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    Unidad I - S03

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    Arth Sant
    El documento describe métodos para estimar una media poblacional basados en una muestra cuando la desviación estándar poblacional (σ) es conocida y desconocida. Cuando σ es conocida, se construye un intervalo de confianza usando la distribución normal. Cuando σ es desconocida, se usa la distribución t de Student y valores críticos t debido a mayor incertidumbre. También explica cómo calcular el tamaño de muestra necesario para lograr un margen de error específico.

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    El documento describe métodos para estimar una media poblacional basados en una muestra cuando la desviación estándar poblacional (σ) es conocida y desconocida. Cuando σ es conocida, se construye un intervalo de confianza usando la distribución normal. Cuando σ es desconocida, se usa la distribución t de Student y valores críticos t debido a mayor incertidumbre. También explica cómo calcular el tamaño de muestra necesario para lograr un margen de error específico.

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    El documento describe métodos para estimar una media poblacional basados en una muestra cuando la desviación estándar poblacional (σ) es conocida y desconocida. Cuando σ es conocida, se construye un intervalo de confianza usando la distribución normal. Cuando σ es desconocida, se usa la distribución t de Student y valores críticos t debido a mayor incertidumbre. También explica cómo calcular el tamaño de muestra necesario para lograr un margen de error específico.

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    ESTIMACIÓN DE UNA MEDIA

    POBLACIONAL CON σ
    CONOCIDA Y DESCONOCIDA
    Propósito

    • Realizar estimación de una media


    poblacional con varianza poblacional
    conocida.

    • Realizar el cálculo de una muestra para


    estimar una media poblacional.
    Construir un intervalo de confianza que se utilice para
    estimar una media poblacional dado σ.

    𝑥ҧ − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝐸
    𝜎
    𝐸 = 𝑍𝛼 /2.
    𝑛
    μ = Media poblacional
    σ = Desviación estándar de la población
    𝑥ҧ = Media muestral
    n = Número de valores muestrales
    E = Margen de error
    z α/2 = puntuación z que separa un área de α/2 en la cola derecha de la distribución
    normal estándar
    1. La muestra es aleatoria simple.

    2. El valor de la desviación estándar


    poblacional σ es conocido.

    3. Cualquiera o ambas de estas condiciones


    se satisfacen: la población se distribuye
    normalmente o n > 30.
    Han muerto personas en accidentes de embarcaciones y
    aviones debido al uso de una estimación obsoleta del peso
    medio de los hombres el cual ha variado de manera
    considerable, por lo que es necesario actualizar la estimación
    de esa media con la finalidad de que los medios de
    transporte no se sobrecarguen peligrosamente.

    Si utilizamos los pesos de hombres de una muestra aleatoria


    simple: n = 40 y 𝒙ഥ = 172,55 libras. Investigaciones realizadas
    por otras fuentes sugieren que la población de los pesos de
    hombres tienen una desviación estándar dada por σ = 26
    libras.
    a. Calcule la mejor estimación puntual del peso
    medio de la población de todos los hombres.
    b. Construya un intervalo de confianza del 95%
    para el peso medio de todos los hombres.
    c. ¿Qué sugieren los resultados acerca del peso
    medio de 166,3 libras que se utilizaba en
    1960 para determinar la capacidad que
    ofrece seguridad a los pasajeros de las
    embarcaciones?
    VERIFICACIÓN DE REQUISITOS
    1. La muestra es aleatoria simple.
    2. σ = 26 libras.
    3. Con n > 30

    a. La media muestral de 172,55 libras es la mejor


    estimación puntual del peso medio para la población
    de todos los hombres.
    b. El nivel de confianza del 0,95 implica que  = 0,05,
    entonces zα/2 = 1,96
    26
    𝜎 𝐸 = 1,96. = 8,057
    𝐸 = 𝑍𝛼 /2. 40
    𝑛
    Con 𝑥ҧ = 172,55 y E = 8,057 se construirá el intervalo de
    confianza:
    𝑥ҧ − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝐸
    172,55 − 8,057 < 𝜇 < 172,55 + 8,057

    𝟏𝟔𝟒, 𝟒𝟗 < 𝝁 < 𝟏𝟖𝟎, 𝟔𝟏 ഥ


    Redondeo similar a la 𝒙

    c. Con base en el intervalo de confianza, es posible que el peso


    medio de 166,3 libras que se usaba en 1960 sea el peso medio
    de los hombres en la actualidad. Sin embargo, la mejor
    estimación puntual de 172,55 libras sugiere que el peso medio
    de los hombres ahora es mucho mayor que 166,3 libras.
    Determinar qué tan grande debe ser una muestra para
    poder estimar la media poblacional μ.

    2
    𝑍𝛼/2 . σ
    𝑛=
    𝐸
    Suponga que queremos estimar la puntuación
    media del CI de la población de estudiantes de
    estadística.

    ¿Cuántos estudiantes de estadística deben


    seleccionarse al azar para aplicarles pruebas de
    CI, si queremos tener una confianza del 95% de
    que la media muestral estará dentro de 3 puntos
    de CI de la media poblacional? Asimismo, σ = 15.
    N.C. = 95%
     = 0,05
    zα/2 = 1,96
    E =3
    σ = 15

    2 2
    𝑍𝛼 /2σ 1,96 . 15
    𝑛= 𝑛= = 96,04 = 97
    𝐸 3
    Redondeo hacia arriba

    Entre los miles de estudiantes de estadística, necesitamos obtener una


    muestra aleatoria simple de al menos 97 de ellos.
    Método para estimar una media poblacional
    cuando no se conoce la desviación estándar σ.

     Cuando se desconoce σ, se utiliza la distribución t de


    Student (en vez de la distribución normal)

    La media muestral 𝑥ҧ es la mejor estimación


    puntual de la media poblacional μ.
    Como no conocemos el valor de la desviación estándar poblacional σ, la
    estimamos con el valor de la desviación estándar muestral s, pero esta
    introduce otra fuente de baja confiabilidad, especialmente con muestras
    pequeñas. Para poder mantener el nivel de confianza deseado, como
    95%, compensamos esta falta de confianza adicional ampliando el
    intervalo de confianza.

    Utilizamos valores críticos t/2 (de una distribución t de Student) que son
    más grandes que los valores críticos de z/2 de la distribución normal.

    Primero debemos identificar el número de grados de libertad (gl) que es


    el número de valores muestrales que pueden variar después de haber
    impuesto ciertas restricciones a todos los valores de los datos.

    Grados de libertad = n-1


    Una muestra de tamaño n = 7 es una
    muestra aleatoria simple seleccionada de
    una población distribuida normalmente.
    Calcule el valor crítico t/2 correspondiente
    a un nivel de confianza del 95%.
    n =7
    gl = n – 1 = 7-1 = 6
    Nivel de confianza al 95%
     = 0,05
    t = 2,447
    /2 t 0,025 = 2,447
    𝑥ҧ − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝐸
    𝑠 (gl = n – 1)
    𝐸 = 𝑡𝛼/2 .
    𝑛 n > 30

    μ = Media poblacional
    𝑥ҧ = Media muestral Redondeo a una cifra más
    𝑠 = Desviación estándar muestral de la media muestral
    n = Número de valores muestrales
    E = Margen de error
    t /2 = puntuación z que separa un área de  /2 en la cola derecha de la
    distribución t.
    1. La muestra es aleatoria simple.
    2. La muestra proviene de una población
    con distribución normal o n > 30.
    3. No existen valores atípicos y que el
    histograma tiene una forma que no es
    muy alejada de la de una distribución
    normal.
    En una muestra de automóviles, se probaron las
    cantidades de emisiones de óxido de nitrógeno de cada
    uno (en gramos por milla)

    0,06 0,11 0,16 0,15 0,14 0,08 0,15 0,12 0,16


    0,08 0,10 0,12 0,11 0,09 0,11 0,12 0,15 0,09

    Construya un intervalo de confianza del 98% para la


    cantidad media de emisiones de óxido de nitrógeno para
    todos los automóviles considerando que la muestra
    corresponde a una selección al azar de una población
    distribuida normalmente.
    En una prueba de la eficacia del aceite de oliva para
    reducir la fricción de cojinetes, 49 cojinetes fueron
    lubricados con aceite de oliva. El coeficiente de
    rozamiento fue medido posterior a la lubricación
    resultando una media de 0,4 µs (coeficiente estático)
    y una desviación estándar de 21,0 µs.
    a. Construir un intervalo de confianza del 95% para el
    cambio medio neto después del tratamiento de
    lubricación.
    b. ¿Qué sugiere el intervalo de confianza acerca de la
    eficacia del aceite de oliva en pruebas de reducción de
    fricción para cojinetes?
    Verificación de requisitos
    1. La muestra es aleatoria simple.
    2. La muestra proviene de una población con
    distribución normal o n > 30. (n=49)

    Nivel de confianza al 95%


    n = 49
    gl = n – 1 = 48
     = 0,05 (dos colas)
    𝑥ҧ = Media muestral
    t = 2,009
    /2

    (t 0,025 = 2,011)

    Interpolando t
    𝑠 21,0
    𝐸 = 𝑡𝛼 /2. 𝐸 = 2,011. = 6,033
    𝑛 49

    𝑥ҧ − 𝐸 < 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝐸

    0,4 − 6,033 < 𝜇 < 0,4 + 6,033

    −5,633 µs < 𝜇 < 6,433µs


    Redondeo a una cifra más de la media
    Con base en los resultados muestrales dados, tenemos
    una confianza del 95% de que los límites de -5,63 µs y
    6,43 µs realmente contienen el valor de μ, la media del
    coeficiente estático para pruebas de fricción en cojinetes.

    Como los límites del intervalo de confianza contienen el


    valor de 0, es muy posible que la media del coeficiente
    estático para pruebas de fricción sea igual a 0, lo que
    sugiere que el tratamiento con aceite no facilita los niveles
    de fricción en cojinetes.
    Para determinar el tamaño de muestra que
    se necesita para estimar una media
    poblacional.
    Requiere determinar el tamaño de la
    muestra necesario para estimar una media
    poblacional, utilice el procedimiento que se
    describe en la estimación de la desviación
    estándar poblacional (σ) conocida.
    La media muestral 𝑥ҧ es el valor intermedio de estos
    límites; el margen de error E es la mitad de la diferencia
    entre esos límites (ya que el límite superior es 𝒙 ഥ + E y el
    ഥ - E, y la distancia que los separa es 2E).
    límite inferior es 𝒙

    Estimación puntal de μ:
    𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + (𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
    𝑥ҧ =
    2

    Margen de error:
    𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 − (𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
    𝐸=
    2
    Los pesos de la basura desechada proveniente de una muestra de
    62 hogares. La siguiente pantalla de la calculadora TI-83/84 Plus es
    el resultado desplegado al considerar 62 cantidades de pesos
    totales (en libras) para construir un intervalo de confianza del 95%
    para el peso medio de la basura desechada por la población de
    todos los hogares.

    Utilice el intervalo de confianza de la


    pantalla para calcular los valores de la
    mejor estimación puntual 𝑥ҧ y del margen
    de error E.
    Estimación puntal de μ:
    𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + (𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
    𝑥ҧ =
    2
    30,607 + 24,28
    𝑥ҧ = = 27,444
    2

    Margen de error:
    𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 − (𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
    𝐸=
    2

    30,607 − 24,28 Se redondean a tres decimales,


    𝐸= = 3,164 𝑙𝑏 que es un espacio decimal
    2
    adicional más de los dos lugares
    decimales utilizados
    Métodos Condiciones
    Utilice la distribución σ conocida y población distribuida normalmente
    normal (z). o
    σ conocida y n > 30
    Utilice la distribución t. σ desconocida y población distribuida normalmente
    o
    σ desconocida y n > 30
    Utilice un método no La población no está distribuida normalmente y n ≤
    paramétrico o bootstrap. 30.

    Criterios para decidir si la población está distribuida normalmente: La población no


    necesita ser exactamente normal, pero debe tener una apariencia un tanto simétrica, con
    una moda y sin valores atípicos.

    Tamaño de la muestra n > 30: Este es un lineamiento que se usa regularmente, pero
    tamaños de muestra de 15 a 30 son adecuados si la población parece tener una distribución
    normal y no existen valores atípicos.
    Usted planea construir un intervalo de
    confianza para la media poblacional μ.

    Utilice los datos para determinar si el margen


    de error E debe calcularse utilizando un valor
    crítico de z/2 (de la distribución normal), un
    valor crítico de t/2 (de la distribución t) o
    ninguno de estos.
    a. n = 9, 𝑥ҧ = 75, s = 15
    La población tiene una distribución normal.
    b. n = 5, 𝑥ҧ = 20, s = 2 y
    la población tiene una distribución muy sesgada.
    c. n = 12, 𝑥ҧ = 98,6, σ = 0,6
    La población tiene una distribución normal.
    d. n = 75, 𝑥ҧ = 98,6, σ= 0,6
    La población tiene una distribución sesgada.
    e. n = 75, 𝑥ҧ = 98,6, s = 0,6
    La población tiene una distribución sesgada.
    a. Puesto que la desviación estándar poblacional σ no se conoce
    y la población está distribuida normalmente, el margen de
    error se calcula usando t/2
    b. Puesto que la muestra es pequeña (n ≤ 30) y la población no
    tiene una distribución normal, el margen de error E no se debe
    calcular usando un valor crítico de z/2 o t/2 por ello no se
    puede aplicar lo estudiado.
    c. Puesto que se conoce σ y la población tiene una distribución
    normal, el margen de error se calcula usando z/2.
    d. Como la muestra es grande (n > 30) y se conoce σ, el margen
    de error se calcula usando z/2.
    e. Como la muestra es grande (n > 30) y se desconoce σ, el
    margen de error se calcula usando t/2 .
    ¿ Qué ¿ Cómo
    aprendí ? aprendí ?

    ¿ Qué me
    ¿ Para qué falta
    aprendí ? aprender ?

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