S06.s1 - Sistemas de Control Digital

SISTEMAS DE CONTROL
DIGITAL
Sesión 07
Prof. Ing. Eduardo Steve Rodriguez Canales
Repaso
¿Qué consideramos como muestreo?
¿Para qué sirve la transformada de z?

Repaso
● El muestreo consiste en tomar muestras

periódicas de una señal (discretizarla)
● La transformada de Z convierte una señal

discreta en el dominio del tiempo al
dominio de la frecuencia.
Logro
Al final de la sesión el estudiante conocerá distintos conceptos sobre

discretización de sistemas, incluyendo la discretización de
controladores PID. Además evaluaremos conceptos relacionados a la
estabilidad de sistemas discretos y su error en estado estacionario.
Discretización de sistemas contínuos
Mapeamiento de polos y ceros emparejados
Podemos considerar inicialmente z = e^(sTs) y su inversa s = (1/Ts) ln(z) como la

transformación entre z y s. El equivalente discreto se obtiene siguiendo el siguiente
procedimiento:
● Todos los polos y ceros finitos en el plano s se trasladan al plano z como z =
e^sTs . Para polos reales, (s + a) → (z - e^(-aT s) ). Para los polos complejos,
(s + α - jω) → (z - e αTs.e^jωTs ).
● Para obtener sistemas propios (grado del denominador = grado del
numerador), todos los ceros en s = ∞ o fuera del rango primario se mapean
en z = -1. Es decir, para cada cero en el infinito, se incluye un término (z + 1)
en el numerador. El punto z = -1 representa la mayor frecuencia posible de la
función de transferencia discreta.
Mapeamiento de polos y ceros emparejados
● Para retrasar la respuesta del sistema discreto por un período de muestreo,

entonces uno de los ceros en s = ∞ se mapea en z = ∞, mientras que los otros se
mapean en z = -1. Con esto, hay un cero finito menos que polos finitos en CD(z).
Así, se tiene un sistema estrictamente propio (grado del denominador > grado del
numerador). Este procedimiento hace que se pierda la calidad de las
aproximaciones.
● La ganancia del sistema discreto debe ajustarse a una frecuencia crítica.

Normalmente se elige un punto a bajas frecuencias, es decir
El comando en MATLAB para transformar una función de transferencia contínua C(s)

en una discreta CD(z) con periodo de muestreo Ts , mediante el mapeo de polos y
ceros, es: C D = c2d(C,T s,'matched').
Mapeamiento de polos y ceros emparejados: Ejemplo
Encuentre el equivalente discreto de C(s) usando mapeamiento de polos y ceros
Solución: Obsérvese que C(s) tiene un polo finito en s = -a, que se mapea en z = e^(-aTs)
, y un cero infinito, que primero se mapea en un cero en z = -1. Por lo tanto,
Como
Por lo tanto
Mapeando, por otro lado, s = ∞ en z = ∞, porque entonces hay un polo finito y ningún
cero (menos) finito, se tiene
Como
Se tiene que
Por lo tanto
Diferenciación numérica
El método rectangular directo es una técnica sencilla que sustituye la derivada de

una función que sustituye la derivada de una función por
si e(t) = 0 en 0 ≤ t < T s , tenemos en el dominio s

con z=e^(sTs) se tiene que
Para transformar una función del plano s al plano z por el método rectangular
directo hay que hacer
Utilizando por otro lado la diferencia de retardo (rectangular hacia atrás)
Aplicando la transformada de Laplace y asumiendo condiciones iniciales nulas,

Con z=e^(sTs) se tiene que
Por lo tanto, para transformar una función del plano s al plano z por el método rectangular
hacia atrás, uno tiene
Integración numérica
Considere un integrador puro
Tenemos que
Consideramos la aproximación rectangular hacia adelante

Consideramos la aproximación rectangular hacia atrás

Consideramos la aproximación trapezoidal (también conocido como Tustin)

