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    MPI 2 Sem 13 Ses 13

    Cargado por

    Estefany Ortega
    Este documento presenta el método de cambio de variable para integrales dobles. Explica cómo calcular el jacobiano de una función de variables múltiples y cómo usarlo para transformar una integral doble definida sobre una región del plano xy a otra integral sobre una región en el plano uv. También introduce las coordenadas polares y cómo calcular integrales dobles usando estas coordenadas. Finalmente, presenta tres ejercicios de aplicación de estos conceptos.

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    MPI 2 Sem 13 Ses 13

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    Estefany Ortega
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    Este documento presenta el método de cambio de variable para integrales dobles. Explica cómo calcular el jacobiano de una función de variables múltiples y cómo usarlo para transformar una integral doble definida sobre una región del plano xy a otra integral sobre una región en el plano uv. También introduce las coordenadas polares y cómo calcular integrales dobles usando estas coordenadas. Finalmente, presenta tres ejercicios de aplicación de estos conceptos.

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    Este documento presenta el método de cambio de variable para integrales dobles. Explica cómo calcular el jacobiano de una función de variables múltiples y cómo usarlo para transformar una integral doble definida sobre una región del plano xy a otra integral sobre una región en el plano uv. También introduce las coordenadas polares y cómo calcular integrales dobles usando estas coordenadas. Finalmente, presenta tres ejercicios de aplicación de estos conceptos.

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    Matemática para

    Ingenieros 2
    CAMBIO DE VARIABLE: COORDENADAS
    POLARES
    Semana 13 Sesión 13
    Al finalizar la sesión de aprendizaje el
    estudiante conoce y aplica el método de
    Cambio de Variables en las Integrales
    Dobles.
    CAMBIO DE VARIABLE

    Jacobiano de una función de Varias Variables:

    Sea 𝐹: ℝ2 → ℝ2 una función diferenciable dado por


    𝐹 𝑢; 𝑣 = (𝑥; 𝑦), donde 𝑥 = 𝑥(𝑢;𝑣) e 𝑦 = 𝑦(𝑢;𝑣).

    El Jacobiano de 𝐹 es dado por:


    𝜕𝑥 𝜕𝑥
    𝜕𝑣
    𝐽 𝜕𝑢
    = 𝜕𝑦 𝜕𝑦
    𝑢; 𝑣
    𝜕𝑢 𝜕𝑣
    CAMBIO DE VARIABLE
    Recordando:
    El método de sustitución nos permite calcular
    integrales complicadas, transformándolas en otras
    mas sencillas:

     𝑏 𝑑

    ∫ 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥=∫ 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑡 ) ) 𝑔 ´ ( 𝑡 ) 𝑑𝑡
    𝑎 𝑒
    CAMBIO DE VARIABLE

     
    De manera similar existe un método para las
    integrales dobles, es decir, transforma una integral

    doble 𝐷extendida a una región 𝐷 del plano 𝑋𝑌 en

    otra integral doble extendida a una región 𝑆 del plano


    S

    𝑢𝑣.
    CAMBIO DE VARIABLE

     
    La fórmula para la transformación de integrales
    dobles puede escribirse así:

    =
    𝐷 S

    Donde el factor 𝐽(𝑢, 𝑣) es el Jacobiano de la


    aplicación.
    EJERCICIO EXPLICATIVO 1

     
    Sea 𝑅 la región triangular del plano 𝑋𝑌 limitado por
    𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, encontrar el valor de

    R
    COORDENADAS POLARES

    1er caso.- Hemos consideremos la región polar


    𝐷 dado por 𝐷 = 𝑟; 𝜃 /𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 ∧
    𝜑 𝜃 ≤ 𝑟 ≤ 𝜔(𝜃) y sea 𝑓: ℝ2 → ℝ continua
    sobre 𝐷.

    Luego
      la integral en coordenadas
    𝛽 𝜔 (𝜃 ) polares es:

    𝐷
    𝛼
    (
    ∬ 𝑓 ( 𝑟 , 𝜃 ) 𝑑𝐴=∫ ∫ 𝑓 ( 𝑟 ,𝜃 ) 𝑟𝑑𝑟 𝑑 𝜃
    𝜑( 𝜃) 
    )
    COORDENADAS POLARES

    2do caso.- Hemos considerado la región polar


    D dado por 𝐷 = 𝑟; 𝜃 /𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏∧
    𝜑 𝑟 ≤ 𝜃 ≤ 𝜔(𝑟) y sea 𝑓: ℝ2 → ℝ continua
    sobre 𝐷.

    Luego
      la integral en coordenadas
    𝑏 𝜔 (𝑟 ) polares es:

    𝐷
    𝑎
    (
    ∬ 𝑓 ( 𝑟 , 𝜃 ) 𝑑𝐴 =∫ ∫ 𝑓 ( 𝑟 ,𝜃 ) 𝑟𝑑 𝜃 𝑑𝑟
    𝜑( r )  
    )
    COORDENADAS POLARES
     
    Observación: Para pasar de una integral doble en
    coordenadas cartesianas a una integral doble en
    coordenadas polares se tiene la relación:
    𝑥 = 𝑟𝐶𝑜𝑠𝜃 ; 𝑦 = 𝑟𝑆𝑒𝑛𝜃
    Por lo tanto:

    𝐷 𝐷
    EJERCICIO EXPLICATIVO 2

    Calcular la integral doble

    𝐷
    Donde 𝐷 es la cuarta parte del círculo 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1,
    que se halla en el primer cuadrante.
    EJERCICIO EXPLICATIVO 3

    Calcular el volumen del sólido limitado por el


    𝑥2 𝑦2
    plano 𝑋𝑌, el paraboloide 𝑧 = + y el cilindro
    4
    9

    𝑥2 𝑦2
    + = 𝑥, usando el cambio de variable
    4 9

    𝑥 = 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑦 = 3𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃.
    EJERCICIO RETO

    Calcule
     
    2 2
    𝑥 𝑦

    Donde
    ∬
    𝐷 √ 1− − 𝑑 𝐴
    16 9

    𝑥2 𝑦2
    + ≤1
    𝐷= 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 16 9
    Muchas gracias!

    “𝐸𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑎𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑦 𝑛𝑜


    𝑝𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒,𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒
    𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑎𝑟𝑎 𝑦 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎.”
    Platón

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