Equivalentes Discretos

EQUIVALENTES
DISCRETOS
DISCRETIZACION
INTRODUCCIÒN
 Para los sistemas en tiempo continuo, existen diversos métodos
para diseñar compensadores de manera que permitan mejorar las
condiciones de respuesta ya sea en:
 Estado estacionario o
 Estado transitorio (respuesta impulso,escalón, número de polos y
ceros)
 Usando la respuesta de frecuencia ( Mf, Mg)
 Para el control de sistemas discretos o digitales, se pueden
determinar dos alternativas:
 La primera es modelar el sistema en continuo y basados en
los métodos de diseño existentes, diseñar un compensador
apropiado para mejorar la respuesta dinámica del sistema y por
último transformar la función resultante al dominio de Z
 La segunda alternativa es encontrar una función discreta que
pueda tener aproximadamente las mismas características (en el
rango de frecuencias específico) que una función de transferencia
H(s) dada
Gc(s) Gc(z)
Métodos para la Discretización
 Existen tres métodos para hallar el
equivalente discreto de un controlador o
función de trasferencia.
 Simulaciones invariantes, o equivalentes a
la retención
 Mapeamiento de polos y ceros o
Asignacion de polos entre los dominios de s
y z.
 Integración numérica o Discretizaciòn por
aproximación
Simulaciones invariantes, o
equivalentes a la retención
 Este método se basa en la
toma de muestras de una
señal de entrada, la
extrapolación entre muestras
para formar una aproximación
a dicha señal y el pasar esta
aproximación a través de la
función de transferencia del
filtro dada.
 Los métodos dentro de esta
alternativa son:
 Respuesta invariante al impulso
o Discretización Directa.
 Respuesta invariante a la paso o
Retenedor de orden cero.
 Respuesta invariante a la rampa
o Retenedor triangular
 Retenedor de primer orden
Respuesta invariante al impulso o
Discretización Directa
 Se trata de preservar la respuesta al impulso, para este
método el retenedor es unitario, o sea la función de
trasferencia es muestreada directamente por un tren de
impulso del muestreador, en este caso la respuesta al impulso
permanece invariante.
 También se puede considerar como discretizar la función de
trasferencia con la Trasformada z de forma directa
 Si se esta definiendo las respuestas impulso continua y discreta
Respuesta invariante al impulso o
Discretización Directa
 Características:
 Si G(s)es estable G(z) también lo es.
 G(z) preserva la respuesta al impulso
 No preserva la respuesta en frecuencia
 Las frecuencias de trasformadas en G(z) que
son múltiplos de la frecuencia de muestreo
pueden ocasionar aliasing.
 Si G(s) es una función complicada se requiere
expandir en fracciones parciales.
 Los polos en s se trasforman mediante 𝑧 = 𝑒 𝑇𝑠 .
Pero los ceros dependen de las fraciones
parciales.
Respuesta invariante a la paso o
Retenedor de orden cero (ZOH)
 La figura muestra la
aproximación a la
señal continua e(t)
utilizando la
retención 𝑒ℎ 𝑡 de
las muestras 𝑒 𝑘 ,
en el intervalo entre
kT y (k+ 1)T
 Esta operación es la
retención de orden
cero (ZOH).
