR DEL RECIPIENTE
Los esfuerzos principales σ1 y σ2 de la superficie externa de un recipiente cilíndrico se muestran sobre
el elemento de esfuerzo. Puesto que el tercer esfuerzo principal es cero, el elemento está en esfuerzo
biaxial.
Los esfuerzos máximos cortantes en el plano ocurren sobre planos que están girados 45° respecto al
eje Z. estos esfuerzos son

Los esfuerzos cortantes fuera del plano máximo se obtienen por rotaciones a 45° respecto de los ejes X
y Y respectivamente, entonces

Al comparar los resultados anteriores vemos que el esfuerzo cortante máximo absoluto es:

Este esfuerzo se presenta en un plano inclinado a 45° respecto del eje X.

 ESFUERZOS EN LA
SUPERFICIE INTERIOR
Condiciones de esfuerzo en la superficie interior, los esfuerzos principales son:

Los tres esfuerzos cortantes máximos , obtenidos por rotaciones respecto a los ejes X, Y, y Z, serán los
mismos que para la superficie externa del recipiente.
CIRCULO DE MOHR

En los cuadros siguientes, podemos observar como sería el círculo de Mohr, típico para recipientes a
presión interna, el cual es un método gráfico muy eficaz para visualizar el estado de esfuerzo en un
punto y tener en cuenta la dirección de los diversos componentes asociados al esfuerzo plano. Se
establece entonces un sistema de coordenadas donde los esfuerzos normales se presentan como abscisas
y los cortantes como las ordenadas.

En el eje de las abscisas los esfuerzos normales de tensión (positivos), se marcan a la derecha del
origen O, y los esfuerzos normales de compresión (negativos), a la izquierda.

En el eje de las ordenadas los esfuerzos cortantes en el sentido del reloj,(SR), se trazan arriba, y los
esfuerzos cortantes en sentido contrario al reloj,(SCR), se trazan abajo.

Si se desea mostrar la relación de esfuerzos normales con esfuerzos cortantes en tres dimensiones
entonces se utilizará en círculo de Mohr en tres dimensiones y se tendrá que tomar en cuenta (σ 3) y
(Tmax absoluto), como se ve en los diagramas siguientes:
Diagramas del Círculo de Mohr, para un recipiente sometido a presión

𝜃 
Esquema de esfuerzos de un recipiente a partir del círculo de Mohr
 EJERCICIO DE
APLICACIÓN
El calderín de un compresor almacena aire comprimido a una presión de 800 kPa. Su
diámetro interior es 600 mm y está fabricado con acero S275 de 4 mm. Comprobar que no se
supera el límite elástico en el punto P según el criterio de von Mises.

𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆
 
 𝑝=800 KPa
d  =600 mm ;r=300 mm
𝑡=4
  mm
Hallamos el esfuerzo circunferencia o anular
𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆
 
 𝑝=800 KPa
d  =600 mm ;r=300 mm
𝑡=4
  mm  
𝜎1=
𝑝𝑟
3
𝑡
  800 ∗ 10 𝑃𝑎 ∗ 0.3 𝑚
𝜎1= −3
4 ∗310
  800 ∗ 10 𝑃𝑎 ∗ 0.3 𝑚
𝜎1= −3
4 ∗ 103
𝑚
  800 ∗ 10 𝑃𝑎 ∗ 0.3
𝜎1=
4 ∗ 10−36
  240 ∗ 10
𝜎1= Pa
4 6
𝜎  1 =60 ∗10 Pa
𝜎  1 =60 MPa
 Hallamos el esfuerzo longitudinal o axial
𝐷𝐴𝑇𝑂𝑆
 
