Métodos de Energía

En este capítulo se
mostrará como
aplicar los métodos
de energía para
resolver problemas
que implican
deflexión.
14.1 Trabajo externo y energía de deformación
La deflexión de las juntas (nodos) en una armadura o los puntos en una viga o
eje puede determinarse empleando los métodos de energía. Sim embargo,
antes de desarrollar cualquiera de estos métodos, primero se definirá el trabajo
causado por una fuerza externa y un momento de par, y se mostrará como se
expresa este trabajo en términos de la energía de deformación del cuerpo.
 14.1 Trabajo externo y energía de deformación
A. Trabajo de una fuerza
 
Trabajo de una fuerza. En mecánica, una fuerza realiza trabajo cuando
experimenta un desplazamiento dx que tiene la misma dirección que la
fuerza. El trabajo realizado es un escalar, se define como Si el
desplazamiento total es Δ, el trabajo se convierte en

Para mostrar como se aplica esta ecuación, se calculará el trabajo

realizado por una fuerza axial aplicada al extremo de la barra mostrada
en la figura 14-1a.A medida que la magnitud de la fuerza aumenta
gradualmente desde cero hasta un valor limite F=P, el desplazamiento
del extremo de la barra se convierte en Δ. Si el material se comporta de
forma elástica lineal, entonces la fuerza será directamente proporcional
al desplazamiento, es decir, F=(P/Δ)x. Al sustituir en la ecuación 14-1 e
integrar desde 0 hasta Δ, se obtiene
14.1 Trabajo externo y energía de deformación
En esta ecuación el trabajo representa el área rectangular en color
celeste claro de la figura 14-1c. En este caso se aplica otra fuerza P´de
modo du desplazamiento Δ´cambia. Por lo tanto, el trabajo aquí es tan
sólo la magnitud de la fuerza P multiplicada por el desplazamiento Δ´se
representa en la zona rectangular de la figura.
 14.1 Trabajo externo y energía de deformación
B. Trabajo de un momento de par
Un momento de par M realiza trabajo cuando experimenta un desplazamiento
angular dθ a lo largo de su línea de acción. El trabajo se define como dU e=M dθ.
Si el desplazamiento angular total es de θ rad, el trabajo se convierte en

Al igual que en el caso de la fuerza, si el momento de par se aplica a un cuerpo

de un material que tiene un comportamiento elástico lineal, de manera que su
magnitud se incrementa gradualmente desde cero en θ=0 hasta M en θ, entonces
el trabajo es

Sim embargo, si el momento de par ya está aplicado al cuerpo y otras cargas

hacen girar aún mas al cuerpo una cantidad θ´, entonces el trabajo es
 14.1 Trabajo externo y energía de deformación
C. Energía de deformación
Cuando se aplican cargas a un cuerpo, estás deforman el material. Siempre que no se pierda
energía en forma de calor, el trabajo eterno realizado por las cargas se convierte en trabajo
interno llamado energía de deformación. Esta energía, que siempre es positiva, se almacena
en el cuerpo y es causada por la acción del esfuerzo normal o cortante.

D. Esfuerzo normal
  el elemento de volumen mostrado en la figura 14-3 se somete al esfuerzo normal
Si
entonces la fuerza creada en las caras superior e inferior del elemento es de Si esta fuerza se
aplica gradualmente al elemento, como la fuerza P analizada previamente, su magnitud
aumenta desde cero hasta es de Como el volumen del elemento esse tiene

 
Tenga en cuenta que dU, siempre es positiva, incluso si es de comprensión, puesto que y
siempre tendrán al misma dirección. En general, si el cuerpo solo esta sometido a un
esfuerzo normal, entonces la energía de deformación en el cuerpo es
 14.1 Trabajo externo y energía de deformación
E. Esfuerzo cortante
 También puede establecer una expresión para la energía de deformación, similar
a la del esfuerzo normal, cuando el material esta sometido a un esfuerzo
cortante. Aquí el esfuerzo cortante hace que el elemento se deforme de modo que
solo la fuerza cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, se desplaza
respecto a la cara inferior. Por lo que las caras verticales solo giran, siendo sus
fuerzas cortantes cero (no realizan trabajo).