 Entonces si se considera el siguiente
diagrama de bloques:
u(t) u*(t) x(t)
ZOH G(s)
1 − 𝑒 −𝑇𝑠
𝑋 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑈∗ 𝑠
𝑠
Aplicando la regla del asterisco se tiene
finalmente:
𝑧 − 1 𝐺(𝑠)
𝐺 𝑧 = 𝑍
𝑧 𝑠
 Características
 Conserva la ganancia estática
 No preserva la respuesta al impulso ni a la
frecuencia
 G(z) preserva la respuesta al escalón
 Se requiere expandir en fracciones parciales.
 Los polos en s se trasforman mediante
𝑧 = 𝑒 𝑇𝑠 . Pero los ceros dependen de las
fraciones parciales.
Respuesta invariante a la rampa o
Retenedor triangular
 En este método el
retenedor usado es
el triangular, este
permite conservar
la respuesta
invariante a la
rampa del sistema
analógico con el
discreto.
Respuesta invariante a la
rampa o Retenedor triangular
𝑌(𝑠) 𝑌(𝑧)
 Si =𝐺 𝑠 y = 𝐺 𝑧 y se quiere conservar
𝑅(𝑠) 𝑅(𝑧)
la respuesta invariante a la rampa se cumple
que:
1 𝑇𝑧
𝑌 𝑠 = 2𝐺 𝑠 = 𝑌 𝑧 = 2 𝐺 𝑧
𝑠 𝑧−1
 Despejando G(z)
2
𝑧−1 𝐺(𝑠)
𝐺 𝑧 = 𝑍
𝑇𝑧 𝑠2
Respuesta invariante a la
rampa o Retenedor triangular
 Características
 Conserva la ganancia estática
 No preserva la respuesta al impulso, escalón
ni a la frecuencia
 G(z) preserva la respuesta a la rampa
 Se requiere expandir en fracciones parciales.
 Los polos en s se trasforman mediante
𝑧 = 𝑒 𝑇𝑠 . Pero los ceros dependen de las
fraciones parciales.
Mapeamiento de polos y ceros o Asignación
de polos entre los dominios de s y z.
 Un método simple pero efectivo de obtener un equivalente
discreto para una función de transferencia continua, se obtiene
mediante la extrapolación de la relación entre el plano s y el plano
z.
 Si tenemos la transformada z de las muestras de una señal
continua e(t ), los polos de la transformada discreta E(z)están
relacionados con los polos de E(s) usando la relación 𝑧 = 𝑒 𝑇𝑠 .
 De igual forma podemos usar el procedimiento anterior, para
localizar los ceros de E(z).
 La técnica de correlación de polos y ceros consiste en un grupo
de reglas heurísticas para localizar los polos y ceros, y ajustando la
ganancia de la transformada z podríamos describir el equivalente
discreto de una función de transferencia que se aproxime a la
función de transferencia G(s)
Mapeamiento de polos y ceros o
Asignación de polos entre los dominios
de s y z.
 Todos los polos de G(s) se mapean de
acuerdo a la relación 𝑧 = 𝑒 𝑇𝑠 .
 Si G(s) tiene un polo en s = -a, entonces G(z)
tiene un polo en 𝑧 = 𝑒 −𝑎𝑇 .
 En caso de que G(s) tenga polos complejos
conjugados de la forma s= -a± jb, G(z) tendra
los polos en 𝑧 2 − 2𝑒 −𝑎𝑇 cos 𝑏𝑇𝑧 − 𝑒 −2𝑎𝑇 .
 Todos los ceros de carácter finito son
mapeados igual que los polos, es decir, se
utiliza las relaciones dadas para los polos.
Mapeamiento de polos y
ceros o Asignación de polos
entre los dominios de s y z.
 En caso de que los ceros del sistema se encuentren
en el infinito 𝑠 = ∞, estos serán mapeados en z=-1.
La razon para esto es que el mapeo de las
frecuencias reales para w = 0 hasta w estan dentro
del circulo unitario desde z=1 a z=-1
 Por lo tanto, el punto z=-1 representa de un modo