 𝑝=800 KPa
d  =600 mm=r=300 mm
𝑡=4
  mm   = 𝑝𝑟
𝜎 2
2𝑡
  800 ∗ 103 𝑃𝑎 ∗ 0.3 𝑚
𝜎2= −3
2(4 ∗ 10
3
𝑚)
  800 ∗ 10 𝑃𝑎 ∗ 0.3
𝜎2= −3
8 ∗ 10 6
  240 ∗ 10 𝑃𝑎
𝜎2=
8
6
𝜎  2 =30∗10 𝑃𝑎
𝜎  2 =30 𝑀𝑃𝑎
 CONDUCCIONES CILÍNDRICAS SOMETIDAS A UNA PRESIÓN

  =

  =

  =

  =
 =

 =51.9615MPa

  Por lo tanto 51.9615MPa

Supera el limite
 RECIPIENTES ESFÉRICOS A PRESIÓN

Los recipientes esféricos son estructuras que contienen gases a presión cuyas paredes son tan delgadas que
se pueden llamar cascarones. Se puede considerar un recipiente de pared delgada cuando la razón de radio
“r” al espesor de la pared “t” es mayor a 10.

Cuando esta condición se cumple, podemos determinar los esfuerzos en las paredes con precisión
razonable empleando sólo la estática.

r/t≥ 10
 Para hallar los esfuerzos en un recipiente se corta a través de un plano diametral vertical y se
aísla el cuerpo junto con el contenido que se encuentra dentro como un solo cuerpo libre.
Consideramos un recipiente esférico sometido a una presión uniforme P. Esta presión actúa en
sentido horizontal contra el área circular plana de fluido que permanece dentro del hemisferio.
Como la presión es uniforme, la fuerza de presión resultante P es :
 𝑃= 𝑝( 𝜋 𝑟 2 )

Observe que la presión p no es la presión absoluta dentro del recipiente, sino que es la presión interna neta,
o la presión manométrica.
 Debido a la simetría del recipiente y de su carga, el esfuerzo de tensión es uniforme alrededor de la
circunferencia. Además, podemos suponer con buena precisión que el esfuerzo está distribuido
uniformemente a través del espesor t. La precisión de esta aproximación aumenta conforme el cascarón
es más delgado y disminuye a medida que es más grueso.
Como puede observarse, para una esfera toda sección que pase por un centro de la misma clase de
cuerpo libre. Por lo consiguiente, el esfuerzo longitudinal será igual al esfuerzo circunferencial,

Si se corta una esfera en cualquier dirección que pase por su centro se obtiene la misma ecuación,
por lo tanto “La pared de un recipiente esférico a presión esta sometida a esfuerzos uniformes de
tensión σ en todas las direcciones”.
Como el esfuerzo se concentra en el espesor “t” La resultante de los esfuerzos de tención en la pared
es una fuerza horizontal igual al esfuerzo, multiplicado por su área.

𝜎  2 ∗ 𝐴

∑ 𝐹(𝑦)=0
 

2
  2 ∗ 𝐴 − ( 𝑃 𝜋 𝑟 )= 0
𝜎

𝒚  2
  2 ∗ ( 2 𝜋 𝑟𝑡 ) =( 𝑃 𝜋 𝑟 )
𝜎
2
  2 ∗ ( 2 𝜋 𝑟𝑡 ) =( 𝑃 𝜋 𝑟 )
𝜎

  2= 𝑃𝑟
𝜎
2𝑡

2  𝜋 𝑟  𝑡

 𝐴=2 𝜋 𝑟 ∗𝑡
 ESFUERZOS EN LA SUPERFICIE EXTERIOR
 
La superficie exterior de un recipiente esférico a presión por lo general está libre de la acción de cargas.
Por tanto, el elemento que se muestra en la figura 3 está en esfuerzo biaxial.

