Filtros Irr Equipo
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BOSQUEJO DE LA
PRESENTACIÓN
Introducción
Filtro de respuesta al impulso infinita
Técnicas de diseño
Aplicaciones
DISEÑO DE FILTROS IIR
Los filtros IIR se encuentran caracterizados por la siguiente ecuación
y ( n) h ( k ) x ( n k ) IIR
k 0
N M
y (n) h(k ) x (n k ) ak x (n k ) bk y (n k )
k 0 k 0 k 1
N
M
H ( z ) ak z k
/ 1 bk z k
k 0 k 1
Los coeficientes del numerador son los ceros y los del denominador son los polos.
Para que el filtro se considere estable, todos los polos deben de encontrarse dentro
de las inmediaciones del círculo unitario.
PASOS DEL DISEÑO DE FILTROS
DIGITALES
•Especificación de los Características del filtro (Dominio de la frecuencia)
requerimientos del filtro El comportamiento deseado
MÉTODO DE COLOCAR
POLOS Y CEROS. Cuando un
cero es colocado en un punto Fs/2 0
dado del plano z, la respuesta en
frecuencia será cero en dicho 0
punto. Un polo, produce un pico Fs/4 3Fs/4
en el diagrama de respuesta en
frecuencia.
3Fs/4
MÉTODO DE POLOS Y CEROS
Se desea diseñar un filtro pasa banda que se ajuste a los siguientes
requerimientos.
a) Rechazo de la señal tanto a un nivel de cd como a 250 Hz
b) Un efecto pasa banda a una frecuencia centrada en 125 Hz
c) Un ancho de banda de 3 dB a 10 Hz
y ( n) 0.877969 y (n 2) x( n) x(n 2)
por lo tan to
z 1
a0 1 b1 1
a1 0 b2 0.877969 -0.877969
a 2 1
MÉTODO DE POLOS Y CEROS
Se (EJEMPLO
desea diseñar un 2)
filtro NOTCH que se ajuste a los siguientes
requerimientos.
a) Frecuencia notch 50 Hz
b) Un ancho de banda de 3 dB a +-5 Hz
Re Re
0 0
plano-s plano-z
MÉTODO DE LA
TRANSFORMADA Z
Como se observa en la gráfica anterior el eje jw en el plano-s es mapeado en el
círculo unitario, elBILINEAL
lado izquierdo en el plano-s se mapea dentro del círculo unitario,
y el lado derecho del plano-s se encuentra mapeado fuera del círculo unitario del
plano-z. Así, si se tiene un filtro analógico, con polos sobre la mitad izquierda del
plano-s, equivale a tener un filtro digital con polos dentro del círculo interno.
El cambio de las expresiones anteriores no es sencillo, en lugar de ello se utiliza:
z e jt y s j '
Simplificando
T 2
w' k tan , k 1 o
2 T
RESUMEN DEL
PROCEDIMIENTO PARA
1. Usar las CALCULAR LOS
especificaciones del filtro digitalCOEFICIENTES
para determinar una función
de transferencia adecuada, H(s).
DEL FILTRO DIGITAL POR EL
2. Determinar la frecuencia de corte (o frecuencia de corte pasabanda)
MÉTODO
del filtro digital y se llama w BZT
p.
Simplificando
T 2
w' k tan , k 1 o
2 T
1
H ( s)
s 1
frecuencia crítica
p 2x30
frecuencia analógica
'p tan( pT / 2), T 1 / 150Hz, 'p tan( / 5) 0.7265
por tan to
1 0.7265
H ' ( s ) H ( s ) s 0.7265
s / 0.7265 1 s 0.7265
0.7265(1 z ) 0.4208(1 z 1 )
H ( z) H ' (s)
s ( z 1) /( z 1) (1 0.7265) z 0.7265 1 1 0.1584 z 1
la ecuación de diferencia s
y (n) 0.1584 y (n 1) 0.4208[ x (n) x (n 1)]
EJEMPLO
DIAGRAMAS DEL FILTRO ANALÓGICO Y DEL
FILTRO DIGITAL
0.4208
x(n) y(n)
R
z 1
x(t) y(t) -1
z 1
C
0.1584
EJEMPLO
1
H ( s) , f c 150Hz @ 3dB f s 1.28kHz
s 2s 1
2
frecuencia crítica
p 2x150
frecuencia analógica
'p tan( pT / 2), T 1 / 1280Hz, 'p 0.3857
por tan to
2
1 'p 0.1488
H (s) H (s) s s / '
'
2
p
(s / ) 2s / 1
' 2
p
'
p s 2 2 s 'p 'p
2
s 0.5455s 0.1488
0.0878z 2 0.1756z 0.0878 0.0878(1 2 z 1 z 2 )
H ( z ) H (s)
'
s ( z 1) /( z 1) z 1.0048z 0.3561
2
1 1.0048z 1 0.3561z 2
la ecuación de diferencias
y (n) 1.0048y (n 1) 0.3561y (n 2) 0.0878[ x(n) 2 x(n 1) x(n 2)]
FILTROS ANALÓGICOS
PASABAJAS BUTTERWORTH
Este tipo de filtros se definen por la propiedad de que la respuesta en magnitud es
máxima en la región de la pasabanda. La función de la magnitud para un filtro
Butterworth es de la forma:
2 1
H ( j ) 2N
1 2
p
100.1 As 1
0.5
0.5
100.1 As 1
A 0.1 Ap
10 1
Donde Ap es la máxima atenuación
k p
s
pasabanda en dB. Para simplificar la
expresión, se utilizan los parámetros A y K0.