  igual que en el caso de deformación normal, la energía de deformación

Al
cortante siempre es positiva puesto que y siempre tiene la misma dirección. Si
el material es elástico lineal, entonces al aplicar la ley de Hooke, , puede
expresarse la energía de deformación en términos del esfuerzo cortante como
14.1 Trabajo externo y energía de deformación
F. Esfuerzo Multiaxial
 14.1 Trabajo externo y energía de deformación
F. Esfuerzo Multiaxial
El desarrollo anterior puede ampliarse para determinar la energía de deformación
en un cuerpo cuando esta sometido a un estado general de esfuerzo, figura 14-
5a. Las energías de deformación asociadas a cada una de las componentes del
esfuerzo normal y del esfuerzo cortante pueden obtenerse a partir de las
ecuaciones 14-6 y 14-9. Como la energía es un escalar, la energía de
deformación total en el cuerpo es

Las deformaciones pueden eliminarse usando la forma generalizada de la ley de

Hooke dado por las ecuaciones 10-18 y 10-19. Después de sustituir y combinar
términos, se tiene. Esta ecuación se uso en la sección 10.7 como base para el
desarrollo de la teoría de la máxima energía de distorsión.
14.2 Energía de deformación elástica para diferentes tipos
de carga
Si se usan las ecuaciones para la energía de deformación elástica desarrolladas en
la sección anterior, es posible formular la energía de deformación almacenada en
un elemento cuando está sometido a una carga axial, un momento flexionante,
una fuerza cortante transversal y un momento de torsión. Se darán ejemplos
para mostrar cómo se calcula la energía de deformación en los elementos
sometidos a cada una de esta cargas.

A. Carga axial
 
Considere una barra de sección transversal variable ligeramente ahusada, figura
14-6. La fuerza axial interna en una sección situado a una distancia x de un
extremo, es N. Si el área transversal en esta sección es A, entonces el esfuerzo
normal en la sección es . Al aplicar la ecuación 14-8, se tiene
14.2 Energía de deformación elástica para diferentes tipos
de carga
B. Momento Flexionante
Puesto que un momento flexionante aplicado a un elemento prismático recto
desarrolla esfuerzo normal en el elemento, es posible usar la ecuación 14-8 para
determinar la energía de deformación almacenada en este debido a la flexión. Si
se observa que el área integral representa el momento de inercia del área
respecto al eje neutro, el resultado final puede escribirse como:
14.2 Energía de deformación elástica para diferentes tipos
de carga
C. Cortante Transversal
  energía de deformación debida al esfuerzo cortante en un elemento de viga
La
puede determinarse al aplicar la ecuación 14-11. Aquí se considerará que la viga
es prismática y tiene un eje de simetría alrededor del eje y, como se muestra en
la figura 14-12. Si la fuerza cortante interna en la sección de x es de V, entonces
el esfuerzo cortante que actúa sobre el elemento de volumen del material, que
tiene un área dA y una longitud dx, es Al sustituir en la ecuación 14-11, la
energía de deformación para la fuerza cortante se convierte en
14.2 Energía de deformación elástica para diferentes tipos
de carga
C. Cortante Transversal
El factor de forma definido por la ecuación 14-18 es un número adimensional que
es único para cada área específica de sección transversal. Por ejemplo, si la viga
tiene una sección rectangular de ancho b y altura h, figura 14-13, entonces.
14.2 Energía de deformación elástica para diferentes tipos
de carga
D. Momento de torsión
 
Para determinar la energía de deformación interna en un eje circular o tubo, debida a un
momento de torsión aplicado, es necesario aplicar la ecuación 14-11. Considere el eje
ligeramente ahusado de la figura 14-15. Una sección del eje tomada una distancia x de un
extremo se somete a un par de torsión interno T. La distribución del esfuerzo cortante que
ocasiona este par varía linealmente desde el centro del eje. En el elemento arbitrario de área dA
y longitud dx, el esfuerzo es Por lo tanto, la energía de deformación almacenada en el eje es:

A partir de esta ecuación se puede concluir que, al igual que en un elemento cargado
axialmente, la capacidad de absorción de energía de un eje cargado a torsión se reduce al
aumentar el diámetro del eje, ya que esto aumenta a J.
Ejemplo 14.1
  debe elegir uno de los dos pernos de acero de alta resistencia A y B que se muestran en la
Se
figura 14-8 para soportar una carga de tensión repentina. Para la elección es necesario
determinar la mayor cantidad de energía de deformación elástica que cada perno puede
absorber. El perno A tiene un diámetro de 0.875 pulg en 2 pulg de su longitud y un diámetro
raíz (o diámetro más pequeño) de 0.731 pulg en la región roscada de 0.25 pulg. El perno B
tiene la rosca en “relieve” por lo que el diámetro en toda su longitud de 2.25 pulg puede
tomarse como 0.731 pulg. En ambos casos, no tome en cuenta el material extra que forma las
roscas. Considere Eac=29(103)ksi, =44ksi.