En resumen
Ejemplo: Transformación trapezoidal
Obtenga el equivalente discreto usando el método trapezoidal (Tustin) para un Ts=0.1 s

Aproximación por retenedor de orden cero
Considere la siguiente figura
El equivalente discreto sería

Como exp(-sTs) es exactamente un retraso en el tiempo de muestreo

Considere que la respuesta al escalón del sistema discreto sea igual al del sistema
continuo entonces:
Discretización de controladores PID
El controlador básico PID está dado por

Y sus discretizaciones (considerando la aproximación rectangular hacia atrás) están dadas

por
donde
Y sus discretizaciones (considerando la aproximación rectangular hacia atrás) están dadas

por
donde
Si usamos el método de Tustin para la acción integradora tenemos
Un controlador PID realista en tiempo continuo está dado por
Donde N suele estar en 3 y 20 entonces la función de transferencia de la

acción derivativa quedaría
Utilizando la técnica de discretización rectangular para atrás
Con una ecuación en diferencias como

Para reducir el efecto kick-derivativo podemos considerar la acción derivativa en la salida
Con lo que tendríamos la siguiente ecuación en diferencias

Para evitar acumulaciones de errores debido a la acción integradora, podemos

implementar un sistema anti-windup, que consiste en congelar la acción
integradora al ocurrir una saturación
Ejemplo: Implementación de un controlador PID con anti-windup en Matlab
Análisis de estabilidad
Análisis de estabilidad
Considere el siguiente sistema en lazo abierto
Y en lazo cerrado
La estabilidad estará dada si los polos en lazo cerrado de la ecuación

característica (P(z)) poseen un radio menor que la unidad
Criterio de Jury
Si las raíces de P(z) no se conocen explícitamente, se puede utilizar el criterio de Jury para
determinar la estabilidad absoluta de un sistema. Considere la ecuación característica dada
por:
Con a0>0 podemos construir la siguiente tabla

Criterio de Jury
Para sistemas de 2do orden solo se necesita una línea de la tabla, cada orden agrega dos
líneas más
Criterio de Jury
Según el criterio de Jury el sistema es estable si
Ejemplo: Criterio de Jury
Usando el criterio de Jury examine la estabilidad para un sistema con la siguiente ecuación
característica.
Solución:
Tenemos que
La propiedad 1 es satisfecha pues 0.8<1

La propiedad 2 es satisfecha
y n es par la propiedad 3 es satisfecha

Para demostrar la propiedad 4 tenemos
Como |b3|>|b0| y |c2|>|c0|, el sistema es estable.

Tarea
Considere un sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria, cuya función de

transferencia en lazo abierto está dada por
Encuentre el rango de valores de K para que el sistema sea estable

Error en estado estacionario
Los sistemas de control de tiempo discreto se pueden clasificar según el número de polos en lazo
abierto en z = 1. Suponga que un sistema tiene la siguiente función de transferencia de lazo
abierto
donde B(z)/A(z) no tiene polo ni cero en z = 1. Tal sistema se clasifica como tipo
0 si N = 0, tipo 1 si N = 1, tipo 2 si N = 2, y así sucesivamente. El tipo de
sistema está relacionado con el error de estado estable para una entrada dada.
Considere el siguiente sistema, la señal de error estará dada por

Aplicando el teorema del valor final tenemos
Para una entrada de escalón unitario
donde
Entonces tenemos que
Tenga en cuenta que el error estacionario se convierte en cero si Kp → ∞, lo que requiere que F(z)
tenga un polo (o más) en z = 1 (sea al menos de tipo 1). Luego
Para una rampa unitaria tenemos que

Si Kv es la constante de error estacionario
Luego
Tenga en cuenta que el error estacionario de la velocidad se convierte en cero si K v → ∞,

lo que requiere que F(z) tenga al menos dos polos en z = 1 (ser al menos del tipo 2).
El error en estado estacionario de una entrada parabólica unitaria
De manera similar definimos Ka

El error en estado estacionario de una entrada parabólica unitaria
De manera similar definimos Ka
Tenga en cuenta que el error estacionario de la aceleración se vuelve cero si K a → ∞, lo que

requiere que F(z) tenga al menos tres polos en z = 1 (ser al menos del tipo 3).
La siguiente tabla resume lo mencionado

Conclusiones
● Usando conceptos de discretización de sistemas es posible discretizar

controladores PID contínuos.
● Usando el método de Jury se puede evaluar la estabilidad de sistemas en

tiempo discreto.
● Es posible hallar el error en estado estacionario de sistemas discretos para

varios tipos de entrada.

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SISTEMAS DE CONTROL

¿Qué consideramos como muestreo?

¿Para qué sirve la transformada de z?

● El muestreo consiste en tomar muestras

● La transformada de Z convierte una señal

Al final de la sesión el estudiante conocerá distintos conceptos sobre

Podemos considerar inicialmente z = e^(sTs) y su inversa s = (1/Ts) ln(z) como la

● Para retrasar la respuesta del sistema discreto por un período de muestreo,

● La ganancia del sistema discreto debe ajustarse a una frecuencia crítica.

El comando en MATLAB para transformar una función de transferencia contínua C(s)

Encuentre el equivalente discreto de C(s) usando mapeamiento de polos y ceros

El método rectangular directo es una técnica sencilla que sustituye la derivada de

si e(t) = 0 en 0 ≤ t < T s , tenemos en el dominio s

con z=e^(sTs) se tiene que

Utilizando por otro lado la diferencia de retardo (rectangular hacia atrás)

Aplicando la transformada de Laplace y asumiendo condiciones iniciales nulas,

Con z=e^(sTs) se tiene que

Considere un integrador puro

Consideramos la aproximación rectangular hacia adelante

Consideramos la aproximación rectangular hacia atrás

Consideramos la aproximación trapezoidal (también conocido como Tustin)

Obtenga el equivalente discreto usando el método trapezoidal (Tustin) para un Ts=0.1 s

Considere la siguiente figura

El equivalente discreto sería

Como exp(-sTs) es exactamente un retraso en el tiempo de muestreo

El controlador básico PID está dado por

Y sus discretizaciones (considerando la aproximación rectangular hacia atrás) están dadas

Y sus discretizaciones (considerando la aproximación rectangular hacia atrás) están dadas

Si usamos el método de Tustin para la acción integradora tenemos

Un controlador PID realista en tiempo continuo está dado por

Donde N suele estar en 3 y 20 entonces la función de transferencia de la

Utilizando la técnica de discretización rectangular para atrás

Con una ecuación en diferencias como

Para reducir el efecto kick-derivativo podemos considerar la acción derivativa en la salida

Con lo que tendríamos la siguiente ecuación en diferencias

Para evitar acumulaciones de errores debido a la acción integradora, podemos

Considere el siguiente sistema en lazo abierto

La estabilidad estará dada si los polos en lazo cerrado de la ecuación

Con a0>0 podemos construir la siguiente tabla

La propiedad 1 es satisfecha pues 0.8<1

y n es par la propiedad 3 es satisfecha

Para demostrar la propiedad 4 tenemos

Como |b3|>|b0| y |c2|>|c0|, el sistema es estable.

Considere un sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria, cuya función de

Encuentre el rango de valores de K para que el sistema sea estable

Considere el siguiente sistema, la señal de error estará dada por

Aplicando el teorema del valor final tenemos

Para una entrada de escalón unitario

Entonces tenemos que

Para una rampa unitaria tenemos que

Si Kv es la constante de error estacionario

Tenga en cuenta que el error estacionario de la velocidad se convierte en cero si K v → ∞,

El error en estado estacionario de una entrada parabólica unitaria

De manera similar definimos Ka

El error en estado estacionario de una entrada parabólica unitaria

De manera similar definimos Ka

Tenga en cuenta que el error estacionario de la aceleración se vuelve cero si K a → ∞, lo que

La siguiente tabla resume lo mencionado