FILTROS BUTTERWORTH
log A
El orden de la ecuación para el filtro analógico pasa N
1
bajas Butterworth está dado por log
K0
1 2N 0
como s j
De la ecuación del filtro s
2 N
1 0
Butterworth, los polos en el en notación polar s 1
plano-s normalizado son (1) N s 2 N e j ( 2 k 1) 1, k 1,2,...., N
encontrados estableciendo el
sk k jk e j ( 2 k N 1) / 2 N je j ( 2 k 1) / 2 N
denominador igual a cero.
Para normalizar el resultado, Finalmente, los polos normalizados analógi cos
considerar p 1 y 1 , 2k 1 2k 1
sk sin j cos
entonces. 2 N 2 N
(2k N 1) (2k N 1)
sk ' cos j p ' sin
2N 2N
1,2,.......,( N 1) / 2, para n impar
k
1,2,......., N / 2 para n par
FILTROS CHEBYSHEV
Las características de los filtros Chebyshev proveen una forma alternativa de
obtener una función de transferencia analógica adecuada, H(s). Existen 2 tipos de
filtros Chebyshev:
1. Tipo I, con igual ondulación en la zona de transición, constante en la banda
de rechazo
2. Tipo II, con igual ondulación en la banda de rechazo, constante en la banda
de transición. 2 K
H ( ' )
1 2C N2 ( ' / p ' )
donde
C N2 ( ' / p' ) es el polinomio Chebyshev
oscilación pasabanda 10 log10 (1 2 ) 20 log10 (1 p )
atenuación del filtro
atenuación 20 log10 ( s )
cosh 1 ( / )
N
cosh 1 (s ' / p ' )
FILTROS CHEBYSHEV
Los polos del filtro Chebyshev están dados por:
+ -b1
+ a1 a1
-b1
z-1 z-1
-b2 a2 -b2 a2
-50
» [b,a]=butter(3,0.2); -100
» [H,w]=freqz(b,a,512);
» mag=20*log10(abs(H));
-150
» plot(w,mag) -200
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
» phi=angle(H);
» phi=(180/pi)*phi; 200
» plot(w,phi) 150
100
50
-50
-100
-150
-200
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
DISEÑO DE FILTROS DIGITALES
Para una frecuencia de muestreo de 1KHz., diseñar un filtro pasa baja con menos
de 3dB de rizado en la banda de paso, definida para 0-40Hz, y como mínimo de
60dB de atenuación en la banda eliminada, definida para 150Hz. Frecuencia de
Nyquist es de 500Hz. Obtener la respuesta en frecuencia.
» Wp = 40/500; Ws = 150/500;
» Wp = 40/500; Ws = 150/500; » Rp = 3; Rs = 60;
» [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,3,60); » [n,Wn] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs);
» [b,a] = butter(n,Wn); » [b,a] = cheby1(n,Rp,Wn);
» freqz(b,a,512,1000); title('n=5 Butterworth » freqz(b,a,512,1000);
Lowpass Filter'); » title('n=4 Chebyshev Type I Lowpass
Filter');
n=5 Butterworth Lowpass Filter
0
-100
-200
-200
-400
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -300
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Frequency (Hertz) Frequency (Hertz)
0
0
Phase (degrees)
Phase(degrees)
-200 -100
-200
-400
-300
-600
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -400
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Frequency (Hertz) Frequency (Hertz)
RESULTADOS GRÁFICOS
grá
fica de b grá
fica de w vs H
0.4 1.4
0.35
1.2
0.3
0.25 1
0.2
0.8
0.15
0.1 0.6
0.05
0.4
0
-0.05 0.2
-0.1
0 10 20 30 40 50 60 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
» b1=b.*hamming(51)';
» plot(b1)
» [H1,w1]=freqz(b1,1,512,2);
» plot (w1,abs(H1)), grid ,title ('gráfica de w1 vs
0.4 H1'); 1.4
grá
fica de w1 vs H1
0.35
1.2
0.3
0.25 1
0.2
0.8
0.15
0.1 0.6
0.05
0.4
0
-0.05 0.2
-0.1
0 10 20 30 40 50 60 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
CONCLUSIONES
La convolución es un operación a nivel de
sistemas que nos permite encontrar la respuesta
a una entrada correspondiente.
El primer análisis desarrollado en este trabajo,
demuestra que la convolución de una señal
impulso unitario con desplazamientos sobre el eje
real, con respecto a una señal de entrada
cualesquiera, será igual a la misma señal.
El principio anterior permite que la convolución se
aplica a la respuesta de un sistema a la que se le
aplico la señal impulso y le sea suministrada
cualquier otra señal de entrada, siendo la
convolución, la respuesta del sistema en cuestión.
Existen varias representaciones tanto gráficas
como matemáticas para representar a los
sistemas físicos que se puedan crear: ecuaciones
diferenciales, de diferencias, diagramas a
bloques, etc.
Problema 8.6 Filtro de paso bajo se requiere un
diseño de paso bajo de un filtro digital para
aproximar la función de transferencia siguiente: