Escuela de Matemáticas

C O N T E O

MATEMATICAS DISCRETAS

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METROPOLITANA
 Combinaciones
C O N T E O

Noción

 Son selecciones de k objetos o símbolos, tomados de un conjunto que

tiene n objetos o símbolos.

 El orden de aparición de los objetos no importa.

 Si pensamos que
COMBINACIONES.
= estamos pensando en

 Ejemplo: a b c, a b d, a c d, b c d, son combinaciones de las letras a,

b, c, d.

 En las combinaciones, el orden no es relevante. En las permutaciones, sí.

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Ejemplo
Se quiere contar el número de selecciones de
tres de los siete colores siguientes
La cantidad de arreglos posibles de tamaño 3 es
7!
P(7,3)   210
4!

Por cada selección

3!*(nº selecciones) = nº permutaciones

Hay 3! arreglos 7!
nº selecciones =
3!4!

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 Combinaciones
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Ejemplo

Seleccionar un equipo de dos personas de un grupo de 5 personas

A, B, C, D, E.
5!
La cantidad de arreglos posibles de tamaño 2 es P(5,3)=  5 * 4 = 20.
3!
Pero en este caso, los arreglos: AB y BA,

corresponden a la misma selección de personas A, B.

Cada 2! arreglos corresponde a 1 sola selección.

2! * (nº selecciones) = nº permutaciones

5!
nº selecciones =
3!2!

Sugerencia: Enumera las 20 selecciones

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 Combinaciones
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Definición
Considera un conjunto de n objetos distintos y los grupos formados
por k elementos, de forma tal que dos grupos se consideran distintos
si difieren en alguno de sus elementos y dos grupos o selecciones son
iguales si tienen los mismos elementos aunque en orden distinto.

Una combinación de orden k es una selección de k elementos tomados

de los n objetos. Es decir, cada uno de los grupos considerados es una
combinación.

Al número de combinaciones de k objetos, tomados de un conjunto de

n elementos, con 0 < k  n, lo denotaremos por C(n,k) o por el símbolo
n
 
k 

n n!
C(n, k)    
 k  k!  n  k !
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 Ejemplos
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Ejemplo

En el curso de Discretas, hay 24 alumnos que deben formar 4 equipos de 6

personas. ¿De cuántas formas se pueden elegir esos equipos?

Solución

1 2 4
3

 24   24  6   18  6   12  6 

 6  * 
 
 * 
 
 * 
 

   6   6   6 

24!18!12!6 !  24!
6!18!6!12!6!6!6!0! 6!4

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 Ejemplos
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Ejemplo
El número de arreglos o disposiciones distintas de las letras de la
palabra T A P A R A S es 7! / 3! = 840.
¿Cuántos de estos arreglos no tienen A’s adyacentes?

Solución

Denotemos por - los lugares que pueden ocupar las A’s,

- T - P - R - S-
1 2 3 4 5
De las 5 posiciones, escogemos 3 para colocar las A’s. Si están en las
posiciones {1, 2, 3} se obtiene el mismo arreglo que si ocupan las
posiciones {3, 1, 2}; por lo tanto, hay
 C(5,3) maneras de seleccionar los puestos para la A’s y
 P(4) maneras de arreglar las consonantes

5
Hay   * 4!  10 * 24  240 maneras de hacerlo.
3
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 Ejercicios
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Ejercicio 7 (Pág. 29)

Un comité de 12 personas será elegido entre 10 hombres y 10

mujeres. ¿De cuántas formas se puede hacer la selección si:

a) No existen restricciones?

b) Debe haber 6 hombres y 6 mujeres?

c) Debe haber un número par de mujeres?

d) Debe haber mas mujeres que hombres?

e) Debe haber al menos 8 hombres?

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 Ejercicios
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Ejercicio 9 (Pág. 29)

¿Cuántos bytes contienen (a) exactamente dos unos? (b)

exactamente cuatro unos? (c) exactamente cuatro unos? Y (d) al
menos seis unos?

Ejercicio 8 (Pág. 29)

¿De cuántas formas puede un jugador extraer 5 cartas de una baraja

y obtener
(a) Una corrida?( una corrida son cinco cartas del misma pinta)
(b) Cuatro ases?
(c) Cuatro cartas del mismo tipo?
(d) Tres ases y dos damas?
(e) Tres ases y un par?
(f) Una terna y un par (un full)?
(g) Una terna solamente? (sin posibilidad de terna + par)
(h) Dos pares?

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 Ejercicios propuestos
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Para afianzar el concepto, realiza los ejercicios 1, 3, 4, 5

y 6 del libro de texto

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 Coeficiente multinomial
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Definición
n n n n
Para enteros positivos n, t, el coeficiente de x 11 x 22 x 33 ...x t t en el
desarrollo de  x 1  x 2  ...  x t  n con n1  n2  ...  nt  n

 n  n!
 
 n , n , n ,..., n  n ! n ! n !...n !
 1 2 3 t 1 2 2 t

Determine el coeficiente de x3 y2 z5 en el desarrollo de (2x  3y - z)

10

10!
 2x  3  3y 2   z  5 Coeficiente: 
10! 3 2
2 3  181.440
3!2!5! 3!2!5!

Para adquirir práctica, realiza los ejercicios 25 al 36 del

libro de texto

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 Soluciones
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Solución 7

a) Sin restricciones la selección se puede hacer de C(20,12) = 125.970

maneras distintas.

b) Con 6 hombres y 6 mujeres, se puede seleccionar un comité

10  10 
   
de     44.100maneras posibles.
 6   6 
   

c) Si deben haber 2, 4, 6, 8 ó 10 mujeres en el comité, pueden

armarse 63.090 selecciones.

Mujeres Combinaciones Casos Total

2  10 
 
 10 
 2 
*  

 45
10    10  2 90
4  10 
 
 10 
 4 
*  

 9.450
8    8  2 18.900
6  10   10 
  *    44.100
 6  6 
    1 44.100
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 Soluciones
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Solución 7 (Continuación)

d) No puede haber 0 mujeres porque no hay 12 hombres.

Mujeres Combinaciones Hombres

 10   10 
  *  
7  7 
   5 

5
 10   10 
  *  
 8  
8    4  4
 10   10 
  * 
 9   3 
    3
9
 10  *  10 
   
10  10   2  2

10  10  10  10  10  10  10  10 

 
  *  
   
 *  
   
 *  
   
 *  

 7   5   8   4   9   3  10   2 
               

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Solución 7 (Continuación)

e) Sin restricciones la selección se puede hacer de C(20,12) = 125.970

maneras distintas.
Mujeres Combinaciones Hombres
 10   10 
  *  
4  8 
   4 

8

 10   10 
  *  
 9   9
3    3 

 10   10 
  *  
 10  2  10
2    

10  10  10  10  10  10 

 
  *  
   
 *  
   
 *  

 8   4   9   3  10   2 
           

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Solución 9
1 byte es un arreglo de 8 bits;
________
1 bit es uno de los dígitos 0 ó 1
12345678

8
(a)  
   28
2
 

8
(b)  
   70
4
 

8
(c)  
   28
6
 

(d) 6 unos + 7 unos + 8 unos

8 8 8
     
         28  8  1  37
6 7 8
     

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 Soluciones
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Solución 8

 4   13 
(a) 4 tipos y 13 cartas de cada tipo 
 1*
 
  5.148
   5 

 52 - 4 
(b) 4 ases y 1 cartas cualquiera 
 1   48

 

(c) Selecciono el tipo, 4 cartas de ese tipo y una cualquiera de otro tipo
distinto
 4   13   52 - 13   4   13   39 
  *  
 1  4   *  
  
 1*
 4 *
 1 
     1       

4 4
(d) Selecciono 3 ases y 2 damas 
3
*
2

   

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Solución 8 (Continuación)

(e) Selecciono los 3 ases, los 12 números restantes (no puede ser de
ases) y el par

 4   12   4 

3 *
 
*
  
   1  2

(f) Selecciono 1 número de 13, la terna de 4, los 12 números restantes

(distintos del de la terna) y un par

 13   4   12   4 

 1 *
3 *
 1 *
2 
       

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Solución 8 (Continuación)

(g) Selecciono 1 número de 13, la terna de 4, las 2 cartas restantes (distintas

de la anterior) y le quito la posibilidad de terna y par.

 13   4   52 - 4   13   4   12   4 

 1 *
3 *
 2  
 1 *
3 *
 1 *
2   54.912
             

Otra forma: Selecciono 1 número de 13, la terna de 4, 2 números de 12 y una

carta de cada número.
 13   4   12   4   4 

 1 *
3 *
 2 *
 1*
 1  54.912
         

(h) Selecciono 2 números de 13, el par de 4 y un número de los

restantes 44
 13   4   4   44 

 2 *
2 *
2 *
 1   123.552
       

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