Para ayudar en el análisis de los esfuerzos que actúan sobre este elemento, lo mostramos de nuevo en la
figura 4, donde un conjunto de ejes coordenados está orientado paralelo a los lados del elemento. Los
ejes y son tangenciales a la superficie de la esfera y el eje es perpendicular a la superficie. Por tanto,
los esfuerzos normales y son iguales que los esfuerzos de membrana y el esfuerzo normal es cero. No
actúan esfuerzos cortantes sobre los lados de este elemento.
Si analizamos el elemento de la figura 4 (a) mediante las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano
obtenemos

𝜎
  𝑥 =𝜎 1

𝜏  𝑥 1 𝑦1 =0

  otras palabras, cuando consideramos elementos obtenidos al girar los ejes con respecto al eje , los
En
esfuerzos normales permanecen constantes y no hay esfuerzos cortantes. Cada plano es un plano principal
y cada dirección es una dirección principal. Por tanto, los esfuerzos principales para el elemento son

 Los esfuerzos y se encuentran en el plano y el esfuerzo actúa en la dirección z.

 
Para obtener los esfuerzos cortantes máximos, debemos considerar rotaciones fuera del plano,
es decir, rotaciones con respecto a los ejes x y y (debido a que todos los esfuerzos cortantes en el
plano son cero). Los elementos orientados haciendo rotaciones de 45° con respecto a los ejes x y
y tienen esfuerzos cortantes máximos iguales a y esfuerzos normales iguales a . Por tanto,

Estos son los esfuerzos cortantes máximos en el elemento.

 ESFUERZOS EN LA SUPERFICIE INTERIOR
 
En la superficie interior de la pared de un recipiente esférico, un elemento de esfuerzo (figura 4b) tiene
los mismos esfuerzos de membrana y que un elemento en las superficie exterior (figura 4a). Además,
un esfuerzo de compresión es igual a la presión p que actúa en la dirección z (figura 4b).
Este esfuerzo de compresión disminuye de p en la superficie interior de la esfera a cero en la superficie
exterior.
El elemento que se muestra en la figura 4b está en estado triaxial con esfuerzos principales
Los esfuerzos cortantes en el plano son cero, pero el esfuerzo cortante máximo fuera del plano
(obtenido por una rotación de 45° con respecto al eje x o y) es

 Cuando el recipiente es de pared delgada y la razón r/t es grande, podemos omitir el número 1 en
comparación con el término r/2t. En otras palabras, el esfuerzo principal en la dirección z es
pequeño cuando se compara con los esfuerzos principales y .

En consecuencia, podemos considerar que el estado de esfuerzo en la superficie interior es igual que
el de la superficie exterior (esfuerzo biaxial).
 EJERCICIO DE
APLICACIÓN

El depósito de la figura está fabricado a partir de dos casquetes semiesféricos de acero S275 de 8 m de
diámetro interior y 20 mm de espesor, unidos mediante tornillos. El gas contenido en el depósito está a una
presión de 2MPa Se pide:

Comprobar que no se alcanza el límite elástico en el depósito.

a) La tensión en el depósito es:

𝑃𝑟 2 𝑀𝑃𝑎 ∗( 4 𝑚 )
𝜎  = =
2𝑡 2 ∗ ( 20 ∗ 10−3 ) 𝑚

𝜎  =200 𝑀𝑃𝑎

Según Von Mises:

𝜎  𝑡 =𝜎=200 𝑀𝑃𝑎

  Por lo tanto 200 MPa

Supera el limite
 LA ECUACIÓN DE LAPLACE 
La ecuación de Laplace lleva el nombre en honor del físico y
matemático francés Pierre Simón Laplace. A veces
llamada ley de Laplace-Young por Thomas Young.

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es

una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de
tipo elíptico.
Introducidas por las necesidades de la mecánica newtoniana,
la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la
física teórica como la astronomía, la electrostática, la
mecánicas de fluidos o la mecánica cuántica.

La ley de Laplace es una ley física que relaciona el cambio

de presiones en la superficie que separa dos fluidos de distinta naturaleza
con las fuerzas de línea debidas a efectos moleculares.
 HISTORIA

El interés por el fenómeno data de comienzos del siglo XVIII, cuando Francis Hauksbee realizó varias
observaciones experimentales en fluidos que fueron posteriormente reproducidas en 1718 por James
Jurin durante sus estudios sobre la capilaridad. En los Experimentos fisiomecánicos de Hauksbee se
proponía una fuera atractiva limitada a ciertas distancias como explicación de los fenómenos
observados. En 1751, Johann Andreas Segner llegó a la misma conclusión.
Thomas Young desarrolló en 1804-1805 la explicación cualitativa del fenómeno en su Ensayo sobre la
cohesión de los fluidos que Laplace justificaría matemática y cuantitativamente un año después de
forma independiente en su Mecánica celeste. ​Para ello Laplace tomó la idea de una fuerza cohesiva
que habían trabajado previamente Hauksbee y Segner.
Sería Carl Friedrich Gauss quien en 1830 unificó el trabajo de ambos y desarrolló las ecuaciones
diferenciales y las condiciones de contorno asociadas usando el principio de las potencias virtuales, lo
que hace que algunos autores hablen de la ecuación de Young-Laplace-Gauss. Fue asimismo obra de
Gauss la generalización del principio al caso de una interacción entre fluido y un sólido. Franz Ernst
Neumann añadiría posteriormente detalles adicionales.
CONSIDERACIONES PREVIAS
 Causas del fenómeno
Todas las moléculas de un medio fluido interaccionan entre sí, dando una resultante total nula para
una partícula completamente rodeada de semejantes. Sin embargo, las superficies de los límites del
volumen fluido solo sufren este efecto en uno de sus lados, lo que hace que pueda haber una
resultante diferente de cero.
En el caso de una superficie de entrefase plana, la resultante sigue siendo cero, pues los
desequilibrios se siguen anulando por la simetría. Sin embargo, en una superficie curva aparecen
descompensaciones: las moléculas tienen más vecinas en una dirección y se sienten más atraídas por
las fuerzas de cohesión hacia dicha dirección.

 Consideraciones dimensionales
Las fuerzas involucradas en la superficie del líquido se expresan como fuerzas por unidad
de longitud, siendo su unidad en el Sistema Internacional el Newton/Metro. Sin embargo,
la fuerza puede definirse como energía por unidad de longitud, lo que hace esa formulación
equivalente a una de energía por unidad de superficie. Esto permite, como se usará en el apartado de
las gotas, ver los efectos de la ley de Laplace como una expresión de la energía que cuesta formar la
superficie de la interfase.
ÁNGULO DE CONTACTO
Si bien la ley de Laplace permite ver fácilmente el comportamiento entre dos fases fluidas, cuando
se analiza el problema del menisco se complica la resolución por la presencia de múltiples
interacciones. En la región donde se produce el menisco hay fuerzas atractivas entre las partículas
fluidas del líquido, entre estas y las del aire y entre ellas y el sólido que forma el recipiente. Para
simplificar el cálculo, se tienen tabulados los llamados ángulos de contacto que indican la
inclinación que forma el menisco. El más habitual, el del agua con el vidrio es 0º, mientras que la
contraposición habitual en los manuales de texto, el mercurio, tiene 140º. Coloquialmente se ha
hablado en mecánica de fluidos de fluidos que "mojan" (como el agua) y los que "no mojan"
(como el mercurio).

Ángulos de contacto respectivamente que

tiene el caso del agua, un fluido que no genera
menisco y otro fluido que se comporta como el
mercurio.
 ECUACIÓN DE LAPLACE
 En tres dimensiones, el problema consiste en hallar una función
real, doblemente diferenciable, de variables reales (x, y, z), tal
que

EN COORDENADAS CARTESIANAS.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje, respecto
a dos ejes o respecto a tres ejes, perpendiculares entre sí, que se cortan en
un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas
cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada
horizontal y se representa habitualmente por la letra x, mientras que la
ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.