Rpta

Rpta
Ejemplo 14.2
Determine la energía de deformación elástica débida a la felxión de la viga en coladizo mostrada
en la figura 14-10a. E I es constante.

Rpta
Ejemplo 14.2
Determine la energía de deformación elástica débida a la felxión de la viga en coladizo mostrada
en la figura 14-10a. E I es constante.
Ejemplo 14.3
Determine la energía de deformación flexionante en la región AB de la viga mostrada en la
figura 14-11a. E I es constante.

Rpta

Rpta
Ejemplo 14.3
Determine la energía de deformación flexionante en la región AB de la viga mostrada en la
figura 14-11a. E I es constante.
Ejemplo 14.4
Determine la energía de deformación en la viga en voladizo debido a la fuerza cortante si la viga
tiene una sección transversal cuadrada y se somete a una carga uniforme distribuida w, figura
14-14a.EI y G son constantes.

Rpta
Ejemplo 14.4
Determine la energía de deformación en la viga en voladizo debido a la fuerza cortante si la viga
tiene una sección transversal cuadrada y se somete a una carga uniforme distribuida w, figura
14-14a.EI y G son constantes.
Ejemplo 14.5
El eje tubular de la figura 14-17a está fijo en la pared y se somete a dos pares de torsión como
se muestra en la figura. Determine la energía de deformación almacenada en el eje debida a
esta carga. G= 75Gpa

Rpta
Problema 14.4
Determine la energía de deformación de torsión en el eje del acero A992. el eje tiene un radio
de 50 mm.
Problema 14.6
Si P=60 KN, determine la energía de deformación total almacenada en la armadura. Cada
elemento tiene un área en su sección transversal de 2.5x103 mm2 y esta hecho de acero A-36
Problema 14.21
Determine la energía de deformación flexionante en la viga. EI es constante.
 14.3 Conservación de la Energía
 
Todos los métodos de energía usados en la mecánica se basan en el equilibrio de la energía, a
menudo se conoce como conservación de la energía. En este capítulo, solo se considerará la
energía mecánica en el equilibrio de la energía; es decir, la energía desarrollada por el calor, las
reacciones químicas y los efectos electromagnéticos no se tomarán en cuenta. Como resultado,
si una carga se aplica lentamente a un cuerpo, entonces físicamente las cargas externas
tienden a deformarlo de modo que las cargas realizan trabajo externo a medida que se
desplazan. Este trabajo externo sobre le cuerpo se transforma en trabajo interno o energía de
deformación que se almacena en el cuerpo.

 
Considere la armadura de la figura 14-18 sometida a la carga P. Siempre que P se aplique
gradualmente, el trabajo externo realizado por P se determina a partir de la ecuación 14-2, es
decir, donde Δ es el desplazamiento vertical de la armadura en la junta donde se aplica P. Si
se supone que P desarrolla una fuerza axial N en un elemento particular, la energía de
deformación almacenada en este elemento se determina a partir de la ecuación 14.16, esto es
Al sumar las energías de deformación para todos los elementos de la armadura, es posible
escribir la ecuación 14-23 como:
 14.3 Conservación de la Energía
 
Como segundo ejemplo, considere la determinación del desplazamiento vertical Δ bajo
la carga P que actúan sobre la viga de la figura 14-19. Una vez más, el trabajo
externo En este caso la energía de deformación es el resultado de las cargas de
fuerzas cortantes y de momento causado por P. En particular, la contribución de la
energía de deformación debida a la fuerza cortante suele pasarse por alto en la
mayoría de los problemas de deflexión a menos que la viga se corta y soporte una
carga muy grande. En consecuencia, la energía de transformación de la viga se
determinará solo mediante el momento interno flexionante M; por lo tanto, con base
en la ecuación 14-17, ecuación 14-23 puede escribirse simbólicamente como:

Una vez que M se expresa como una función de la posición x y que la integral se
evalúa, es posible determinar Δ.
 14.3 Conservación de la Energía
 Como ultimo ejemplo, se considerará una viga cargada mediante un momento de par
M0 como se muestra en la figura 14-20 este momento causa el desplazamiento de
rotación θ en el punto en que se aplica el momento par. Como el momento de par solo
realiza trabajo al girar si usa la ecuación 14-5, el trabajo externo es por lo tanto la
ecuación 14-23 se convierte en:

Aquí la energía de deformación es el resultado del momento flexionante interno M

provocado por la aplicación del momento de par M0. Una vez que M se ha expresado
como una función de x y la energía de deformación se ha evaluado, entonces es
posible determinar θ que mide la pendiente de la curva elástica.
Ejemplo 14.6
La armadura de tres barras que se muestra en la figura 14-21a está sometida a una fuerza
horizontal de 5 kip. Si la sección transversal de cada elemento es de 0.20 pulg 2, determine el
desplazamiento horizontal en el punto B. E=29(103)ksi.
Ejemplo 14.6
La armadura de tres barras que se muestra en la figura 14-21a está sometida a una fuerza
horizontal de 5 kip. Si la sección transversal de cada elemento es de 0.20 pulg 2, determine el
desplazamiento horizontal en el punto B. E=29(103)ksi.

Rpta
Ejemplo 14.7
La viga en voladizo de la figura 14-22a tiene una sección transversal rectangular y está
sometida a una carga P en su extremo. Determine el desplazamiento de la carga. EI es
constante.
Ejemplo 14.7
La viga en voladizo de la figura 14-22a tiene una sección transversal rectangular y está
sometida a una carga P en su extremo. Determine el desplazamiento de la carga. EI es
constante.

Rpta
Problema 14-25
Determine el desplazamiento horizontal del nodo A. cada barra esta fabricada de acero A-36 y
tiene una área transversal de 1.5 pulg2
Problema 14-29
La viga en voladizo se somete a un momento de par Mo aplicado en su extremo. Determine la
pendiente de la viga en B. EI es constante.
Problema 14-32
Determine la deflexión en el centro de la viga causada por el cortante. El modulo cortante es G.
 14.4 Carga de Impacto
El impacto se origina cuando un objeto golpea a otro, de modo que se desarrolla
grandes fuerzas entre los objetos durante un periodo muy corto (colisiones).
Si se supone que durante el impacto no se pierde energía debido al calor, al sonido
o a deformaciones plásticas localizadas, entonces es posible estudiar la mecánica
de impacto empleando la conservación de la energía.

 Si el peso W está soportado estáticamente por el resorte, entonces el

desplazamiento de la parte superior del resorte es . Si se usa esta simplicación, la
ecuación anteripor se convierte en:
 14.4 Carga de Impacto
 
Una vez calculada , la fuerza máxima aplicada al resorte puede determinarse con
base en:

 Cuando el bloque se suelte desde la parte superior del resorte (una carga
dinámica), el desplazamiento es el doble de lo que sería si se asentara en el resorte
(una carga estática). Si se emplea un análisis similar, también es posible
determinar el desplazamiento máximo del extremo del resorte si el bloque se
desliza sobre una superficie horizontal lisa con una velocidad ν conocida justo antes
de chocar con el resorte, figura 14-24. Aquí la energía cinética del bloque, , se
transformará en energía almacenada en el resorte. Por lo tanto:

 
Como el desplazamiento estático en la parte superior del resorte causado por el
peso W que se encuentra sobre él es , entonces:
 14.4 Carga de Impacto
 En la figura 14-25 se muestran algunos ejemplos de cuándo puede aplicarse esta
teoría. Aquí, un bloque de peso conocido se deja caer sobre un poste y una viga,
hacienda que estos se deformen una cantidad máxima

 La relación de carga estática equivalente sobre la carga estática se denomina factor
de impacto, n. Como y entonces a partir de la ecuación 14-28, este factor puede
expresarse como:
Ejemplo 14.8
El tubo de aluminio mostrado en la figura 14-26 se utiliza para soportar una carga de 150kip.
Determine el desplazamiento máximo en la parte superior del tubo si la carga (a) se aplica
gradualmente y (b) se aplica súbitamente al soltar la parte superior del tubo cuando h=0.
Considere Eal=10(103)ksi y suponga que el aluminio se comporta de manera elástica.

Rpta

Rpta
Ejemplo 14.9
La viga de acero A-36 mostrada en la figura 14-27a tiene una sección W10x39. Determine el
esfuerzo flexionante máximo y la deflexión máxima en la viga si el peso W=1.50 kip se deja
caer desde una altura h=2 pulg sobre la viga. Eest=29(103) ksi.
Ejemplo 14.9
La viga de acero A-36 mostrada en la figura 14-27a tiene una sección W10x39. Determine el
esfuerzo flexionante máximo y la deflexión máxima en la viga si el peso W=1.50 kip se deja
caer desde una altura h=2 pulg sobre la viga. Eest=29(103) ksi.

Rpta

Rpta
Problema 14-45
La barra compuesta de alumnio consiste en dos segmentos con diámetros de 5 y 10 mm.
Determine el esfuerzo axial máximo desarrollado en la barra si si el collar de 5 kg se deja caer
desde la altura de h=100mm. E=70 GPa. σy = 410 Mpa.
Problema 14-52
El peso de 50 lb cae a 3 pies/s en el instante en que se encuentra 2 pies por encima del
ensamble formado por el resorte y el poste. Determine el esfuerzo máximo en el poste si el
resorte tiene una rigidez de k=200 kip/pulg. El poste tiene un diámetro de 3 pulg y E= 6.80x10 3
ksi. Suponga que el material no cederá.
*14.5 Principio del Trabajo Virtual
  principio del trabajo virtual fue desarrollado por John Bernoulli en 1717, y al igual que
El
otros métodos de análisis se basa en la conservación de la energía.
Para lograrse esto, se considerará que el cuerpo tiene una forma arbitraria como la mostrada
en la figura 14-29b, y que está sometido a las “cargas reales” Se supone que estas cargas no
causan movimiento en los soportes; sin embargo, en general pueden deformer al material
más allá del límite elástico. Con el fin de evitar esta limitación, se colocará una fuerza “virtual
imaginaria” P´ sobre el cuerpo en el punto A de mod que P´actue en la misma dirección que
Δ. Ademas se aplicará antes de aplicar las cargas reales, figura 14-29a. Por conveniencia, se
eligirá P´con una magnitud “unitaria”, es decir, P=1.
*14.5 Principio del Trabajo Virtual
Ecuación del Trabajo Virtual

Aquí

P´=1= carga unitaria virtual externa que actúa en la dirección de Δ.

u = carga virtual interna que actúa sobre el elemento.
Δ = desplazamiento externo causado por las cargas reales.
dL = desplazamiento interno del elemento en la dirección de u, causado por
las cargas reales
*14.5 Principio del Trabajo Virtual
Ecuación del Trabajo Virtual

Aquí

M´=1= momento de par unitario virtual externo que actúa en la dirección de θ.

uθ = carga virtual interna que actúa sobre el elemento.
Δ = desplazamiento angular externo en radianes causado por las cargas
reales.
dL = desplazamiento interno del elemento en la dirección de u θ, causado por
las cargas reales
*14.5 Principio del Trabajo Virtual
Trabajo Virtual Interno
Los términos del lado derecho de las ecuaciones 14-34 y 14-35 representan el trabajo virtual
interno desarrollado en el cuerpo. Los desplazamientos internos reales dL en estos términos
pueden producirse de varias maneras. Por ejemplos, pueden deberse a errores geométricos
de fabricación, cambios de temperatura, o más comúnmente al esfuerzo. En particular, no se
ha impuesto ninguna restricción en la magnitud de la carga externa, por lo que el esfuerzo
puede ser lo suficientemente grande como para causar cedencia o incluso endurecimiento
por deformación del material.
*14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
En esta sección se aplicará el método de las fuerzas reales virtuales para determiner el
desplazamiento de un nodo en una armadura. Para ilustrar los principios, se determinará el
desplazamiento vertical del nodo A en la armadura mostrada en la figura 14-31b. Para ello,
debe colocarse una fuerza virtual unitaria en este nodo, figura 14-31a, de modo que cuando se
apliquen las cargas reales P1 y P2 sobre la armadura, causen el trabajo virtual externo 1 ∙ Δ. El
trabajo virtual interno en cada elemento es nΔL. Como cada elemento tiene un área constante
A en su sección transversal y n y N son constantes en toda la longitud del elemento, entonces a
partir de la tabla 14-1, el trabajo virtual interno en cada elemento es:
*14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
Ecuación del Trabajo Virtual
para toda Armadura

Aquí

1= carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de la armadura en la

dirección de Δ.
Δ = desplazamiento del nodo causado por las cargas reales sobre la armadura.
n= fuerza virtual interna en un elemento de armadura causada por la carga
unitaria virtual externa.
N= fuerza interna en un elemento de armadura causada por las cargas reales.
L= longitud de un elemento.
A=área de la sección transversal de un elemento.
E=módulo de elasticidad de un elemento.
*14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
Cambio de temperatura
  longitud de los elementos de una armadura puede modificarse debido a un
La
cambio en la temperatura. Si es el coeficiente de expansion térmica para un
element y es el cambio en su temperature, el cambio en la longitude de un element
es Por consiguiente, es possible determiner el desplazamiento de un nodo
seleccionado en una armadura debido a este cambio de temperature a partir de la
ecuación 14-34, escrita como

 Aquí

1= carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de una

armadura en la dirección de Δ.
Δ= desplazamiento del nodo causado por el cambio de temperatura.
n=fuerza virtual interna en el elemento de una armadura causada por la
carga unitaria virtual externa.
= coeficiente de expansion térmica del material.
ΔT= cambio en la temperatura del element.
L= longitude del elemento.
*14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras
Errores de fabricación
En ocasiones, pueden ocurrir errores en la fabricación de las longitudes de los
elementos de una armadura. Si esto sucede, el desplazamiento Δ en una dirección
particular de un nodo de la armadura desde su posición esperada puede
determinarse mediante la aplicación directa de la ecuación 14-34 escrita como:

Aquí

1= carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de una

armadura en la dirección de Δ.
Δ= desplazamiento de la junta causado por errores de fabricación.
n= fuerza virtual interna en el elemento de una armadura causada por
la carga unitaria virtual externa.
ΔL=diferencia de la longitud del elemento en relación con su longitud
esperada debida a un error de fabricación.
 Ejemplo 14.11
Determine el desplazamiento vertical del nodo C en la armadura de acero mostrada en la figura
14.32a. El área de la sección transversal de cada elemento es A=400 mm 2 y Eac=200GPa.

Rpta
 Ejemplo 14.12
 
Determine el desplazamiento horizontal del rodillo en B de la armadura mostrada en la figura
14-33a. Debido al calor radiante, el elemento AB se somete a un aumento de temperaturas
ΔT=+60°C, y este elemento se ha fabricado 3mm más corto de los necesario. Los elementos
son de acero, para el cual y La sección transversal de cada elemento es de 250 mm 2

Rpta
Ejemplo 14.12
Determine la pendiente en el punto B de la viga mostrada en la figura 14-37a. EI es constante.
*14.7 Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas
En esta sección se aplicará el método de las fuerzas reales virtuales para determiner el
desplazamiento y la pendiente en un punto de una viga. Para ilustrar los principios, se
determinará el desplazamiento vertical vertical Δ del A de la viga mostrada en la figura 14-34b.
Para ello, es necesario colocar una carga unitaria vertical en este punto, figura 14-34a, de
modo que cuando se aplique la carga distribuida “real” w a la viga, se produzca el trabajo
virtual interno debido a ambas 1∙Δ. Como la carga provoca tanto una fuerza cortante V como
un momento M dentro de la viga, en realidad debe considerarse el trabajo virtual interno
debido a ambas cargas.

Aquí

1=carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga en la dirección de Δ.

Δ=desplazamiento causado por las cargas reales que actúan sobre la viga.
m=momento virtual interno en la viga, expresado como una función de x y
causado por la carga unitaria virtual externa.
M=momento interno en la viga, expresado como una función de x y causado
por las cargas reales.
E=módulo de elasticidad del material.
i=momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.
*14.7 Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas
De manera similar, si debe determinarse la pendiente θ de la tangente en un punto de la curva
elástica de la viga, es necesario aplicar un momento de par unitario virtual en el punto y
determinar el correspondiente momento interno virtual m θ.Si se aplica la ecuación 14-35 para
este caso y no se toman en cuenta los efectos de las deformaciones cortantes, se tiene
Ejemplo 14.13
Determine el desplazamiento del punto B en la viga mostrada en la figura 14-36a. EI es
constante.
Ejemplo 14.14
Determine la pendiente en el punto B de la viga mostrada en la figura 14-37a. EI es constante.