1 EDD - Definiciones Básicas

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1.1_EEDD_Definiciones
Elkin Mauricio Cañas Restrepo
1. Ecuaciones Diferenciales Definiciones Básicas

Ecuación Diferencial:
Es toda ecuación que involucre derivadas o diferenciales; de una o más variables

dependientes respecto a una o más variables independientes.
Por ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 Ec. Dif. PARCIAL o en derivadas parciales, es aquella en la que las derivadas

involucradas son derivadas de funciones de más de una variable. Por ejemplo la ecuación
(2) anterior.
 Ec. Dif. ORDINARIA o en derivadas ordinarias, es aquella en la que las derivadas
involucradas son derivadas de funciones de una única variable independiente. Por
ejemplo las ecuaciones (1) y (3) anteriores, involucrando la (3) diferenciales y no
derivadas.
Toda Ecuación Diferencial se deberá considerar como una ecuación donde las variables
son la variable dependiente y todas sus derivadas; se acostumbra como variable
dependiente la variable y como variable independiente ; sabemos que esto no siempre
es así.
( ) ( )
En este orden de ideas;
Una ecuación diferencial es LINEAL si lo son todos los términos en y sus derivadas,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Siendo los ( ) y ( ) funciones de la variable independiente, la forma lineal o no de

ellas no cuenta para la Linealidad de la Ecuación Diferencial.
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Toda Ec. Dif. Ordinaria de orden (n) se podrá escribir en la forma:
( ) ( )
( )
O sea, que se puede despejar la enésima derivada en términos de , sus (n-1) derivadas y
su variable independiente.
 El orden de una ecuación es el orden de derivación máximo que aparezca en dicha

ecuación. Por ejemplo las ecuaciones (1) y (2) anteriores son de tercer orden y
segundo orden, respectivamente, mientras que la (3) será de ordene 1 o primer
orden.
 Solución Explícita de una ecuación: Es toda función Explícita ( ) que al ser

sustituida en la ecuación la hace cierta, o la satisface. Verificar cuáles son
soluciones: /
/ ( )
 Solución Implícita de una ecuación: También, recordemos que hay funciones que
están definidas en forma Implícita mediante una ecuación en dos variables
( ) , en tal caso decimos que la ecuación es una solución, si al derivar
implícitamente se obtiene la ecuación dada.
( ) /
( )
Toda solución de una ecuación de orden uno, tendrá involucrada una constante (de
integración), esta solución representa la Solución General o familia de funciones solución,
en el caso de una ecuación de orden la solución general tendrá involucradas
constantes. A dichas constantes se les conoce como parámetros de la solución.
Cuando las constantes toman valores particulares, las soluciones se llaman soluciones
particulares.
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De la ecuación podremos obtener como solución general a la familia

biparamétrica:
Soluciones particulares son por ejemplo:
, , √ , etc.
A la función constante , cuando sea Solución, se le llama solución NULA o solución

TRIVIAL.
Solución singular es una función solución que no se puede obtener con valores
particulares de los parámetros de la solución general; por ejemplo es solución de
, y la solución general viene dada por ( ); la solución Trivial en este
caso es una solución SINGULAR.
Soluciones por TRAMOS:
La familia de circunferencias centradas en el origen son solución implícita de

la Ecuación: .
Despejando tendremos infinitas formas para soluciones explícitas: Una de ellas en los
intervalos [ √ ] ( √ ] podría darse como la función por tramos:
√ √
{
√ √
Cuando de una solución general (que tiene tantos parámetros como el orden de la
ecuación) debemos obtener una solución particular, debemos contar con tantas
condiciones específicas como parámetros (como el orden de la ecuación)
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 Problema de valor Incial o de valores iniciales P.V.I.: Si todas las condiciones son
dadas en un mismo valor , para y sus primeras ( ) derivadas:
( ) ( ) ( ) ( )( )
, , ,...,
( ⁄ ) ( ⁄ )
 Problemas de valores en la frontera P.V.F.: Si las condiciones son en diferentes

valores de ; bien sea en y/o algunas de sus primeras ( ) derivadas; por
ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )( )
, , ,...,
No serán caso de estudio en este curso.
Existencia de solución Única para PVI, para ecuaciones de ORDEN 1.
Teorema de PICARD:
Todo P.V.I. de Orden 1: ( ) con ( )
Tiene Solución Única si el punto ( ) está en una región donde ( ) y su derivada
con respecto a , ( ), sean continuas. (es decir en sus Dominios)
Por ejemplo en la ecuación
√
Con condición inicial ( ) , los puntos ( ) para que el P.V.I. tenga solución única deben
ser tomados en la región del plano donde ( ) y ( ) sean continuas.
( )
√
( ) √ ( ) ( )
√ √
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Es decir en sus dominios
( )
El dominio de las funciones ( ) y corresponde a:
*( )
+
que también se corresponde con la región:
excluyendo los ejes coordenados;
; quiere decir que
“ a la derecha o sobre la parábola ”

Sin tomar puntos sobre la parábola, lo cual indicamos
en forma punteada

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1. Ecuaciones Diferenciales Definiciones Básicas

Es toda ecuación que involucre derivadas o diferenciales; de una o más variables

 Ec. Dif. PARCIAL o en derivadas parciales, es aquella en la que las derivadas

En este orden de ideas;

Siendo los ( ) y ( ) funciones de la variable independiente, la forma lineal o no de

Toda Ec. Dif. Ordinaria de orden (n) se podrá escribir en la forma:

 El orden de una ecuación es el orden de derivación máximo que aparezca en dicha

 Solución Explícita de una ecuación: Es toda función Explícita ( ) que al ser

De la ecuación podremos obtener como solución general a la familia

Soluciones particulares son por ejemplo:

A la función constante , cuando sea Solución, se le llama solución NULA o solución

, y la solución general viene dada por ( ); la solución Trivial en este

caso es una solución SINGULAR.

Soluciones por TRAMOS:

La familia de circunferencias centradas en el origen son solución implícita de

 Problemas de valores en la frontera P.V.F.: Si las condiciones son en diferentes

Existencia de solución Única para PVI, para ecuaciones de ORDEN 1.

Todo P.V.I. de Orden 1: ( ) con ( )

Tiene Solución Única si el punto ( ) está en una región donde ( ) y su derivada

con respecto a , ( ), sean continuas. (es decir en sus Dominios)

Por ejemplo en la ecuación

ser tomados en la región del plano donde ( ) y ( ) sean continuas.

Es decir en sus dominios

excluyendo los ejes coordenados;

; quiere decir que

“ a la derecha o sobre la parábola ”

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