Tres ejemplos de coordenadas asignadas a tres

puntos diferentes (verde, rojo y azul),
sus proyecciones ortogonales sobre los ejes
En coordenadas cartesianas la ecuación de Laplace se escribe. constituyen sus coordenadas cartesianas y el origen
de coordenadas (0,0) en magenta.
 EN COORDENADAS CILÍNDRICAS (Ρ, Φ, Z)
 Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por
(donde:
  : Coordenada radial, definida como la distancia del
punto P al eje , o bien la longitud de la proyección
del radiovector sobre el plano XY
  : Coordenada azimutal, definida como el ángulo que
forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el
plano XY.
 • : Coordenada vertical o altura, definida como la
distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

En coordenadas cilíndricas la ecuación de Laplace se

escribe.

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos

relacionados.
EN COORDENADAS ESFÉRICAS (R, Φ, Θ)

La posición de un punto en coordenadas esféricas está especificada, por el radio

r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimutal φ .

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es relacionados
 Muchas veces se escribe de la siguiente manera:
=0
Donde es el operador de Laplace
Esta ecuación en derivadas parciales, también se puede escribir como
∇ ·=0
Donde ∇ es la divergencia y es el gradiente.
O si no, algunas veces la notación puede ser:
Δ=0,
Donde Δ también es el operador de Laplace.
Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas.
Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, (x, y, z), es decir, si la ecuación se escribe como:
Δ=
Entonces se tiene la ecuación de Poisson, por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La
ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.
La ecuación de Laplace, así como la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en
derivadas parciales elípticas.
 CALCULO DE BÓVEDA SIMÉTRICAS
 Las bóvedas son aquellos cuerpos en los cuales una de las dimensiones es mucho menor que las otras dos.
En nuestro caso es el espesor de la pares de la misma.
La bóveda son simétricas si la superficie media es un cuerpo de revolución.
Para calcular estos elementos se utiliza la ecuación de Laplace.

donde:
• es la tensión meridional en la bóveda.
• : es el radio meridional de la bóveda.
• : es la tensión circunferencial de la bóveda.
• es el radio circunferencial de la bóveda.
• : es la presión de trabajo en la bóveda.
• es el espesor de la pared en la bóveda.
Se dice que estamos en presencia de un recipiente de paredes delgadas cuando el espesor de la pared no
supera de décima parte del radio de curvatura,
 CONDICIONES DE CONTORNO O FRONTERA
 El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste
en hallar una solución en algún dominio tal D que sobre su
contorno o frontera es igual a una función determinada.

Como el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor,

una interpretación física de este problema es lo siguiente: fijar
la temperatura sobre el contorno del dominio de acuerdo a una
especificación determinada de la condición de contorno. La
temperatura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el
que dicha temperatura en cada punto del dominio no cambia
más. La distribución de la temperatura en el interior será
entonces la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

Ecuación de Laplace sobre una corona (r=2 y R=4) con condiciones

de contorno de Dirichlet: u(r=2)=0 y u(r=4)=4sin(5*θ)
HIPÓTESIS DE LA PARED DELGADA

 El supuesto de pared delgada para ser válido en un recipiente esta debe tener un espesor de
pared de no más de aproximadamente una décima parte (a menudo citada como un
veinteavo) de su radio. Esto permite que para el tratamiento de la pared como una
superficie, y posteriormente usando la ecuación de Laplace estimar de la tensión
circunferencial creado por una presión interna en un recipiente a presión cilíndrico de
pared delgada:
 .
 ESFUERZO EN RECIPIENTES DE PARED
FINA.
 El supuesto de pared delgada para ser válido en un recipiente esta debe tener un espesor de
pared de no más de aproximadamente una décima parte (a menudo citada como un
veinteavo) de su radio. Esto permite que para el tratamiento de la pared como una
superficie, y posteriormente usando la ecuación de Laplace-Young estimar de la tensión
circunferencial creado por una presión interna en un recipiente a presión cilíndrico de
pared delgada
 Cuando el recipiente se ha cerrado termina actúa la presión interna sobre ellos para
desarrollar una fuerza a lo largo del eje del cilindro. Esto se conoce como la tensión axial y
es usualmente menor que la tensión circunferencial.