real la máxima frecuencia posible en la función de
trasferencia discreta, por lo tanto es apropiados
decir que si G(s) es cero a la máxima frecuencia
continua, la magnitud de la función discreta será
cera en z= -1, la cual es la frecuencia mas alta que
será capaz de procesar un filtro digital.
Mapeamiento de polos y ceros o
Asignación de polos entre los dominios
de s y z.
 Si no se desea que existra retraso en la respuesta del sistema todos
los ceros en 𝑠 = ∞ deberán ser mapeados en z = -1.
 Si se desea un retraso de una muestra para permitir a la

computadora el tiempo necesarios para computar la salida,
entoces solo uno de los ceros en el infinito es mapeado en z =
infinito y los otros en z = -1. Con esta elección se esta dejando la
funcion discreta con un número finitos de ceros uno menos que el
número finito de polos.
 La ganancia de G(z) será seleccionada para concordar con la

ganancia de G(s)en el cualquier punto critico. En la mayoría de las
aplicaciones de control la frecuencia critica es s= 0, por lo tanto
tipicamente seleccionamos la ganacia de tal modo que:
𝐺 𝑠 𝑠=0 = 𝐺(𝑧)𝑧=1
Resumen del procedimiento
Integración numérica o Discretización por
aproximación
 El concepto fundamental para el diseño de equivalentes discretos por

integración numérica, es el de representar la función de transferencia
del controlador Gc(s)entregada como una ecuación diferencial y
derivar a una ecuación en diferencia cuya solución es una
aproximación de la ecuación diferencial.
𝒂 𝒅𝒖(𝒕)
𝑮𝒄 𝒔 = → + 𝒂𝒖 𝒕 = 𝒂𝒆 𝒕
𝒔+𝒂 𝒅𝒕
 Si escribimos la ecuación en su forma integral témenos:
 Donde el termino integral de la última
ecuación equivale a el area bajo la
curva de –a*u + a*u en el intervalo
𝑘 + 1 𝑇 ≤ 𝑡 ≤ 𝑘𝑇 y se denomina área
incremental
 Muchas reglas se han desarrollado en
base a como encontrar esa área
incremental.
Regla rectangular en
Adelanto
 Esta primera aproximación
,también conocida como
la Regla de Euler, en
donde se aproxima el área
teniendo en cuenta el
rectángulo visto por
delante de(k+1)T(ver figura
), el cual tiene ancho T y
toma la amplitud del
rectángulo como el valor
del integrando en (k+1)T
dando como resultado:
Regla rectangular en
Adelanto
 La regla correspondiente a
la regla rectagular en
adelanto es:
𝑎𝑇𝑧 −1
𝐺𝑐 𝑧 =
1 − (1 − 𝑎𝑇)𝑧 −1
𝑎
=
𝑧−1
𝑇 +𝑎
 Que equivale al mapeo:

𝑧−1
𝑠=
𝑇
𝑧 = 1 + 𝑇𝑠
Regla rectagular en atraso o
integración hacia atras
 Una segunda regla se
desprende de tomar la
amplitud del rectángulo de
aproximación como el valor
visto hacia atrás desde kT
hasta (k+1)T . La ecuación
resultante es:
Regla rectangular en Atraso o
Integración hacia atras
 La regla correspondiente a la
regla rectagular en adelanto
es:
𝑎𝑇 1
𝐺𝑐 𝑧 =
1 + 𝑎𝑇 𝑧 −1
1−
1 + 𝑎𝑇
𝑎𝑇𝑧 𝑎
= =
𝑧 1 + 𝑎𝑇 − 1 𝑧 − 1 + 𝑎
𝑇𝑧

1−𝑧 −1
𝑠=
𝑇
1
𝑧=
1 − 𝑇𝑠
Regla rectangular
Trapaezoida
 Una última regla para aproximar el área bajo la curva es la
Regla Trapezoidal, también llamada método tustin o
transformación bilineal .
 Con esta regla el área bajo la curva es el área del trapecio
formado por el promedio de los dos rectángulos vistos en las
dos reglas anteriores. La ecuación en diferencia aproximada
es:
 La funcion de trasferencia para
la regla trapopezoidal es :
𝑎𝑇(𝑧 + 1)
𝐺𝑐 𝑧 =
2 + 𝑎𝑇 𝑧 + 𝑎𝑇 − 2
𝑎
=
2 𝑧−1
𝑇∗𝑧+1+𝑎

2 𝑧−1
𝑠 = 𝑇 ∗ 𝑧+1
1 + 𝑇𝑠/2
𝑧=
1 − 𝑇𝑠/2

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 Por lo tanto, el punto z=-1 representa de un modo

 Si se desea un retraso de una muestra para permitir a la

 La ganancia de G(z) será seleccionada para concordar con la

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